專題35最值模型之費馬點模型

費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想，在各類考

試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費馬點問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·費馬，17世紀法國數(shù)學家，有“業(yè)余數(shù)學家之王”的美譽，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，

而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學．費馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻，除此之外，費

馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等．費馬點：三角形內(nèi)的點到三個頂點距離之

和最小的點。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.費馬點模型..........................................................................................................................................1

模型2.加權(quán)費馬點模型................................................................................................................................12

.................................................................................................................................................19

模型1.費馬點模型

結(jié)論：如圖1，點M為ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM，當M與三個頂點連線的夾角為120°時，

MA+MB+MC的值最小?！?/p>

圖1圖2圖3

注意：上述結(jié)論成立的條件是ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費馬點就

是最大角的頂點A。（這種情況△一般不考，通常只考查三角形的最大頂角小于120°）

證明：如圖2，以AB為一邊向外作等邊三角形ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．

△

∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．

ABBE

在與中，∵，∴△≌△（）．

AMBENBABMEBNAMBENBSAS

△△BMBN

連接MN．由AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．

∴BM＝MN．△∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最?。?/p>

此時，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

費馬點的作法：如圖3，分別以ABC的AB、AC為一邊向外作等邊ABE和等邊ACF，連接CE、BF，設(shè)

交點為M，則點M即為ABC的△費馬點?！鳌?/p>

【最值原理】兩點之間，△線段最短。

例1．（23-24九年級上·廣東江門·階段練習）如圖，在ABC中，BAC90,AB5,AC23，點P為ABC

內(nèi)部一點，則點P到ABC三個頂點之和的最小值是．

【答案】67

【分析】將ABP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60，得到△AEH，連接EP，CH，過點C作CNAH，交HA的

延長線于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BAPHAE，AEAP，AHAB5，BAH60，BPHE，易得

△AEP是等邊三角形，可得AEAPEP，進而得到APBPPCEPEHPC，當點H、E、P、C共

線時，APBPPC有最小值HC，再求出CN和HN的長度，由勾股定理可求解．

【詳解】解：將ABP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60，得到△AEH，連接EP，CH，過點C作CNAH，交HA

的延長線于N，

∴BAPHAE，AEAP，AHAB5，BAH60，BPHE，

∴HABEAP60，∴△AEP是等邊三角形，∴AEAPEP，

∴APBPPCEPEHPC，∴當點H、E、P、C共線時，APBPPC有最小值HC．

∵NAC180BAHBAC180609030，AC23，

122

∴CNAC3，∴ANAC2CN22333，∴HNAHAN538．

2

2

在Rt△CNH中，CHHN2CN282367，即點P到ABC三個頂點之和的最小值是67．

故答案為：67．

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角

形的性質(zhì)，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形是本題的關(guān)鍵．

例2．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB4,BC6,E是AB的中點，F(xiàn)是BC邊上一

動點，將△BEF沿著EF翻折，使得點B落在點B處，矩形內(nèi)有一動點P,連接PB,PC,PD,則PBPCPD

的最小值為．

【答案】423

【分析】將△DPC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60得到DPC，連接PP、CC，從而將PBPCPD轉(zhuǎn)化到

