第四章三角形

重難點(diǎn)15幾何壓軸突破三幾何最值問題之

將軍飲馬模型與逆等線模型

（2種模型講解+14種題型匯總+專題訓(xùn)練+真題訓(xùn)練）

【題型匯總】

?兩定一動(dòng)型

?驛殳

?兩定一動(dòng)癖定動(dòng)型0

?垂線段最短型

?造橋選址型

附真題訓(xùn)練

將軍飲馬模型O與將軍飲馬有關(guān)的角度探究問題

?與將軍飲馬有關(guān)的作圖問題

?相對(duì)運(yùn)動(dòng)平移型將軍飲馬

通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬

幾何壓軸突破三幾何最值問題之?拔高

將軍飲馬模型與逆等線模型三動(dòng)點(diǎn)問題

構(gòu)造SAS型全部接線段

平移，對(duì)稱或構(gòu)造平行四邊形

逆等線模型加權(quán)逆等線

取到最小值時(shí)對(duì)其它量進(jìn)行計(jì)算

類型一將軍飲馬模型

場景總結(jié)：當(dāng)題目中構(gòu)圖滿足“求點(diǎn)到直線上動(dòng)點(diǎn)距離和的最小值”的條件時(shí),則一定存在將軍飲馬模型.

解題大招：（1）最值問題基本原理:①兩點(diǎn)之間線段最短;②點(diǎn)到直線,垂線段最短.

（2）將軍飲馬解題步驟:第一步，明確動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)；

第二步，明確問題屬于哪種將軍飲馬模型,要求哪些線段和的最小值（注

意去掉長度固定的線段）；

第三步,利用平移、對(duì)稱等方法，將問題轉(zhuǎn)化為基本原理①或②.

模型詳解：

類型一兩定一動(dòng)型（四種）

圖形

A

/B

mD"1

B，

B

條件如圖，A,B兩定點(diǎn)分布在直線m兩側(cè)，點(diǎn)D為直如圖，A,B兩定點(diǎn)分布在直線m同側(cè)，點(diǎn)D為直

線上一動(dòng)點(diǎn)，求AD+BD的最小值.線上一動(dòng)點(diǎn)，求AD+BD的最小值.

結(jié)論當(dāng)A,D,B三點(diǎn)共線時(shí)，AD+BD取得最小值，最當(dāng)A,D,B'三點(diǎn)共線時(shí)，AD+BD取得最小值，最

小值為AB的長.小值為AB'的長.

解題1）連:連接AB；1）找:找一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B'；

方法2）求:AB長度即為AD+BD的最小值;2）連:連接對(duì)稱點(diǎn)B'和另外一個(gè)定點(diǎn)A；

3）求:AB'長度即為AD+BD的最小值.

圖AA

形

""?????.一??

bm0為、、J7m

B

條如圖，A,B兩點(diǎn)分布在直線m同側(cè)，點(diǎn)D為直線如圖，A,B兩點(diǎn)分布在直線m兩側(cè)，點(diǎn)D為直線

件m上一動(dòng)點(diǎn),求|AD-BD|的最大值.m上一動(dòng)點(diǎn),求|AD-BD|的最大值.

結(jié)當(dāng)A,B,D三點(diǎn)共線時(shí)，|AD-BD|取得最大值，最當(dāng)A、B'、D三點(diǎn)共線時(shí)，|AD-BD|取得最大值，

論大值為AB的長最大值為AB'的長

解1）連:連接AB并延長交直線m于D'；1）找:找一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；

題2）求：當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)D'重合時(shí)，|AD-BD|的值最大,2）連:連接另外一個(gè)定點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)，并延長交直

方AB的長度即為|AD-BD|的最大值.線于一點(diǎn)；

法3）求:另外一個(gè)定點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)間的距離即為所求.

【補(bǔ)充】

圖形A

9B/

飛：???????..

????../????

?二-????...晨

p\mIA

條件如圖，點(diǎn)A,B為定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線m上一動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP1取得最小值.

結(jié)論當(dāng)PA=PB時(shí)，|AP-BP|取得最小值,最小值為0.

類型二：一定兩動(dòng)型（三種）

圖形卡P；nti

N\mi

?pn

條件如圖，點(diǎn)M,N分別為ml,m2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為定點(diǎn)，求PM+PN+MN的最小值.

