專題07絕對值的相關(guān)問題（化簡求值、方程與最值）

燎內(nèi)容早知道

》第一層鞏固提升練（9大題型）

題型一根據(jù)字母取值范圍（或數(shù)軸上的位置）化簡求值

題型二絕對值化簡（分類討論型—含）

題型三采用零點分段討論化簡求值

題型四含絕對值的方程（幾何法與代數(shù)法）

題型五兩個絕對值的和的最值

題型六兩個絕對值的差的最值

題型七多個絕對值的和的最值

題型八系數(shù)不為“1”的絕對值的和差最值

題型九小|+6型或一+6型最值

臺第二層能力培優(yōu)練

臺第三層拓展突破練

-------------------------------------------------------------------------

題型一根據(jù)字母取值范圍（或數(shù)軸上的位置）化簡求值

口技巧積累與運用

已知點在數(shù)軸上的位置（即未知數(shù)的范圍）的絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正

負：②根據(jù)絕對值符號里式子的正負去絕對值：③去括號：⑷化簡（合并同類項）。

（24-25七年級上?成都市?期中）

1.已知-l<x<0,則國+|x+［的化簡結(jié)果是（）

A.—2x+1B.1C.2x+lD.-1

（24-25七年級上?四川眉山?期中）

2.如圖所示已知a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡|。+耳-匕-6|=

b0

試卷第1頁，共16頁

（24-25七年級上?山西大同?期中）

3.已知有理數(shù)4、6、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，且同>|耳，則|"4=—,\a+b\=

|?+c|=,,化簡卜HH+HI+卜4=

—J---------->—!；--------------

ac0b

x

題型二絕對值化簡（分類討論型———）

口技巧積累與運用

AX

當"時n，癡2L=1；當”<U時,正=1，

（24-25七年級上?浙江溫州?期中）

b+ca+ca+b

4.已知a、b、c為非零有理數(shù)，若a+6+c=0,則u++「的值為（）

A.1B.-1C.±1D.土1或±3

（24-25七年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）

5.若個>0,則?+以+國值為（）

xyxy

A.3或1B.-1或0C.3或一1D.-3或1

（2024七年級上?重慶?專題練習(xí)）

6.我們在討論的結(jié)果時.就會對a進行分類討論.當。>0時，

\a\=a；當a<0時，\a\=-a.現(xiàn)在請利用這一思想解決下列問題：

\a\

⑴□=_

a

⑶嘰例+罔一

（DJ-----1-------1--------

abab~

題型三I采用零點分段討論化簡求值

口技巧積累與運用

零點分段法一般步驟：①求零點；②分段；③在各段內(nèi)分別進行化簡；④將各段內(nèi)的情況綜合起

來，得到問題的答案。

（24-25七年級上?浙江?階段練習(xí)）

7.當代印度著名詩人泰戈爾在《世界上最遙遠的距離》中寫道，

試卷第2頁，共16頁

世界上最遙遠的距離，不是瞬間便無處尋覓，而是尚未相遇，便注定無法相聚.

距離是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門話題，唯有對宇宙距離進行測量，人類才能掌握世界

尺度.我們可以從圖形和代數(shù)化簡兩個角度來計算距離：

①已知點43在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,43兩點之間的距離表示為

例如上一2|表示x到2的距離，而1月。一(一力則表示。至!]一1的距離；

x(x>0)

②我們知道：國=0(x=0),于是可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式.

-x(x<0)

例如化簡+"+時，可先令工+1=0和1-2=0,分別求得x=—1,x=2(稱—1和2分

別為|x+l|+|x-2|的零點值)，在實數(shù)范圍內(nèi)，零點值x=-l和x=2可將全體實數(shù)分成不重

復(fù)且不遺漏的如下3種情況：@x<-l；②-lVx<2；③龍22.從而化簡口+11+口-2|可

分以下3種情況：

①當x<-L時,原式=-(x+l)-(x-2)=-2x+l；

②當-14x<2時，原式=x+l-(x-2)=3；

③當xN2時，原式=x+l+x-2=2x-l.

—2x+l(x<—1)

綜上，原式=3(-l?x<2)

2x-l(x>2)

結(jié)合以上材料，回答以下問題：

⑴化簡代數(shù)式|x+l|+|x-2|；

⑵化簡代數(shù)式1x+『2|x-l|.

