專題39最值模型之幾何轉化法求最值模型（全等、相似、中位線、對角線性質等）幾何中最值問題是中考的常見題型，變幻無窮，試題設計新穎，形式活潑，涵蓋知識面廣，綜合性強。在各地中考數(shù)學試卷中，幾何最值問題也是重難點內容，在中考數(shù)學試卷中通常出現(xiàn)在壓軸題的位置。本專題我們所講的幾何轉化法求幾何最值是對前面八類幾何最值模型的一個補充。雖然我們前面講的幾何最值模型涵蓋了大部分的最值問題，但也有部分幾何最值無法很好的解決。鑒于此我們補充幾類幾何轉化法（主要利用全等、相似、或其他的幾何性質（如：中位線、對角線、特殊的邊角關系等）轉化），希望對大家有所幫助！TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.幾何轉化模型-全等轉化法 1模型2.幾何轉化模型-相似轉化法 6模型3.幾何轉化模型-中位線轉化法 9模型4.幾何轉化模型-對角線轉化法 11模型5.幾何轉化模型-其他性質轉化法 14 18模型1.幾何轉化模型-全等轉化法條件：OA=OB，OA’=OB'，∠AOB=∠A'OB'；結論：，。該類轉化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在圖形中很難同時出現(xiàn)，需要我們通過輔助線構造出手拉手型的全等模型，從而將所求線段進行轉化。例1．（23-24八年級下·江蘇連云港·階段練習）如圖，在矩形中，，，P是邊上一動點，連接，把線段繞點D逆時針旋轉到線段，連接，則線段的最小值為．【答案】【分析】在上截取，過點E作于點F，通過證明可得，根據(jù)垂線段最短可得當點P和點F重合時，，此時取最小值時，即可求解．【詳解】解：在上截取，過點E作于點F，∵，∴，∵線段繞點D逆時針旋轉到線段，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴，當取最小值時，也取得最小值，當點P和點F重合時，，此時取最小值時，∵四邊形為矩形，，，∴，，，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，三角形全等的判定和性質，含角的直角三角形，角所對的邊是斜邊的一半，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形．例2．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B為x軸上一動點，以為邊在直線的右側作等邊三角形．若點P為的中點，連接，則的長的最小值為．【答案】6【分析】本題考查了軸對稱―最短路線問題，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．以為邊作等邊三角形，連接，過點作于，由“”可證，可得，則當有最小值時，有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，過點作于，點的坐標為，點為的中點，是等邊三角形，，，，，在和中，，當有最小值時，有最小值，即軸時，有最小值，的最小值為，∴的最小值為，故答案為：．例3.（2024·四川內江·二模）如圖，在中，，，P是的中點，若點D在直線上運動，連接，以為腰，向的右側作等腰直角三角形，連接，則在點D的運動過程中，線段的最小值為．【答案】【分析】取的中點，連接，先證得，得出，根據(jù)點到直線的距離可知當時，最小，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質求得時的值，即可求得線段PF的最小值．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，∵為等腰直角三角形，，∴，，∴，∵，P為中點，Q是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵點D在直線上運動，∴當時，最小，∵，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴線段的最小值是為1．故答案為：1．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，全等三角形的判定與性質以及垂線段最短問題，通過分析條件添加輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．例4．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，，，點是的中點，以為直角邊向作等腰，連接，當取得最大值時，的面積為．【答案】【詳解】解：過點作，使，連接，，，如圖所示：則，為等腰直角三角形，，點為的中點，，由勾股定理得：，在中，，，點是的中點，，等腰是以直角邊的等腰三角形，，，，，，在和中，，≌，，根據(jù)“兩點之間線段最短”得：，即，，的最大值為，此時點，，在同一條直線上，過點作交的延長線于，如圖所示：為等腰直角三角形，，，，又，，，≌，，，為等腰直角三角形，，由勾股定理得：，即，，．模型2.幾何轉化模型-相似轉化法條件：OB=kOA，B'O=kOA’，∠AOB=∠A'OB'；結論：，。該類轉化法求最值的模型，三角形OAB和OA’B’在圖形中很難同時出現(xiàn)，需要我們通過輔助線構造出手拉手型的相似模型，從而將所求線段進行轉化。例1．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，在四邊形中，，則對角線的最小值為．【答案】1【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質、三角形三邊的關系等知識，準確構造出相似三角形對線段進行轉化是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過點作，且設則當最小時，最小最小為最小為故答案為：1．例2．（2024上·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）如圖，的直徑長為16，點是半徑的中點，過點作交于點，．點在上運動，點在線段上，且．則的最大能是．【答案】【分析】延長到，使得，連接，，，．首先證明，解直角三角形求出，求出的最大值即可解決問題．【詳解】解：延長到，使得，連接，，，．∵∴∵∴∵∴則∵∴∽則又∵，，∴在中，∴∵∴則的最大值為∴的最大值為故答案為【點睛】本題考查垂徑定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題．例3．（23-24八年級下·云南曲靖·期中）如圖，在矩形中，，，與交于點O，分別過點C，D作，的平行線相交于點F，點G是的中點，點P是四邊形邊上的動點，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判定四邊形為菱形，找出當垂直于菱形的一邊時，有最小值．過D點作于M，過G點作與P，則，利用平行四邊形的面積求解的長，再利用相似三角形的判定和性質可求解的長，進而可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，，∴．∵，，∴四邊形為萎形．∵點G是的中點，點P是四邊形邊上的動點，∴當垂直于萎形的一邊時，有最小值．如圖，過D點作于M，過G點作與P，則，∵，，∴，．∵，∴，即，解得．∵，G為的中點，∴，∴，∴，∴，故的最小值為．故選：D．【點睛】本題主要考查矩形的性質，菱形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識．正確確定當垂直于萎形的一邊時，有最小值和正確作出輔助線是解題關鍵．模型3.幾何轉化模型-中位線轉化法三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。條件：如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點分別為D、E，結論：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。證明：如圖1，過點C作交延長于點F，∴，∵是的中位線，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，；∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。例1．（2024·山東德州·二模）如圖，在平行四邊形中，，，，點M、N分別是邊、上的動點（不與A、B、C重合），點E、F分別為、的中點，連接，則的最小值為（

