高考中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題高考專題突破一考點(diǎn)自測課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引考點(diǎn)自測12345解析答案√解析

f′(x)＝2cosx∈[－2,2]，12345當(dāng)兩函數(shù)的切線平行時，xp＝0，xQ＝1.1245解析32.(2018·西寧質(zhì)檢)若f(x)＝－

x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是A.[－1，＋∞) B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1] D.(－∞，－1)答案√即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.由于g(x)＝x(x＋2)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)且g(－1)＝－1，所以b≤－1.故選C.12453解析3.(2017·全國Ⅱ)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為A.－1 B.－2e－3

C.5e－3

D.1答案√12453解析函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，則f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1].由x＝－2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2).由ex－1＞0恒成立，得當(dāng)x＝－2或x＝1時，f′(x)＝0，且當(dāng)x＜－2時，f′(x)＞0；12453當(dāng)－2＜x＜1時，f′(x)＜0；當(dāng)x＞1時，f′(x)＞0.所以x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)＝－1.故選A.4.若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝________.解析答案1－ln2解析

y＝lnx＋2的切線方程為y＝

·x＋lnx1＋1(設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1).124535.(2017·江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋ex－

，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析12453答案因?yàn)閒(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a).當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時“＝”成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，12453題型分類深度剖析例1(2018·沈陽質(zhì)檢)設(shè)f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)解答解由f′(x)＝lnx－2ax＋2a，可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，當(dāng)a≤0，x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；所以當(dāng)a≤0時，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；(2)已知f(x)在x＝1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答解由(1)知，f′(1)＝0.①當(dāng)a≤0時，f′(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝1處取得極小值，不符合題意；可得當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)＜0，所以f(x)在x＝1處取得極小值，不符合題意；所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)在x＝1處取得極大值，符合題意.利用導(dǎo)數(shù)主要研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值.已知f(x)的單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題；含參函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)題型，解此類題的關(guān)鍵是極值點(diǎn)與給定區(qū)間位置關(guān)系的討論，此時要注意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行分析.思維升華解答跟蹤訓(xùn)練1已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；解

當(dāng)a＝2時，f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，因?yàn)閑x>0，解答(2)若函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.解

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0對x∈(－1,1)都成立.因?yàn)閒′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0對x∈(－1,1)都成立.因?yàn)閑x>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0對x∈(－1,1)都成立，題型二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題例2設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋

，m∈R.(1)當(dāng)m＝e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求f(x)的極小值；解答∴當(dāng)x∈(0，e)時，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(e，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)的極小值為2.解答則φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，當(dāng)x∈(0,1)時，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.∴x＝1是φ(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x＝1也是φ(x)的最大值點(diǎn)，又φ(0)＝0，結(jié)合y＝φ(x)的圖象(如圖)，可知④當(dāng)m≤0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點(diǎn).函數(shù)零點(diǎn)問題一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一.思維升華解答f′(x)與f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上隨x的變化情況如下表：x(0，

)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘↗(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，

]上僅有一個零點(diǎn).證明題型三利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題例3

(2017·寶雞質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2lnx＋b(x－1)，曲線y＝f(x)過點(diǎn)(e，e2－e＋1)，且在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y＝0.(1)求a，b的值；解答解由題意可知，f(x)＝ax2lnx＋b(x－1)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2axlnx＋ax＋b(x>0)，∵f′(1)＝a＋b＝0，f(e)＝ae2＋b(e－1)＝a(e2－e＋1)＝e2－e＋1，∴a＝1，b＝－1.(2)證明：當(dāng)x≥1時，f(x)≥(x－1)2；證明

f(x)＝x2lnx－x＋1，f(x)－(x－1)2＝x2lnx＋x－x2，設(shè)g(x)＝x2lnx＋x－x2(x≥1)，則g′(x)＝2xlnx－x＋1.由(g′(x))′＝2lnx＋1>0，得g′(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g′(x)≥g′(1)＝0，∴g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)≥g(1)＝0.∴f(x)≥(x－1)2.證明(3)若當(dāng)x≥1時，f(x)≥m(x－1)2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解答解