(24-25七年級上?山東?專題練習(xí))

>0)

8.學(xué)習(xí)了絕對值我們知道，同=0血=0),用這一結(jié)論可化簡含有絕對值的代數(shù)式.如

-6Z(6Z<0)

化簡代數(shù)式|x+1+|x-3|時，可令x+l=0和x-3=0,分另求得x=-l和x=3,我們就稱-1

和3分別為|x+l||和k-3||的零點值.在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值x=-l,x=3可將全體有理數(shù)

分成不重復(fù)、不遺漏的五個部分，可在演草本上畫出數(shù)軸，找到對應(yīng)的部分然后進行分類討

論如下：

III|[|I|]]

-5-4-3-2-1012345

試卷第3頁，共16頁

①當x<_l時，原式=(_X_I)+[_(%_3)]=2—2X；

②當x=T時，原式=4；

③當_l<x<3時，原式=(x+l)+[_(x_3)]=4；

④當x=3時，原式=4；

⑤當x〉3時，原式=(x+l)+(x-3)=2x-2；

2—2x(%<—1)

綜上所述，原式=4(-1<%<3),以上這種分類討論化簡方法就叫零點分段法，其步驟是：

2%—2(%>3)

求零點、分段、區(qū)段內(nèi)化簡、綜合，根據(jù)以上材料解決下列問題：化簡代數(shù)式

|x-l|-2|x+2|.

題型四含絕對值的方程(幾何法與代數(shù)法)

□技巧積累與運用

代數(shù)法：同撅型3：幾何法：利用絕對值的幾何意義求健，

(2024七年級上?成都市?專題練習(xí))

9.閱讀材料：由絕對值的意義可知：當時，|回=：當時，

.利用這一特性，可以幫助我們解含有絕對值的方程.比如：方程|》-2|=3,

當x-220時，原方程可化為x-2=3,解得x=5；當X-2W0時，原方程可化為x-2=-3,

解得x=-l.

所以原方程的解是x=5或x=-l.

(1)請補全題目中橫線上的結(jié)論；

(2)仿照上面的例題,解方程：|3x+l|-5=0；

(3)若方程|x-11=也有解，則m應(yīng)滿足的條件是.

(24-25七年級上?福建泉州?期中)

10.若。,b,c是整數(shù)，且|a+q+/+d=2,貝的值為.

(24-25七年級上?四川成都?期中)

]1.若機、"為正整數(shù)，且(何一2|+何一6|)(|〃一1|+|"+2|)=24,貝!|m=,n=.

(24-25七年級上?福建漳州?階段練習(xí))

12.已知點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為。，點B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為6,且|。+3|+0-2|=0,

試卷第4頁，共16頁

A、B之間的距離記為|/2|=卜-4或請回答問題：

>.M

=34=1012345678~警

⑴直接寫出“，6,|/目的值，a=_,6=_,|48|=_.

⑵設(shè)點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x,若|x-3|=5,貝口=_.

⑶如圖，點、M,N,P是數(shù)軸上的三點，點M表示的數(shù)為4,點N表示的數(shù)為-1,動點尸

表示的數(shù)為x.

①若點尸在點M、N之間，貝!|卜+1|+|尤_4|=_；

②若卜+1|+卜一4|=10,則無=_；

③若點P表示的數(shù)是-5,現(xiàn)在有一螞蟻從點P出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向右運動,

當經(jīng)過多少秒時，螞蟻所在的點到點M、點N的距離之和是8?

題型五兩個絕對值的和的最值

口技巧積累與運用

結(jié)論：|x-a|+|x-4在aWxWb時，取得最小值為|。一“,

（24-25七年級上?四川宜賓?期中）

13.同學(xué)們都知道，k-3|表示x與3的差的絕對值，實際上也可理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上

所對應(yīng)的兩點之間的距離，同理|4-（-2）|可理解為4與一2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間

的距離，則|x-3|+|x+5|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點到3和-5所對應(yīng)的兩點距離之和.請

直接寫出卜-3|+,+5|的最小值____.

（24-25七年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）

14.已知x,a,6為互不相等的三個有理數(shù)，且a>b,若式子卜-。|+卜-耳的最小值為3,則

2024+a-6的值為.

（24-25七年級上?河南周口?階段練習(xí)）

15.綜合與實踐:

【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題:點48在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)服b,

43兩點之間的距離表示為48,在數(shù)軸上42兩點之間的距離=利用數(shù)形結(jié)

試卷第5頁，共16頁

合思想回答下列問題：

（1）數(shù)軸上表示2和6兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示3和-1的兩點之間的距離

是;

【獨立思考】

（2）數(shù)軸上表示x和-2的兩點之間的距離表示為；

（3）試用數(shù)軸探究：當帆-1|=3時加的值為.

【實踐探究】利用絕對值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸，探究：

（4）對于任意有理數(shù)x,卜-2|+|尸5|是否有最小值？如果有，直接寫出最小值；如果沒有，

請說明理由.

