方程與方程組1.等式的兩邊同時加上(或減去)同一個，所得結(jié)果仍是等式. 等式的兩邊同時乘(或除以)同一個，所得結(jié)果仍是等式.2.含有的等式叫作方程.使方程左右兩邊的值相等的叫作方程的解.求方程的的過程叫作解方程.只含有___________的方程叫作一元一次方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式為_________解一元一次方程的一般步驟：①;②;③;④；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1.3.只含有未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫作一元二次方程，其一般形式為.其中叫作二次項，叫作一次項，叫作常數(shù)項；叫作二次項的系數(shù)，叫作一次項的系數(shù).4.一元二次方程的解法有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.(1)其中形如的一元二次方程就可用直接開平方的方法.(2)用配方法解一元二次方程(ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步驟:①化二次項系數(shù)，即方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；②，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；③，即方程兩邊一次項系數(shù)一半的平方；④化原方程為的形式；⑤如果方程右邊是非負(fù)數(shù)，即n≥0，就可以用求出方程的解;如果n<0,則原方程.(3)一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的求根公式是.(4)因式分解法的一般步驟：①將方程的右邊化為；②將方程的左邊化成的乘積；③令5.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為.(1)?一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個的實數(shù)根,即x(2)?一元二次方程有相等的實數(shù)根，即x?=x?(3)?一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)實數(shù)根.6.分母中含有的有理方程叫作分式方程.解分式方程的一般步驟：(1)去分母，在方程的兩邊都乘，約去分母，化成整式方程；(2)解這個；(3)驗根，把整式方程的根代入，看結(jié)果是不是零，使為零的根是原方程的增根，必須舍去.7.共含有未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程組叫作二元一次方程組.使二元一次方程組的，叫作二元一次方程組的解.消元是解二元一次方程組的基本思路，方法有消元法和消元法兩種.8.列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟(1)：透徹理解題意，明確哪些是已知數(shù)，哪些是未知數(shù)，理清它們之間的關(guān)系;(2):根據(jù)題意,可采用,也可，必須寫明單位，語言敘述要完整；(3)：根據(jù)題中給出的條件，用含有所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)；利用列代數(shù)式時沒有用過的等量關(guān)系，列出方程或方程組，一般列方程的個數(shù)與所設(shè)未知數(shù)的個數(shù)相同；(4)：應(yīng)注意解題技巧，準(zhǔn)確地求出方程或方程組的解；(5):解應(yīng)用題既要檢驗有無，又要檢驗是否，檢驗后作出符合題目要求的答案.實戰(zhàn)演練 1.《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今鳧雁俱起，問何日相逢?”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海.現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時起飛，問經(jīng)過多少天相遇?設(shè)經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意可列方程為()A.B.C.(9-7)x=1D.(9+7)x=12.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個題目：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，四文錢買苦果七，十一文錢九個甜，甜苦兩果各幾個?其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個苦果和甜果，其中四文錢可以買苦果七個，十一文錢可以買甜果九個，問：苦、甜果各有幾個?設(shè)苦果有x個，甜果有y個，則可列方程組為()A.B.C.D.3.某種商品原來每件售價為150元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，該種商品每件售價為96元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意，所列方程正確的是()A.150B.150(1-x)=96C.150D.150(1-2x)=964.分式方程2x?3A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=-35.某體育比賽的門票分A票和B票兩種,A票每張x元,B票每張y元.已知10張A票的總價與19張B票的總價相差320元，則()A.|B.|C.