結(jié)論做點(diǎn)P關(guān)于ml,m2的對(duì)稱點(diǎn)P',P'',那么當(dāng)P',M,N,P''四點(diǎn)共線時(shí)，PM+PN+MN取得最小值，最小值

為P'P"的距離.

類型三：兩動(dòng)兩定型（兩種）

圖形B'

/2\\M

1

NUD\\\1B

\?1

0^r\\1

\?

AB'\M

4，

條件如圖，點(diǎn)C,D分別為0M,ON上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A,B為如圖，點(diǎn)C,D分別為0M,0N上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A,B分別

NM0N內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，求AC+CD+BD+AB的最小值.為0M,0N上的定點(diǎn)，求AD+CD+BC的最小值.

結(jié)論做A點(diǎn)關(guān)于0M的對(duì)稱點(diǎn)A',做B點(diǎn)關(guān)于0N的對(duì)稱做A點(diǎn)關(guān)于0N的對(duì)稱點(diǎn)A',做B點(diǎn)關(guān)于0M的對(duì)稱點(diǎn)

點(diǎn)B',當(dāng)A',C,D,B'四點(diǎn)共線時(shí)，AC+CD+BD取得B',當(dāng)A',C,D,B'四點(diǎn)共線時(shí)，AD+CD+BC取得最小

最小值，最小值為A'B'的長.所以，AC+CD+BD+AB的值，最小值為A'B'的長.所以，AD+CD+BC的最小值就是

最小值就是A'B'+AB.A'B'的長.

類型四:平移線段型（兩種）

圖形AA'

Va

—k---、m

A'y____”

---------~：-----------m

MN\：

Bf

條件如圖，A,B為定點(diǎn)，M,N分別為m,n上的動(dòng)點(diǎn)，如圖，A,B為定點(diǎn)，M,N分別為m上的動(dòng)點(diǎn)，且

MN±n,m//n,且MN為定值，求AM+MN+NB的最MN為定值，求AM+MN+NB最小值.

小值.

結(jié)論如圖，將點(diǎn)A向下平移MN的單位長度得到點(diǎn)A',如圖，將點(diǎn)A向右平移MN個(gè)單位長度得點(diǎn)A',作

連接A'B,交n于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作MNLm,垂足為B關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B，,連接A'B',交直線m

點(diǎn)M,點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求，當(dāng)A',N,B三點(diǎn)共于點(diǎn)N,將點(diǎn)N向左平移MN個(gè)單位長度得點(diǎn)M,

線時(shí)AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B+MN.點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求，當(dāng)A',N,B'三點(diǎn)共線時(shí)

AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B'+MN.

題型01兩定一動(dòng)型

1.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知4（3,0）,B（0,2）,過點(diǎn)B作y軸的垂線

P為直線I上一動(dòng)點(diǎn)，連接P。，PA,則PO+P4的最小值為.

2.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在回A8CD中，4B=4,AD=5,乙4BC=30。，點(diǎn)M為直線BC上一動(dòng)

點(diǎn)，則MA+MD的最小值為.

3.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，正方形ABC。的邊長為4,點(diǎn)E在邊BC上，且BE=1,尸為對(duì)角線8。上

一動(dòng)點(diǎn)，連接CF,EF,貝ICF+EF的最小值為.

4.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,拋物線y=a（x-八尸+k交工軸于O,2（4,0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為B（2,2舊）.點(diǎn)

C為。8的中點(diǎn).

（1）求拋物線y=a（%一H）2+k的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)C作CH1垂足為H,交拋物線于點(diǎn)￡.求線段CE的長.

（3）點(diǎn)。為線段。4上一動(dòng)點(diǎn)（。點(diǎn)除外），在。C右側(cè)作平行四邊形。CFD.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②如圖3,連接BD,BF,求BD+BF的最小值.

5.(2022?廣東深圳?三模)某課題組在探究“將軍飲馬問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：

直線I同旁有兩個(gè)定點(diǎn)4、B,在直線，上存在點(diǎn)P,使得24+P8的值最小.解法：作點(diǎn)4關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)

4,連接AB,貝必'B與直線/的交點(diǎn)即為P,且P4+PB的最小值為AB.

