專題10三角形

1.三角形的分類

(1)三角形按角分為三角形、三角形、三角形.

(2)三角形按邊分為三角形、三角形.

2.三角形的性質(zhì)

(1)三角形中任意兩邊之和第三邊，任意兩邊之差第三邊.

(2)三角形的內(nèi)角和為，外角與內(nèi)角的關(guān)系：三角形的外角等于

3.三角形中的主要線段

(1)連接三角形中點(diǎn)的線段叫作三角形的中位線.

(2)中位線的性質(zhì)：三角形的中位線于第三邊，并且第三邊的.

(3)三角形的中線、高線、角平分線都是.

4.等腰三角形的性質(zhì)與判定

(1)等腰三角形的兩底角.

(2)等腰三角形底邊上的、底邊上的、頂角的互相,簡(jiǎn)稱“

”.

(3)有兩個(gè)角相等的三角形是.

5.等邊三角形的性質(zhì)與判定

(1)等邊三角形每個(gè)角都等于，同樣具有“”的性質(zhì).

(2)三個(gè)角相等的三角形是，三邊相等的三角形是，一個(gè)角等于60°的三角形

是等邊三角形.

6.直角三角形的性質(zhì)與判定

(1)直角三角形兩銳角.

(2)直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的.

(3)直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的.

(4)勾股定理:

(5)勾股定理的逆定理：·

7.相似三角形的判定方法有：

(1)于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形；

(3)兩邊對(duì)應(yīng)成且的兩個(gè)三角形相似；

(4)三邊的兩個(gè)三角形相似.

8.相似三角形的性質(zhì)有：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角；(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的

線、對(duì)應(yīng)邊上的的比等于比，周長(zhǎng)之比也等于比，面積比等于.

9.全等三角形

(1)全等三角形:、的三角形叫作全等三角形.

(2)三角形全等的判定方法有:、、、、.在證明兩個(gè)三

角形全等時(shí)，選擇三角形全等的五種方法中，至少有一組，因此在應(yīng)用時(shí)要養(yǎng)成先找邊的習(xí)慣.如果選擇找

到了一組對(duì)應(yīng)邊，再找第二組條件：若找到一組對(duì)應(yīng)邊則再找這兩邊的用“SAS”或再找第三組用“S

SS”；若找到一組角則需找(可能用“ASA”或“AAS”)或夾這個(gè)角的另一組用“SAS”;若是判定兩個(gè)

全等則優(yōu)先考慮“HL”.

(3)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的、,全等三角形的面積、周長(zhǎng)、對(duì)應(yīng)高、

、相等.

10.分析、證明幾何題的常用方法

(1)：從命題的題設(shè)出發(fā)，通過(guò)一系列的有關(guān)定義、公理、定理的運(yùn)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題解決.

(2)：從命題的結(jié)論出發(fā)，不斷尋找使結(jié)論成立的條件，直到已知條件.(3)：將分析法與綜合法合并

使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)，因此在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用靈活處理，以利于縮短

題設(shè)與結(jié)論之間的距離，最后達(dá)到完全溝通.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖,CD⊥AB于點(diǎn)D,已知∠ABC是鈍角,則()

A.線段CD是△ABC的AC邊上的高線

B.線段CD是△ABC的AB邊上的高線

C.線段AD是△ABC的BC邊上的高線

D.線段AD是△ABC的AC邊上的高線

2.如圖,在△ABC和△DEF中,點(diǎn)A,E,B,D在同一直線上，AC∥DF,AC=DF,只添加一個(gè)條件,能判定△ABC≌△D

EF的是()

A.BC=DEB.AE=DB

C.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D

3.如圖,在△ABC中,D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn),設(shè)△ABC的面積為S?,△EBD的面積為S?,則

?2

?1=

A.B.C.D.

1137

4.如2圖,在4△ABC和4△ADE8中,∠CAB=∠DAE=36°,AB=AC,AD=AE.連接CD,連接BE并延長(zhǎng)交AC,AD

于點(diǎn)F,G.若BE恰好平分∠ABC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.∠ADC=∠AEBB.CD∥AB

C.DE=GED.BF2=CF·AC

5.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,CD⊥AB于點(diǎn)D,E是AB的中點(diǎn),則DE的長(zhǎng)為()

A.1B.2C.3D.4

6.如圖,在△ABC中,∠A=90°,D是AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E,作BC的垂線交BC

于點(diǎn)F,若AB=CE,且△DFE的面積為1,則BC的長(zhǎng)為()

A.2B.5

5D.10

7.?如.4圖5,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,則S△ACD=.

8.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,∠BAE=10°,則∠

C的度數(shù)是.

9.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AF=EF.若∠CFE=72°,則∠B=°.