PBPPPC，當點E、B、P、P、C在同一條直線上時，PBPCPD=PBPPPC取得最小值．

【詳解】

如圖，將△DPC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60得到DPC，連接PP、CC，則有：

DPP、△DCC是等邊三角形，PDPP,PCPCPBPCPD=PBPPPC

由折疊的性質(zhì)可知，B的運動軌跡是以E為圓心，EB長為半徑的圓（如圖所示），故當E、B、P、P、C

在同一直線上時取最小值；

AB4,BC6,E是AB的中點，DPP、△DCC是等邊三角形，

1

DC=4，EBEBAB2，

2

343432323

PDPP=DC,PCPC=PD=PB624，

33333

234343

PBPCPD的最小值為：PBPCPD=PBPPPC=4++=4+23；

333

故答案為423．

【點睛】本題考查了圖形中求最短距離的問題，解題的關(guān)鍵是把所求線段轉(zhuǎn)化到同一直線中求解．

例3．（23-24九年級下·河南周口·階段練習）【問題背景】在已知ABC所在平面內(nèi)求一點P，使它到三角形

的三個頂點的距離之和最?。ㄈ鐖D1）．這個問題是有著“業(yè)余數(shù)學家之王”美譽的法國律師費馬在1640年前

后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．解決方法如下：如圖2，把△APC繞

A點逆時針旋轉(zhuǎn)60得到APC（點P，C的對應(yīng)點分別為點P，C），連接PP，則PAP60，PCPC．

∵______，∴APP為等邊三角形，∴APPP，∴PAPBPCPPPBPC，

∴當B，P，P，C四點在同一直線上時，PAPBPC的值最小，即點P是ABC的“費馬點”．

任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是______；（2）當點P是ABC的“費馬點”時，APBBPCAPC______；

（3）如圖3，ABC中，CAB90，ABAC，E，F(xiàn)為BC上的點，且EAF45，判斷BE，EF，F(xiàn)C

之間的數(shù)量關(guān)系△并說明理由；

【實際應(yīng)用】圖4所示是一個三角形公園，其中頂點A，B，C為公園的出入口，A75，AB22km，

AC＝4km，工人師傅準備在公園內(nèi)修建一涼亭P，使該涼亭到三個出入口的距離最小，則PAPBPC的

最小值是______．

【答案】問題背景：（1）見解析；（2）120；（3）EF2BE2CF2，理由見解析；實際應(yīng)用；210km

【分析】問題背景：（1）先證明APP為等邊三角形，得到APPP，則PAPBPCPPPBPC，

由此可得當B，P，P，C四點在同一直線上時，PAPBPC的值最小，即點P是ABC的“費馬點”．

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CAC60，∠C∠ACP，進而利用三角形內(nèi)角和定理得到

∠CPO∠CAC60，再由等邊三角形的性質(zhì)得到APP60，則∠APC120，APC120，即可

利用周角的定義得到∠BPC360∠ABP∠APC120；

（3）將BAE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到CAD，連接DF，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊對等角，得到CDBE，

FCD為直角三角形，進而得到DF2CD2CF2，證明△AFE≌△AFD，得到EFDF，即可得出結(jié)論；

實際應(yīng)用：如圖所示，將CAP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到△CAP，連接PP，由問題背景（1）可得當B，

P，P，C四點在同一直線上時，PAPBPC的值最小，最小值為BC，過點C作CD⊥BA交BA延長

2

線于D，證明△CDA是等腰直角三角形，得到ADCDAC22km，則BDABAD42km，

2

利用勾股定理得到BCCD2BD2210km，則PAPBPC得最小值為210km．

【詳解】解：問題背景：（1）如圖2，把△APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60得到APC（點P，C的對應(yīng)點分別

為點P，C），連接PP，則PAP60，PCPC．

∵APAP，∴APP為等邊三角形，∴APPP，∴PAPBPCPPPBPC，

∴當B，P，P，C四點在同一直線上時，PAPBPC的值最小，即點P是ABC的“費馬點”．

（2）如圖2所示，設(shè)PP，AC交于O，由（1）可得當B，P，P，C四點在同一直線上時，PAPBPC

的值最小，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CAC60，∠C∠ACP，又∵∠AOC∠POC，∴∠CPO∠CAC60

∵APP為等邊三角形，∴APP60，∴∠APC180∠APP120，APC120，

∴∠BPC360∠ABP∠APC120，∴APBBPCAPC120，故答案為：120；

（3）EF2BE2CF2，理由如下：∵ABAC，BAC90，∴BACB45，

如圖所示，將BAE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到CAD，連接DF，

則：BAEDAC,ACDB45,ADAE,BECD，

∴DCFACBDCA90，∴DF2CF2CD2CF2BE2，

∵EAF45，∴DACCAFBAECAFBACEAF45，∴DAFEAF45，

又∵AFFA，ADAE，∴△AFE≌△AFD，∴EFDF，∴EF2CF2BE2；

實際應(yīng)用：如圖所示，將CAP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到△CAP，連接PP，