圖1圖2

請(qǐng)利用上述模型解決下列問題：

(1)幾何應(yīng)用：如圖1,等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊4B的中點(diǎn)，P是4C邊上的一動(dòng)點(diǎn)，

則PB+PE的最小值為；

(2)幾何拓展：如圖2,AABC中，AB=2,ABAC=30。，若在AC、48上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的

值最小，求這個(gè)最小值_________;

(3)代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式石=1+7(4-%)2+4(0<x<4)的最小值_________.

題型02線段差最值

6.(2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖，在菱形4BCD中，AABC=120°,對(duì)角線力C、BD交于點(diǎn)0,BD=8,

點(diǎn)E為。。的中點(diǎn)，點(diǎn)F為48上一點(diǎn)，且4F=3BF,點(diǎn)P為4C上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PF,則|PF—PE|的最大

值為.

7.(21-22八年級(jí)上?河北承德?期末)如圖，點(diǎn)A,8在直線MN的同側(cè)，點(diǎn)A到MN的距離力C=8,點(diǎn)8到MN

的距離80=5,己知CD=4,尸是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記24+PB的最小值為a,|PA—P8|的最大值為

b.

(Da=；

(2)a2—b2=

8.(2023?山東荷澤?二模)如圖，直線%=依+2與反比例函數(shù)為=|的圖象交于點(diǎn)4(爪,3),與坐標(biāo)軸分別

交于2,C兩點(diǎn).

(1)若為＞%＞。，求自變量尤的取值范圍；

(2)動(dòng)點(diǎn)P5,0)在無軸上運(yùn)動(dòng).當(dāng)〃為何值時(shí)，IPA-PCI的值最大？并求最大值.

9.(2024?西藏?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3(a豐0)與無軸交于2(-1,0),5(3,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線/.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖(甲)，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，在直線/上是否存在一點(diǎn)P,使PA-PD有最大值？若存

在，求出P4-PD的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖(乙)，設(shè)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，連接MC,過點(diǎn)M作MN1CM交直線/于點(diǎn)N.若tan乙MCN=|,

求點(diǎn)M的坐標(biāo).

題型03垂線段最短型

10.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，0M的圓心為M（4,0）,半徑為2,P是直線y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)P作OM的切線，切點(diǎn)為Q,貝”Q的最小值為

11.（2022?山東荷澤?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,^ABC=60°,M是對(duì)角線8。上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，CF=BF,則MA+MF的最小值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

12.（20-21七年級(jí)下?福建漳州?期末）如圖，在Rt△力BC中，N4CB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,4D平

分乙CAB交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)￡、尸分另IJ是4。、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝UCE+EF的最小值為

13.（2020?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，BC=10,^ABD=30°,若點(diǎn)M、N分別是線段

DB、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+MN的最小值為.

題型04兩定一動(dòng)/兩定動(dòng)型

14.（22-23八年級(jí)下?江蘇連云港?期中）如圖，在邊長為8的正方形中，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，E、歹分別是和

邊上的點(diǎn)，則四邊形周長的最小值為.

15.（2022?山東棗莊.二模）如圖，點(diǎn)尸是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長

的最小值是.

16.（2023?陜西西安?二模）如圖，在四邊形中，，，，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，,則周長的最小值為

17.（20-21九年級(jí)上?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡、尸分別是邊

上的點(diǎn)，連接，若，，，則周長的最小值是.

18.（2020九年級(jí)?全國?專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為軸正半

軸和拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接、、，求四邊形周長最小時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo).

19.（2022?天津?中考真題）已知拋物線（a,b,c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為P,與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)艮

⑴若，

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直線（機(jī)是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M,與相交于點(diǎn)G,當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）若，直線與拋物線相交于點(diǎn)N,E是x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，下是y軸的負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?/p>

5時(shí)，求點(diǎn)E,尸的坐標(biāo).

題型05造橋選址型

20.（2020九年級(jí)?全國.專題練習(xí)）如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，AB=4,BC=12,41BC=60。，

點(diǎn)E、尸是4。邊上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=2,則四邊形BEFC周長的最小值為.