10如圖,AC平分∠DCB,CB=CD,DA的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E,若∠EAC=49°,則∠BAE的度數(shù)為

11.如圖,點(diǎn)B,F,C,E在同一條直線上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E.

求證:∠A=∠D.

12.如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段AM上,EF⊥AC于點(diǎn)F,連接CM,CE.

已知∠A=50°,∠ACE=30°.

求證:CE=CM;

13如圖,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求證:AD=AE.

如圖在△和△中、分別是、上一點(diǎn)，

14.,ABCA'B'C',DD′ABA′B′''

????

''

??=??.

(1)當(dāng)時(shí),求證△ABC∽△A'B'C'.

??????

''''''

??????

證明的途徑=可以=用下面的框圖表示，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)其中的空格.

(2)當(dāng)時(shí),判斷△ABC與△A'B'C'是否相似，并說(shuō)明理由.

??????

''''''

??=??=??

壓軸預(yù)測(cè)

1.如圖,在△ABC中,邊AC，BC的垂直平分線交于三角形外一點(diǎn)P.若△ABP為等邊三角形，則∠ACB的度

數(shù)為.

2.如圖,在△ABC與△DCB中,AC與BD交于點(diǎn)E,且∠A=∠D,AE=DE.

(1)求證:△ABE≌△DCE;

(2)當(dāng)∠A=90°,AB=4,AE=3時(shí),求BC的值.

3.如圖,已知△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是AC上一點(diǎn),BD=BC.

(1)求證:△ABC∽△BCD;

(2)若點(diǎn)D為AC中點(diǎn),且AC=4,求BC的長(zhǎng).

4.已知:在△ABC中,AB=AC,D為AC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別為點(diǎn)E,F,且DE=DF.求證:△ABC是

等邊三角形.

參考答案

1.(1)銳角直角鈍角

(2)等腰三邊都不相等的

2.(1)大于小于

(2)180°與它不相鄰的兩內(nèi)角的和

3.(1)兩邊

(2)平行等于一半

(3)線段

4.(1)相等

(2)高中線角平分線重合三線合一

(3)等腰三角形

5.(1)60°三線合一

(2)等邊三角形等邊三角形等腰

6.(1)互余

(2)一半

(3)一半

(4)直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

(5)若一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形

7.(1)平行

(2)相似

(3)比例夾角相等

(4)對(duì)應(yīng)成比例

8.(1)成比例相等

(2)中高相似相似相似比的平方

9.(1)對(duì)應(yīng)邊相等對(duì)應(yīng)角相等

(2)SSSSASASAAASHL相等的邊夾角對(duì)應(yīng)邊另一組角對(duì)應(yīng)邊直角三角形

(3)對(duì)應(yīng)邊相等對(duì)應(yīng)角相等相等相等對(duì)應(yīng)中線對(duì)應(yīng)角平分線

10.(1)綜合法(由因?qū)Ч?

(2)分析法(執(zhí)果索因)

(3)兩頭湊法

1.B【解析】本題考查三角形的高線.∵CD⊥AB,∴線段CD是△ABC的AB邊上的高線,故選B.

2.B【解析】本題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定.∵AC∥DF,∴∠A=∠D.又AC=DF,若添加AE=BD,

則AE+BE=BD+BE,即AB=DE,利用“SAS”可判定△ABC≌△DEF,故選B.

3.B【解析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì).因?yàn)镈，E分別為線段BC，BA的中點(diǎn)，所以

??????

??=??=??=

.所以△EBD∽△ABC,所以

1?2??21

2?1=??=4,

故選B.

4.C【解析】本題考查角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形

的判定與性質(zhì).∵∠DAE=∠CAB,∴∠DAC=∠EAB.又AB=AC,AD=AE,∴△ADC≌△AEB,∴∠ADC=∠AEB,故

選項(xiàng)A正確;∵∠CAB=36°,且AB=AC,∴∠ABC=72°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABG=∠CBG=∠DCA=36°,∴∠DCA=

∠CAB,∴CD∥AB,故選項(xiàng)B正確；DE=GE條件不足，不能判定，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵∠CBF=∠CAB=36°,且∠B

CF=∠ACB,∴△CBF∽△CAB,則BCAC=CEB,∴BC=CF·AC.∵AB=AC,∠CAB=36°,∴∠ACB=72°,∴∠CF

B=180°-∠ACB-∠CBG=72°=∠ACB,∴BC=BF,∴BF2=CF·AC,故選項(xiàng)D正確,故選C.