題型六兩個絕對值的差的最值

口技巧積累與運用

結(jié)論：—k一耳在xWa時,取得最小值為-|a—4；在時,取得最大值4-比

（24-25七年級上?廣東深圳?期中）

16.在解決數(shù)學(xué)實際問題時，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：|x+l怕勺幾何意義是數(shù)軸上表

示數(shù)x的點與表示數(shù)-1的點的距離，卜-2|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)2的

點的距離，那么卜+1|-卜-2|的最大值是.

（24-25七年級上?湖北十堰?期中）

17.【問題背景】我們知道國的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點與原點的距離.這個結(jié)

論可以推廣為：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)“、b,則43兩點之間的距離示為

\a-b\,即=比例如，在數(shù)軸上，表示-4和-2的點的距離為/8=14-（-2）］=2.

-5-4-3-2-1012345

【問題解決】（1）,-2|表示數(shù)軸上數(shù)x與（填數(shù)字）之間的距離；

（2）若點。為數(shù)軸上一點，它所表示的數(shù)為x,點。在數(shù)軸上表示的數(shù)為-2,則8=

（用含x的代數(shù)式表示）；

【關(guān)聯(lián)運用】（3）運用一：若|x-2|+|x+4|=10,則x的值為；

（4）運用二：代數(shù)式|x-2|+|x+4］的最小值為；

試卷第6頁，共16頁

(5)運用三：代數(shù)式|x-3|-|x+4|的最大值為；

題型七多個絕對值的和的最值

口技巧積累與運用

①當有三個絕對值相加：

若已知a<6<c,k-司+k-4+歸-4的最小值為c-q,且數(shù)x的點與數(shù)b的點重合；

②當有四個絕對值相加：

若已知a<b<c<d,|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值為d-a+c-6,且數(shù)X的點在數(shù)6,c的點之

間；

③當有2〃+1(奇數(shù))個絕對值相加：

aa

|x-a]|+|x-a2|+.......+|x-a2n|+|x-a2n+l|,且％<%<....<2?<in+\<則x取中間數(shù)，即當

x=%+]時，|x-q|+,一%|+....+\x-a2n\+\x~%"+11取得最小值為

(°2"+l101)+(。2"-%)+...........+S"+2-。")+°；

④當有2〃(偶數(shù))個絕對值相加：

|x-q|+|x-a2|+...........+|x-a_|+且<a_<a,則取中間段，

2nl|x-a2n|,q<........2nt2nx

即當a“4x4。”+|時，卜一q|+卜一生|+....+|x-a2n^|+上一/)取得最小值為

a-aaa

(2?i)+(2?-i~2)+...........+(4-2-4”T)+(a”+i-a”)。

(23-24?重慶?七年級專題練習(xí))

18.問題一:有理數(shù)a,b,c對應(yīng)的數(shù)軸上的點是4B,C.如果42兩點距離小于8,4C

兩點距離大于4,且C在48之間，a=-3.5,b,。都是整數(shù)，試利用數(shù)軸求出6,c的可

能值

問題二：已知點48在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為鞏〃

(1)若43兩點的距離為d,貝!]"=(用含加，〃的式子表示)

(2)由(1)的結(jié)論可知卜+2|的意義是：數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示的點的距離

(3)若動點C表示的數(shù)為x,當x為何值時，下列各式有最小值？請求出它們的最小值.

(T)|x-2|+|x+3|；(2)|X-2|+|X+3|+|X+5|；(3)|x-2|+|x-4|+|x-6|+...+|x-20|

(24-25七年級上?廣東深圳?期中)

19.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.例如，代數(shù)式,-2|的幾何意義是數(shù)軸上x

所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離.因為歸+1|=卜-(-1)|,所以|x+l|的幾何意義就是數(shù)

試卷第7頁，共16頁

軸上X所對應(yīng)的點與-1所對應(yīng)的點之間的距離.

(1)【探究問題】

如圖，數(shù)軸上，點A,B,尸分別表示數(shù)-1,2,X.

APB

]_____?_____?____?____________?___]?

-4-3-2-10%1234

填空：因為歸+1|+歸-2怕勺幾何意義是線段尸/與PB的長度之和，當點P在線段上時，

PA+PB=AB=3,而當點尸在點A的左側(cè)或點8的右側(cè)時，PA+PB>3.所以當點尸在線

段N8上時，|x+l|+|x-2|有最小值，最小值是；

⑵【解決問題】

①直接寫出式子,-4|+k+2|的最小值為；

②若代數(shù)式忖+。|+|x-3帕勺最小值是2,求。的值；

(3)【實際應(yīng)用】

如圖，在一條筆直的街道上有￡,F,G,H四個小區(qū)，且相鄰兩個小區(qū)之間的距離均為

200m.已知￡,F,G,b四個小區(qū)各有2個，2個，2個，1個學(xué)生在同一所中學(xué)的同

一班級上學(xué)，安全起見，這7個同學(xué)約定先在街道上某處匯合，再一起去學(xué)校.聰明的他們

通過分析，發(fā)現(xiàn)在街道上的M處匯合會使所有學(xué)生從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和最小,

請問匯合地點M設(shè)置在什么位置的時候，所有學(xué)生從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和最小,

并求出此最小值.

