專題01數(shù)與式

目錄

01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（4大模塊知識(shí)梳理）

知識(shí)模塊一：實(shí)數(shù)的有關(guān)概念及計(jì)算

知識(shí)模塊二：整式及因式分解

知識(shí)模塊三：分式

知識(shí)模塊四：二次根式

03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（10大基礎(chǔ)考點(diǎn)+1方法技巧）

考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的分類及正負(fù)數(shù)的意義

考點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及科學(xué)記數(shù)法

考點(diǎn)三：平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

考點(diǎn)四：二次根式及其運(yùn)算

考點(diǎn)五：實(shí)數(shù)的運(yùn)算及大小比較（高頻）

考點(diǎn)六：代數(shù)式及求值

考點(diǎn)七：整式的相關(guān)概念及運(yùn)算（含冪的運(yùn)算）

考點(diǎn)八：整式的化簡(jiǎn)及求值（高頻）

考點(diǎn)九：因式分解（高頻）

考點(diǎn)十：分式

考點(diǎn)十一：實(shí)數(shù)計(jì)算中的規(guī)律問題的解決方法（方法技巧）

04辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（4大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：平方根、算術(shù)平方根、立方根的區(qū)別（填空題必考）

易錯(cuò)點(diǎn)2：整式的化簡(jiǎn)求值

易錯(cuò)點(diǎn)3：分式的有關(guān)概念

易錯(cuò)點(diǎn)4：分式的化簡(jiǎn)求值

知識(shí)模塊一：實(shí)數(shù)的有關(guān)概念及計(jì)算

知識(shí)點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的分類

1、按實(shí)數(shù)的定義分類：2、按大小分類：

正整數(shù)正整數(shù)

整數(shù)正有理數(shù)

0正實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)負(fù)整數(shù)

正無理數(shù)

實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)實(shí)數(shù)0

負(fù)分?jǐn)?shù)

負(fù)整數(shù)

正無理數(shù)負(fù)有理數(shù)

負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

無理數(shù)

負(fù)無理數(shù)

負(fù)無理數(shù)

知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念：正負(fù)數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)（熟記）

知識(shí)點(diǎn)概念補(bǔ)充與拓展

大于0的數(shù)叫做正注意：負(fù)數(shù)前面的負(fù)號(hào)“-”不能省略.0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).

數(shù).正數(shù)前面加上符正負(fù)數(shù)的意義：表示具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，通

正負(fù)數(shù)號(hào)“-”的數(shù)叫負(fù)數(shù).常先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．

數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

將兩個(gè)數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)

規(guī)定了原點(diǎn)、正方大.

數(shù)軸向、單位長(zhǎng)度的直在數(shù)軸上距原點(diǎn)n個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有2個(gè).

線叫做數(shù)軸.數(shù)軸中點(diǎn)公式：數(shù)軸上有兩點(diǎn)A、B分別表示的數(shù)為x，y，若C是A、B

兩點(diǎn)的中點(diǎn)，C所表示的數(shù)為c，則有：2c=x+y.

數(shù)軸兩點(diǎn)距離=數(shù)軸上右側(cè)的點(diǎn)所表示的數(shù)-左側(cè)的點(diǎn)表示的數(shù)（簡(jiǎn)稱大數(shù)

-小數(shù)）.

若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0（反之亦成立）.

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的的距離相等且位于

只有符號(hào)不同的兩原點(diǎn)的兩側(cè).

個(gè)數(shù)稱為互為相反正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.相反數(shù)是本

相反數(shù)數(shù).身的數(shù)是0.

（a+b）的相反數(shù)是-（a+b），（a-b）的相反數(shù)是-（a-b）或b-a.

多重符號(hào)化簡(jiǎn)口訣：數(shù)負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)，奇負(fù)偶正.

兩個(gè)正數(shù)比較，絕對(duì)值大數(shù)越大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小.

在數(shù)軸上表示數(shù)a正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；0絕對(duì)值是0；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)

的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），則a≤0.

叫做a的絕對(duì)值，若a=b或a=-b，則|a|=|b|（反之亦成立）.

絕對(duì)值記為|a|．若|a|+|b|=0，則a=0且b=0（a、b可以是多項(xiàng)式）.

幾何意義補(bǔ)充：|x|=|x-0|數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，|x-1|數(shù)軸上表

示x的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)之間的距離，|x+2|數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示-2的點(diǎn)

之間的距離.

0沒有倒數(shù).

1除以一個(gè)不等于

若、互為倒數(shù)，則

零的實(shí)數(shù)所得的abab=1

倒數(shù)

商，叫做這個(gè)數(shù)的互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(hào)（同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)）.