）A． B．3 C．4 D．【答案】A【分析】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理，利用三角形中位線定理得出，則當時，最小，則最小，利用勾股定理求出，然后利用等面積法求出的最小值，即可求解．【詳解】解：連接，∵點分別為的中點，∴，當時，最小，則最小，∵，∴，設中邊上高為h，則，∴，∴，∴最小值為，則最小值為，故選：A．例2．（2024·廣東肇慶·一模）如圖，點在以為直徑的半圓上，是半圓上不與點重合的動點．連接，是的中點，過點作于點．若，則的最大值是．【答案】【分析】本題考查了圓的性質、三角形中位線定理，延長至，使，連接，結合題意得出即點在圓上，由三角形中位線定理得出，則當經(jīng)過原點時，有最大值為，此時有最大值，即可得解．【詳解】解：如圖，延長至，使，連接，，，點、關于直線對稱，即點在圓上，是的中點，，當經(jīng)過原點時，有最大值為，此時有最大值，為，故答案為：．例3．（2023·四川成都·一模）已知矩形中，，點E、F分別是邊的中點，點P為邊上動點，過點P作與平行的直線交于點G，連接，點M是中點，連接，則的最小值＝．【答案】【分析】連接交與點N，連接，證明，求最小值即可．【詳解】解：∵，點E、F分別是邊的中點，∴，，，∴，連接交與點N，連接，∵，∴，；∴，∵，∴，∵點M是中點，∴，當時，最小，也最??；，，；故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的性質和解直角三角形，解題關鍵是恰當作輔助線，得出，求最小值．模型4.幾何轉化模型-（特殊）平行四邊形對角線轉化法該模型主要運用（特殊）平行四邊形對角線的性質（如：平行四邊形對角線互相平分、矩形的對角線相等）來將不易求得的某些線段轉化為能易求的線段進行求解。例1．（24-25九年級上·廣東河源·階段練習）如圖，在矩形中，，，為線段上一動點，于點，于點，則的最小值為．【答案】4.8//【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識，掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．連接，首先根據(jù)勾股定理解得的值，證明四邊形是矩形，可得，當時，最小，則最小，然后由面積法求出的長，即可獲得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形為矩形，，，∴，，，∴∵，，∴，∵四邊形是矩形，∴，當時，最小，則最小，此時，即，解得，∴的最小值為4.8．故答案為：4.8．例2．（23-24九年級上·廣東茂名·期末）如圖，P是的斜邊（不與點A、C重合）上一動點，分別作于點M，于點N，O是的中點，若，，當點P在上運動時，的最小值是．【答案】/【分析】本題考查了矩形的判定與性質、垂線段最短、勾股定理等知識．連接，證四邊形是矩形，得．再根據(jù)當時，最小，然后由面積法求出的最小值，即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖，