設(shè)h(x)＝x2lnx－x－m(x－1)2＋1(x≥1)，則h′(x)＝2xlnx＋x－2m(x－1)－1，由(2)知x2lnx≥(x－1)2＋x－1＝x(x－1)，∴xlnx≥x－1，∴h′(x)≥3(x－1)－2m(x－1)＝(3－2m)(x－1).∴h(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴h(x)≥h(1)＝0成立.h′(x)＝2xlnx＋(1－2m)(x－1)，(h′(x))′＝2lnx＋3－2m，令(h′(x))′＝0，得x＝

>1，當(dāng)x∈[1，

)時，h′(x)單調(diào)遞減，則h′(x)≤h′(1)＝0，∴h(x)在[1，

)上單調(diào)遞減，∴h(x)≤h(1)＝0，即h(x)≥0不成立.求解不等式恒成立或有解時參數(shù)的取值范圍問題，一般常用分離參數(shù)的方法，但是如果分離參數(shù)后對應(yīng)的函數(shù)不便于求解其最值，或者求解其函數(shù)最值較煩瑣時，可采用直接構(gòu)造函數(shù)的方法求解.思維升華解析跟蹤訓(xùn)練3

已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋x＋a，g(x)＝－2x＋

，若對任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[2,4]，使得f(x1)＝g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.答案解析問題等價于f(x)的值域是g(x)的值域的子集，顯然，g(x)單調(diào)遞減，對于f(x)，f′(x)＝3x2－4x＋1，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況列表如下：x－1(－1，

)1(1,2)2f′(x)

＋0－0＋

f(x)a－4↗↘a↗a＋2∴f(x)max＝a＋2，f(x)min＝a－4，課時作業(yè)基礎(chǔ)保分練123456解答解答123456當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x1f′(x)

－0＋0－f(x)↘0↗↘123456123456解答2.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2.(1)求a的值；解f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y＝ax＋2.123456證明(2)證明：當(dāng)k<1時，曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點(diǎn).123456證明由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.設(shè)g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由題設(shè)知1－k>0.當(dāng)x≤0時，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一實(shí)根.當(dāng)x>0時，令h(x)＝x3－3x2＋4，則g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x).h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，123456所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)上沒有實(shí)根.綜上，g(x)＝0在R上有唯一實(shí)根，即曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點(diǎn).1234563.(2018·長春質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋

(x>0).(1)若g(x)＝m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；解答∴當(dāng)x＝e時，g(x)有最小值2e.∴要使g(x)＝m有零點(diǎn)，只需m≥2e.即當(dāng)m∈[2e，＋∞)時，g(x)＝m有零點(diǎn).123456(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實(shí)根.解答123456解若g(x)－f(x)＝0有兩個相異實(shí)根，則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點(diǎn).∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其對稱軸為x＝e，f(x)max＝m－1＋e2.若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個交點(diǎn)，則m－1＋e2>2e，即當(dāng)m>－e2＋2e＋1時，g(x)－f(x)＝0有兩個相異實(shí)根.∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞).1234564.(2017·桂林質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝

＋alnx(a≠0，a∈R).(1)若a＝1，求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間；解答令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由f′(x)<0，得0<x<1，由f′(x)>0，得x>1，所以當(dāng)x＝1時，f(x)有極小值1，無極大值；f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).123456解答(2)若在區(qū)間(0，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f(x0)<0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.123456使得f(x0)<0成立，即f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值小于0.即f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞減，123456所以f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞減，顯然f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值小于0不成立；123456xf′(x)－0＋f(x)↘極小值↗123456得1－lna<0，解得a>e，即a∈(e，＋∞).1234565.(2018屆珠海二中月考)已知函數(shù)f(x)＝x－alnx，a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)；解答技能提升練123456當(dāng)a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點(diǎn).當(dāng)a>0時，由f′(x)<0，得0<x<a，由f′(x)>0，得x>a，所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，即f(x)在x＝a處有極小值，無極大值.所以當(dāng)a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時，f(x)在(0，＋∞)上有一個極值點(diǎn).123456(2)設(shè)g(x)＝－

，若不等式f(x)>g(x)對任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范圍.解答123456不等式f(x)>g(x)對任意x∈[1，e]恒成立，123456②當(dāng)1＋a≤1，即a≤0時，h(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，所以h(x)的最小值為h(1)，由h(1)＝1＋1＋a