試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages100100頁(yè)難點(diǎn)11銳角三角函數(shù)的?？碱}型（6大熱考題型）題型一：正弦概念的辨析與應(yīng)用題型二：余弦概念的辨析與應(yīng)用題型三：正切的概念辨析與應(yīng)用題型四：特殊角三角函數(shù)值的應(yīng)用題型五：解直角三角形的相關(guān)運(yùn)算題型六：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題型一：正弦概念的辨析與應(yīng)用【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點(diǎn)，且，連接與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）第屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（）會(huì)標(biāo)如圖所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（，，，）和一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知兩條平行線、，點(diǎn)A是上的定點(diǎn)，于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接交線段于點(diǎn)E，于點(diǎn)H，則當(dāng)最大時(shí)，的值為．【變式1-3】（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的直徑．【變式1-4】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）上有一點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．

(1)求k與m的值；(2)過(guò)點(diǎn)A作直線軸與直線交于點(diǎn)C，求的值．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·河北張家口·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．

2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）正方形網(wǎng)格中，如圖所示放置（點(diǎn)A，O，C均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且點(diǎn)C在上），則的值為（

）A． B． C． D．13．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）直角三角形的斜邊與一直角邊的比是，且較大的銳角為，則等于（）A． B． C． D．5．（2025·上海奉賢·一模）在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一點(diǎn)，射線與x軸正半軸的夾角為，如果，那么點(diǎn)P坐標(biāo)為．6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，M是AD的中點(diǎn)，將四邊形沿翻折得到四邊形，連接，則的值等于．7．（2024·上海青浦·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)M是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線上的點(diǎn)F處，連接．若，則的正弦值為．8．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，四邊形的頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)求的值．(2)操作與計(jì)算：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，并直接寫出的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）9．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等腰三角形，．已知，用兩種方法表示的面積______【探究】你能否從這里得出的計(jì)算公式呢？題型二：余弦概念的辨析與應(yīng)用【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2023·四川攀枝花·中考真題）中，、、的對(duì)邊分別為、、．已知，，，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長(zhǎng)可以是(

)A．1 B．2 C．6 D．8【變式2-3】（2024·山東青島·中考真題）如圖，中，，以為直徑的半圓O分別交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)E作半圓O的切線，交于點(diǎn)M，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．若，，則半徑的長(zhǎng)為．【變式2-4】（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，與交于點(diǎn)F，若，，則的值是．【變式2-5】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至所在直線，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，若，則．【變式2-6】（2023·山東·中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，若，，則．

【中考模擬即學(xué)即練】1．（2025·湖南婁底·一模）若是一個(gè)銳角，且，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形面積為，小正方形面積為，則的值為（

）A． B．43 C． D．453．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直徑為10的經(jīng)過(guò)點(diǎn)C0,6和點(diǎn)O0,0，是軸右側(cè)上一點(diǎn)，則的余弦值為（

）A． B． C． D．455．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，E是直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切于點(diǎn)，若，則的余弦值為（）A． B． C． D．6．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）在中，，于D，若和的面積比為，則的余弦值為7．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，平分，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的值．題型三：正切的概念辨析與應(yīng)用【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·云南·中考真題）在中，，已知，則的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，將矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，那么．

【變式3-1】（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．則的值是（

）A．2 B． C． D．【變式3-2】（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，由8個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)均為2，，其中點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則的值為（

）A．2 B． C． D．3【變式3-3】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)E、F．若，，則．【變式3-4】（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．【變式3-5】（2023·江蘇·中考真題）如圖，3個(gè)大小完全相同的正六邊形無(wú)縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)得到，則的值是．

【變式3-6】（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．(1)求證：；(2)點(diǎn)E在邊上，滿足．若，，求的長(zhǎng)及的值．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、、都在小正方形格點(diǎn)的位置上，連接，相交于點(diǎn)，根據(jù)圖中提示所添加的輔助線，可以求得的值是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，則的正切值是（）A．2 B． C． D．3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．利用此圖，可算出的值是（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)與點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與的圖像上，且，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西渭南·一模）在中，，，則的值為．6．（2025·山東青島·一模）如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)分別在邊上．連接，將四邊形沿翻折，點(diǎn)分別落在點(diǎn)處．則的值是．7．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，，若，則的值為．題型四：特殊角三角函數(shù)值的應(yīng)用【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·山東青島·中考真題）計(jì)算：．【變式4-1】（2024·西藏·中考真題）計(jì)算：．【變式4-2】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）計(jì)算：．【中考模擬即學(xué)即練】1．（2025·上海普陀·一模）計(jì)算：．2．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：．3．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：．題型五：解直角三角形的相關(guān)運(yùn)算【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，平行四邊形中，、分別是，的平分線，且E、F分別在邊，上．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的面積．【變式5-1】（2024·海南·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)D為圓心作弧，交于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，作直線交于點(diǎn)E，若，則四邊形的周長(zhǎng)是（