∵，，∴．∵，，，∴四邊形是矩形，∴，與互相平分．∵點O是的中點，∴點O在上，．∵當時，最小，又∵此時，∴，∴，∴．故答案為：．例3．（2024·河南周口·一模）如圖，中，，，，點P為上一個動點，以為鄰邊構造平行四邊形，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，勾股定理，解直角三角形，垂線段最短，設交于O，過點O作于H，由平行四邊形的性質得到，則由垂線段最短可知，當點P與點H重合時，最小，最小值為的值，即此時最小，最小值為的值的2倍，利用勾股定理求出，再解直角三角形得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，設交于O，過點O作于H，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴當最小時，最小，由垂線段最短可知，當點P與點H重合時，最小，最小值為的值，即此時最小，最小值為的值的2倍，在中，，，，∴，∴，∴，∴，∴最小值為，故選：C．模型5.幾何轉化模型-其他性質轉化法圖1圖2如圖1，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，則BC=AC.如圖2，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，則BC=AC.例1．（23-24九年級上·廣西柳州·期末）如圖，正方形，邊長，對角線、相交于點O，將直角三角板的直角頂點放在點O處，三角板兩邊足夠長，與、交于、兩點，當三角板繞點O旋轉時，線段的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】證明，得到，要使有最小值，即求的最小值，當時，有最小值，由等腰三角形的性質可求出．【詳解】解：正方形，，，，，，，故要使有最小值，即求的最小值，當時，有最小值，，，線段的最小值為．故選：C．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．例2．（23-24九年級上·廣東深圳·階段練習）如圖，在中，，，P為邊上一動點，連接，將線段繞點A順時針旋轉至，則線段的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點A作于D，根據(jù)旋轉的性質得到，，進而得到當最短時，最短，當時，最短，然后利用含角直角三角形的性質得到，，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點A作于D，

由旋轉可得，，，∴，，當最短時，最短，∵P為邊上一動點，∴當時，最短，∵，，∴，∴當時，，∴∴∴．故選：B．【點睛】此題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理和勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．例3．（2024·江蘇無錫·三模）如圖，在四邊形中，，對角線、交于點O，且．若，則的最小值為（

）A．16 B．4 C．9 D．2【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，解直角三角形，二次函數(shù)的性質等知識，解決問題的關鍵是作輔助線將條件集中在同一個三角形中求解．作交的的延長線于，作于，設，表示出，解斜三角形，進而求得結果．【詳解】解：如圖，作交的的延長線于，作于，∵，，∵，四邊形是平行四邊形，，，，設，則，在中，，，，，，在中，，當時，，即．故選：D．例4．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，，，點E、F分別是、邊上的兩個動點，連接，，若平分，則的最大值為（結果保留根號）【答案】【分析】此題考查了菱形的性質，利用三角函數(shù)求邊長，過點B作于點G，由菱形的性質易得，，求出．根據(jù)菱形的性質及角平分線得到，推出．由可知，當最小時，最大，從而得到的最大值．【詳解】過點B作于點G，由菱形的性質易得，，則．∵，∴．∵平分，∴，則，∴．∵，∴，∴的最大值為．1．（23-24九年級上·山西臨汾·期中）如圖，在中，，，點D，E分別是邊上的動點，連結，F(xiàn)，M分別是的中點，則的最小值為（）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【答案】D【分析】本題考查等腰三角形三線合一的性質，三角形的面積，三角形中位線定理，正確得出的值是解題的關鍵．過點B作于H，當取最小值時，的值最小，由垂線段最短可知，當于點E時，的值最小，利用等腰三角形三線合一的性質求出的長，進而利用三角形等面積法求解即可．【詳解】過點B作于H，

