特訓(xùn)11空間向量與立體幾何動態(tài)問題(四大題型)

探索性問題：

(1)對于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把

“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.

⑵對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).

最值或取值范圍問題：

在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的思路是：

(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解.

(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)

的最值.

題型歸納

目錄：

?題型01：立體幾何中的探索性問題

?題型02：空間位置關(guān)系的判定

?題型03：軌跡問題

?題型04：最值、取值范圍問題

?題型01：立體幾何中的探索性問題

例1如圖，在三棱柱/8C-44C中，四邊形44為正方形，四邊形A4CC為菱形，且/44C=60。,

平面平面/B44,點。為棱84的中點.

(1)求證：AAX1CD；

(2)棱4G(除兩端點外)上是否存在點“，使得二面角2-的余弦值為嫗，若存在，請求出察

534

的值；若不存在，請說明理由.

答案(1)證明見解析

(2)存在，的值為;或:

分析(1)結(jié)合題意添加輔助線，先證明么4,平面。CO,進而得到N4J-CD；

(2)根據(jù)題目中的已知條件找到兩兩垂直的三條棱，然后建立空間直角坐標(biāo)系，表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，假

設(shè)點M存在，設(shè)出點M的坐標(biāo)，求出該二面角的兩個平面的法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式列出方程，

解方程即可.

解析(1)證明：取44的中點。，連接C4、CO、OD,

■,-AC=AAl,且乙M。=60。，.?.△44C為等邊三角形，得441J_OC,

?.?四邊形月4為正方形，且。、。分別是/4、的中點，

AAX1OD,

■.■OC^}OD=O,OC,0。匚平面。。￡>,：./4_1平面0。八，

?.?<20<=平面。。。，.?.44_18；

(2)?.?平面44CC平面且平面4<GCn平面/臺44=4<,OClAAt,OCu平面44。。，

.?.OC_L平面48耳4，。。匚平面48月4，，。。_10￡),

以。為坐標(biāo)原點，分別以。4、OD、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)/8=2,則8(1,2,0),4(7,0,0),G(-2,0,73),(-1,2,0),

則麗=(0,2,0),4G=(-l,0,V3),M=(l,2,-6),oq=(-2,0,73),福=(2,2,0),

設(shè)點=（x”％zj為平面44。的一個法向量,

?1-451=2%=

取Z1=l得神=("0,1)；

4?4G=-%1+A/3ZJ=0

假設(shè)棱4G上（除端點外）存在點M滿足題意，

令不?=比用0<2<1）,得M（2-2,24石-⑨I）,

設(shè)%=（%/2/2）為平面84兇的一個法向量,

n?AB=2X+2y=0

則由1--2---X--,22/、,

〃2,A.yM=(4—1jx2+2Ay2+(,3-J34)z2.=0

、

1+2

取工2=1，得〃2=LT

k

經(jīng)檢驗2=1或2=:時，二面角8-4初-4的平面角均為銳角,

28

綜上,器的值法或"

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用向量共線定理設(shè)場;=彳場（。<2<1）,再用幾表示出兩個平

面的法向量，得到方程，解出即可.

方法歸納：（1）對于存在判斷型問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方

程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.

（2）對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).

?題型02：空間位置關(guān)系的判定

例2（多選）如圖幾何體是由正方形NBCD沿直線42旋轉(zhuǎn)90。得到的，已知點G是圓弧行的中點，點//

是圓弧而上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的是（）

BE

A.存在點使得CH，平面5QG

B.不存在點/7,使得平面/HE〃平面5Z）G

C.存在點H,使得直線①7與平面3QG的所成角的余弦值為近

3

D.不存在點“，使得平面3DG與平面CE8的夾角的余弦值為g

答案ACD

分析將圖形補全為一個正方體/DMF-8CNE,設(shè)4。=2,以點A為坐標(biāo)原點，AD、AF、48所在的直

線分別為X、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.