）

A．22 B．21 C．20 D．18【變式5-2】（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長(zhǎng)為，且有一個(gè)內(nèi)角為，則該菱形的高為．【變式5-3】（2024·山西·中考真題）如圖，在中，為對(duì)角線，于點(diǎn)E，點(diǎn)F是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．若，，，則的長(zhǎng)為．【變式5-4】（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為0,4，點(diǎn)均在軸上．將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式5-5】（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實(shí)踐：九年級(jí)某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學(xué)習(xí)活動(dòng)．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個(gè)等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標(biāo)注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線的長(zhǎng)的度數(shù)腰長(zhǎng)兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1__________________請(qǐng)補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數(shù)量關(guān)系：______．【變式思考】（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展運(yùn)用】（3）如圖④，中，，點(diǎn)D在邊上，．以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧與線段相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點(diǎn)．請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并分析的值是否變化？圖序角平分線的長(zhǎng)的度數(shù)腰長(zhǎng)兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1【中考模擬即學(xué)即練】1．（2024·浙江寧波·二模）如圖與均為等腰直角三角形，，直線與直線交于點(diǎn)，在與繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，為對(duì)角線，的平分線交于點(diǎn)E，連接DE交于點(diǎn)F．則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．3．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）如圖中，，，若，，且的面積是面積的10倍，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．4．（2025·上海普陀·一模）已知中，，是邊上的高，．如果，那么．5．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）正方形中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則6．（2024·甘肅嘉峪關(guān)·二模）如圖，已知．(1)尺規(guī)作圖：作的邊AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若，求DE的長(zhǎng)．7．（2023·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為的直徑，是的一條弦，D為弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E，連接．(1)求證：是的切線；(2)延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于F，若，，求的長(zhǎng)．8．（2024·河北邢臺(tái)·一模）如圖1，四邊形中，，，，為四邊形的對(duì)角線，．