EFGH

IIII

(24-25七年級上?湖南湘西?期中)

20.陳英杰老師要求同學(xué)們，結(jié)合數(shù)軸與絕對值的相關(guān)知識回答下列問題：

IIIIIIIIIII4

-5-4-3-2-10~1_2_345

⑴探究：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是；

②數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是；

③數(shù)軸上表示4和-3的兩點之間的距離是；

(2)歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)。和數(shù)b的兩點之間的距離是；

⑶應(yīng)用：

①優(yōu)秀的陳英杰老師發(fā)現(xiàn)代數(shù)式舊+1什口--2|的幾何意義是：表示有理數(shù)x的點到表示數(shù)2

試卷第8頁，共16頁

的點和表示數(shù)的點距離之和；利用幾何意義，可求得Ix+I1+H-2|的最小值為

②求|》一1|+|》-2|+|》-3|+-+E一2025|的最小值.

題型八系數(shù)不為“1”的絕對值的和差最值

口技巧積累與運用

系數(shù)不為“1”分為兩種情況：

①絕對值系數(shù)不為T：例如：Ix-lI+2Ix-2I+3Ix-3I+4Ix-4I+5Ix-5I

解題步驟：第1步：將x平鋪展開；第2步：找到每個式子的零點，分別為：1、2、2、3、3、3、

4、4、4、4、5、5、5、5,5、5共15個零點：第3步：根據(jù)“奇中點，偶中段”，在第八個數(shù)時，

即x=4時，有最小值，帶入x=4,最小值為15。

②x系數(shù)不為“1”：例如：求I2x-4I+I5什5I的最小值。

解題步驟：第1步：x的系數(shù)不為1,所以首先第一步想辦法把x的系數(shù)化為1,采用提取公因數(shù)的

方法(或乘法分配律的逆用)；即：I2x-4I+I5升51=12(x-2)I+I5(x+1)I=2Ix-2I+5I

x+lI。第2步：進入①中的三個步驟即可。這時，x的系數(shù)已經(jīng)變成了I,我們就可以展開，然后利

用“奇中點，偶中段”來求了。解得當尸-1時取得最小值，最小值為6。

(2023七年級上?四川眉山?競賽)

21.數(shù)軸上表示數(shù)。的點與原點的距離叫做數(shù)。的絕對值，記作同，數(shù)軸上表示數(shù)”的點與

表示數(shù)6的點的距離記作|。-6|,如數(shù)軸上表示數(shù)5的點與表示數(shù)7的點的距離為|5-7|=2,

|5+7]=|5-(-7)|表示數(shù)軸上表示數(shù)5的點與表示數(shù)-7的點的距離，|。-5|表示數(shù)軸上表示數(shù)

。的點與表示數(shù)5的點的距離.根據(jù)以上材料回答下列問題：

II_________|________II________|_______|________|_________|______|________I?

-4-3-2-10123456

⑴①若H=3,則戶,

②,-3|+|尤+2|=5,則x的取值為；

(2)|^+1|+|JC-2|+|X-3|最小值為；

(3)求忖_2020|+2歸_2021|+3歸_2022|+4歸_2023|+5,_2024]的最小值，并求出止匕時x的取

值范圍.

(24-25七年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí))

22.同學(xué)們都知道，|5-(-2)|表示5與-2之差的絕對值，實際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)

試卷第9頁，共16頁

軸上所對的兩點之間的距離.如卜-3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)3的點與表示有理數(shù)

x的點之間的距離.試探索：

⑴求|5一（一2）|=；

（2）若—x+l|,求x的值；

（3）同樣道理|x+5|+|x-2|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對點到-5和2所對的兩點距離之和，請你找

出所有符合條件的整數(shù)x,使得卜+5|+卜-2|=7,這樣的整數(shù)有個；

（4）設(shè)V=|2m-l|+\4m-1|+\6m-1|+|8機一0機一1|,當加=時y的值最小.

（2024七年級上?北京?專題練習(xí)）

23.小紅和小明在研究絕對值的問題時，碰到了下面的問題：

“當式子k+l|+|x-2|取最小值時，相應(yīng)的X的取值范圍是一，最小值是」.

小紅說：“如果去掉絕對值問題就變得簡單了.”小明說：“利用數(shù)軸可以解決這個問題."