解析由題意可將圖形補全為一個正方體/DWF-3CNE,如圖所示：

不妨設(shè)40=2,以點A為坐標(biāo)原點，40、AF、48所在的直線分別為X、丁、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則/（0,0,0）、8（0,0,2）、。（2,0,2）、。（2,0,0）、￡（0,2,2）、F（0,2,0）,G（后，行,2）,

設(shè)點“（2cosa,2sina,0）,其中OWa,

對于A選項，假設(shè)存在點H,使得S_L平面5QG,CH=（2cos6Z_2,2sin^,-2）,

55=(-2,0,2),^G=(V2,V2,0),

CH,DB=4—4cosa—4=0/曰jsina=1

CH?BG=2^2(cosa-1)+2^2sina=0寸［cosa=0

TTTV

因為0414彳，則。=”，即當(dāng)點〃與點尸重合時，平面8DG,A對;

22

對于B選項，由A選項可知，平面BDG的一個法向量為元=(2,-2,2),

假設(shè)存在點八使得平面/麻〃平面8DG,則C尸，/〃，CF1AE,

FC-AH=4cos?-4sin?=0無兀

貝叫-------，可得tana=1,又因為OVaV7,解得a=：,

尸。4&=-4+4=024

即當(dāng)點〃為而的中點時，面〃平面BDG,B錯；

對于C選項，若存在點“，使得直線與平面3DG的所成角的余弦值為立，

3

則直線￡8與平面BDG的所成角的正弦值為J=殍，

EH=(2cosa,2sin6if-2,-2),

I——>—dl^/Z-Fcl14cosa-4sina|

所以，cosEH/C=_/=『-------------J

|EH|-|FC|J4cos2a+4(sina-l)+4-2^/3

|cosa-sina|也e一,1

=—L=-/==——,整理可得35出2。-45由。+3=0,

J3.j3-2sina3

jr

因為函數(shù)〃a)=3sin2a-4sina+3在ae0,-時的圖象是連續(xù)的，

且/(0)=3>0,/圖=-4+3=-1<0,

所以，存在使得〃4)=0,

所以，存在點“，使得直線E”與平面BQG的所成角的余弦值為正，C對；

3

對于D選項，設(shè)平面CE"的法向量為五=(x,y,z),

CE=(-2,2,0),CH=(2cosa-2,2sina,-2),

n-CE=-2x+2y=Q

則一,、.,

n-CH=2x(cosa-l)+2ysma-2z=0

取x=l,可得為=(l,l,sincr+cos6Z-l),

假設(shè)存在點H,使得平面3DG與平面的夾角的余弦值為;,

I一—H萬2|sina+cosa-l|1

則cosn,FC\=-~~i=Jr=/?------!-----二—,

同^2+(sina+coscr-1)2x2^33

可得(sina+cos6r-l)2=1,即sina+cosa-1=±1,

可得sina+cosa=0或sina+cosa=2,

71?,71,71,3兀?,V2.(7兀11,

因為CtG0,—，貝|—Wa+—V——,貝I—<sm6Z+—<1,

4442I4)4

所以，sincr+cos6Z=V2sina+—)e[l,回,

14

兀、

故當(dāng)aw0,—時，方程sina+cosa=0和sina+cosa=2均無解，

綜上所述，不存在點“，平面BDG與平面CE"的夾角的余弦值為:，D對.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可

確定線面角；

（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度〃，從而不必作出線面角，則線面

h

角6滿足sin9=）（/為斜線段長），進而可求得線面角；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)々為直線/的方向向量，■為平面的法向量，則線面角。的

正弦值為sin。=|cos伍，砌.

方法歸納：解決空間位置關(guān)系的動點問題

⑴應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化.

⑵建立“坐標(biāo)系”計算.

?題型03：軌跡問題

例3（1）如圖，在棱長為1的正方體43。-4片GA中，尸為棱的中點，。為正方形88CC內(nèi)一動點

（含邊界），則下列說法中正確的是

①若A。//平面4尸。，則動點0的軌跡是一條線段

②存在。點，使得平面4尸。

③當(dāng)且僅當(dāng)Q點落在棱CG上某點處時，三棱錐。-4PD的體積最大

④若=手，那么。點的軌跡長度為?萬

答案①③④

分析作出過點〃與平面4尸。平行的正方體的截面判斷①；建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4尸。的法向

量判斷②；設(shè)出點。的坐標(biāo)，求出點。到平面4尸。最大距離判斷③；確定點。的軌跡計算判斷④作答.