由問題背景（1）可得當B，P，P，C四點在同一直線上時，PAPBPC的值最小，最小值為BC，

過點C作CD⊥BA交BA延長線于D，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CAC60，ACAC4km，

∵BAC75，∴∠CAD180∠CAC∠BAC45，∴△CDA是等腰直角三角形，

2

∴ADCDAC22km，∴BDABAD42km，

2

∴BCCD2BD2210km，∴PAPBPC得最小值為210km，故答案為：210km．

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，

等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

例4．（2023春·重慶·九年級專題練習）背景資料：在已知ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個

頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點

被人們稱為“費馬點”．如圖1，當ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在ABC內(nèi)部，當

APBAPCCPB120時，則PAPBPC取得最小值．

(1)如圖2，等邊ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求APB的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時ACP≌ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出APB_______；

知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與ABC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學們探索以下問

題．(2)如圖3，ABC三個內(nèi)角均小于120°，在ABC外側(cè)作等邊三角形ABB，連接CB，求證：CB過

ABC的費馬點．(3)如圖4，在RTABC中，C90，AC1，ABC30，點P為ABC的費馬點，

連接AP、BP、CP，求PAPBPC的值．(4)如圖5，在正方形ABCD中，點E為內(nèi)部任意一點，連接AE、

BE、CE，且邊長AB2；求AEBECE的最小值．

【答案】(1)150°；(2)見詳解；(3)7；(4)62．

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出ABP≌△ACP，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，

根據(jù)ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股

定理逆△定理PP2PC2324225PC2，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+

∠PPC=60°+90°=150°即可；△

（2）將APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到AB′P′，連結(jié)PP′，根據(jù)APB≌AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，

根據(jù)∠PA△P′=∠BAB′=60°，APP′和A△BB′均為等邊三角形，得出△PP′=AP△，根據(jù)PAPBPCPPPBPC，

根據(jù)兩點之間線段最短得出△點C，△點P，點P′，點B′四點共線時，PAPBPC最小=CB′，點P在CB′上即

可；

（3）將APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，得出APB≌△AP′B′，可證APP′和ABB′均

為等邊三△角形，得出PP′=AP，BB′=AB△，∠ABB′=60°，根據(jù)PAPB△PCPPPBPC，△可得點C△，點P，

點P′，點B′四點共線時，PAPBPC最小=CB′，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理

BC=AB2AC222123，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在RtCBB′

2△

中，B′C=BC2BB23227即可；

（4）將BCE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，得出

BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，△CB=CB′，可證ECE′與BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，

△∠B′BC=△60°，AEBECEAEEEEB，得出△點C，點△E，點E′，點B′四點共線時，

AEBECEAEEEEB最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠

11

FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=BB21，勾股定理

22

BF=BB2BF222123，可求AF=AB+BF=2+3，再根據(jù)勾股定理

2

AB′=AF2BF2231262即可．

【詳解】（1）解：連結(jié)PP′，∵ABP≌△ACP，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，

∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，

∴△APP′為等邊三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在P′PC中，PC=5，PP2PC2324225PC2，

∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠AP△P+∠PPC=60°+90°=150°，

∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案為150°；

（2）證明：將APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到AB′P′，連結(jié)PP′，∵△APB≌AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，

AB=AB′，△△△

∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，

∵PAPBPCPPPBPC，∴△點C，點P，點P′，點B′四點共線時，PAPBPC最小=CB′，

∴點P在CB′上，∴CB過ABC的費馬點．

（3）解：將APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，

∴△APB≌△△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，△

∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，

∵PAPBPCPPPBPC∴點△C，點P，點P′，點B′四點共線時，PAPBPC最小=CB′，

∵C90，AC1，ABC30，∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=AB2AC222123∴