21.（2023?陜西咸陽?一模）【問題提出】（1）如圖1,點(diǎn)在直線/的同側(cè)，點(diǎn)A到直線/的距離47=2,點(diǎn)

B到直線/的距離BD=4,A、B兩點(diǎn)的水平距離C。=8,點(diǎn)尸是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+BP的最小值

是;

【問題探究】（2）如圖2,在矩形4BCD中，AB=4,BC=2,G是4。的中點(diǎn)，線段EF在邊4B上左右滑動(dòng)，

若EF=1,求GE+CF的最小值；

【問題解決】（3）如圖3,某公園有一塊形狀為四邊形4BCD的空地，管理人員規(guī)劃修兩條小路AC和BD（小

路的寬度忽略不計(jì)，兩條小路交于點(diǎn)尸），并在4。和BC上分別選取點(diǎn)M、N,沿PM、PN和MN修建地下水

管，為了節(jié)約成本，要使得線段PM、PN與MN之和最小.

已測(cè)出乙4cB=45。，乙4DB=60。，4CPD=75°,PD=40m,PC=50V2m,管理人員的想法能否實(shí)現(xiàn),

若能，請(qǐng)求出PM+PN+MN的最小值，若不能，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2圖3

22.（2024.重慶?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+6%+縱口大0）經(jīng)過點(diǎn)（—1,6）,與

y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于力，B兩點(diǎn)（4在B的左側(cè)），連接力C,BC,tanzCBX=4.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是射線C4上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PElx軸，垂足為E,交4C于點(diǎn)D.點(diǎn)M是線段DE上一動(dòng)

點(diǎn)，MN1y軸，垂足為N,點(diǎn)尸為線段BC的中點(diǎn)，連接4M,NF.當(dāng)線段P0長度取得最大值時(shí)，求AM+MN+

NF的最小值；

(3)將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(2)中線段PD長度取得最大值時(shí)的點(diǎn)D,且與直線AC

相交于另一點(diǎn)K.點(diǎn)Q為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)“DK=乙4cB時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

23.(2021?廣西?中考真題)如圖，已知點(diǎn)4(3,0),5(1,0),兩點(diǎn)C(一3,9),。(2,4)在拋物線y=/上，向左或

向右平移拋物線后，C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C',。'，當(dāng)四邊形4BCD的周長最小時(shí)，拋物線的解析式為

題型06與將軍飲馬有關(guān)的角度探究問題

24.(2022?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè))如圖，在五邊形ABCDE中，ABAE=aQBAE為鈍角)，NB=NE=90°,

在BC,上分別找一點(diǎn)N,當(dāng)△力MN周長最小時(shí)，NM4N的度數(shù)為()

C.2a-180°D.a—45°

25.（2023?山東淄博?一模）如圖，在四邊形2BCD中，NB=ND=90°,^DAB=140°,M,N分別是邊。C,

BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ATIMN的周長最小時(shí)，4MAN=°.

26.（2021鼓樓區(qū)二模）如圖，在四邊形48CD中，Z.BAD=130°,N8==90。，在BC、CD上分別取一

點(diǎn)M、N,使△力MN的周長最小，貝I］乙4MN+N4NM=

27.（21-22八年級(jí)上.貴州黔南?期中）如圖，NAOB=a,點(diǎn)P是NAOB內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在04,

08上移動(dòng)，當(dāng)△PMN的周長最小時(shí)，/MPN的度數(shù)為

題型07與將軍飲馬有關(guān)的作圖問題

28.（21-22八年級(jí)上?河南新鄉(xiāng)?期末）如圖，在方格中，水平方向的數(shù)軸我們叫久軸，豎直方向的數(shù)軸我們

叫y軸，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)我們可以分別表示為4（-3,4）,B（-4,1）,C（-l,2）.并稱之為它們的坐標(biāo)

4

5x

⑴畫出與AABC關(guān)于y軸對(duì)稱的AaiBiCi（點(diǎn)a,B,c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)兒,當(dāng)，c1；）,并仿照上面表示方

法寫出點(diǎn)兒,B1，G三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)D在久軸上，使得BD=CD,尺規(guī)作出點(diǎn)D；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（3）點(diǎn)P在y軸上，使得A4CP的周長最小，作出點(diǎn)P.（不寫作法，保留作圖痕跡）

29.（2022?吉林長春.一模）圖①、圖②、圖③均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)

小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，AA8C的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列

要求畫圖，保留適當(dāng)?shù)漠媹D痕跡.

A

C

B

圖①圖②圖③

⑴在圖①中畫出AC邊上的中線BD.

（2）在圖②中畫出AC邊上的高線BE.

