單元形成性評價(五)(第十章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.4,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.3,則不用現(xiàn)金支付的概率為()A.0.4 B.0.3 C.0.7 D.0.6【解析】選B.由題得不用現(xiàn)金支付的概率P=1-0.4-0.3=0.3.2.(2024·黃浦高二期末)擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,觀察朝上的點數(shù),若A表示事件“點數(shù)大于3”,B表示事件“點數(shù)為偶數(shù)”,則事件“點數(shù)為5”可以表示為()A.A∩B B.A∩B C.A∪B D.A∪B【解析】選B.A∩B表示“點數(shù)為2”,A∩B表示“點數(shù)為5”,A∪B表示“點數(shù)為3或2或1或4或6”,A∪B表示“點數(shù)為1或3或4或5或6”.3.甲、乙兩人做游戲,下列游戲中不公平的是()A.擲一枚骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲勝,向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙勝B.同時拋兩枚相同的骰子,向上的點數(shù)之和大于7則甲勝,否則乙勝C.從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色則甲勝,是黑色則乙勝D.甲、乙兩人各寫一個數(shù)字,若是同奇或同偶則甲勝,否則乙勝【解析】選B.對于A,C,D,甲勝、乙勝的概率都是12,游戲是公平的;對于B,點數(shù)之和大于7和點數(shù)之和小于7的概率相等,但點數(shù)等于7時乙勝,所以甲勝的概率小,游戲不公平4.(2024·上饒高一期末)若連續(xù)拋兩次骰子得到的點數(shù)分別是m,n,則點P(m,n)在直線x+y=8上的概率是()A.112 B.19 C.536 【解析】選C.若連續(xù)拋兩次骰子得到的點數(shù)分別是m,n,則點P(m,n)有6×6=36(種)可能,其中滿足m+n=8,m,n∈{1,2,3,4,5,6}的數(shù)對有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5種可能,所以點P(m,n)在直線x+y=8上的概率是5365.(2024·北京高二期中)據(jù)天氣預(yù)報,春節(jié)期間甲地的降雪概率是0.4,乙地的降雪概率是0.3.這段時間內(nèi)兩地是否降雪相互之間沒有影響,那么春節(jié)期間兩地都不降雪的概率是()A.0.7 B.0.42 C.0.12 D.0.46【解析】選B.設(shè)“甲地降雪”為事件A,“乙地降雪”為事件B,“甲、乙兩地都不降雪”即事件A與B同時發(fā)生,即A∩B,P(A)=1-0.4=0.6,P(B)=1-0.3=0.7,利用獨立事件的性質(zhì)可知,事件A與B相互獨立,所以P(A∩B)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42,所以甲、乙兩地都不降雪的概率為0.42.6.在普通高中新課程改革中,某地實施“3+1+2”選課方案,該方案中的“2”指的是政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門,假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等,那么政治和地理至少有一門被選中的概率是()A.16 B.12 C.23 【解析】選D.在政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門共有6種情況,分別為政治+地理、政治+化學(xué)、政治+生物、地理+化學(xué)、地理+生物、化學(xué)+生物.其中政治和地理至少有一門的情況包含5種,分別為政治+地理、政治+化學(xué)、政治+生物、地理+化學(xué)、地理+生物,故政治和地理至少選一門的概率為P=567.從甲袋中摸出1個白球的概率為13,從乙袋內(nèi)摸出1個白球的概率是12,從兩個袋內(nèi)各摸1個球,那么概率為56A.2個球都是白球 B.2個球都不是白球C.2個球不都是白球 D.2個球恰好有1個白球【解析】選C.設(shè)2個球都是白球為事件A,2個球都不是白球為事件B,2個球不都是白球為事件C,2個球恰好有1個白球為事件D.因為從甲袋中摸球與從乙袋中摸球是相互獨立事件,所以P(A)=13×12=16,P(B)=23×因為事件C與事件A是對立事件,所以P(C)=1-16=5因為事件D可劃分為從甲袋中摸出白球或乙袋中摸出白球這兩個互斥事件,所以P(D)=13×12+23×18.洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源.在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上有此圖象,結(jié)構(gòu)是“戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四隅黑點為陰數(shù)”.其各行各列及對角線點數(shù)之和皆為15.