他們把數(shù)軸分為三段：x＜T,74x42和x＞2,經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，當-14x42時，值最小為

3.

請你根據(jù)他們的解題解決下面的問題：

（1）當式子,-2|+歸-4|+k-6|+卜-8|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是最小值是一

⑵已知V=|2x+8|-4|x+2],求相應(yīng)的x的取值范圍及丁的最大值.寫出解答過程.

題型九小|+6型或發(fā)+6型最值

□技巧積累與運用

類型1：a\x\+b

當。＞0時，式子。國+6取得最小值為6；當。＜0時，式子a|x|+/）取得最大值為/＞；

類型2：ax2+b

當a＞0時，式子ox?+6取得最小值為6；當。＜0時，式子ox?+6取得最大值為6；

（24-25七年級上?湖北武漢?期中）

24.若。是任意的有理數(shù)，則式子2024-卜-2024|的最大值是（）

A.2024B.4048C.aD.~a

（23-24七年級上?河北石家莊?階段練習(xí)）

25.式子卜-1|+3取最小值時，x=,最小值為.

試卷第10頁，共16頁

（24-25?成都?七年級?？茧A段練習(xí)）

26.若。，6為有理數(shù)，下列判斷正確的個數(shù)是（）

（1）|。+1|+2的最小值是2；（2）/+（仍-4）2的最小值是0；（3）5+（“6-5）2的最大值為

5；（4）2-.6+3）2的最大值是2.

A.1B.2C.3D.4

（24-25七年級上?山東濟寧?期中）

27.若加滿足方程］2024利=2024+帆,則帆-2025|等于（）

A.m-2025B.-m-2025C.m+2025D.-m+2025

（24-25七年級上?重慶?期中）

28.若M=|無+2|+3,Af=|x-4|+|x-5|,〃的最小值與N的最小值分別為（）

A.2,4B.2,1C.3,5D.3,1

（24-25七年級上?福建福州?期中）

29.如圖，7?分別是數(shù)軸上四個整數(shù)所對應(yīng)的點，其中有一點是原點，并且

MN=NP=PR=\.數(shù)。對應(yīng)的點在〃與N之間，數(shù)6對應(yīng)的點在尸與R之間，若問+同=2,

則原點是（）

MNPR

III____________III_________

ab

A.M或NB.M或&C.N或PD.P或R

（24-25七年級上?廣東廣州?期中）

30.已知數(shù)a,b,c的大小關(guān)系如圖，下列說法：@ab+ac>0；②-"6+c<0③

—+^+—=-1;（4）\a-c\=-a+c;⑤若x為數(shù)軸上任意一點，,-可+卜-4的最小值為

abc

a-b（）

Iiii?

b0ac

A.2個B.3個C.4個D.5個

（23-24七年級上?四川南充?階段練習(xí)）

試卷第11頁，共16頁

...,一、八、AkzLJX-2x-1X

31.右l<x<2,求代數(shù)式----------+—=_____.

x-21-xx

（24-25七年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）

32.如圖所示，如果。為N2的中點.那么|。+臼+2+,+1|=

a01b

?」」」A

AOB

（23-24?陜西西安?七年級?？计谀?/p>

33.已知0WaW4,那么設(shè)左=|a-2|+|a-31-|a+11,則上的最大值為,最小值

為.

（24-25七年級上?山東泰安?期中）

34.閱讀理解：

數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與

點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ).我們知道|5|=|5-0|,它在數(shù)軸上的意義可以理

解為：表示5的點與原點（即表示0的點）之間的距離.

類比：卜6-3|=9,它在數(shù)軸上的意義表示的-6點與3的點之間的距離是9

歸納應(yīng)用：

（l）|o+5|=l,它在數(shù)軸上的意義表示的點與的點之間的距離為1,所以a

的值為.

（2）若數(shù)軸上表示數(shù)。的點位于-4與2之間，貝巾+4|+卜-2|的值為.

（24-25七年級上?安徽安慶?期中）

35.有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖，回答下面問題：

---------1---------------1----1------1--------->

abQG

（l）|a-/?|=,\c-a|=,\b+c\=.

⑵化簡：|a-b|-2|c-a|+|b+c].

（24-25七年級上?貴州貴陽?期中）

36.數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體，任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，而

一個數(shù)的絕對值就是這個數(shù)所對應(yīng)的點到原點的距離.

ABCD

——i---1-------1----------1----1-----1-----1-----1-----i-?——>

-5-4-3-2-1012345

試卷第12頁，共16頁

⑴對于有理數(shù)〃，如果同=5,那么?可能對應(yīng)下面數(shù)軸上的點或點.(填

字母)

(2)|a|=|a-0|,表示有理數(shù)a與0在數(shù)軸上對應(yīng)的點之間的距離.事實上，數(shù)軸上任意兩個

數(shù)對應(yīng)的點之間的距離都能用兩數(shù)之差的絕對值來表示.

