熱點題型?選填題攻略

專題02基本不等式求最值

o------------題型歸納?定方向-----------?>

目錄

題型01配湊法.................................................................................1

題型02常數代換法.............................................................................2

題型03變形后常數代換法.......................................................................3

題型04消元法.................................................................................4

題型05齊次化求最值...........................................................................4

題型06雙換元法...............................................................................5

題型07與其他知識點交匯.......................................................................5

-----------題型探析,明規(guī)律-----------?>

題型01配湊法

【解題規(guī)律?提分快招】

「［正（正數）卜若不正，用其相反數，改變不等

、號的方向，

禾IJ用基本不

（京在不金電噂等1-并拆：分裂組項、拆并項

等式求最值-q定（定值））-

的條件坪、開二配J〔配：配式、配系數,

L（等（等號成立）H若不能取等號，改用單調性）

【典例訓練】

一、單選題

4

1.（2024局三?全國?專題練習）若x>2,則函數y=x+—^的最小值為（）

x-2

A.4B.6C.275+2D.275-2

2.（24-25高三上?四川?階段練習）已知命題p:\/%￡氏廿+尸>2,命題0：*￡（0,10）,“（10-工）〉5,則

（）

A.命題〃與夕均為真命題

B.命題夕與「鄉(xiāng)均為真命題

c.命題r7與9均為真命題

D.命題「。與均為真命題

r2+3

3.（24-25高三上?山東濟南?階段練習）已知xeR,則〒^的最小值為（）

VX2+2

A.1B.V2C.2■孚

4.（23-24高三上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習）已知x>\,歹>0,x+y=2,則(x-l).y的最大值是

1

A-4B-TD.1

41

5.（24-25高三上?天津紅橋?期中）已知。>6>0,則4。+^--的最小值為（）

2<1+02a—h

A.2B.272C.6D.472

題型02常數代換法

【解題規(guī)律?提分快招】

利用常數Lxm=1代換法，可以代通過“分子分母相約和相乘”，相約去或者構造出“倒數”關系。多稱之為

m

“1”的代換

（1）條件和結論有“分子分母”特征；

（2）可以乘積出現對構型，再用均值不等式。注意取等條件

結構形式：

ab

（1）機x+盯=/求一+一

xy

ab

（2）一+—=/求機x+即

xy

IWwim

一、單選題

32

1.（2024?湖北黃岡?一模）若加〉0,〃>0,且3加+2〃-1=0,則一+―的最小值為（）

mn

A.20B.12C.16D.25

2.（24-25高三上?陜西西安?期末）已知正數。力滿足2a+6=2M,貝崎+2〃的最小值為（）

59

A.-B.-C.5D.9

22

3.（24-25高三上?重慶?期中）已知'J為正實數，且%+歹=1,則上包的最小值為（）

孫

A.7B.9C.10D.12

4.（24-25高三上?江西鷹潭?期中）已知。>0/>0,且仍-46+1=0,則,+96的最小值是（）

a

A.2B.4C.6D.8

1414

5.（243高三上?重慶?階段練習）已知正實數“滿足'十丁尸廠I。,則丁7的最大值為（）

A.5B.2C.9D.8

題型03變形后常數代換法

【解題規(guī)律?提分快招】

工-枳寫前冠「如巢滿是看而有枳無籥教;頂國以轉花藥常藪代族亟二

形如可以通過同除防，化為一+△=/構造“1”的代換求解

ba

2、形如a+6=/,求.1+■!■型,則可以湊配S+%）+（6）="加，再利用“1”的代換來求解。

a+mb

其中可以任意調換a、b系數，來進行變換湊配。

3、對于分數型求最值，如果復合a+b=t,求一-—+丁1—型,則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+n,再利

a+mb+n

用“1”的代換來求解。

「i詢加練J

一、單選題

41

1.（2024高三?全國?專題練習）設。>0,6>1,若。+6=2,則—+1二的最小值為（）

a0-1

A.6B.9C.3A/2D.18

110

2.（24-25高三上?重慶?階段練習）已知實數x滿足則二匚彳的最小值為（）

A.20B.25C.30D.35

3.（2024?河北?模擬預測）已知x>l,y>0,且'7+^=1,

則4x+y的最小值為（）

x-1y

A.13B.15+5—c.14

D.9+V65

2

4.（24-25高三上?陜西渭南?階段練習）已知正數x,了滿足一二+」1=1,則x+V的最小值為（）

x+1x+2y

13_5

A.1B.-C.—D.2

24

5.（24-25高三上?江蘇徐州?開學考試）已知a>6?0且一97+二=1,則2a+6的最小值為（）

a+ba-b

A.12B.8A/3C.16D.876

題型04消元法

【解題規(guī)律?提分快招】

1面條盤通的代面式再函跡亞較至師「通布塞塞莉甬巨如新酒丟部芬賤后丁滲由「前萬南砥F面演為

常數”的形式，最后利用基本不等式求最值.