BB′=AB=2，

2

∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在RtCBB′中，B′C=BC2BB23227

△

∴PAPBPC最小=CB′=7；

（4）解：將BCE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，

∴△BCE≌△△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=C△E′，CB=CB′，

∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′與BCB′均為等邊三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，

∵AEBECEAEEEEB，△

∴點C，點E，點E′，點B′四點共線時，AEBECEAEEEEB最小=AB′，

∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，

11

∵B′F⊥AF，∴BF=BB21，BF=BB2BF222123，

22

2

∴，∴222，∴．

AF=AB+BF=2+3AB′=AFBF23162AEBECE最小=AB′=62

【點睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點之間

線段最短，四點共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾

股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點之間線段最短，四點共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)是解題

關(guān)鍵．

例5．（2024·江蘇·?？既＃┤鐖D，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，AB10公里，BC15公

里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個車站E，F(xiàn)，則EAEBEFFCFD的最小值為______公里．

【答案】15+103

【分析】將AEB繞A順時針旋轉(zhuǎn)60°得AGH，連接BH、EG，將DFC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到DF'M，

連接CM、△FM、FF'，如圖2，此時EH、△EF、FM共線，EA+EB+△EF+FC+FD是最小值，利用旋轉(zhuǎn)的△性質(zhì)和

等邊三角形的性質(zhì)，相加即可得出結(jié)論．

【詳解】解：如圖1，將AEB繞A順時針旋轉(zhuǎn)60°得AGH，連接BH、EG，將DFC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)

60°得到DF'M，連接CM△、FF'，△△

△

由旋轉(zhuǎn)得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，

∴△AEG和ABH是等邊三角形，∴AE=EG，

同理得：D△FF'和DCM是等邊三角形，DF=FF'，F(xiàn)C=F'M，

∴當H、G△、E、F△、F'、M在同一條直線上時，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如圖2，

∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分線，∴HM⊥AB，HM⊥CD，

∵AB=10，∴△ABH的高為53，

∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+53+53=15+103，

則EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+103）公里．故答案為：（15+103）．

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和最短路徑問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，確定最小值時點E和F

的位置是本題的關(guān)鍵，利用全等、勾股定理求其邊長，從而得出結(jié)論．

模型2.加權(quán)費馬點模型

結(jié)論：點P為銳角ABC內(nèi)任意一點，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加權(quán)費馬點）

△

證明：第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進行縮小或者放大。

xz

如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=y(APBPCP)，如圖，B、P、P2、A2四點共線時，取得最小值。

yy

例1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD4，AE2，

AB3AD,AG3AE．矩形AGFE繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接BG，CF，AC，AF．

(1)求證：ABG∽ACF；(2)當CE的長度最大時，①求BG的長度；②在△ACF內(nèi)是否存在一點P，使得

CPAP3PF的值最小?若存在，求CPAP3PF的最小值；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)見解析(2)①BG221；②存在，最小值是413

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，先證ABC∽AGF，利用相似三角形的性質(zhì)準備條件，再證ABG∽ACF

即可；（2）①先確定當E在矩形ABCD外，且C,A,E三點共線時，CE的長度最大，并畫出圖形，在Rt△CEF

中求出CF的長，最利用ABG∽ACF的性質(zhì)求解即可；②將AP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30,且使AK3AP，

連接PK，同理將AF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30,得到AL,且使AL3AF，連接LK，過P作PSAK于S，