例如：-7與6在數(shù)軸上對應(yīng)的點之間的距離可以記作卜7-6|或結(jié)果是13.

那么，對于有理數(shù)6：

①。-3|可以看作6和在數(shù)軸上對應(yīng)的點之間的距離；

②。+8|可以看作b和在數(shù)軸上對應(yīng)的點之間的距離；

③若3|=。+8],請畫出數(shù)軸并用數(shù)形結(jié)合思想求b的值.

(24-25七年級上?四川達州?階段練習(xí))

37.閱讀材料：數(shù)軸上點48分別表示有理數(shù)a,b,AB表示A,8兩點之間的距離，則

AB=\a-l\.如：4與-2兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點之間的距離為|4-(-2)卜6；又如：|x+2|

可以寫成k-(-2)|,它的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)-2的點之間的距離.

解決問題：

⑴若|x+2|=6,貝|尤=,若卜+2|=卜一3|,則》=.

(2)|x+2|+|x-3|表示數(shù)軸上有理數(shù)x對應(yīng)的點到一2和3對應(yīng)的兩點距離之和.請你利用數(shù)

軸，寫出所有符合條件的整數(shù)x,使得：①卜+2|+卜-3|=5；②|x+2|+|x-3|=7.

(24-25七年級上?浙江杭州?階段練習(xí))

38.點/、2在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,4、8兩點之間的距離表示為48,在數(shù)軸上

/、8兩點之間的距離"B=|b-a|.利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

---A1<>-B-->

a--0---b

⑴-1和2之間的距離為；

(2)若x與2的距離為3,則x的值為；

⑶若|x-2|+|x-(-l)|=3成立，則滿足條件的所有整數(shù)x為；

(4)由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x,|2-x|+|x-4|+|2+x|的最小值為.

試卷第13頁，共16頁

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

（24-25七年級上?重慶長壽?期中）

39.當x滿足條件時，卜-1|-歸+1|取得最大值，最大值為；

當x滿足條件時，；忖+3|+曰2-》|取得最小值，最小值為.

（24-25七年級上?四川成都?期中）

40.成都外國語學(xué)校有五個優(yōu)質(zhì)攝影社團，依次為一社、二社、三社、四社、五社，它們分

別有相機15,7,11,3,14臺，現(xiàn)在為使各社團相機臺數(shù)相等，各調(diào)幾臺給相鄰社團，規(guī)

定一社給二社占臺，二社給三社無2臺，三社給四社W臺，四社給五社乙臺，五社給一社退

臺，則調(diào)動相機總臺數(shù)|占|+四|+國+閾+國的最小值為.

（24-25七年級上?河南濮陽?期中）

41.數(shù)軸是非常重要的“數(shù)形結(jié)合”的工具之一，它揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時我們

發(fā)現(xiàn)數(shù)軸上兩點之間的距離也與這兩點所表示的數(shù)有關(guān).借助數(shù)軸完成下列任務(wù)：

實驗與操作

（1）已知點A,8在數(shù)軸上分別表示數(shù)。，數(shù)6,請完成下列填空：

a2-34-2

b60-1-5

A,8兩點之間的距離

觀察與發(fā)現(xiàn)

（2）觀察上表，A,3兩點之間的距離可以表示為（用含。，b的代數(shù)式表示）.

理解與應(yīng)用

（3）利用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，逆向思維解決下列問題：

①|(zhì)x-3|表示數(shù)軸上有理數(shù)x對應(yīng)的點與有理數(shù)對應(yīng)的點之間的距離；

②求滿足等式卜-2|=5的x的值；

③卜-2|+,+4|=6表示數(shù)軸上有理數(shù)x對應(yīng)的點分別到2和-4對應(yīng)的點的距離之和為6,

請直接寫出所有符合條件的整數(shù)x.