（3）在圖③中，若點(diǎn)P、Q分別為線段AB,AC,連結(jié)PC、PQ,當(dāng)PC+PQ取得最小值時(shí)，畫

出點(diǎn)P、點(diǎn)Q的位置.

30.（2023?河南南陽?二模）綜合與實(shí)踐

問題提出

（1）如圖①，請(qǐng)你在直線/上找一點(diǎn)P,使點(diǎn)1,即P4+PB的和最小

（保留作圖痕跡，不寫作法）；

B

A

圖①

思維轉(zhuǎn)換

(2)如圖②，已知點(diǎn)E是直線/外一定點(diǎn)，且到直線/的距離為4,MN是直線/上的動(dòng)線段，MN=6,連

接ME,NE,求ME+NE的最小值.小敏在解題過程中發(fā)現(xiàn)：“借助物理學(xué)科的相對(duì)運(yùn)動(dòng)思維，若將線段MN

看作靜線段，則點(diǎn)E在平行于直線/的直線上運(yùn)動(dòng)”，請(qǐng)你參考小敏的思路求ME+NE的最小值；

拓展應(yīng)用

(3)如圖③，在矩形ABCD中，2。=2AB=2遮，連接BD,點(diǎn)E、E分別是邊BC、4D上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=AF,

分別過點(diǎn)E、F作EM1B。,FNLBD,垂足分別為Af、N,連接2M、AN,請(qǐng)直接寫出AAMN周長的最小

值.

31.(2021.江蘇常州.二模)閱讀并解答下列問題：老師給出了以下思考題：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，已知點(diǎn)A(0,3),B(5,1),C(a,0),D(a+2,0),連接AC、CD、DB,求AC+CD+OB的最小值.

【思考交流】

小明：如圖2,先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度到點(diǎn)4，作點(diǎn)2關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)3，連接A道/交x軸于

點(diǎn)。，將點(diǎn)。向左平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)C,連接AC、BD.此時(shí)AC+CD+DB的最小值等于A/B+CD

小穎：如圖3,先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度到點(diǎn)4,作點(diǎn)4關(guān)于x軸的點(diǎn)A2,連接A23可以求解.

小亮：對(duì)稱和平移還可以有不同的組合…

【嘗試解決】

在圖2中AC+CD+DB的最小值是

【靈活運(yùn)用】

如圖4,在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知點(diǎn)4（0,3）,B（5,1）,C(a,1),D(。+2,0),連接AC、CD.

DB,則AC+CD+DB的最小值是.,此時(shí)a-.并請(qǐng)?jiān)趫D5中用直尺和圓規(guī)作出

AC+CO+O8最小時(shí)。的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）.

【拓展提升】

如圖6,在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，己知點(diǎn)4（0,3）,C是一次函數(shù)y=x圖像上一點(diǎn)，CZ）與y軸垂直且CD=2

（點(diǎn)。在點(diǎn)C右側(cè)），連接AC、CD、AD,直接寫出AC+C0+D4的最小值是,此時(shí)點(diǎn)C

的坐標(biāo)是.

題型08相對(duì)運(yùn)動(dòng)平移型將軍飲馬

32.（2023?山東泰安?三模）如圖，在菱形4BCD中，BC=4,^ABC=60",在BC邊上有一線段EF由B向C運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)，E在尸的左側(cè)，EF=1,連接4E,AF,則A/IEF周長的最小值為（）

AD

A.4V3+1B.4V3+2C.7D.8

33.(2023?河南周口?三模)如圖，在矩形中，AB=15,BC=20,把邊48沿對(duì)角線BD平移，點(diǎn)4,B'

分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)4B,AC+B'C的最小值為.

34.(23-24九年級(jí)下?廣東深圳?開學(xué)考試)如圖，在菱形2BCD中，AB=2<3,^BCD=120°,M為對(duì)角線

BD上一點(diǎn)(M不與點(diǎn)3、。重合)，過點(diǎn)MN||CD,使得MN=CD,連接CM、AM,BN、AN,貝llAM+AN的

最小值是.

35.(2023九年級(jí)?全國?專題練習(xí))如圖，拋物線y=—/+.+c上的點(diǎn)4,C坐標(biāo)分別為(0,2),(4,0),拋

物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且。M=2,連接AC,CM.