(1)求點(diǎn)到的距離；(2)如圖2，點(diǎn)在邊上，且．以為圓心，長(zhǎng)為半徑作，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接交于．．①當(dāng)與相切時(shí)，求的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．題型六：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用【中考母題學(xué)方法】【典例1】（2024·山西·中考真題）研學(xué)實(shí)踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學(xué)校組織研學(xué)活動(dòng)．同學(xué)們來(lái)到毛主席東渡黃河紀(jì)念碑所在地，在了解相關(guān)歷史背景后，利用航模搭載的掃描儀采集紀(jì)念碑的相關(guān)數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)采集：如圖，點(diǎn)是紀(jì)念碑頂部一點(diǎn)，的長(zhǎng)表示點(diǎn)到水平地面的距離．航模從紀(jì)念碑前水平地面的點(diǎn)處豎直上升，飛行至距離地面20米的點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得點(diǎn)的仰角；然后沿方向繼續(xù)飛行，飛行方向與水平線的夾角，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)正上方的點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得米；數(shù)據(jù)應(yīng)用：已知圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，，，三點(diǎn)在同一直線上．請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算紀(jì)念碑頂部點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【變式6-1】（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬(wàn)平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量潮汐塔的高度，測(cè)量方案如圖所示：無(wú)人機(jī)在距水平地面的點(diǎn)M處測(cè)得潮汐塔頂端A的俯角為，再將無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行到達(dá)點(diǎn)N，測(cè)得潮汐塔底端B的俯角為（點(diǎn)在同一平面內(nèi)），則潮汐塔的高度為（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【變式6-2】（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在徐州云龍湖旅游景區(qū)，點(diǎn)為“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地，點(diǎn)為“水族展覽館”，點(diǎn)為“徐州漢畫像石藝術(shù)館”．已知，，．求“彭城風(fēng)華”觀演場(chǎng)地與“水族展覽館”之間的距離AB（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，）【變式6-3】（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為，在處測(cè)得電線塔頂部的仰角為．(1)求點(diǎn)離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【變式6-4】（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，為了測(cè)量無(wú)人機(jī)的飛行高度，在水平地面上選擇觀測(cè)點(diǎn)A，B．無(wú)人機(jī)懸停在C處，此時(shí)在A處測(cè)得C的仰角為無(wú)人機(jī)垂直上升懸停在D處，此時(shí)在B處測(cè)得D的仰角為點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在的同側(cè)．求無(wú)人機(jī)在C處時(shí)離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：）【變式6-5】（2024·山東青島·中考真題）“滑滑梯”是同學(xué)們小時(shí)候經(jīng)常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高．從安全性及適用性出發(fā)，小亮同學(xué)對(duì)所在小區(qū)的一處滑梯進(jìn)行調(diào)研，制定了如下改造方案，請(qǐng)你幫小亮解決方案中的問(wèn)題．方案名稱滑梯安全改造測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺等方案設(shè)計(jì)如圖，將滑梯頂端拓寬為，使，并將原來(lái)的滑梯改為，（圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)在同一直線上）測(cè)量數(shù)據(jù)【步驟一】利用皮尺測(cè)量滑梯的高度；【步驟二】在點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得；【步驟三】在點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得．解決問(wèn)題調(diào)整后的滑梯會(huì)多占多長(zhǎng)一段地面？（即求的長(zhǎng)）（參考數(shù)據(jù)：）【變式6-6】（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標(biāo)．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西方向上的B處．記錄三：根據(jù)氣象觀測(cè)，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點(diǎn)周圍5海里內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔P北偏東方向．請(qǐng)你根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題：(1)填空：________，________，________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會(huì)進(jìn)入“海況異常”區(qū)，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．（參考數(shù)據(jù)：）【變式6-7】（2024·山東濟(jì)南·中考真題）城市軌道交通發(fā)展迅猛，為市民出行帶來(lái)極大方便，某?！熬C合實(shí)踐”小組想測(cè)得輕軌高架站的相關(guān)距離，數(shù)據(jù)勘測(cè)組通過(guò)勘測(cè)得到了如下記錄表：綜合實(shí)踐活動(dòng)記錄表活動(dòng)內(nèi)容測(cè)量輕軌高架站的相關(guān)距離測(cè)量工具測(cè)傾器，紅外測(cè)距儀等過(guò)程資料相關(guān)數(shù)據(jù)及說(shuō)明：圖中點(diǎn)，在同平面內(nèi)，房頂，吊頂和地面所在的直線都平行，點(diǎn)在與地面垂直的中軸線上，，．成果梳理……請(qǐng)根據(jù)記錄表提供的信息完成下列問(wèn)題：(1)求點(diǎn)到地面的距離；(2)求頂部線段的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【中考模擬即學(xué)即練】1．（2025·山東臨沂·一模）某中學(xué)為新操場(chǎng)采購(gòu)了一批可調(diào)節(jié)高度的籃球架，右圖是其側(cè)面示意圖，底座高度忽略不計(jì)．