倒數(shù)．

倒數(shù)是本身的只有1和-1.

n個(gè)相同的因數(shù)

a負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)

相乘記作an，其中

乘方a為底數(shù)，n為指正數(shù)的任何次冪都是正數(shù).

數(shù)，乘方的結(jié)果叫

規(guī)定：0（）

做冪.a=1a≠0

知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1、科學(xué)記數(shù)法（掌握）與近似數(shù)：

知識(shí)點(diǎn)概念補(bǔ)充與拓展

用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，確定a，n的值是關(guān)鍵.

當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n

等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為1.

科學(xué)記數(shù)當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于時(shí)，寫成-n的形式，其中＜，等

a×10n的形式，其中1≤|a|1a×101≤|a|10n

法于原數(shù)左邊第一個(gè)非零的數(shù)字前的所有零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面

＜10，n為整數(shù)．

的零）.

小技巧：1萬=104，1億=1萬×1萬=108.

近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程近似數(shù)小數(shù)點(diǎn)后的末位數(shù)是0的，不能去掉0.

度通常用精確度來表示，

一個(gè)近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)

近似數(shù)一般由四舍五入取

近似數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.

得，四舍五入到哪一位，

就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪

一個(gè)近似數(shù)有幾個(gè)有效數(shù)字，就稱這個(gè)近似數(shù)保留幾個(gè)有效數(shù)字.

一位.

2、平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)（理解）

知識(shí)點(diǎn)概念補(bǔ)充與拓展

如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，

算術(shù)那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.正數(shù)只有一個(gè)算術(shù)平方根，且恒為正；0的算術(shù)平方根為

平方根0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根

記為a，a叫做被開方數(shù).

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù).

平方根就叫做a的平方根或二次方根，即如果

0的算術(shù)平方根為0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.

x2=a，那么x叫做a的平方根.

正數(shù)只有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；負(fù)數(shù)只有一

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，即x3=a，那

立方根個(gè)負(fù)的立方根．

么x叫做a的立方根或三次方根.

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)

非負(fù)數(shù)有三種形式：

①任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即|a|≥0；

②任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)，即≥0；

實(shí)數(shù)的在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)③任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即2

?≥0.

非負(fù)性數(shù)非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：①非負(fù)數(shù)有最小值零；

.?

②非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

③幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.

3、實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則及大小比較（掌握）

（一）常見的實(shí)數(shù)運(yùn)算（常出現(xiàn)在選擇題）

運(yùn)算法則

乘方

nann為偶數(shù)

aaaaa，(a)n

n

n個(gè)aan為奇數(shù)

零次冪

a01(a0)

負(fù)整數(shù)指數(shù)冪11

an（a0，n為正整數(shù)），特別地：a1(a0).

ana

ab,ab

去絕對(duì)值符號(hào)

|ab|0,ab

ba,ab

-1的奇偶次冪

1，n為偶數(shù)

(1)n

1，n為奇數(shù)

三角函數(shù)30°45°60°

1

sin23

222

cos321

222

3

tan13

3

（二）實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算法則（穿插在各個(gè)題型中）

(1)實(shí)數(shù)加法法則：

①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.互為

相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；

③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

(2)實(shí)數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

(3)實(shí)數(shù)乘法法則：

①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.任何數(shù)與0相乘，都得0；

②幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)

的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；

③幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，那么積等于0.

(4)實(shí)數(shù)除法法則：

①除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù).0不能作除數(shù)；

②兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.

(5)乘方的運(yùn)算法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整

數(shù)次冪都是0.

4、實(shí)數(shù)比較大小的6種基礎(chǔ)方法：

數(shù)軸比較法：將兩個(gè)數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.

類別比較法：正數(shù)大于零；負(fù)數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而?。?/p>

作差比較法：若a，b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b．

平方比較法：①對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，b，若a2>b2a>b；

②對(duì)任意負(fù)實(shí)數(shù)a，b，若a2>b2a<b．

11

倒數(shù)比較法：若>，ab>0，則a<b．

ab

b

作商比較法：①任意實(shí)數(shù)a，b，=1a=b；

a

aa

②任意正實(shí)數(shù)a，b，>1a>b；<1a＜b；

bb

aa

③任意負(fù)實(shí)數(shù)a，b，>1a<b；<1a＜b.

bb

知識(shí)模塊二：整式及因式分解

知識(shí)點(diǎn)一：代數(shù)式、代數(shù)式的值

1、代數(shù)式的概念

用基本運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)與字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者

一個(gè)字母也是代數(shù)式．

2、代數(shù)式的值

用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母,按運(yùn)算順序計(jì)算出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.求代數(shù)式的值分兩步:第一步,代數(shù);

第二步,計(jì)算.要充分利用“整體”思想求代數(shù)式的值.