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線位于第一象限圖像上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP,CP,當(dāng)SAPAC=SAACM時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）點(diǎn)D是線段BC（包含點(diǎn)B,C）上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作無軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)Q,交直線CM于點(diǎn)N,若以

點(diǎn)Q,N,C為頂點(diǎn)的三角形與△COM相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（4）將拋物線沿方軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)L,在拋物線平移過

程中，當(dāng)M4+ML的值最小時(shí)，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,M4+MC，的最小值為.

題型09通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬

36.（2023?湖北鄂州?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)A、P,如果將線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

線段PB,就稱點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)尸的“放垂點(diǎn)”.如圖2,已知點(diǎn)4（4,0）,點(diǎn)尸是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)2是點(diǎn)A

關(guān)于點(diǎn)P的“放垂點(diǎn)”，連接4B、OB,則。B+4B的最小值是（）

圖1圖2

A.4B.4V5C.8D.8V5

37.（2022?四川成都?二模）在RtAABC中，斜邊4B=2,〃=30。，點(diǎn)。是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接2D

將線段BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BE,連接CE,則BE+CE的最小值為.

38.（2023?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）等邊△力BC邊長為6,。是BC中點(diǎn)，E在2。上運(yùn)動(dòng)，連接8E,在8E下方作

等邊4BEF,則△BDF周長的最小值為

39.（2021?陜西榆林?二模）如圖，在矩形A8C。中，AB=4,BC=9,M為BCk一點(diǎn)、,連接MA,將線段

繞點(diǎn)M順時(shí)針90°得到線段MN,連接CN、DN,則CN+QN的最小值為.

題型10三動(dòng)點(diǎn)問題

40.（23-24九年級(jí)上?山東濟(jì)南?期末）如圖，菱形4BCD中，4B=2,乙BAD=45°,E,F,尸分別是AB,BC,

AC上的動(dòng)點(diǎn)，PE+PF的最小值等于（）

A.1B.V2C.V3D.V5

41.（2021?江蘇蘇州?二模）如圖，在RtAABC中,4A=90°,AB=4,AC=3,M、N、尸分別是邊A3、

AC、8C上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN和MN,則PM+PN+MN的最小值是.

42.（2019?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖,已知力?！˙C,Z5=90°,ZC=60°,BC=24。=4,點(diǎn)M為邊BC中

點(diǎn)，點(diǎn)E、F在線段48、CD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段MC上運(yùn)動(dòng)，連接EF、EP、PF,貝必EPF周長的最小值為.

43.（23-24八年級(jí)上.廣東深圳?期中）如圖，已知正比例函數(shù)丫=kx（k>0）的圖象與x軸相交所成的銳角為

70°,定點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,4）,P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M,N為函數(shù)y=kx（k>0）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則4M+

MP+PN的最小值為.

44.（2021?湖北武漢模擬預(yù)測(cè)）已知如圖，48=4,AC=2,ABAC=60。,BC所在圓的圓心是點(diǎn)O/BOC=60°,

分別在肥、線段2B和4C上選取點(diǎn)P、E、F,貝UPE+EF+FP的最小值為.

【真題訓(xùn)練】

45.（2021?西藏?中考真題）如圖，在RdABC中，ZA=30°,ZC=90°,AB=6,點(diǎn)尸是線段AC上一動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)M在線段AB上，當(dāng)時(shí)，P8+PM'的最小值為（）

A.3V3B.2V7C.2V3+2D.3V3+3

46.（2023?安徽?一模）如圖，在矩形力BCD中,4B=8,AD=4,點(diǎn)E是矩形力BCD內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且NBEC=90°,

點(diǎn)尸是4B邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD、PE,貝爐。+PE的最小值為（）

DC

A.8B.4V5C.10D.4V5-2

47.（22-23八年級(jí)下?湖北武漢?期末）探究式子不1+—4尸+\年＞0）的最小值.小胖同學(xué)運(yùn)用“數(shù)

形結(jié)合”的思想：如圖，取4B=4,作AC1AB^A.BD14B于B,且4c=1,BD=1,點(diǎn)E在4B上，設(shè)AE=x,

則BE=4—%,于是，Vx2+1=CE,J（x-41+1=DE,因此，可求得CE+DE的最小值為,已

知y=J(x+5<+52-Vx2+32(x>0),則y的最大值是

48.（2022?湖北黃石?中考真題）如圖，等邊A/IBC中，AB=10,點(diǎn)E為高4D上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等

邊ABEF,連接DF,CF,則NBCF=,FB+FD的最小值為

49.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知乙4OB=50。，點(diǎn)P為N40B內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)M為射線。4、點(diǎn)N為

射線。B上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APMN的周長最小時(shí)，貝UNMPN=

50.（2023?黑龍江綏化?中考真題）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高8。上的動(dòng)點(diǎn).連接CE,

將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.連接4F,EF,DF,則△CDF周長的最小值是.