|10x-19y|=320D.|19x-10y|=320 6.幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格.將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖1就是一個幻方.圖2是一個未完成的幻方，則x與y的和是()A.9B.10C.11D.127.古埃及人的“紙草書”中記載了一個數(shù)學(xué)問題：一個數(shù)，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是33.若設(shè)這個數(shù)是x，則所列方程為()A.B.C.D.x+8.若方程x2?2x+m=0沒有實數(shù)根，則m的值可以是()A.-1B.0C.1D.39.用配方法解方程x2?6x+5=0，配方后所得的方程是()A.B.C.D.10.關(guān)于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p為常數(shù))的根的情況，下列結(jié)論中正確的是()A.兩個正根B.兩個負(fù)根C.一個正根，一個負(fù)根D.無實數(shù)根11.國家統(tǒng)計局統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，我國快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加.2021年至2023年我國快遞業(yè)務(wù)收入由5000億元增加到7500億元.設(shè)我國2021年至2023年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為x，則可列方程為()A.5000(1+2x)=7500B.5000×2(1+x)=7500C.5000D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=750012.甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣，甲每小時比乙每小時多采樣10人，甲采樣160人所用時間與乙采樣140人所用時間相等，甲、乙兩人每小時分別采樣多少人?設(shè)甲每小時采樣x人，則可列分式方程為.13方程2x+5=114.關(guān)于x的一元二次方程.x2+2x+t=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)t的值為.15.若關(guān)于x的分式方程3xx?1=m16.若關(guān)于x的分式方程3xx?2=m+317.解方程組:2x?y=3,x+y=6.18.某班去革命老區(qū)研學(xué)旅行，研學(xué)基地有甲乙兩種快餐可供選擇，買1份甲種快餐和2份乙種快餐共需70元，買2份甲種快餐和3份乙種快餐共需120元.買一份甲種快餐和一份乙種快餐各需多少元?19.某中學(xué)為準(zhǔn)備十四歲青春儀式，原計劃由八年級(1)班的4個小組制作360面彩旗，后因1個小組另有任務(wù)，其余3個小組的每名學(xué)生要比原計劃多做3面彩旗才能完成任務(wù).如果這4個小組的人數(shù)相等，那么每個小組有學(xué)生多少名?20.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k?2=0有實數(shù)根.(1)求實數(shù)k的取值范圍.(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x?，x?，若x?+1x?+121.解方程:x?122.2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)(如圖所示)，若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個最小數(shù)(請用方程知識解答). 壓軸預(yù)測1.《張丘建算經(jīng)》中有這樣一首古詩：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正當(dāng)；乙說得甲九只，兩人羊數(shù)一樣；問甲乙各幾羊，讓你算個半晌.如果設(shè)甲有羊x只，乙有羊y只，那么可列方程組()A.B.C.D.2.關(guān)于x的方程x(x--1)=3(x--1),下列解法完全正確的是()A.兩邊同時除以(x-1)得,x=3B.整理得,.x2-4x=-3,∵a=1,b=-4,c=?3,b2C.整理得，x2?4x=?3,配方得，x2?4x+2=?1,∴x?22=?1,∴x?D.移項得，(x-3)(x--1)=0,∴x-3=0或x--1=0,∴x?=3,x?=13.若關(guān)于x的一元二次方程kx2+4k?1x+3k--1=0的解都是整數(shù)，則正整數(shù)k的值為4.受豬瘟疫情的影響,2023年豬肉價格不斷走高，據(jù)統(tǒng)計2023年9月1日豬肉價格比2023年年初上漲了60%，某市民2023年9月1日在某超市購買1千克豬肉花了80元錢.(1)2023年年初豬肉的價格為每千克多少元?(2)某超市將進(jìn)貨價為每千克65元的豬肉，按9月1日的價格出售，平均一天能銷售出100千克，經(jīng)調(diào)查表明豬肉的售價每千克下降1元，其日銷售量就增加10千克，超市為了實現(xiàn)銷售豬肉每天有1560元的利潤，并且能讓顧客得到實惠，豬肉的售價應(yīng)該下降多少元? 參考答案1.數(shù)或整式不為0的數(shù)或整式2.未知數(shù)未知數(shù)的值解未知數(shù)次數(shù)都是1ax+b=0(a≠0)①去分母②去括號③移項④合并同類項3.一個2ax2+bx+c=0(a≠0)ax2bxcab4.(1)(x+a)2=b(2)①為1②移項③配方同時加上④x+a3(4)①0②兩個因式③這兩個因式 5.