解析在正方體/Be。-44GA中，取4。,。。的中點￡,F,連。尸，瓦C,如圖，

奧\EFUB\CUA\D,4。U平面4尸。，斯a平面4尸。，則有瓦7/平面4尸。，

因點尸為棱84的中點，有PFIIBG〃A\D\,PF=BG=g,即有//斤口為平行四邊形，

則。尸〃4尸，而4Pu平面4尸。，(Z平面&PD,有。///平面4尸。，

DxFoEF=F,RF,EFu平面REF,因此，平面。潛尸//平面吊尸。，因0?//平面4?。，

則D.Qu平面DtEF，又點。在平面BCCR,平面D.EFA平面BCC.B,=EF,即點0的軌跡為線段EF,①

正確；

以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4(1，0,0)，。(0,0，1)，尸(1，11)，設(shè)031,6)36€[0,1]),

—?—?1—?

4。=(-1,0,1),A]P=(0,1，5),。1。=(a,l,b),設(shè)平面AXPD的一個法向量〃=(x,y,z),

n-A,D=-x+z=01,

-...一\h

則—I八，令y=T,得〃=(2,—l,2),若2。，平面4尸。，則9。?//〃，即7CL=-7=2，

n-AxP=y+—z=02-I2

。=6=-2任[0內(nèi)，所以不存在0點，使得2。，平面4P。，②不正確;

因△4PD的面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點Q到平面4尸。的距離最大時，三棱錐。-4尸。的體積最大,

___1175.?I23

40=("1,1,6),點0到平面4尸。的距離d」*匕；|a+6-彳而04。+642,則當(dāng)a+b=O時，

1?132

“max=1，

而a,6e[0,l],即。=b=o,因此點。(0,1,0)與點G重合時，三棱錐尸。的體積最大，③正確；

因2G，平面3耳GC，c?u平面84GC，則因此c?=J叫。?一℃；=檔)—=*

顯然點。的軌跡是以G為圓心，半徑為正，所含圓心角為W的扇形弧，弧長為也乃，④正確.

故答案為：①③④

【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾

何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點

中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.

方法歸納：解決與幾何體有關(guān)的動點軌跡問題的方法

(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進行判定.

(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進行計算.

(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進行排除.

?題型04：最值、范圍問題

例4如圖，在直三棱柱N8C-4耳G中，△/BC為邊長為2的正三角形，"4=3,。為/C中點，點E在棱

CC,上,且CE=ACC,,0<2<1.

(2)設(shè)Q為底面4耳C的中心，求直線CQ與平面8DE所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時2的

值.

答案（1）證明見解析

⑵最大值為等’此時

分析（1）根據(jù)已知條件建立空間直角坐坐標(biāo)系，利用向量證明線面垂直即可.

（2）求出直線對應(yīng)的方向向量和平面對應(yīng)的法向量，將線面角用向量坐標(biāo)表示進而求最值.

解析（1）取4G的中點，，連接。2，

因為三棱柱NBC-44G為直棱柱，且△NBC為正三角形,

所以以。氏。c,。，所在直線分別為x軸，了軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

根據(jù)已知條件得

D(0,0,0),5(73,0,0),A,(0,-1,3),C(0,1,0),Q(0,1,3),

22

當(dāng);1=一時，CE=-CC,.?.￡(0,1,2),

33X

=(0,2,-1),55=(V3,0,0),DE=(0,1,2),

■.■AlE-DB=Q,A^-DE=0+2-2=Q,

A^ELDB,A^ELDE,即AtE.LDB,A.ELDE,

又DBcDE=D,而BD,DEu平面BDE,，同石，平面BOE.

(2)由(1)知與(退,0,3),^(0,1,32)(0<A<l),DE=(0,1,3A)

?.?。為△/4G的中心，芋0,3),CO]=(芋-1,3)

設(shè)平面BOE的法向量E=（xj,z）,則

n-DB=y/3x=Q

令z=l,則7=(0,—341)

n-DE=y+3Az=0

設(shè)直線與平面所成角為e,則

|32+3|3|32+3|

sin0=|cos<CO[,n>|=

'1+l+9-V922+l31，9〃+1

V930

sin"

31

即直線CQ與平面3DE所成角正弦的最大值為Y"，此時X的值為:

319

方法歸納：在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的思路是

(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解.

(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最

值.

例5三棱錐P/5C中，PA,PB,尸C兩兩垂直，尸/=尸3=2。=&，點。為平面/8。內(nèi)的動點，且滿足

PQ=6記直線P。與直線的所成角為巴貝Usine的取值范圍為.