A

F

//^D\\

\\

BC

51.（2021.湖北恩施?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形28CD為正方形，點(diǎn)4,B在x軸上，拋

（2）尸為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q,F,E,B為頂點(diǎn)的四邊形

是以BE為邊的菱形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M,連接ME,BP.探究EM+MP+PB是否存

在最小值.若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

52.（2020.江蘇南京?中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊I上建一個(gè)燃?xì)庹?，向I同側(cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)

分別發(fā)鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?，試確定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短.

?B

（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)4,線48與直線Z的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建氣站,

所得路線ACB是最短的，為了讓明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在Z直線上另外任取一點(diǎn)連接AL,BC,

證明4C+CB<AC，+LB,請(qǐng)完成這個(gè)證明.

②

（2）如果在A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域請(qǐng)分別始出下列兩種情形

的鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由），

①生市保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示

②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示.

類型二逆等線模型

逆等線模型的介紹：兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在直線上運(yùn)動(dòng)，且它們各自到某一定點(diǎn)的距離始終相等，那么這兩條始

終相等的線段稱為逆等線段.

解題方法：

1）找三角形.找一條逆等線段，一條動(dòng)線段構(gòu)成的三角形.（圖中本身就有的三角形不要添加輔助線以后構(gòu)

成的三角形）

2.確定該三角形的不變量.在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)過程中，該三角形有一個(gè)邊長度不變，有一個(gè)角的大小不變.

3.從另一逆等線段的定點(diǎn)引一條線.使得線段長度等于第二步中的那個(gè)不變的邊長,與這個(gè)逆等線段的夾角

等于第二步中那個(gè)不變的角.

4.問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題求最值.

【模型解讀】

△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE,即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線，就是怎么

別扭怎么來。觀察圖形，我們很容易發(fā)現(xiàn)，AD和CE沒有首尾相連，所以，一般通過平移或者作平行等方法

構(gòu)造全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段轉(zhuǎn)移，從而使逆等線段產(chǎn)生關(guān)系，最終解決問題。

備注：一般情況下，題目中有兩個(gè)沒有首尾相連的線段相等，即兩定兩動(dòng)，也歸為逆等線問題。

例：如上圖，在AABC中，ZABC=60°,BC=8,AC=10,點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE,求CD+BE

的最小值。

解題策略：①AD在4ADC中，那么我們就以CD為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)也叫做一邊一角

造全等.

②即過點(diǎn)C作CF〃AB,且CF=AC.（構(gòu)造一邊一角，得全等）

③構(gòu)造出△ADC會(huì)ZXCEF（SAS）,證出EF=CD.

④CD+BE=EF+BE,根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接BF,則BF即為所求.此時(shí)，B、E、F三點(diǎn)共線，本題中，

也可以利用三角形三邊關(guān)系去求最值.

⑤求BF

題型01構(gòu)造SAS型全等拼接線段

53.（21-22九年級(jí)上?陜西寶雞?期中）如圖，在邊長為4的正方形4BCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)

點(diǎn).且BE=CF,連接BF、DE,貝IBF+DE的最小值為

AD

54.（22-23八年級(jí)上?浙江寧波?期中）如圖，等腰RtAABC的直角邊長為4,D、E分別為邊4B、AC上兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，S.AE=BD,貝UCD+BE的最小值____________

55.（2024?陜西西安.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長為5的菱形48CD中，Z.BAD=120°,E,F分另1J是AD,BD上

的動(dòng)點(diǎn)，DE=BF,連接4尸，CE,貝U2F+CE的最小值為.

56.（2024?貴州黔南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在AABC中，AC=BC=V3,過點(diǎn)力作直線力D1BC于點(diǎn)D,E,F分

別是直線4D,邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，且=則BF+CE的最小值為