彳麗訶綜i

一、單選題

1.（24-25高三上?福建龍巖?期中）已知正數Q,b滿足（a-1）（6-2）=2,則必的最小值為（）

A.4B.6C.272D.8

2.（24-25高三上?四川廣安?階段練習）已知正實數>滿足工+工=1,則4孫-3x的最小值為（）

xy

A.9B.10C.11D.12

3.（24-25高三上?山東棗莊?期中）已知。，b為正實數且a+b=3,則令+號的最小值為（）

ab

A.4B.2V6C.272+1D.272+2

題型05齊次化求最值

【解題規(guī)律?提分快招】

一募次在花冠至;

一般情況下，分式分子分母含有/，/,初等，滿足齊次型，則可以通過分子分母同除法，構造單變量型

來轉化計算求解

彳一麗訓練5

一、單選題

_____丫2_0Y_i_A

1.（2024高三?全國?專題練習）若函數〃x）=^―三一（x>2）在x=a處取最小值，貝qa=（）

A.1+V5B.2C.4D.6

2.（23-24高三上?河南漠河?期末）設正實數x、八z滿足尤2一切+/-z=o,則生的最大值為（）

2

A.4B.2C.3D.1

二、填空題

3.（24-25高三上?河南?階段練習）已知a>6>0,則土駕的最小值為____.

ab-b

題型06雙換元法

【解題規(guī)律?提分快招】

「而巢豕侔一（戢著命孤『可以屈式分儲「戈荷以通過好與薜啟用式板換元菜轉花未解一

1.特征：條件式子復雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理

2.最常見的因式分解：a+b+ab+\=（a+1）（6+1）

*麗加綜i

一、單選題

1.（24-25高三上?江蘇鹽城?期中）若實數x,y滿足x2+9y2=l,則x+3y的最小值為（）

A.1B.-1C.V2D.-V2

2.（2024?湖北?一模）已知實數滿足3Y+3孫+V=3,則2x+y最大值為（）

A.2B.3C.V3D.V2

二、填空題

21

3.（2024高三?全國?專題練習）己知正實數x/滿足x+yW2且x-y>0,則丁:+——的最小值為一

4.（23-24高三上?浙江杭州?期中）已知實數x、》滿足x（x+y）=2+2/,貝ij7/-/的最小值為.

o-----------題型通關?沖高考-----------?>

題型07與其他知識點交匯

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高二上?山東荷澤?階段練習）已知4叢C三點不共線，點。不在平面/8C內，

OD=^O4+xOB+yOC（x,y>0）,若481,。四點共面，則孫的最大值為（）

A.—B.—C.1D.2

816

22

2.（24-25高三上?青海?期中）已知雙曲線C：會―六^=1（?！祇,。<6<1）的一條漸近線方程為

、歷x-y=0,則士■+：的最小值為（）

ab

A.2B.4C.6D.8

二、多選題

3.（24-25高三上?江蘇常州?開學考試）已知點P是△/BC的中線2。上一點（不包含端點）且

AP=xAB+yAC,則下列說法正確的是（）

L12

A.x+2y=lB.2x+y=lC.2，+4,22亞D.一+一的最小值是9

xy

三、填空題

S+9

4.（24-25高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習）已知數列｛6｝的前〃項和為S'="2+〃，當」一取最小

an

值時，〃=.

5.（2024?河南新鄉(xiāng)一模）在△NSC中，角45,C的對邊分別為。，4c,嗎0半==，MBC的面積

S1IL4-S1ILOD+C

S=G，則a+46的最小值為,此時Z\4BC的周長為.

6.（2024?海南省直轄縣級單位?模擬預測）已知函數/（x）=2024,-2024T,若。>（）,b>0且

7&

/(fl-l)+/(z>-l)=/(o),則展+不\的最小值為________,

a+2b+1

?>----------題型通關?沖高考-----------?>

一、單選題

23

1.（24-25高三上?廣西南寧?階段練習）若正實數x,?且％+2歹=1,則一+一的最小值為（）

A.2B.3+2后C.5+2A/6D.7+4百

2.（24-25高三上?廣東揭陽?階段練習）函數>=10&%+優(yōu)一]+2（〃>0且owl）的圖象恒過定點（左⑼，若

91

m+n=b-k^m>0,n>0,貝1J—+—的最小值為()

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

]4+〃

3.（24-25高三上?天津?階段練習）已知正數“7,〃滿足山+〃=1,則一+——的最小值為（）

mn

A.4B.6C.8D.10

4.（2024高三?全國?專題練習）已知實數x，V滿足x>0,?>0,且無2+4/一肛=1,則x+2/的最大值為

（）

A.*B.2C.巫D.也

3433

5.（24-25高三上?福建福州?階段練習）設函數〃x）=lgA，若〃a）+〃6）=0,則過耳的最小值為

1-xab

()

A.4+2右B.4+2V2C.1+472D.2+473

3YY2

6.（24-25高三上?江蘇蘇州?期中）已知實數x>V>0,則B的最小值為（）

y^y-y

A.12B.9C.6D.3

41

7.（24-25高三上?安徽池州?期中）已知x>0,>>0,且、+歹=5,若--+—7力2加+1恒成立，則實數加

x+1y+2

的取值范圍是（）

C.（一叱；D.（一8,4]

aA

8.（24-25IWJ二上?江蘇?階段練習）已知。〉0,b>0,2a+b=ab,則---+-—■的最小值為（）

a-1b-2

A.4B.5C.6D.3+2收

9.（24-25高三上?江西南昌?階段練習）設實數工，y滿足——3肛-4/=1,則V+4/的最小值為（）

234

A.-B.-C.-D.1

555

10.（24-25高三上?廣東湛江?階段練習）已知正數Q,b滿足（a+b）3-4=ab（3a+3b-2）,則6的取值

范圍為（）

12x

11.（2024高三?全國?專題練習）已知x>0,歹>0,x+>=2,則一+一+2的最小值為（）

xy

29-11

A.—B.-C.—D.—

921110

133

12.（2024高三?全國?專題練習）設x,%z均為正實數，貝i]“3x+4y+z=12”是“―+—+—24”的（）

xyz

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

13.（24-25高三上?安徽合肥?階段練習）已知正數x,?滿足的5一1+/9次_1=9孫,貝必乂+r的最小值

為（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

14.（2024高三?全國?專題練習）對任意％入x2+y2-xy=l,則（）

A.x+y<l