∵F，M分別是的中點，∴，當取最小值時，的值最小，由垂線段最短可知，當于點E時，的值最小，在中，，，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D．2．（2023·浙江杭州·二模）如圖，點為的內心，，，點，分別為，上的點，且．甲、乙兩人有如下判斷：甲：：乙：當時，的周長有最小值．則下列說法正確的的是（）A．只有甲正確B．只有乙正確C．甲、乙都正確D．甲、乙都錯誤【答案】A【分析】此題主要考查了三角形的內心，全等三角形的判定和性質，解答此題的關鍵正確的作出輔助線構造全等三角形，難點是在解答的周長最小時，將三角形的各邊都用表示，并根據(jù)垂線段最短來判斷．連接，過點作于，于，依據(jù)“”判定和全等，從而得出，然后再根據(jù)四邊形的內角和等于即可對甲的說法進行判斷；過點作于點，則，根據(jù)得，進而得，據(jù)此得的周長為，只有當最小時，的周長為最小，然后根據(jù)“垂線段最短”可對乙的說法進行判斷．【詳解】解：連接，過點作于，于，點為的內心，是的平分線，又，，，在和中，，，，在四邊形中，，，又，，即：，，即：，故甲的說法正確；過點作于點，，是的平分線，，，又甲的說法正確；，，在中，，，，的周長為：，當最小時，的周長為最小，根據(jù)“垂線段最短”可知：當時，的周長為最小，，與一定不垂直，不是最小，的周長不是最小，故乙的說法不正確．故選：A．3．（23-24八年級下·廣東江門·期中）如圖，已知正方形的邊長為4，點是對角線上一點，于點，于點，連接，．給出下列結論：①且；②；③一定是等腰三角形；④四邊形的周長為；⑤的最小值為；⑥．其中結論正確的是（

）A．①③④⑤ B．②③④⑥ C．①④⑤⑥ D．①②⑤⑥【答案】D【詳解】①連接，延長交AB于點，，，，正方形中，，，

四邊形是矩形，，由正方形的對稱性知，，；，，和中，，，；正確；②，，，，，；

正確；③，，＜，＞，只有當時，或時，才是等腰三角形，除此之外都不是等腰三角形；不正確；④，，，，，，；不正確；⑤連接，設與BD交點為，則，，，，，，的最小值為；正確；⑥，，，，

即；正確．故正確的有①②⑤⑥故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形，矩形，全等三角形，軸對稱，等腰三角形，勾股定理，解決問題的關鍵是熟練掌握正方形性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱性質，等腰三角形判定和性質，勾股定理解直角三角形．4．（2024·江蘇揚州·三模）如圖，正方形邊長為4，以為圓心，為半徑畫弧，為弧上動點，連，取中點，連，則最小值為．【答案】【分析】在上截取，證明和全等，得到，則，由此得出最小值．本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，解題的關鍵是將轉化為，根據(jù)三角形三邊關系，得出最小值．【詳解】解：在上截取，連接，，∵正方形邊長為4，以為圓心，為半徑畫弧，∵是中點，，在和中，，，，，，，，的最小值為，故答案為：．5．（24-25九年級上·福建廈門·期中）如圖，若中，，，，是邊上一動點，連接，把線段繞點逆時針旋轉到線段，連接，則線段的最小值為（

）A．1 B．3 C．3 D．【答案】C【分析】此題主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，含30°角的直角三角形的性質等，找出點和點重合時，最小，最小值為的長度是解本題的關鍵．取AB的中點，可得，連接，過點作于，由旋轉的性質得出，，證明，由全等三角形的性質得出，則當（點和點重合）時，最小，然后由含30°角的直角三角形的性質求解即可．【詳解】解：如圖，取AB的中點，連接，過點E作于F，在中，，，∴，∴，由旋轉知，，，∴，即有：∴，∴，∴，要使最小，則有最小，而點是定點，點是上的動點，∴當（點和點重合）時，最小，即點與點重合，最小，最小值為，在中，，∴，故線段長度的最小值是，故選：C．6．（2023九年級下·安徽·專題練習）如圖，在中，，，現(xiàn)以為邊在的下方作正方形并連接，則的最大值為（）

A． B．6 C． D．【答案】B【分析】將繞點逆時針旋轉得，連接，則是等腰直角三角形，，再利用三角形三邊關系可得答案．【詳解】解：將繞點逆時針旋轉得，連接，

則是等腰直角三角形，，，在中，，的最大值為，即的最大值為6，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，三角形三邊關系等知識，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．7．（23-24八年級下·遼寧阜新·期中）如圖，邊長為20的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個動點，連接，將線段繞點B逆時針旋轉得到，連接，則在點M運動的過程中，線段長度的最小值是（