答案囹

分析根據(jù)已知條件先確定出。在平面內(nèi)的軌跡，然后通過建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩直線方向向量

夾角的余弦值結(jié)合三角函數(shù)值的范圍，計算出兩直線所成角的正弦值的取值范圍.

解析因為尸4尸民尸C兩兩垂直，且PA=PB=PC,所以由全等三角形可知/8=/C=8C,

所以三棱錐為正三棱錐，記尸在底面N8C內(nèi)的投影為。，

所以A8=/C=8C=>JPA2+PB2=273，

JR___________

因為/Ocos3(T=；-,所以/。=2,所以PO=d(AP2-AO。=亞,

因為尸。=石，所以O(shè)0=尸2=i,所以0的軌跡是以。為圓心半徑為1的圓,

取中點。，連接C。，可知經(jīng)過點。，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

設(shè)°（cosa,sina,0）,Z（l,一0，后0）,尸（0,0,0）,

所以PQ=（cosa,sin%-后[AB=（0,2>/3,0）,

r-r-nr~T~D2A/3sinaV3.

以cos<PQ、A.B>=—產(chǎn)———sinex,

2g.石3

所以cos。=|cos<PQ,AB>|=-^-|sina|,

所以sin?=Jl-cos?0=Jl-；sin2a,且sin2ae[0,l],

1,

所以e

故答案為:

【點睛】思路點睛：異面直線所成角的余弦值的向量求法：

（1）先分別求解出兩條異面直線的一個方向向量；

（2）計算出兩個方向向量夾角的余弦值；

（3）根據(jù)方向向量夾角的余弦值的絕對值等于異面直線所成角的余弦值求解出結(jié)果.

模擬精練

一、單選題

1.（2023?遼寧?模擬預(yù)測）已知空間向量字及工兩兩夾角均為60。,且同第=1,「|=2.若向量不滿足

x-{x+a^=x-b,y-（y+a^=y-c,則卜一|的最小值是（）

A.1一立B."C.0D.

222

【答案】c

【分析】根據(jù)題意，取一個三棱錐，用其棱表示對應(yīng)的向量，結(jié)合題中所給的條件，將相應(yīng)的邊長求出,

之后應(yīng)用空間向量運算法則，表示出對應(yīng)的結(jié)果，從而判斷出取最值時對應(yīng)的情況，求值即可.

取一三棱錐O-43C,OA=a,OB=b,OC=c,

>ZAOB=ZAOC=ZBOC=60°,OA=OB=1,OC=2,所以AB=1,

AC=BC=y/OB2+OC2-2OB-OC-cos60°=Jl+4-2=6，

設(shè)4X=x,AY=y,

因為x-(x+a)=x%,所以A￥?(A￥+0/-03)=0,即衣.廢=0，

所以X在以43為直徑的球上，球半徑為。，設(shè)球心為。，

又由亍?(3+3=3?"同理可知丫在以/C為直徑的球上，球半徑為亨，設(shè)球心為E,

球心距=立，所以兩球相交，即X點與y點可以重合，

2

又FT=I衣一方卜內(nèi),

所以FT.=網(wǎng).=o.

IImmIImin

故選：C.

2.(2024?安徽馬鞍山?三模)已知點A,B,C,D,P,。都在同一個球面上，/BCD為正方形，若直

線尸。經(jīng)過球心，且P0工平面N3CZ).則異面直線尸/,3所成的角最小為()

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】設(shè)球的半徑為R(R>0),記23。中心為。，依題意可得尸。過點。且尸。的中點為球心，設(shè)球心

為G,建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)。/=廠(廠>0),G(0,0,/)(-R</<R),利用空間向量法表示出COSP4QB，求

出cos秒,班的最大值，即可得到.