如圖,若從五個“陽數(shù)”中隨機(jī)抽取三個數(shù),則能使這三個數(shù)之和等于15的概率是()A.310 B.15 C.23 【解析】選B.從五個“陽數(shù)”1,3,5,7,9中隨機(jī)抽取三個數(shù)共有10種取法,符合題意的有2種{1,5,9}和{3,5,7},故所求概率為210=1二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分)9.(2024·瀘州高二期末)下列說法正確的是()A.甲、乙、丙三位同學(xué)爭著去參加一個公益活動,抽簽決定誰去,則先抽的概率大些B.若事件A發(fā)生的概率為P(A),則0≤P(A)≤1C.如果事件A與事件B互斥,那么一定有P(A)+P(B)=1D.已知事件A發(fā)生的概率為P(A)=0.3,則它的對立事件A發(fā)生的概率P(A)=0.7【解析】選BD.對于A,甲、乙、丙三位同學(xué)抽簽決定誰去,則每位同學(xué)被抽到的概率都是13對于B,由概率的性質(zhì)可知,0≤P(A)≤1,故B正確;對于C,如果事件A與事件B對立,那么一定有P(A)+P(B)=1,但互斥事件不一定對立,故C錯誤;對于D,因為事件A發(fā)生的概率為P(A)=0.3,所以它的對立事件A發(fā)生的概率P(A)=1-0.3=0.7,故D正確.10.(2024·攀枝花高二期末)某人打靶時連續(xù)射擊兩次,記事件A為“第一次中靶”,事件B為“至少一次中靶”,事件C為“至多一次中靶”,事件D為“兩次都沒中靶”.下列說法正確的是()A.A∩B=AB.B與C是互斥事件C.C∪D=ΩD.B與D是互斥事件,且是對立事件【解析】選AD.由題意可知,事件Ω為“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”“兩次都沒有中靶”;事件B為“至少一次中靶”,即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”;事件C為“至多一次中靶”,即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都沒有中靶”;事件D為“兩次都沒有中靶”;故A∩B=A,B與C不是互斥事件,B與D是互斥事件,且是對立事件,C∪D≠Ω.11.已知事件A,B相互獨立,且P(A)=13,P(B)=12,則(A.P(A)=2B.P(AB)=1C.P(A+B)=2D.P(AB+AB)=5【解析】選AC.根據(jù)事件A,B相互獨立,且P(A)=13,P(B)=1可得P(A)=1-P(A)=1-13=2而P(B)=1-P(B)=1-12=12,所以P(AB)=P(A)P(B)=13×1由獨立事件的概率可知P(AB)=P(A)P(B)=13×12=所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=13+12-16由概率加法公式可得P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=13×12+23×12三、填空題(每小題5分,共15分)12.用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機(jī)涂色,每個矩形只涂一種顏色,則任意相鄰兩個矩形顏色不同的概率是________.

【解析】由于只有兩種顏色,不妨將其設(shè)為1和2.樣本點有111,112,121,211,221,212,122,222,共8種,其中任意相鄰兩個矩形顏色不同的結(jié)果有121,212,共2種,故所求概率P=28=1答案:113.在某次考試中,第22題和23題為選做題,規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題.設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為12,則其中甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率為________;甲、乙2名學(xué)生都選做第22題的概率為________【解析】設(shè)事件A表示“甲選做第22題”,事件B表示“乙選做第22題”,則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB∪AB”,且事件A,B相互獨立.因為P(AB∪AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=12×12+1-12×1-12=12所以甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率為12因為P(A)P(B)=12×12=14答案:1214.“三個臭皮匠,賽過諸葛亮”,這是我們常說的口頭禪,主要是說集體智慧的強(qiáng)大.假設(shè)李某智商較高,他獨自一人解決項目M的概率為P1=0.9;同時,有n個水平相同的人也在研究項目M,他們各自獨立地解決項目M的概率都是0.5.現(xiàn)在李某單獨研究項目M,且這n個人組成的團(tuán)隊也同時研究項目M,且這n個人研究項目M的結(jié)果相互獨立.設(shè)這n個人組成的團(tuán)隊解決項目M的概率為P2,若P2≥P1,則n的最小值是________.