）A．3 B．10 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短的性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．取的中點G，連接，，據(jù)等邊三角形的性質可得，再求出，根據(jù)旋轉的性質可得，然后證明，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，然后根據(jù)垂線段最短可得時最短，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，取的中點G，連接，∵是等邊三角形，∴∵旋轉角為，∴，又∵，∴，∵M是高所在直線上的一個動點，，∴，∴，又∵線段繞點B逆時針旋轉得到，∴，在和中，，∴，∴，根據(jù)垂線段最短，時，最短，即最短，此時，∴，∴線段度的最小值是5，故選：C．8．（2023·廣東湛江·二模）如圖，在上有頂點C和動點P，位于直徑的兩側，過點C作的垂線與的延長線交于點Q．已知的直徑為10，，則最大值為（）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了圓周角定理和解直角三角形相關知識，熟練掌握同弧或等弧所對的圓周角相等是解題的關鍵．由，是直徑，易得，又由，易得當是直徑，最大，進而求得答案．【詳解】解：，是直徑，，，，，，，當是直徑，即時，最大，最大值為：．故選：B．9．（23-24九年級上·遼寧遼陽·期末）如圖，在矩形中，，，與交于點，分別過點，作，的平行線相交于點，點是的中點，點是四邊形邊上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查矩形的性質，菱形的判定與性質，相似三角形的判定和性質等知識．先判定四邊形為菱形，找出當垂直于菱形的一邊時，有最小值．過點作于，過點作與，則，利用平行四邊形的面積求解的長，再利用相似三角形的判定和性質可求解的長，進而可求解．【詳解】解：四邊形為矩形，，，∵，，四邊形為菱形，點是的中點，點是四邊形邊上的動點，當垂直于菱形的一邊時，有最小值．過點作于，過點作與，則，∵，，∴，，，解得，∵，為的中點，∴，∴，∴，故的最小值為．故選：D．10．（2023·浙江紹興·模擬預測）如圖，在中，已知為平面上一點，且為上一點，且，則的最小值為．

【答案】【分析】本題考查了平行線的性質，平行線所分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理，三角形三邊關系，過作交于N，連接，由，得到再證明由性質可得由勾股定理求出再由三邊關系即可求解，掌握相關性質是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過作交于N，連接，

∵，∴又∵，∴∵，∴，∴又∵，∴∴，∵∴在中，由勾股定理可得：∵在中，∴當三點共線時，有：此時取得最小值，∴，∴的最小值為，故答案為：．11．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在中，連接，，，是邊上一動點，連接，以為邊向左側作等邊，連接，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查了旋轉的性質，平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質．由“”可證，可得，當時，有最小值為的長，即可求解．【詳解】解：如圖，延長至，使，連接，過點作于，連接，

，，，，，，是等邊三角形，，，，，，當有最小值時，有最小值，點，點分別是直線，直線上一點，當時，有最小值為的長，的最小值為，故答案為：．12．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，，，P是的高上一個動點，以B點為旋轉中心把線段逆時針旋轉得到，連接，則的最小值是．【答案】/【分析】本題考查旋轉的性質，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，垂線段最短等知識點，在上截取，連接，構造，推出，根據(jù)垂線段最短，可知當時，有最小值，即有最小值．正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，中，，，，，，，，．以B點為旋轉中心把線段逆時針旋轉得到，，，，，在和中，，，，當時，有最小值，即有最小值，，，是等腰直角三角形，，的最小值是．故答案為：．13．（2023·內蒙古呼和浩特·一模）如圖在菱形中，為對角線與BD的交點，點為邊AB上的任一點（不與、重合），過點分別作，，、為垂足，則可以判斷四邊形的形狀為．若菱形的邊長為，，則的最小值為．（用含的式子表示）【答案】矩形/【分析】根據(jù)菱形的性質即可得到，根據(jù)，即可得到，根據(jù)矩形的判定方法即可判斷出四邊形是矩形；根據(jù)菱形的邊長為，即可求出AB，，的長度，根據(jù)四邊形是矩形即可得到，即可判斷出當時，取得最小值，也取得最小值，根據(jù)三角形的面積計算方法，即可求出的最小值，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形；∵菱形的邊長為，，∴，，∴是等邊三角形．∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴當時，取得最小值，也取得最小值，此時，∴，∴的最小值為，故答案為：矩形，．【點睛】本題考查了矩形的判定及性質、垂線段最短以及菱形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．14．（23-24八年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，中，，，P是邊上的一個動點，以為對角線作平行四邊形，則的最小值為．

【答案】【分析】題目主要考查平行四邊形的性質，勾股定理及三角形等面積法、等腰三角形的性質，結合圖形，綜合運用這些知識點是解題關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質得出當時，最小，然后連接，利用等腰三角形的性質得出，再由勾股定理及三角形等面積法即可求解．【詳解】解：∵平行四邊形，∴，∵P是邊上的一個動點，∴當時，最小，∵與是對角線，交于點O，，∴，連接.