【解析】設(shè)球的半徑為a(尺>0),記23CD中心為

因為/BCD為正方形，直線尸。經(jīng)過球心，且P。」平面/BCD,

所以尸。過點。且尸。的中點為球心，設(shè)球心為G,

以。為原點，OB、OC、。尸分別為x,y,z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-斗,

^OA=OB=OC=OD=r(r>0),G(0,0,3-R<t<R),

則N(0,f,0),S(r,0,0),尸(0,0,&+f),Q(0,0,Rr),

所以沙=(O,f,_RT),QB=(r,0,t-R),

所以莎?誣=_?+R)?_7?)=R2—產(chǎn),

所以網(wǎng)=J/+(R+f)2,網(wǎng)=62+(RT)2,

y.OG2+OB2=R2,即〃+產(chǎn)=之，

-zr-;PA-QBR~—1~

所以cosPA,QB=|__=/,~~I,

M-M&+刖)7/+(5

R2-t2JR-

當(dāng)且僅當(dāng)i時等號成立，

2Ry/R2-t22R

設(shè)直線P/,所成的角為口,貝!Jcosa=kosP4Q@V；,

又0°WaV90",所以％^=60°.

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答是建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法求出cos刀,畫的最大值.

3.（2020?浙江嘉興?二模）將邊長為1的正方形43CZ）沿對角線2。翻折，使得二面角/-8。-C的平面角

的大小為7T:，若點￡,廠分別是線段NC和8。上的動點，則—麗—?—麗——的取值范圍為（）

A.[T。]B.[-11]

C.[--,0]D.

224

【答案】B

【分析】設(shè)。點為AD中點，連接/。，CO,由題意可證得乙4OC=60。，作/PLOC,EQ||AP,利用向

量的基本運算可得BE，。7=30-CT7,再通過建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)。（刃,用），機41］，尸

（0<77<1）,求出苑，CF,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求出而.而=一"2一〃+1,借助加+〃的范圍，即

可得解.

【解析】設(shè)。點為區(qū)0中點，連接力。，co,

由題意可知NO_LAD,CO1BD,所以N/OC=60。,

作4P_LOC,則P為OC中點作EQII/P,

則EQ_L平面BCD,

所以南?麗=（前+班）?麗=麗?麗,

如圖建立平面直角坐標(biāo)系：

則3(1,0),c(l,l),

設(shè)°(m,加)，,F(n,\-n),(0<M<1),

所以，=CF=（〃一1,一〃）,

則屁?而=而存=—m一〃+1,

3

因為一?加+幾W2,

4

—,—?r11

所以BECFs-1,-,

_4_

故選：B.

【點睛】本題考查平面圖形的翻折，考查二面角，向量的基本運算以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查學(xué)生

的推理能力和計算能力，難度較大.

4.（2022?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，已知矩形N3C。的對角線交于點E,43=x,8C=l,將△NBD沿BD

翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得N21CE,貝”的取值范圍是（）

A.0<x<V3B.0<x<V2

C.0<x<1D.0<x<-s/6

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示出翻折后的位置4（。,6,C）,利用向量垂直，數(shù)量積為零，找出關(guān)系式

bx=\-a,進而求得,=2（1-a）,再利用極限位置求得。的最小值，即可求得答案。

［解析】如圖示，設(shè)4處為AABD沿BD翻折后的位置，

以。為坐標(biāo)原點，D4DC分別為xy軸，過點。作平面N2CD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

1Y

則/(l,0,0),8(l,x,0),C(,0,x,0),E(5Q,0),設(shè)4(4,6,c),

由于14。=1,故/+/+C2=1,

->---->--->1X

而34=(a-l,b-x,c),DA1=(a,b,c),CE=0),

由于，故則54=a(a-l)+6(b-x)+o2=0,

即bx=1-Q；

又由在翻折過程中存在某個位置，便得不妨假設(shè)84,

---------?——1x

貝|]34.磁=5（°_1）_53—外=0,即/一法+4—1=0，

即尤2=+1-a=2（1-a）,

當(dāng)將AABD翻折到如圖AA'BD位置時，“'BD位于平面ABCD內(nèi)，

不妨假設(shè)此時34_LCE,設(shè)垂足為G

作//1AD的延長線，垂足為凡此時在x軸負(fù)半軸上方向上，。尸的長最大，。取最小值，

由于48/'。=90°,故EG〃/'。，

所以NBEG=ZBDA'=ABDA，而ZBEG=ZAED,

故NAED=NBDA=NEDA,又AE=AD,

故△4ED為正三角形，則/￡D/=60；./Aa4'=NFZM=60°,

而/力=1,故0尸=g，則心-g,

故x2=2（1—G）<3,x>0,則xWV3，

故x的取值范圍是（0,后],

故選：A

【點睛】本題考查了空間的垂直關(guān)系，綜合性較強，解答時要充分發(fā)揮空間想象力，明確空間的點線面的

位置關(guān)系，解答時涉及到空間坐標(biāo)系的建立以及空間向量的應(yīng)用，還要注意極限位置的利用，有較大難度.

