執(zhí)信中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)階段測(cè)試（一）

數(shù)學(xué)

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共5頁(yè)，滿分150分，時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的班別、姓名、考號(hào)填寫在答題卡指

定位置，并用鉛筆準(zhǔn)確填涂考號(hào).

2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試卷上.

3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的

相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.

不按以上要求作答的答案無(wú)效.

4、考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，答題卡由監(jiān)考老師收回.

第一部分選擇題（共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.己知平面向量加，〃均為單位向量，若向量而，〃的夾角為g,則恢九+4〃|=（）

A.25B.7C.5D.近

2.在VA2C中，己知BC=6,A=30,3=120°,則VABC的面積等于（）

A.9B.18C.9A/3D.18A/3

c—14.rtcrnrisin?ex,+cos2a/土/、

3.已知tana=2,則-----------的值為（）

sin2a+cosa

1134

A.-B.-c.—D.-

5355

4.已知集合A={1,2,3,4,5,6},B={2,3},c={2A,6},則（。3）c=（）

A.{2,4,6}B.{1,3,4,5,6）C.{4,6}D.{2}

5.設(shè)私〃是兩條不同的直線，a,"是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

A.若m.\_a,則根//，

B.若mlla,〃ua,則加//九

C.若a/3=m,nila,nil[3,則加/〃

D.若。_L￡,且。力二m，點(diǎn)Asa,直線則

6.已知同=1,W=百，且（1+2/7）.（〃一/?）二—1,則向量a與/?的夾角為

7C7C2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

7.已知首項(xiàng)為q，公比為q的等比數(shù)列{%},其前“項(xiàng)和為九貝廣卬>0,4>1”是“S”單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

8.己知過(guò)點(diǎn)尸與圓V+y2-4y+l=0相切的兩條直線的夾角為三，設(shè)過(guò)點(diǎn)尸與圓尤2+y2-4y=0相切的兩

條直線的夾角為a,貝”ina=（）

2424A/5

,~9^

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.圖中陰影部分所表示的集合是（）

A.NIgMB.MI^,NC.[e（McN）]cND.（何）（〃N）

10.若集合A={x||3x-l|22},B=p^|<o1,貝U（）

A.AB=BB.A

c.4（A=D.（”）B=

11.已知曲線C:mx2+〃;/=1,則（）

A.若〃z=〃=4,則曲線C是圓，其半徑為2

B.若旭>〃>0,則曲線C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

c.若線c過(guò)點(diǎn)（-應(yīng),6）,[-半,行],則C是雙曲線

D.若〃勿=0,則曲線C不表示任何圖形

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

第二部分非選擇題(共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

1955

12.若4(0,2,胃)，C(-2,1,尸是平面內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量。=(x,%2),貝。

OOO

x:y:z=.

13.已知集合。=口|左+1<%<2左一1}=0,則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

14.“白日依山盡，黃河入海流”是唐代詩(shī)人王之渙形容美景的一首詩(shī)詞.某數(shù)學(xué)愛(ài)好者用兩個(gè)函數(shù)圖象描繪

了這兩句詩(shī)詞：/(x)=|3sinx|+sinx,x€[0,2兀]的圖象猶如兩座高低不一的大山，太陽(yáng)從兩山之間落下(如圖

1),g(x)=：sin2x,xe[0,2可的圖象如滾滾波濤，奔騰入海流(如圖2).若存在一點(diǎn)毛片兀，使在

(天,/伍))處的切線與g(x)在&送(毛))處的切線平行，貝Ucos/的值為

圖1圖2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-aqCQ]中，A4=AT>=2,OC=20,8〃和用。交于點(diǎn)E,歹為A8的中點(diǎn).

⑴求證：EF//平面ADRA；

(2)求點(diǎn)A到平面CEF的距離.

16.已知向量a=(cosx,-J),0=(百sinx,cos2x),xe￡,設(shè)函數(shù)/(x)=a1!.

(I)求f(x)的最小正周期.

JI

(II)求f(x)在0,y上的最大值和最小值.

17.如圖，在平面四邊形ABCZ)中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=4,BD=10.

⑴求cos/AZ孫

(2)若△BCD的面積為4廊，求BC.

18.在VABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sin?C=sin?A+sin?B+sinAsinB.