已知其支架，，安裝完畢后小明測(cè)得，，國(guó)家規(guī)定中學(xué)生所用籃球架中籃筐距地面標(biāo)準(zhǔn)高度約為，請(qǐng)你幫小明判斷安裝后的這批籃球架是否符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)？（參為數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）2．（2025·山東青島·一模）阿代的數(shù)學(xué)研學(xué)日記課題：測(cè)量旗桿的高度地點(diǎn)：青島市山海二十六中學(xué)操場(chǎng)時(shí)間：2025月3月2日昨天上午代興國(guó)老師要帶我們?nèi)ゲ賵?chǎng)測(cè)量旗桿的高度，昨天我們小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案，方案如下：小亮拿著標(biāo)桿垂直于地面放置，我和小聰用卷尺測(cè)量標(biāo)桿、標(biāo)桿的影長(zhǎng)和旗桿的影長(zhǎng)，如圖1所示，標(biāo)桿，影長(zhǎng)，旗桿的影長(zhǎng)，則可求得旗桿的高度為_______．今天測(cè)量時(shí)陰天就不能用昨天的方案了，如圖2所示，張世昌老師將升旗用繩子拉直，使繩子的底端G剛好觸到地面，用儀器測(cè)得繩子與地面的夾角為，然后又將繩子拉到一個(gè)0.5米高的平臺(tái)上，拉直繩子使繩子上的H點(diǎn)剛好觸到平臺(tái)，剩余的繩子長(zhǎng)度為5米，此時(shí)測(cè)得繩子與平臺(tái)的夾角為，利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿的高度嗎？請(qǐng)你回答阿代的問(wèn)題．若能，請(qǐng)求出旗桿的高度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，；，，）3．（2024·浙江·一模）圖1是我國(guó)古代提水的器具桔槔（jiégāo），創(chuàng)造于春秋時(shí)期．它選擇大小兩根竹竿，大竹竿中點(diǎn)架在作為杠桿的竹梯上．大竹竿末端懸掛一個(gè)重物，前端連接小竹竿（小竹竿始終與地面垂直），小竹竿上懸掛水桶．其原理是通過(guò)對(duì)架在竹梯上的大竹竿末端下壓用力，從而提水出井．當(dāng)放松大竹竿時(shí)，小竹竿下降，水桶就會(huì)回到井里．如圖2是桔槔的示意圖，大竹竿米，O為的中點(diǎn)，支架垂直地面，此時(shí)水桶在井里時(shí)，．(1)如圖2，求支點(diǎn)O到小竹竿的距離（結(jié)果精確到0.1米）；(2)如圖3，當(dāng)水桶提到井口時(shí)，大竹竿旋轉(zhuǎn)至的位置，小竹竿至的位置，此時(shí)，求點(diǎn)A上升的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）4．（2024·浙江紹興·二模）隨著時(shí)代的發(fā)展，手機(jī)“直播帶貨”已經(jīng)成為當(dāng)前最為強(qiáng)勁的購(gòu)物新潮流．某種手機(jī)支架如圖1所示，立桿垂直于地面，其高為，為支桿，它可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其中長(zhǎng)為，為懸桿，滑動(dòng)懸桿可調(diào)節(jié)的長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)如圖2，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，時(shí)，且支桿與立桿之間的夾角為，求端點(diǎn)距離地面的高度；(2)調(diào)節(jié)支桿，懸桿，使得，，如圖3所示，且點(diǎn)到地面的距離為，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到）5．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）甘肅科技館（如圖）是甘肅省有史以來(lái)投資和建設(shè)規(guī)模最大的社會(huì)公益性科普項(xiàng)目，是實(shí)施科教興國(guó)戰(zhàn)略和創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略的重要基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)．甘肅科技館的建成，標(biāo)志著甘肅省科普陣地建設(shè)邁上了新臺(tái)階．某校學(xué)習(xí)小組把測(cè)量甘肅科技館的高度作為一次課題活動(dòng)，同學(xué)們制定了測(cè)量方案，并完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)得結(jié)果如下表課題測(cè)量甘肅科技館的高度測(cè)量示意圖說(shuō)明甘肅科技館樓頂一角的D處到地面的高度為，在A點(diǎn)用儀器測(cè)得點(diǎn)D的仰角為，在E點(diǎn)用該儀器測(cè)得點(diǎn)D的仰角為，且點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一豎直平面內(nèi)測(cè)量數(shù)據(jù)，，，測(cè)角儀的高度為請(qǐng)你根據(jù)上表的測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出甘肅科技館的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）6．（2024·上海浦東新·一模）如圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂(lè)城的邊長(zhǎng)為，南門設(shè)立在邊的正中央，游樂(lè)城南側(cè)有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計(jì)），東側(cè)有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上，在處測(cè)得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點(diǎn)到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過(guò)多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂(lè)城的影響？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，）7．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）為推進(jìn)《學(xué)生出入校門智能管理方案》的實(shí)施，圖1是某校安裝的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離．（計(jì)算結(jié)果精確到）(1)頭部高度為、身高的小帥站在離攝像頭水平距離的點(diǎn)處，請(qǐng)問(wèn)小帥最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別？(2)頭部高度為，身高的小美踮起腳尖可以增高，但仍無(wú)法被識(shí)別，若學(xué)校工作人員及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為，此時(shí)小美能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，8．（2024·重慶南岸·模擬預(yù)測(cè)）春天是踏青的好季節(jié)，小明和小華決定去公園出游踏青．如圖，已知為公園入口，景點(diǎn)位于點(diǎn)東北方向米處，景點(diǎn)位于點(diǎn)南偏東方向，景點(diǎn)在景點(diǎn)的正北方向，景點(diǎn)既位于景點(diǎn)正東方向310米處，又位于景點(diǎn)的北偏西方向．景點(diǎn)既位于景點(diǎn)的正東方向，又位于景點(diǎn)的正南方向．米．（參考數(shù)據(jù)：）(1)求的長(zhǎng)；（精確到個(gè)位）(2)小明選擇了游覽路線①：，小明行駛的平均速度是72米/分，小明在景點(diǎn)處各停留了10分鐘、5分鐘．小華選擇了游覽路線②：，小華行駛的平均速度為96米/分．小華在景點(diǎn)