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，已知矩形/BCD中，￡為線段CD上一動點（不含端點），記

NAED=a,現(xiàn)將ANDE沿直線/￡翻折到的位置，記直線CP與直線NE所成的角為《，則（）

-------------IB------------

A.cosa>cosPB.cosa<cos/7C.cos。>sin#D.sina<cosfi

【答案】B

【分析】

腔|+Mcosa

利用空間向量夾角余弦公式和向量數(shù)量積公式得到cos￡=I?一）——，由三角形三邊關(guān)系得到

CP

cos/?>cosa,求出答案.

【解析】

+EP?EA

AB選項,C6S。=

國?同一冏.|詞一|叫詞

耳?歸4cosa+|￡P(guān)|.歸4cos(|。目+歸尸。?歸《cosa(|。目+歸尸|cosa

==

因為I詞+同>同，所以耳羋1所以cos￡>cosa,A錯誤，B正確;

JT_

由于y=cosx在xe0,-上單調(diào)遞減，故￡<<z,不確定cosa,sin6和sine,cos4的大小關(guān)系，CD錯誤.

故選：B.

6.（2023?四川遂寧?三模）如圖，正方體/BCD-44GA的棱長為2,線段耳〃上有兩個動點E,尸（E在F

的左邊），且EF=6..下列說法不正確的是（）

A.當(dāng)E運動時，二面角E-A8-C的最小值為45。

B.當(dāng)瓦尸運動時，三棱錐體積2-/斯不變

C.當(dāng)E,尸運動時，存在點E,F使得4E//BF

D.當(dāng)E,尸運動時，二面角C-跖為定值

【答案】C

【分析】對A：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角夾角的余弦值，根據(jù)其范圍，即可判斷；對

B：利用棱錐體積公式，即可求得三棱錐的體積，即可判斷.對C：由反證法判斷；對D：平面EE8即為平

面瓦，平面CE尸即為平面CAR,從而得出二面角C-Eb為定值.

【解析】對A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(2,2,0),3(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),2(2,0,2).

因為E,尸在3a上，且用。=2亞，EF=y[2,

可設(shè)E?,2T,2)(1W2),則尸("l,3-f,2),

則方=(f-2,V,2),麗=?-l,l-f,2),

設(shè)平面ABE的法向量為m=(x,y,z),

——.AB-m=0

又-2,0,0,所以一

AE-ih=0

取y=2,則機=(0,2,f),

平面/8C的法向量為"=(0,0,1),所以cos伍,0='；+4.

ma八m-n—t.1

設(shè)二面角E-/2-C的平面角為凡則6為銳角，故一麗一不有一J1，

因為1W2,y在［L2］上單調(diào)遞減，

所以亞J1+3MB故且WcosOV走，

Vt252

當(dāng)且僅當(dāng)"2時，cosd取得最大值且，即。取最小值45。，故A說法正確.

2

對B：因為25助=3*即*84=：*0*2=&,點/到平面瓦切4的距離為亞，

所以體積為%TEF=%-B/=gx亞*^=g,即體積為定值，故B說法正確.

對C：若AE//BF,則4昆4,2四點共面，與48和3a是異面直線矛盾，故C說法錯誤.

對D：連接CD”C4，CE,平面E/鳴即為平面3OR4,而平面CE尸即為平面。烏口，故當(dāng)瓦尸運動時，二

面角C-EF-8的大小保持不變，故D說法正確.

7.（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體N8CD-44GA中，P為棱臺用的中點，。為正方

形gqqc內(nèi)一動點（含邊界）,則下列說法中不正確的是（）

A.若，0〃平面4尸。，則動點。的軌跡是一條線段

B.存在。點，使得〃。工平面

c.當(dāng)且僅當(dāng)0點落在棱CQ上某點處時，三棱錐。-4尸〃的體積最大

D.若2。=，，那么。點的軌跡長度為亨萬

【答案】B

【分析】取4。,cq中點E,尸，證明〃斯//平面得動點軌跡判斷A,建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，求出平面4尸。的一個法向量，由而與此法向量平行確定0點位置，判斷B,利用空間向量法求得

。到到平面4PD距離的最大值，確定0點位置判斷C,利用勾股定理確定。點軌跡，得軌跡長度判斷D.