過點L作LQ垂直CE的延長線于點Q，確定CPAP3PFCL，當C、P、K、L四點共線時，CL的長

最小，再根據(jù)30直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．

AB3ADAD

【詳解】（1）證明：∵AB3AD，AG3AE，∴，

AG3AEAE

ABADBC

∵矩形ABCD和矩形AGFE，∴ADBC，AEGF，ABCAGF90，∴=，

AGAEGF

ACAB

∴ABC∽AGF，BAC=GAF，∴，∠BAC∠GAC∠GAF∠GAC，

AFAG

ACAF

即，BAGCAF，∴ABG∽ACF

ABAG

（2）∵ACAECE，∴當E在矩形ABCD外，且C,A,E三點共線時，CE的長度最大，如圖所示：

此時ACAECE，CEF90，

①∵AD4，AB3AD43，∴ACAB2BC28，BAC30，

在Rt△CEF中，EFAG3AE23，CEACAE10，

∴CFCE2EF2102(23)247，由（1）得：ABG∽ACF，

BGABBG43

∴，即，∴BG221；

CFAC478

②如圖，將AP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30,且使AK3AP，連接PK，同理將AF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30,

得到AL,且使AL3AF，連接LK，

KLAK

由旋轉(zhuǎn)可得：PAFKAL30FAK，∴AKL∽APF，∴3，∴KL3PF,

PFAP

13

過P作PSAK于S，則PSAP，ASAP，

22

3PS3

∴KSAKASAP，則tanPKS，∴PKS30，∴PKAP，

2KS3

∵CPPKKLCL，即CPAP3PFCL，當C、P、K、L四點共線時，CL的長最小，

由題意，LAC903030150，AF4，AC8，AL43，

過點L作LQ垂直CE的延長線于點Q，LAQ18015030，

∴QL23，AQ6，則CQACAQ14，

在RtCQL中，根據(jù)勾股定理得CLCQ2QL2413，∴CPAP3PF的最小值為413.

【點睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解

直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關(guān)的知識與

聯(lián)系，適當添加輔助線是解答的關(guān)鍵.

例2．（2024·重慶·二模）已知ABC中ABBC，點D和點E是平面內(nèi)兩點，連接BD，DE和BE，BED90．

(1)如圖1，若BDBA，ABC2D，BE2，求AC的長度；(2)如圖2，連接AD和CD，點F為AD中

點，點G為CD中點，連接EF和BG，若EFBG，求證：BACDBE；(3)若ABC60，AB2，

13

當ADBDCD取得最小值，且AE取得最大值時，直接寫出BDE的面積．

22

1219

【答案】(1)4(2)見解析(3)

133

【分析】（1）過點B作BHAC交AC于點H，證明AHB≌BEDAAS即可求解；

（2）取BD的中點T，連接TE,TF,TG，根據(jù)中位線的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，

得出TFE≌TBGSSS，再證明TBE∽TFG，得出EBTGFT，進而即可得證；

（3）將BDC繞點B順時針轉(zhuǎn)60得到BDA，將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60得到BAD，連接AA，根

13

據(jù)ADBDCDGFFDCDGC，當G,F,D,C四點共線時，GC最小，進而確定E的位置，根

22

1

據(jù)點E在O為圓心，BD為半徑的圓上運動，由點到圓上的距離關(guān)系，得出當AE取得最大值時，E在AO

2

的延長線上，連接OF，過點E作ES^BD于點S，進而解直角三角形，求得SE的長，根據(jù)三角形面積公式，

即可求解．

【詳解】（1）解：如圖所示，過點B作BHAC交AC于點H，

∵ABC中ABBC，∴AHB90，ABC2ABH，AC2AH

∵BED90，ABC2D，∴AHBBED，ABHD．

又∵BDBA，∴AHB≌BEDAAS∴AHBE2∴AC2AH4；

（2）解：如圖所示，取BD的中點T，連接TE,TF,TG，

11

又∵F,G是AD，DC，∴FTAB,TGBC，F(xiàn)G∥AC,FT∥AB

22

∵ABBC∴FTTG，∵BED90，T為BD的中點，∴TEBT，

TFTG

在TFE,TBG中，TETB∴TFE≌TBGSSS∴FTEGTB

EFBG

∴FTEGTEGTBGTE即FTGETB

TETB

又∵FTTG,TEEB即，∴TBE∽TFG∴EBTGFT

TFTG

∵FG∥AC,FT∥AB∴TFBBAC∴BACDBE

（3）解：∵ABC中ABBC，ABC60，∴ABC是等邊三角形，

如圖所示，將BDC繞點B順時針轉(zhuǎn)60得到BDA，將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60得到BAD，連接AA，