試卷第14頁，共16頁

（24-25七年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）

42.【定義新知】

我們知道：式子的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)3的點之間的距

離，因此，若點/、2在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,則/、3兩點之間的距離

AB=\a-b\.若點尸表示的數(shù)為x,請根據(jù)數(shù)軸解決以下問題：

AOBC

II,IIII..1.1II

-7-6-5-4-3-2-101234567

⑴若|x+5|=6,則x的值為；

⑵當|x+3|+|x-l|取最小值時，x可以取正整數(shù)；|x+3|-|x-l|最大值為；

（3）當工=時，|x+2|+|x+6|+|x-l|的值最小，最小值為；

（4）如圖，一條筆直的公路邊有三個居民區(qū)/、B、C和市民廣場O,居民區(qū)4B、C分別位

于市民廣場左側(cè)5km,右側(cè)1km,右側(cè)3km./小區(qū)有居民1000人，3居民區(qū)有居民2000

人，C居民區(qū)有居民3000人.現(xiàn)因物流需要，需要在該公路上建菜鳥驛站，用于接收這3

個小區(qū)的快遞，若快遞的運輸成本為1元/（千份?千米），那么菜鳥驛站建在何處才能使總

運輸成本最低，最低成本是多少？

（24-25七年級上?成都市?假期作業(yè)）

43.對于數(shù)軸上的兩點P,。給出如下定義：P,。兩點到原點。的距離之差的絕對值稱為

P,。兩點的絕對距離，記為POQ.例如：尸，。兩點表示的數(shù)如圖1所示，貝I

儼00收尸0_00日3Tt2.

poQoAB

-30123-3-2-10123-3-2-10123

圖1圖2備用圖

（1）43兩點表示的數(shù)如圖2所示.

①48兩點的絕對距離等于；

②若C為數(shù)軸上一點（不與點。重合），且/。8=2肌。。|.則點c表示的數(shù)是

（2）M,N為數(shù)軸上的兩點（點M在點N左邊），S.MN=2,若帆。N||=l，則點M表示的

數(shù)是.

試卷第15頁，共16頁

(23-24?浙江寧波?七年級校考期中)

44.同學(xué)們都知道，|7表示7與-1之差的絕對值，實際上也可理解為7與-1兩數(shù)在

數(shù)軸上所對的兩點之間的距離.如卜-6怕勺幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理

數(shù)6的點之間的距離.試探索：

⑴求|3-(-2)|=；若卜+2|=3,則》=；

⑵卜-1|+歸+3］的最小值是；

⑶當x=時，|x+l|+|x-2|+|x—4］的最小值是；

(4)已知(|x+l|+|x-2|)x(|y—2|+|y+l|)x(忸—3|+匕+1|)=36則求出x+y+z的最大值和最小

值.

試卷第16頁，共16頁

1.B

【分析】本題考查了絕對值的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的性質(zhì).由-l<x<0,可得

0<x+l<l,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可.

【詳解】解：：一l<x<0,

0<x+1<1,

|x|+|x+11=~X+X+1=1,

故選：B.

2.a+c##c+a

【分析】本題考查了利用數(shù)軸判斷式子的正負、化簡絕對值，由數(shù)軸可得：c<b<O<a,

同>同，從而得出a+6>。，c-b<Q,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可得解.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：c<b<O<a,|a|>H，

???Q+6>0,c-b<0,

：.\a+b\-\c-b\=a+b+c-b=a+c,

故答案為：Q+c.

3.b-a-a-b-a-cb-cb-c

【分析】本題主要考查了根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負，化簡絕對值等知識點，熟練

掌握根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)數(shù)軸上各點的位置可得a<c<0<6,|。|>例>卜|,據(jù)此即可判定式子的符號，然后結(jié)合

絕對值的性質(zhì)化簡即可.

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上有理數(shù)。、6、c的位置可得：

a<c<O<b,|a|>|/J|>|c|,

.,-a-b<0fa+b<0,Q+C<0,b-c>0,

:.\a-b\=b-af\a+b\=-a-b,\a+c\=-a-cf\b-c\=b-c,

|c|一問+1—Z)|+1—6z|=—cu-\-b—ci=b—c,

故答案為：b-a,-a-b,-a-c,b-c,b-c.

4.C

【分析】本題考查了絕對值的化簡，利用分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵.根據(jù)題意分兩種

答案第1頁，共34頁

情況求解：若a、b、。中有一個正數(shù)，兩個負數(shù)；若a、b、。中有兩個正數(shù)，一個負數(shù)，根

據(jù)絕對值的意義分別求解即可.

【詳解】解：?.F+6+C=0,

a=-(6+c),b=-(tz+c),c=-(〃+b),

b+ca+ca+b_-a-b-c

HHkll?l+H+kl'

若q、b、c中有一個正數(shù)，兩個負數(shù)，不妨設(shè)〃〉0,b<0,c<0,

-a-b-c-a-b—c、、4r

~r+-：~~r+-：~~r=----1-----1----=-1+1+1=1.

同\b\\c\a-b-c，

若a、b、。中有兩個正數(shù)，一個負數(shù)，不妨設(shè)?！?,b>0,c<0,

-a-b-c-a-b-c,,,,

~r+W+TT=----1-----1----=-1-1+1=-1

\a\\b\\c\ab—c

b+ca+ca+b

..?可+可+囚的值為±1'

故選：c.