【解析】選項A,分別取中點瓦尸，連接尸，斯，尸尸，由尸尸與3心，4。平行且相等得

平行四邊形4比4,所以〃尸//4尸,

①平面4。2，4尸u平面4。p,所以口尸//平面&OP,

連接及C,EFHB{C,B。/AD,所以E尸//4Q,同理￡F//平面NQP,

EFcD[F=F,￡￡2/<=平面"￡r，所以平面///平面/。尸，

當(dāng)。eE尸時，〃Qu平面2跖，所以D?//平面/Q尸，即。點軌跡是線段EF,A正確;

選項B,以A為原點，24AG，。，所在直線分別為x/,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

4(1,0,0),D(0,0,l),P(l,l,|),設(shè)。(x,l,z)(0<x,z<l),

40=(-1,0,1),4?=(0,1,1),麗=(x,i,z),

設(shè)加=(a,b,c)是平面AXPD的一個法向量,

m'A}D=-a+c=0

則一一?1,取。=1,則加=(1,一不1),

m-A,P=b7-\■—c=02

12

若D?_L平面4尸。，則。。〃小，所以存在;LeR,使得。。=幾加，

x=2

1=--,解得x=z=-2e[0,1],因此正方形烏內(nèi)(含邊界)不存在點。，使得平面&PD,B

z=A

錯;

選項c,△4如面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點。到平面4尸。的距離最大時，三棱錐。-4尸。的體積最大,

40=0—1,1,z),

4。?加23

Q到平面AXPD的距離為d=x+z—0<x+z<2,

加32

323.

OWx+zWj時，d=1[/—(%+z)],當(dāng)x+z=O時，d有最大值1,

3231

2(x+zV2時，</=y[(x+z)——],x+z=2時，d有最大值

綜上，x+z=O時，d取得最大值1,故。與G重合時，d取得最大值，三棱錐。-4尸。的體積最大，c正

確;

選項D,4G，平面B8CC，CQU平面D]CJC]。,

所以GQ=JD?2一RC：力,所以。點軌跡是以G為圓心，也為半徑的圓弧，圓心角是g,軌跡長度

222

為=乂2兀X立二=立二兀，D正確.

424

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間點的軌跡問題，解題關(guān)鍵是勾畫出過2且與平面4尸。平行的平面

D\EF,由體積公式，在正方形8BCC內(nèi)的點。到平面4P。的距離最大，則三棱錐。體積最大.

8.（2023?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，點尸是棱長為2的正方體/3C。-44GA的表面上一個動點，則以

下不正確的是（）

A.當(dāng)P在平面2CG用上運動時，四棱錐尸-44QQ的體積不變

TTTT

B.當(dāng)尸在線段/C上運動時，與4G所成角的取值范圍是y,-

C.使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為兀+4行

D.若尸是44的中點，當(dāng)P在底面42C。上運動，且滿足尸尸〃平面片CA時，尸尸長度的最小值是

【答案】D

【分析】由底面正方形力。94的面積不變，點尸到平面4QQ的距離不變，可判定A正確；

以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,2-x,0),則印=(招2-孤-2),猛=(-2,2,0),結(jié)合向量的夾角

公式，可判定B正確；

由直線/尸與平面/BCD所成的角為45°,作尸河，平面/3C。，得到點尸的軌跡，可判定C正確；

設(shè)尸(加，加,0),求得平面C42的一個法向量為￡=得至啊=j2(f+6,可判定D錯誤.