∴BDBD，DBD60，ABAB，AB∥AC則DBD是等邊三角形，△AAB是等邊三角形，

11

∵CDAD,AAAC取BD,BA的中點F,G，則FGADAD，

22

313

∵F是BD的中點，DFBD，DFBDsin60BD，∴ADBDCDGFFDCDGC

222

∴當G,F,D,C四點共線時，GC最小此時如圖所示，∴GCBD

∵AD∥GF，∴ADBD，∴ADB是直角三角形，∴△ABD是直角三角形，∴ADBD

1

∵BDD60∴DDA30∴ADADDC設(shè)CDa，則ADa，AD2a，

2

在Rt△ADD中，DDcos30AD3a∵△BDD是等邊三角形，∴BDDD3a，

2227

在Rt△ABD中，AB2∴AB2AD2BD2∴223a2a解得：a

7

22147

∴BD3a，AD2a取BD的中點O，連接AO,OE，

77

1

∵BED90∴點E在O為圓心，BD為半徑的圓上運動，

2

121

∴OEBD，∴當AE取得最大值時，E在AO的延長線上，連接OF，過點E作ES^BD于點S，

27

22

214721133

在中，，∴22，

RtAODODOEAOADOD

7777

47

AD7419419214339

∴cosAOD，∴SEcosSOEOEcosAODOE，

A/p>

7

1122143391219

∴BDE的面積為BDSE．

227133133

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三

角形中位線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，相似三角形的性質(zhì)與判定，

加權(quán)費馬點問題，點與圓的位置關(guān)系，直徑所對的圓周角是直角；熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

例3．（23-24九年級上·重慶·階段練習）在等邊VABC中，點D是邊BC上一點，連接AD，將線段AD繞點

A順時針旋轉(zhuǎn)120得到線段AE，則DAE120，AEAD，連接BE交AD于點F，交AC于點H．

(1)如圖1，當點D為BC中點時，且AD3，求ABE的面積；(2)如圖2，猜想線段AB、BD、AH之間的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，若AB8，在VABC內(nèi)部有一個動點P，連接PA、PB、PC，直

接寫出3PA4PB5PC的最小值．

33

【答案】(1)(2)ABBD2AH，見解析(3)825123

2

13

【分析】（1）過點E作EMAB，交BA的延長線于點M，求得AB23，EAM30，EMAE，

22

11333

利用SABEM23計算即可．（2）在AC上取點M使CMBD，連接BM．則由SAS

ABE2222

可證明△ABD≌△BCM，從而有ADBM，BADCBM；再由AAS證明AЕН≌MBH，得AHMH，

DC4

則由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論；（3）過點C作DCBC于點C，使得，過點C作ECPC于點C，

BC3

EC4

使得，證明DCE∽BCP，得到4PB3DE，根據(jù)勾股定理，得5PC3PE，從而得到

PC3

3PA4PB5PC3PA3DE3PE3PAPEED，根據(jù)兩點之間線段最短，得到PAPEEDAD，

得到當PA,PE,ED共線時，3PA4PB5PC取得最小值，過點A作AQDC，交DC的延長線于點Q，過

點A作ARBC于點R，則四邊形AQCR是矩形，利用等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解答即可．