⑴求角C；

(2)記VABC的面積為S,AABC的周長(zhǎng)為T,若c=2,求，的取值范圍.

19.如圖，設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成60。角的兩條數(shù)軸，弓、e；分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量,

若向量8=咫+四2,則把有序數(shù)對(duì)(元廣)叫做向量。尸在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，假設(shè)O尸=3q+2e2.

/G

⑴計(jì)算|。尸|的大?。?/p>

(2)是否存在實(shí)數(shù)”使得OP與向量6=(1,〃)垂直，若存在，求出w的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

答案

1.c

【分析】先由向量加，"的夾角為得到加?〃=0,進(jìn)而可計(jì)算出|3m+4”的結(jié)果.

n

【詳解】因?yàn)橄蛄啃?，〃的夾角為,，所以根=0，又加，〃均為單位向量，

所以\im+4n|=J9+16+24加?九二5.

2.C

【分析】根據(jù)題意分別求出AC和角C,再分析求解即可.

【詳解】根據(jù)正弦定理得：冬=蕓，所以4。="爾”=6君，

sinAsinBsinA

因?yàn)镃=180°—6—A=30,所以=gxCAxC3xsinC=96.

3.A

【分析】由二倍角公式變形后，弦化切轉(zhuǎn)化為正切的式子代入計(jì)算.

【詳解】因?yàn)閠ana=2,

所以sin?。+cos2a_sin2a+cos2a-sin2。_cos2a111

sin2a+cos2a2sinacosa+cos2a2sinacosa+cos2a2tana+12x2+15

4.C

【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)榧?={1,2,3,4,5,6},5={2,3},C={2,4,6},

所以。3={1,4,5,6},所以&8)C={4,6}.

5.C

【解析】根據(jù)線面、面面平行與垂直的相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,若〃z_Lc,存在“up的情況，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若根//a,wua,存在機(jī)，“異面的情況，8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若"http://a,nlip,則在a,￡內(nèi)分別存在直線/,/'與〃平行，由線面平行的性質(zhì)可知：ll/mlll',:.mlln,

C正確；

答案第1頁(yè)，共10頁(yè)

對(duì)于。，若AEM,則存在直線A5不垂直于平面夕，O錯(cuò)誤.

6.A

【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律求出a/，再根據(jù)的定義求出夾角的余弦，從而得夾角大小.

【詳解】因?yàn)椴?26).,-6)=—:，所以同2+入6_21『=_：.

因?yàn)楹?1,W=6,所以

3

cos<a,b>=^=：=2,則向量“與。的夾角為J.

同忖1x^/326

7.A

【分析】由5“-5,1=%>0可判斷充分性；取4=1,q可判斷必要性.

【詳解】在等比數(shù)列｛4｝中，4>。，4>1,則%=a/q"T>0,

當(dāng)時(shí)，S,「S,i=a“>。，所以S“單調(diào)遞增，故充分性成立;

1.1-W"「1

當(dāng)S“單調(diào)遞增時(shí)，q=l,q=；時(shí),一7」=2]勺單調(diào)遞增，但是推不出生>0應(yīng)>1,故必

2

要性不成立.

8.C

【分析】先求出兩圓的圓心和半徑，設(shè)設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線與圓V+G-2)2=3切于點(diǎn)A3,與圓元2+G-2)2=4

切于點(diǎn)M,N,連接PC,AC,BC,MC,NC,由過(guò)點(diǎn)P與圓/+產(chǎn)一分+1=0相切的兩條直線的夾角為方，可

求出|PC|=2g,然后在Rt尸C修中可求出sinNMPC,cosZMPC,再利用正弦的二倍角公式可求得結(jié)果.