知識(shí)點(diǎn)二：整式的有關(guān)概念（常出現(xiàn)在選擇題、填空題）

1、整式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．

2、單項(xiàng)式：含有數(shù)或字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式．單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式．單．項(xiàng)．式．中．的．?dāng)?shù)．

字．因．式．叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)；一個(gè)單項(xiàng)式中，所．有．字．母．的．指．?dāng)?shù)．的．和．叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．

3、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常

數(shù)項(xiàng)．多項(xiàng)式里，次．?dāng)?shù)．最．高．項(xiàng)．的．次．?dāng)?shù)．，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．多項(xiàng)式中單．項(xiàng)．式．的．個(gè)．?dāng)?shù)．，就是這個(gè)多項(xiàng)式

的項(xiàng)數(shù)．

4、同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)．幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)．

5、合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)．合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并

前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變．

知識(shí)點(diǎn)三：整式的運(yùn)算（貫穿整個(gè)代數(shù)部分）

1、整式的加減運(yùn)算：

①概念：整數(shù)的加減本質(zhì)是合并同類項(xiàng)，如果有括號(hào)要先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng).

②去括號(hào)法則：如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外

的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反.

③添括號(hào)法則：添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，

括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).

2、冪的運(yùn)算（多出選擇題）：

正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：amanamn；(am)namn；(ab)mambm；amanamn(a≠0，m＞n)．其

中m、n都是正整數(shù)．

3、整式的乘除運(yùn)算

整式的乘除運(yùn)算步驟說明補(bǔ)充說明及注意事項(xiàng)

①將單項(xiàng)式系數(shù)相乘作為積的系數(shù);

②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的乘法，1）實(shí)質(zhì):乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法

單項(xiàng)式乘單

作為積的一個(gè)因式;則的綜合應(yīng)用.

項(xiàng)式

③單獨(dú)出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為積2）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式所得結(jié)果仍是單項(xiàng)式.

的一個(gè)因式.

1）單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式

單項(xiàng)式乘多①先用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘；乘以單項(xiàng)式.

項(xiàng)式②再把所得的積相加.2）單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的結(jié)果是多項(xiàng)式，積的

項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.

運(yùn)用法則時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

①相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不

①先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)重不漏；

多項(xiàng)式乘多

式的每一項(xiàng)相乘，②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都

項(xiàng)式

②再把所得的積相加．應(yīng)該帶上它前面的正負(fù)號(hào).且結(jié)果仍是多項(xiàng)

式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原

多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．

①將單項(xiàng)式系數(shù)相除作為商的系數(shù)；

單項(xiàng)式除單②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的除法，

項(xiàng)式作為商的一個(gè)因式；

③只在被除式里含有的字母連同指數(shù)不變.

①先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)

多項(xiàng)式除單

式；

項(xiàng)式

②再把所得的商相加

整式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面的.

知識(shí)點(diǎn)四：乘法公式（熟記）

1、平方差公式：(ab)(ab)a2b2（注意公式逆應(yīng)用）.

2、完全平方公式：(ab)2a22abb2（注意公式逆應(yīng)用）.

知識(shí)點(diǎn)五：因式分解（掌握）

1、定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．

2、方法：（1）提公因式法：mambmcm(abc)；

（2）公式法：a22abb2(ab)2；a2b2(ab)(ab)；

（3）十字相乘法：x2(ab)xab(xa)(xb)．

3、分解因式的基本步驟：

（1）先看各項(xiàng)有沒有公因式，若有，則先提公因式；

（2）再看余下的式子能否用公式法繼續(xù)分解，直至不能再分解為止．

簡(jiǎn)記為一“提”、二“套”、三“檢查．

知識(shí)模塊三：分式

知識(shí)點(diǎn)一：分式的概念與性質(zhì)

1、分式的概念

A

形如的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零．

B

2、分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．

AAMAAM

，．(其中M是不等于零的整式)

BBMBBM

知識(shí)點(diǎn)二：分式的運(yùn)算法則（掌握）

ababacadbcacac

①加減法：，；②乘法：；

cccbdbdbdbd

n

acadadaan

③除法：；④乘方：（n為正整數(shù)）．

bdbcbcbbn

知識(shí)模塊四：二次根式

知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的相關(guān)概念與性質(zhì)

1、二次根式的概念：形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．

2、最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的概念

最簡(jiǎn)二次根式是指滿足下列條件的二次根式：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)

或因式．

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式．

3、二次根式的主要性質(zhì)

2

（1）a0(a0)；（2）aa(a0)；

2a(a0)

（3）a|a|；

a(a0)