5.C

【分析】本題考查了絕對值的化簡，分兩種情況進行求解是關(guān)鍵.

根據(jù)已知可得x,y同為正數(shù)或同為負數(shù)，分兩種情況進行求解即可.

【詳解】解：?.?初>0,

?t.x>0,y>0或x<0,y<0；

當x>0,沖。時，M+M+N=1+1+1=3)

xyxy

當x<0,”0時，忖+雪國+1=

xyxy

綜上，比?+回值為3或-I.

xyxy

故選：C.

6.(1)1或-1.

(2)2或0或-2

(3)3或一1.

【分析】本題考查了絕對值化簡，掌握“正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反

數(shù)，。的絕對值是0”是解題的關(guān)鍵.學(xué)會分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

(1)分。>0時和。<0時，然后分別化簡求值即可.

(2)分四種情況討論，當。>0,6>0時；當。>0,Z><0時；當。<0,6>0時；當

答案第2頁，共34頁

a<Q,6<0時，然后分別化簡求值即可.

(3)分四種情況討論，當。>0,b>0時；當a>0,b<0時；當。<0,6>0時；當

。<0,6<0時，然后分別化簡求值即可.

【詳解】(1)解：當。>0時，忖=@=1,

aa

當。<0時，1^1=—=_1,

aa

故答案為：1或-1.

當”>0,6>0時，@+姓，+&=1+1=2,

(2)解:

abab

6<0時，MM￡^.

當〃>0,+=+=11=0.

abab

b>0時，^-+-^-=—+-=-1+1=0，

當4<0,

abab

6<0時,O=^^=-l-l=-2,

當4<0,+

abab

故答案為：2或0或-2

山、八一八H\a\\b\\ab\ababi一c

(3)解：當a>0,b〉0時，—+—+JL=—+-+一=1+1+1=3,

abababab

b<0時，忖+雪國，+心+*=1

當a〉0,

abababab

6>o時,MHM-4^=-ii-i=-i

當。<0,++=++

abababab

6<0時，忖+忖+囪=±+心+茲=-

當a<0,

abababab

故答案為：3或-1.

—2%+l(x<—1)

7.(l)|x+l|+|x—2|=<3(—1<x<2)

2x-l(x>2)

x—3(x<—1)

(2)|X+1|-2|X-1|=J3X-1(-1<X<1).

-x+3(x>1)

【分析】(1)根據(jù)題目中的范例解得即可求解；

(2)根據(jù)題目中的范例解得即可求解；

本題考查了化簡絕對值，運用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：當時，原式=一%—=-2%+1；

當一l?x<2時，原式=工+1—(工一2)二3；

答案第3頁，共34頁

當xN2時，原式=%+1+(%-2)=2%-1；

—2,x+l(x<—1)

???卜+1|+除一2H3(—1<%<2)；

2x-l(x>2)

(2)解：當X<—1時，原式=-x-l+2(x-1)=、-3；

當—14x〈l時，原式=x+l+2(x—1)=3x—1；

當工之1時，原式=%+1-2(%-1)=-％+3,

x—3(x<—1)

.,.|x+l|-2|x-l|=<3x-l(-l<x<1).

-x+3(x>1)

-x-5(x>1)

8.v-3x-3(-2Vx<1)

x+5(x<-2)

【分析】本題考查了化簡絕對值，熟練掌握絕對值的性質(zhì)并運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)零點分段法和絕對值的性質(zhì)，分E1,-2<x<l,xf-2三種情況討論即可.

【詳解】解：依題意，1和—2分別為歸-1|和|x+2|的零點值，

(T)當xN1日寸，|x-1|-2|x+2|=x-1-2(x+2)-x-1-2x-4--x-5；

②)當_2Vxv1日寸，卜-1|-2|x+2|=1-x-2(x+2)=l-x-2x-4-—3x-3；

(3)當xW-2日寸，|x-1|-2|x+2|—1-x+2(x+2)-1-x+2x+4=x+5；

_x-5(x21)

綜上所述，原式=-3x-3(-2<x<l).

x+5(x<-2)

9.⑴。，-a

4、

(2)x=-^x=-2

(3)m>0

【分析】本題考查了含絕對值號的一元一次方程.

(1)根據(jù)絕對值的定義即可得到結(jié)論；

(2)仿照例題，根據(jù)絕對值的定義解方程即可得到結(jié)論;

(3)仿照例題，根據(jù)絕對值的意義即可得到結(jié)論.

答案第4頁，共34頁

【詳解】（1）解：當.20時，同=。;

當aWO時，問=-。；

故答案為：。，一，，；

（2）解:原方程化為|3x+l|=5,

當3x+120時，方程可化為3x+l=5,

4

解