【詳解】由/+/_分+1=0,得Y+(y-2)2=3,則圓心C(0,2),半徑[&,

由％2+y2-4y=0,得％2+(y_2)2=4,則圓心C(0,2),半徑馬=2,

設(shè)過(guò)點(diǎn)尸的直線與圓v+(y—2)2=3切于點(diǎn)45,與圓f+(y—2)2=4切于點(diǎn)河小，

連接PC,AC,6cMeNC,則AC_LAP,5C_LP5,CM_LPM,GV_L/W,

答案第2頁(yè)，共10頁(yè)

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P與圓/+/-分+1=。相切的兩條直線的夾角為方,

TT7T

所以NAPB=—,則NAPC=N5PC=—,

36

所以田=2“|=2/;=2后

在RtPCW中，忸。|=26，|MC|=2,所以|尸閭==J12-4=2&,

.\MC\21MP2V2V2

所以sin/MPC=-；----r=—廣=—,=,cosZMPC=

\PC\26V3記一訪一國(guó)'

因?yàn)镹MPN=2ZMPC,

所以sinZMPN=sin(2ZMPC)=2sinZMPC-cosZMPC=2x—

A/3>/33

即sin”半

9.AC

【分析】根據(jù)Venn圖，結(jié)合集合運(yùn)算的概念即可得出答案.

【詳解】

答案第3頁(yè)，共10頁(yè)

A選項(xiàng)：七/二①十②，則N②，故A正確;

B選項(xiàng)：^N=?+@,則MgN=④，故B錯(cuò)；

C選項(xiàng)：故C正確；

D選項(xiàng)：(物W)(/)=①，故D錯(cuò).

10.AD

【分析】解不等式求出A,B,再進(jìn)行集合交并補(bǔ)運(yùn)算逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).

【詳解】由|3x-l|?2可得3x-122或3X—1V—2,解得：xNl或xW-g,

所以4=，次4一；或％21}；

由可得八尤二2),解得：1<%(2,

x-1[x-1^0

所以B={x[l<x42}；

對(duì)于A：因?yàn)锳=1x]xW-;或久21},B={x|l<x<2},所以AB=B,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B：由3={*|1<天42}可得=或無(wú)>2},

又因?yàn)锳=，|x4-;或久之1},所以口{1}"2,+⑹，故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于C：因?yàn)锳=1x]xW-；或久N1},B=[x\\<x<ir\,

所以ADB=A=1X|X4-；或“21},所以=故選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于D：因?yàn)锳=1x|xW-；或％21},所以4A=1x|-;<x<l],

因?yàn)?={x[l<x42},所以低=(1,2],故選項(xiàng)D正確；

11.BC

【分析】對(duì)于A,曲線C可化為V+y2=L,表示圓，可求半徑，判斷A;

n

11一

對(duì)于B,機(jī)>〃>0時(shí)，曲線?？苫癁?1,0<—<—可判斷表不橢圓，判斷B;

mn

mn

答案第4頁(yè)，共10頁(yè)

對(duì)于c,將點(diǎn)卜夜,6）,[-孚，四，代入曲線C：^2+?/=1,求得曲線方程，

判斷C;對(duì)于D,可舉特例進(jìn)行說(shuō)明，判斷D.

【詳解】對(duì)于A,m=〃>0時(shí)，曲線C可化為+其半徑為;=（，故A錯(cuò)誤;

《+二=111

對(duì)于B,〃7>w>0時(shí)，曲線C可化為1+1一表示的是橢圓，而0<—<—,

mn

mn

所以其焦點(diǎn)在y軸上，故B正確；

對(duì)于C,將點(diǎn)卜夜,6）,卜平，夜[，代入曲線C：mx2+ny2=l,

2m+3n=1m=1

有5m-y=>1,mn<0,所以曲線C是雙曲線，故C正確;

------卜2幾=1n=——

33

對(duì)于D,若m=1,〃=0,滿足條件，此時(shí)曲線C：爐=1,表示兩條直線,

故D錯(cuò)誤,

12.2：3：(-4)

【詳解】試題分析：由4[0,2,?121,-1,胃,012」,胃得42=1-3,-￡|,40=12,-1,一（

y,z)=O

因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄?，則有ABz=O,AC“=。，即j-(x,y,z)=0

x—3y——z=0

{,43i

由向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則有。7°解得y=-1z,x=z

-2x-y--z=042

所以無(wú):y:z=[卦UO=2:3:（一4）

故正確答案為2:3:（7）

13.{硯<2}

【分析】根據(jù)空集的定義，要使集合。={彳|《+1<》42左一1}=0,則2左一1〈人+1,解之即可求解.

答案第5頁(yè)，共10頁(yè)

【詳解】vQ={x\k+l<x<2k-\]=0,.\2k-l<k+l,

解得左＜2,因此實(shí)數(shù)上的取值范圍是卜|左＜2}.