∵，∴，∴，∴，∴即，解得，∴，故答案為：15．（2024·山東泰安·二模）小明學習了四邊形后，對有特殊性質的四邊形的探究產生了興趣，發(fā)現(xiàn)了這樣一類特殊的四邊形：兩條對角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形，如圖：已知四邊形中，，垂足為，對角線，，設，則的最小值等于．【答案】【分析】本題考查了多邊形，平行四邊形的性質和勾股定理，以邊，為鄰邊作平行四邊形，連接，則，，根據(jù)，可知的最小值為的長，根據(jù)勾股定理即可求出答案，解題的關鍵是構造平行四邊形和直角三角形．【詳解】如圖，以邊，為鄰邊作平行四邊形，連接，則，，∴，當三點共線時，最小，∴的最小值為的長，∵，，∴在中，由勾股定理得，，∴的最小值等于，故答案為：．16．（2024·江蘇徐州·三模）如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標是，點B的坐標是，長為2的線段CD在y軸上移動，則的最小值是．

【答案】【分析】此題主要考查平移的性質，勾股定理；將把BD向下平移2個單位長度得到線段CE，連接，則，進而得出的最小值為長，即可求解答案．【詳解】解：如圖，把BD向下平移2個單位長度得到線段CE，連接，則，

∴，∵，∴的最小值為．故答案為：．17．（23-24八年級下·浙江金華·階段練習）如圖，菱形的邊長為4，，點E在線段上，以為邊在左側構造菱形，使G在的延長線上，連接，分別取的中點H，O，連接，則；當點E在邊上運動（不含A，D）時，的最小值為．【答案】2【分析】分別取的中點，連接，由菱形的性質得到點為的中點，結合點為的中點，推出是的中位線，得到，；即，易證四邊形是平行四邊形，證明是等邊三角形，則為定角，推出點在上運動，當時，有最小值，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：分別取的中點，連接，四邊形是菱形，四邊形是菱形，，∵O點為的中點，點為的中點，點為的中點，是的中位線，，，即，四邊形是平行四邊形，，，，，，點是的中點，，是等邊三角形，點在上運動，當時，有最小值，利用勾股定理即可求解．此時，；故答案為：2，．【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．18．（2024·山東濟南·二模）在菱形中，為菱形內部一點，且，連接，點F為中點，連接，點G是中點，連接，則的最大值為．【答案】【分析】先根據(jù)題目條件中的中點可聯(lián)想中位線的性質，構造中位線將和的長度先求出來，再利用三角形的三邊關系判斷，當時最大．【詳解】解∶如圖所示∶連接交于點，連接，取的中點，連接和，∵在菱形中，為中點，為中點，，∴，當、、、共線時，也為，∵為中點、為中點，∴∵在菱形中，且，，∴，，，∴，∴．∴，∴，∵．∴，∴的最大值為．故答案為∶．【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理，勾股定理等知識，解題難點在于輔助線的添加，要根據(jù)菱形的性質和題目條件中的中點構造中位線，然后借助三角形的三邊關系可判斷出當、、三點共線時最大．19．（2023·遼寧鐵嶺·模擬預測）如圖，與是等邊三角形，連接，取的中點，連接，將繞點順時針旋轉．若，則在旋轉過程中，則線段的最大值為．【答案】【分析】本題考查了旋轉的性質，三角形中位線定理，等邊三角形的性質，勾股定理．由三角形中位線定理可得，由勾股定理可求的長，由三角形的三邊關系可求解．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，，，，點是的中點，點是的中點，，，，在中，，當點在的延長線上時，有最大值為，故答案為：．20．（2024·廣西南寧·模擬預測）如圖，在邊長為的正方形中，點，分別是邊，上的動點，且滿足，與交于點，點是的中點，是邊上的點，，則的最小值是．【答案】【分析】先證明得到，進而得到，則由直角三角形的性質可得，如圖所示，在延長線上截取，連接，易證明，則，可得當三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的一半，求出，在中，由勾股定理得，則的最小值為．【詳解】∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵點是的中點，∴，如圖所示，在延長線上截取，連接，∴，，，∴，∴，∴，∴當三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的一半，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，直角三角形的性質，勾股定理等，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．21．（23-24九年級上·貴州遵義·期末）如圖，正方形，邊長，對角線相交于點O，將直角三角板的直角頂點放在點O處，三角板兩邊足夠長，與交于E、F兩點，當三角板繞點O旋轉時，線段的最小值為．【答案】【詳解】解：正方形