【解析】對于A中：底面正方形的面積不變，點尸到平面幺4。。的距離為正方體棱長，

所以四棱錐尸-44QQ的體積不變，所以A選項正確；

對于B中：以。為原點，ZMDC,。，所在的直線分別為x軸、了軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得

4(2,0,2)，2(0,0,2)，G(0,2,2),

設(shè)P(x,2-x,0),0<xS2,則取=(x,2-x,-2),福=(-2,2,0),

八/—F\印,而|x-l|

設(shè)直線2P與4a所成角為巴貝“COS0=COS(D[P,A]C)=.11—]---------,

\/J(—l)2+3

因為04卜_1區(qū)1,當(dāng)上一1|=0時，可得cos9=0,所以6=5；

當(dāng)0小小1時,

JTTT

所以異面直線。聲與4G所成角的取值范圍是y,-,所以B正確;

對于C中：因為直線4P與平面/BCD所成的角為45°,

若點尸在平面DCCn和平面8CC4內(nèi),

因為48國6=45。,40/。=45。最大，不成立；

在平面內(nèi)，點尸的軌跡是ADl=2V2；

在平面ABB{AX內(nèi)，點尸的軌跡是AB]=2亞；

在平面4月。2時，作PM_L平面/BCD,如圖所示，

因為NP/M=45°,所以=又因為PM=48,所以4M=/8,所以&P=/3,

所以點尸的軌跡是以4點為圓心，以2為半徑的四分之一圓,

所以點尸的軌跡的長度為]x27ix2=7T,

綜上，點尸的軌跡的總長度為兀+4啦，所以C正確；

對于D中，由4(2,2,2),0(0,0,2),C(0,2,0),尸(2,1,2),

設(shè)P(m,77,0),0<m<2,0<w<2,

則西=(2,0,2),西二(0,-2,2),麗=(加—2,〃—1,—2)

_元?西=-2b+c=0

設(shè)平面CBR的一個法向量為〃=Qb,c),貝!!_—J，

nCB[=2。+2c=0

取Q=l,可得6=-1,C=-1,所以幾=(1,-1,-1),

因為尸尸//平面耳CD,所以而工=(次—2)—(〃—1)+2=0,可得〃="+1,

所以厘卜7(m-2)2+(/i-l)2+4=,2加2-4加+8=j2(m-iy+6>娓,

當(dāng)x=l時，等號成立，所以D錯誤.

【點睛】方法點撥：對于立體幾何的綜合問題的解答方法:

1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；

2、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動

點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運算求出動點的軌跡方程；

3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、

性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；

4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有

解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.

二、多選題

9.（2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測）在正三棱柱4BC-4BC中，招=441=1,點尸滿足麗=彳前+〃函，

其中2e[0,1],〃e[0,1],則（）

A.當(dāng)；1=1時，/尸+尸4最小值為及

B.當(dāng)〃=1時，三棱錐P-48C的體積為定值

C.當(dāng)2=1,〃=；時，平面平面4/8

D.若NP=1,則P的軌跡長度為:

【答案】BCD

【分析】當(dāng)2=1時，點p在上，把平面/CC/與平面3CG耳展在一個平面上，可判定A錯誤；當(dāng)〃=1

時，得到點尸在用G上，證得4。，平面2CC4,求得三棱柱尸-48C的體積定值，可判定B正確；當(dāng)

幾=1,〃=；時，得到點尸為CG的中點，取/綜48的中點E,尸，證得平面43月4,得到/用尸，平面

AAB,可判定C正確；由點P滿足方=2就+〃函，得到點P在矩形8CG4內(nèi)，取8C的中點證得

AHL平面8CG耳，得到aH,求得得出以點尸的軌跡，可判定D正確.

【解析】對于A中，當(dāng)2=1時，麗=瑟+〃函，可得點P在C。上，

以CG為軸，把平面NCG4與平面3CG瓦展在一個平面上，如圖所示，

連接期交CG于點尸，此時AP+PB、最小值為.+BB；=小，所以A錯誤;

A\GBi

對于B中，當(dāng)〃=1時，BP=ABC+BB,,可得點尸在4G上，

取4G的中點。，在等邊△44G中，可得4。，4。，且4。=g,

因為8片，平面N￡C1,且4〃u平面4BC，所以4D_L8瓦，

又因為qGn=及且BXCX,BB,u平面BCCA,所以4。_L平面BCCXBX,

即&D為三棱錐4-P8C的高，

所以三棱錐P-4BC的體積為七一取=〃，Bc=；5.&0=；*3、,=*為定值，所以B正確;

對于C中，當(dāng)X=l,〃=；時，麗=元+；西，可得點尸為C￡的中點,

如圖所示，取/月的中點及尸，分別連接PE,跖,C萬，

可得EF//PC且EF=PC,所以MCP為平行四邊形，所以