故答案為：伙k＜2}.

14.2-&或-1+6

22

【分析】將函數(shù)/(x)表示為分段函數(shù)的形式，根據(jù)切線的平行和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系列出三角等式，利用余弦的

二倍角公式求解.

/、|4sinX,XG[0,7I1

【詳解】由題可知“X=~,；1，

1—2sm%,%￡(兀,2兀J

J4COSX,XG[0,7T]

[-2COSX,XG(K,2TI]?

g'(%)=cos2x,xG[0,2TI]

當(dāng)無(wú)o￡[0,兀)時(shí)，由題意得，/(尤o)=g'5)，

2

所以4cosx0=cos2x0,gp2cosx0-4cosx0-1=0,

解得cos/二4土;指,即cosx()=2+,(舍)或cos/=2,,

當(dāng)不?兀,2句時(shí)，由題意得，f'(%o)=g'(%o)，

2

所以一2cos/=cos2x0,即2cosx0+2cosx0-l=0,

解得cos%=2,即cos/二1'(舍)或cos/二1；"，

故答案為：三色或士

22

15.(1)證明見(jiàn)解析

(2)1

【分析】(1)利用空間中直線與平面平行的判定定理，結(jié)合三角形中位線即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面法向量，再根據(jù)及點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解.

【詳解】(1)如圖，連接A，，B、D、,BD.

因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A4G2中,3片//DD、且BBy=DR,

所以四邊形瓦2Q為平行四邊形.

答案第6頁(yè)，共10頁(yè)

所以E為8,的中點(diǎn),

在.ABD1中，因?yàn)镋,尸分別為BA和43的中點(diǎn),

所以EF//AD1.

因?yàn)镋F(X平面AORA,AD1u平面ADDlAi,

所以EF//平面AO￡?iA.

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,因?yàn)殚L(zhǎng)方體中AA=AO=2,CD=2a,

則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2A/2,0),3(2,20,0),F(2,叵0),

4(2,2夜,2),E(1,V2,1).

所以CE=(1,-&,1),CT=(2,-0,0),

設(shè)平面CEF的法向量為根=(菁,％,Z]),

mCE-0,fx-V2y,+z,=0

則即‘二I,

m-CF=0,[2%一戊％=0

令玉=1,則％=，Z]=1,可得m=(1,y]2,1).

AF=(0,72,0),

|AF?m\

所以點(diǎn)A到平面CEF的距離為d==1.

\m\

答案第7頁(yè)，共10頁(yè)

241

16.(i)r=-^=^(n)/(%)max=i/(x)nun=--

【分析】先求出f(x),然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】f{x}=a-b=A/3sinA：COSX-^COS2X

=——sin2x——cos2x

22

=sin(2x-6)

(I)f(x)的最小正周期為7=要27r=萬(wàn).

(II)xG[0,—],2x---G[-----,—],sin(2x-----)E[—,1]

266662

故當(dāng)2x—g=彳即x=g時(shí)，/?ax=l

623

ITTTI

當(dāng)2元一二一公即尤=°時(shí)，f^=--

662

⑵10

【分析】（1）先利用正弦定理求出sinZAD5,再結(jié)合結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求解;

（2）先結(jié)合（1）及三角形面積公式求出。C,再根據(jù)余弦定理即可求解.

BDAB

【詳解】（1）在△海中，由正弦定理得

sinZAsinZADB

即——=--------MMsinZADB=—,

sin45sinZADB5

又0<ZADB<90,

____________

所以cosZADB=yjl-sin2ZADB=.

(2)結(jié)合(1)可得cos/8￡>C=cos(90-ZADB)=sinZADB=,

則sin/BOC=cos?NBDC=卓，

又SBCD=；DBDC.sinNBDC,即4A=Lxl0xZ)Cx疸，解得。C=4五,

225

則由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD-DCcosZBDC=100,

又3C>0,所以BC=10.

答案第8頁(yè)，共10頁(yè)

2兀

18.(l)C=y;

⑵(0,1-亭.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再由余弦定理求解作答.

(2)根據(jù)已知結(jié)合三角形面積公式求出關(guān)的函數(shù)關(guān)系，再利用均值不等式求解作答.

22