【解析】這n個人組成團(tuán)隊不能解決項目M的概率為1-12n=12n,則P2=1-12n.由1-12n≥0.9,得12n≤110.又n∈N*,解得n≥4.答案:4四、解答題(共77分)15.(13分)甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行射擊訓(xùn)練,已知甲命中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別是13,13,13,乙命中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別是18,1(1)求甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率;(2)現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽,每一輪比賽兩人各射擊1次,環(huán)數(shù)高于對方為勝,環(huán)數(shù)低于對方為負(fù),環(huán)數(shù)相等為平局,規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝者,比賽結(jié)束,求恰好進(jìn)行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率.【解析】(1)記X表示甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和,則X=18包含“第一次命中10環(huán)且第二次命中8環(huán)”“第一次命中8環(huán)且第二次命中10環(huán)”“第一次命中9環(huán)且第二次命中9環(huán)”這三種情況,所以甲運動員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率P=2×13×13+13×1(2)記Ai表示甲在第i輪勝利,Bi表示甲在第i輪平局,Ci表示甲在第i輪失敗(i=1,2,3),則P(Ai)=13×58+14+13×58=12,P(Bi)=13,P(①若甲獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽,則第2輪、第3輪甲連續(xù)勝利,第1輪甲沒有獲得勝利,其概率P1=1-12×12×12=1②若乙獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽,則第2輪、第3輪乙連續(xù)勝利,第1輪乙沒有獲得勝利,其概率P2=1-16×16×16=5所以經(jīng)過3輪比賽結(jié)束的概率P=P1+P2=18+5216=16.(15分)端午節(jié),又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等,源于自然天象崇拜,由上古時代祭龍演變而來.端午節(jié)與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱中國四大傳統(tǒng)節(jié)日.某社區(qū)為豐富居民業(yè)余生活,舉辦了關(guān)于端午節(jié)文化習(xí)俗的知識競賽,比賽共分為兩輪.在第一輪比賽中,每位選手均需參加兩關(guān)比賽,若其在兩關(guān)比賽中均達(dá)標(biāo),則進(jìn)入第二輪比賽.已知在第一輪比賽中,選手A,B第一關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是45,23;第二關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是34,35.A(1)分別求出A,B進(jìn)入第二輪比賽的概率;(2)若A,B兩人均參加第一輪比賽,求兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽的概率.【解析】(1)設(shè)事件A1=“A在第一輪第一關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”,事件A2=“A在第一輪第二關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”,事件B1=“B在第一輪第一關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”,事件B2=“B在第一輪第二關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”.則A進(jìn)入第二輪比賽的概率P(A1A2)=P(A1)P(A2)=45×34=B進(jìn)入第二輪比賽的概率P(B1B2)=P(B1)P(B2)=23×35=(2)由(1)可知A沒有進(jìn)入第二輪比賽的概率為1-P(A1A2)=1-35=2B沒有進(jìn)入第二輪比賽的概率為1-P(B1B2)=1-25=3則A,B兩人都沒有進(jìn)入第二輪比賽的概率為25×35=故A,B兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽的概率P=1-625=1917.(15分)某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員,對他們進(jìn)行年齡狀況和接受教育程度(學(xué)歷)的調(diào)查,其結(jié)果(人數(shù)分布)如表所示.項目35歲以下35~50歲50歲以上本科803020研究生x20y(1)用分層隨機(jī)抽樣的方法在35~50歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個容量為5的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任取2人,求至少有1人的學(xué)歷為研究生的概率;(2)在這個公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取N個人,其中35歲以下的有48人,50歲以上的有10人,再從這N個人中隨機(jī)抽取1人,此人的年齡為50歲以上的概率為539,求x,y的值【解析】(1)用分層隨機(jī)抽樣的方法在35~50歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個容量為5的樣本.設(shè)抽取學(xué)歷為本科的人數(shù)為m,則3050=m5,解得m抽取的樣本中有研究生2人,本科生3人,分別記作A1,A2;B1,B2,B3.從中任取2人的所有的樣本點共有10個:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A1,A2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).其中至少有1人的學(xué)歷為研究生的樣本點有7個:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A1,A2).所以從中任取2人,至少有1人的學(xué)歷為研究生的概率為710(2)由題意,得10N=539,解得所以35~50歲年齡段中被抽取的人數(shù)為78-48-10=20,所以4880+x=2050=1020+y,解得x=40,y=5,即18.(17分)有一天,小明去公園玩,被公園門口的一種游戲所吸引,其游戲規(guī)則是,如圖是一個轉(zhuǎn)盤,游戲者先免費轉(zhuǎn)一下,轉(zhuǎn)盤停止后,找到指針?biāo)傅臄?shù)記為x,然后從這一格的下一格開始計數(shù),順時針數(shù)x個格子停止,按照停止的格子上的提示得到或付出相應(yīng)的錢數(shù).請從數(shù)學(xué)的角度來分析該游戲公平嗎?【解析】假設(shè)指針?biāo)傅臄?shù)為3,則按規(guī)則可得到3元(順時針數(shù)3個格,最后停在12的位置上),同理,指針?biāo)傅臄?shù)為5,7,11,13,15中的一個時,同樣可得3元.但指針?biāo)傅臄?shù)為除3,5,7,11,13,15之外的數(shù)時,都要罰3元.例如,若指針?biāo)傅臄?shù)為10,按規(guī)則從這一格的下一格開始數(shù),順時針數(shù)10個位置到位置16,則要罰3元.由題意得,所有可能的情況有16種,得到錢的情況有6種,