△=b2?4ac1b2?4ac>0不相等2b2?4ac=0兩個3b2?4ac<06.未知數(shù)(1)最簡公分母(2)整式方程(3)最簡公分母最簡公分母7.兩個兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值代入加減8.(1)審題(2)設(shè)未知數(shù)直接設(shè)未知數(shù)間接設(shè)未知數(shù)(3)列代數(shù)式和方程(4)解方程或方程組(5)檢驗，作答增根符合題意1.A【解析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用.根據(jù)題意得17x+192.A【解析】本題考查根據(jù)實際問題列二元一次方程組.根據(jù)題意，所列方程組為x+y=1000,43.C【解析】本題考查根據(jù)實際問題列一元二次方程.由題知，第一次降價后每件售價為150(1-x)元，第二次降價后每件售價為150(1-x)2元,所以可列方程150(1-x)2=96,故選C.4.D【解析】本題考查解分式方程.等號兩邊同乘x(x-3),得2x=x-3,移項并合并同類項得x=-3,檢驗:當(dāng)x=-3時,x(x-3)=18≠0,故x=-3是原分式方程的解,故選D.5.C【解析】本題考查由實際問題列二元一次方程.由題意得|10x-19y|=320,故選C.6.D7.C【解析】本題考查根據(jù)實際問題列一元一次方程、數(shù)學(xué)文化.若設(shè)這個數(shù)是x，則這個數(shù)的三分之二是23x,這個數(shù)的一半是12x，這個數(shù)的七分之一是17x，這個數(shù)的全部就是x，根據(jù)“加起來總共是33”可列得方程28.D【解析】本題考查一元二次方程根的判別式、不等式的解.由題意可知，方程x2?2x+m=0沒有實數(shù)根，∴△<0,即(?22?4m<0,解得m>1，結(jié)合各選項知，m的值可以是39.D【解析】本題考查對一元二次方程進(jìn)行配方.已知方程x2?6x+5=0可變形為x2?6x=?5,兩邊同時加上9,得x2?6x+9=4,即x?32=4,∴將方程x2?6x+5=0配方后得(x?3將二次三項式進(jìn)行配方，如果是一元二次方程，則在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方；如果是二次函數(shù)，則在函數(shù)式中加上一次項系數(shù)一半的平方，再減去一次項系數(shù)一半的平方，這就是等式和代數(shù)式進(jìn)行配方的區(qū)別，要注意不能弄錯.10.C【解析】本題考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系.原方程可化為x2+x?2?p2=0,∴△=12?4?2?11.C12.160x=140x?10【解析】本題考查根據(jù)實際問題列分式方程.根據(jù)題意，甲每小時采樣x人，則乙每小時采樣(x—10)人，∴甲采樣160人所用時間為160x13.x=5【解析】本題考查解分式方程.將方程2x+5=14.1【解析】本題考查一元二次方程根的判別式.依題意，△=22?4×1×t=0,,解得t=1.15.m<-2且m≠-3【解析】本題考查分式方程的解法.去分母得3x=-m+2(x-1),去括號得3x=-m+2x-2,移項得3x-2x=-m-2,合并同類項得x=-m-2.因為原分式方程的解為正數(shù)，所以?m?2?1≠0,?m?2>0,16.3【解析】本題考查分式方程的增根.將分式方程化為整式方程得3x=m+3+(x--2),解得x=又∵關(guān)于x的分式方程3xx?2=m+3x?2分式方程的增根就是使分式的最簡公分母為零的未知數(shù)的值.解決此類問題的步驟：①化分式方程為整式方程；②讓最簡公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相關(guān)字母的值.17.解:①+②,得3x=9,x=3.將x=3代入②,得3+y=6,y=3.所以原方程組的解為x=3,18.3020解：設(shè)買一份甲種快餐需x元，買一份乙種快餐需y元,依題意得x+2y=70,解得x=30,答：買一份甲種快餐需30元，一份乙種快餐需20元.19.10解：設(shè)每個小組有學(xué)生x名，根據(jù)題意得360解得x=10.經(jīng)檢驗，x=10是原方程的解.答：每個小組有學(xué)生10名.20.1(1)由△≥0列不等式求解即可；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先表示出x?+x?和x?x?,再代入所給式子，列方程即可求得k的值.解：(1)∵一元二次方程x2+3x+k?2=0有實數(shù)根，∴△≥0.∴△=32?4k?2解得k≤(2)方程的兩個實數(shù)根分別為x?,x?,∴x?+x?=?3,x?x?=k?2.∴∴k-2-3+1=-1,解得,k=3.21.?將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解即可，最后檢驗整式方程的解是否為分式方程的根即可.解：x?1x2?2x+1?3=x2?1,-2x=1.x=?經(jīng)檢驗x=?122.5根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)x，利用等量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解，選取符合題意的未知數(shù)的值，即為最小數(shù).解：設(shè)這個最小數(shù)為x.根據(jù)題意,得x(x+8)=65.解，得x?=5,x?=?13(不符合題意，舍去).答：這個最小數(shù)為5.壓軸預(yù)測1.B【解析】本題考查數(shù)學(xué)文化、二元一次方程組的實際應(yīng)用.根據(jù)題意，甲有羊x只