【詳解】（1）解：過點E作EMAB，交BA的延長線于點M，

∵等邊VABC，∴ABBCCA，ABCBCACAB60，

11

∵點D為BC中點,∴CDBDBC，CADBADCAB30，

22

1

∵AD3，DAE120，AEAD，∴BDAB，由勾股定理得AB2BD2AD2，解得AB23；

2

1311333

∵EAM18015030，AEAD3，∴EMAE，∴SABEM23．

22ABE2222

（2）解：ABBD2AH．理由如下：在AC上取點M使CMBD，連接BM．

∵VABC是等邊三角形，∴ABBCAC，CABABDC60，

ABBC

在△ABD和△ВСM中，ABDC，∴ABD≌BCMSAS，

BDCM

∴ADBM，BADCBM，∴EABM，

∵EAHEADCADEADCABBAD60BAD，BMHCCBM60CBM，

AHEMHB

∴EAHBMH，在△AEH和MBH中，EAHBMH，∴AЕН≌MBHAAS，

EABM

∴AHMH，即AMAHMH2AH，∵AMACCMABBD，∴ABBD2AH．

DC4EC4

（3）解：過點C作DCBC于點C，使得，過點C作ECPC于點C，使得，根據(jù)題意，

BC3PC3

DCECDCBC

得DCE90ECBBCP，，∴，∴DCE∽BCP，

BCPCECPC

DCDE45

∴，∴4PB3DE，根據(jù)勾股定理，得PEPC2EC2PC，

BCPB33

∴5PC3PE，∴3PA4PB5PC3PA3DE3PE3PAPEED，

∵PAPEEDAD，∴當PA,PE,ED共線時，3PA4PB5PC取得最小值，

32

∵AB8，∴ABBCCA8，∴DC，

3

過點A作AQDC，交DC的延長線于點Q，過點A作ARBC于點R，則四邊形AQCR是矩形，

1

∴AQCR,CQAR，∵等邊VABC，∴AQCRBC4，CQARAC2CR243，

2

22

22322282100483

∴ADDQAQ4344314

339

4248

2512325123，∴3PA4PB5PC825123，

93

故3PA4PB5PC的最小值為825123．

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，

含30度直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握相應(yīng)的知識是解題的關(guān)鍵．本題有一定的

難度，添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

1．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，點M是矩形ABCD內(nèi)一點，且AB=5，AD=8，N為邊

BC上一點，連接MA、MD、MN，則MAMDMN的最小值為______．

【答案】543

【分析】將△ADM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到VADM，連接DD、MM，然后即可得ADD為等邊三角

形，同理VAMM為等邊三角形，接著證明當MD、MM、MN三條線段在同一直線上，MMMDMN

的值最小，即MAMDMN的值最小，過點D￠作DEBC于點E，即MAMDMN最小值為：DE，

問題隨之得解．

【詳解】如圖所示，將△ADM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到VADM，連接DD、MM，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：DAD=60，AD=AD，MD=MD，

ADD為等邊三角形，同理VAMM為等邊三角形，

AM=AM=MM，AD=AD=DD=8，MAMDMN=MMMDMN，

當線段MD、MM、MN三條線段在同一直線上，且該直線與BC垂直時，MMMDMN的值最小，

即MAMDMN的值最小，如下圖，過點D￠作DEBC于點E，交AD于點F，

MAMDMN最小值為：DE，在矩形ABCD中，DEBC于點E，

即可知四邊形ABEF是矩形，DEAD，即AB=EF=5，

1

ADD為等邊三角形，DFAD，AF=FD=AD=4，

2

DF=DA2AF2=43，DE=EFDF=543，

MAMDMN的最小值為543，故答案為：543．

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最

短等知識，作出合理的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．

2．（2023·廣東深圳·二模）如圖，ABE是等邊三角形，M是正方形ABCD對角線BD（不含B點）上任意

一點，BMBN，ABN15（點N在AB的左側(cè)），當AM+BM+CM的最小值為31時，正方形的邊長

為______．

【答案】2

【分析】首先通過SAS判定△AMB≌△ENB，得出AMEN，因為ABDABN60,BMBN,得出MNB

是等邊三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且為最小值，我們可以得出EC=31，作輔助線，過點E

作EFBC交CB的延長線于F，由題意求出EBF30，設(shè)正方形的邊長為x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾

股定理求得正方形的邊長為2．

【詳解】∵ABE為正三角形，∴ABE60，ABBE∴NBEABEABN45

∵BD是正方形ABCD的對角線，∴ABD45∴ABDNBE．