5.A【解析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì).∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.∵E

是AB的中點(diǎn),4=2,∴△BCE為等邊三角形.∵CD⊥AB,∴DE=

1111

2222

故選A.??=4,∴??=??=??=×??=??=×

2=16,.A【解析】本題考查平行線分線段成比例、三角形的面積公式、勾股定理、平行線的判定和性質(zhì).如圖，過(guò)

點(diǎn)A作AH⊥BC于H.∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),∴AD=BD.∴DF∥AH,

1

2

DF⊥DE,∴BF=HF,DF=AH.∵△DFE的面積為1,∴D∵E?·?D?F?=1,∴,∴?D?E=·D?F?=,2?,∴?B=C·A??H.=∵2D?E?·2D?F?=;4×2=8,∴A

11

22

B·AC=8.解得AB=2(舍負(fù)),.

122

2

2,故選∴A?.?=??,∴??=??=??=??,∴???2??=8∴??=4,∴??=??+??=

5

7.1【解析】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式.如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.因?yàn)锳D平分

∠BAC,DE⊥AB,所以DF=DE=1,所以

11

????=2×??×??=2×2×1=1.

8.40°【解析】本題考查三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì).在Rt△ABE中，

∠B=90°,∠BAE=10°,∴∠AEB=80°.∵DE是線段AC的垂直平分線,∴AE=CE,∴∠C=∠CAE,∴∠AEB=∠CAE+∠

C=2∠C=80°,∴∠C=40°.

9.54【解析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理.∵AF=EF,∴∠A=∠

AEF.∵∠CFE=∠A+∠AEF,∴∠CFE=2∠A.又∵∠CFE=72°,∴∠A=36°,在Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,

∴∠B=90°-∠A=54°.

10.82°【解析】本題考查角平分線的定義、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理.∵AC平分∠DCB，

∴∠BCA=∠DCA.又∵CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS),∴∠B=∠D.∵∠EAC=∠D+∠DCA=49°,∴

∠B+∠BCA=49°,∴∠BAE=180°-,即∠BAE的度數(shù)為82°.

11.略49°?49°=82°,

證明:∵BF=EC,

∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF.

在△ABC和△DEF中

??=??,∠?=∠?,

∴△ABC≌△DEF,??=??,

∴∠A=∠D.

12.略

根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)得∠CME=∠CEM，即可得證.

解:證明:因?yàn)椤螦CB=90°,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn).

所以MA=MC,

所以∠MCA=∠A=50°,

所以∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°,

因?yàn)?/p>

所以∠∠C?M??E==∠∠C?EM+,∠所?以??C=E=5C0M°+.30°=80°,

13.略

根據(jù)已知條件，結(jié)合公共角，利用“ASA”即可判定△ACD≌△ABE,得對(duì)應(yīng)邊相等,從而證明AD=AE.

證明:在△ACD和△ABE中

∠?=∠?,

??=??,

∴△ACD≌△ABE.∠?=∠?,

∴AD=AE.

??????

'''''''

(21)4相.似1，??理=由?略?=??;∠?=∠?

(1)根據(jù)比例式進(jìn)行代換，得三邊對(duì)應(yīng)成比例，得兩個(gè)三角形相似后，對(duì)應(yīng)角相等，將所得三邊比例式和對(duì)應(yīng)角

相等填入方框內(nèi)；(2)分別在兩個(gè)三角形中作BC邊和B'C'邊的平行線，利用所得三角形相似得比例式，再結(jié)合比

例式進(jìn)行代換，得三邊對(duì)應(yīng)成比例，證明△DCE∽△D'C'E'，再利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合等角的補(bǔ)角相等以及兩邊

對(duì)應(yīng)成比例證明△ABC∽△A'B'C'.

解：

??????

'''''''

??????

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)=D、D='分別;作∠?D=E∥∠?BC.、D'E'∥B'C',DE交AC于點(diǎn)E,D'E'交A'C'于點(diǎn)E'.

∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.

??????

∴??=??=??.

同理

''''''

??????

''''''

??

又?=?=??.

同理

''

????

''

??=??.

即

''''''

??????????????

''''

∴??=??,??=??.

????

''又''

∴??=又??.

??????

''''''

??=??=??,

??????

''''''

∴∴△??DC=E?∽?△=D?'C?'E.'.

∴∠CED=∠C'E'D'.

∵DE∥BC,∴∠CED+∠ACB=180°.

同理

''''''

∴∠A∠C?B?=∠?A+'C∠'B?'.??=180°.

又AC=BC,∴△ABC∽△A'B'C'.

壓軸預(yù)測(cè)

1.150°【解析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定

理.如圖,連接PC.設(shè)∠APC=x,∠BPC=y.∵△ABP是等邊三角形,∴x+y=60°.∵點(diǎn)P是AC,BC的垂直平分線的交點(diǎn),

∴∴∠∠∠∠在等腰△中在等腰△中

PA=PC=PB,PAC=PCA,PCB=PBC.PAC,°PBC,

180??

2

∴∠∠∠