（4）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：abab(a0，b0)；

aa

（5）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：(a0，b0).

bb

知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的運(yùn)算（掌握）

1、二次根式的加減：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類二次根式分別合并．

2、二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變．

考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的分類及正負(fù)數(shù)的意義

5

【典例1】（2024?涼山州）下列各數(shù)中：5，，3，0，25.8，2，負(fù)數(shù)有()

7

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【典例2】（2024秋?吳中區(qū)校級(jí)月考）2024年5月3日，嫦娥六號(hào)探測(cè)器開啟世界首次月球背面采樣返回

之旅，月球表面的白天平均溫度是零上126C，記作126C，夜間平均溫度是零下150C，應(yīng)記作()

A．150CB．150CC．276CD．276C

考點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及科學(xué)記數(shù)法

【典例1】（2024?雅安）2024的相反數(shù)是()

11

A．2024B．2024C．D．

20242024

【典例2】（2024?成都）5的絕對(duì)值是()

11

A．5B．5C．D．

55

【典例3】（2024?包頭）若m，n互為倒數(shù)，且滿足mmn3，則n的值為()

11

A．B．C．2D．4

42

【典例4】（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）明朝地理學(xué)家徐霞客從小立志，朝碧海而暮蒼梧，一生志在四方，踏

遍錦繡山河，編撰了60余萬字的地理名著《徐霞客游記》，其中60萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為．

【典例5】（2024?蘇州）用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)，其中與原點(diǎn)距離最近的是()

A．3B．1C．2D．3

1

【典例6】（2024?科右前旗模擬）點(diǎn)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，試比較a、、|a|大小關(guān)系正確的是()

a

1111

A．a(chǎn)|a|B．a(chǎn)|a|C．a(chǎn)|a|D．|a|a

aaaa

【典例7】（2024秋?成華區(qū)校級(jí)月考）如圖，將一個(gè)半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓片上的點(diǎn)A放在原點(diǎn)，并把

圓片沿?cái)?shù)軸滾動(dòng)1周，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A的位置，則點(diǎn)A表示的數(shù)是；若起點(diǎn)A開始時(shí)是與1重合

的，則滾動(dòng)2周后點(diǎn)A表示的數(shù)是．

【典例8】（2024?河北）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸．甲數(shù)軸上的三點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)依次為4，2，

32，乙數(shù)軸上的三點(diǎn)D，E，F(xiàn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)依次為0，x，12．

AB

（1）計(jì)算A，B，C三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的和，并求的值；

AC

（2）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D上下對(duì)齊時(shí)，點(diǎn)B，C恰好分別與點(diǎn)E，F(xiàn)上下對(duì)齊，求x的值．

考點(diǎn)三：平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

【典例1】（2024?資陽(yáng)）若(a1)2|b2|0，則ab．

【典例2】．“平方根”節(jié)是數(shù)學(xué)愛好者的節(jié)日，一個(gè)世紀(jì)只會(huì)出現(xiàn)9次，這一天的月份和日期的數(shù)字相同，

且恰好是當(dāng)年年份最后兩位數(shù)字的算術(shù)平方根，例如2016年的4月4日，請(qǐng)你再寫出一個(gè)本世紀(jì)的“平方

根”節(jié)，年月日（題中示例除外）．

【典例3】（2024?成都）若m，n為實(shí)數(shù)，且(m4)2n50，則(mn)2的值為．

【典例4】（2024春?西城區(qū)校級(jí)期中）【閱讀材料】

善于思考的小明通過觀察下列各式的計(jì)算過程，找到了求較大數(shù)的立方根的一種方法：131，238，3327，

4364，53125，63216，73343，83512，93729．

（1）小明是這樣求出493039的立方根的．他先估計(jì)493039的立方根的個(gè)位上的數(shù)字，由上面各式他猜想

出這個(gè)立方根的個(gè)位上的數(shù)字為，又由703493039803；猜想出493039的立方根的十位上的數(shù)字

為，從而得到493039的立方根；

【解決問題】

（2）請(qǐng)你根據(jù)（1）中小明的探究方法，完成如下填空：

①3238328，②30.571787．

考點(diǎn)四：二次根式及其運(yùn)算

【典例1】（2024?北京）若x9在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．

1

【典例2】（2024?淮安）計(jì)算：8．

2

【典例3】（2023春?巨野縣期末）下面是小華同學(xué)解答題目的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．

1

計(jì)算：(21)24．

2

1

解:原式22214第一步

2

32222第二步

3第三步

任務(wù)一：以上步驟中，從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是．

任務(wù)二：請(qǐng)寫出正確的計(jì)算過程．

任務(wù)三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就二次根式運(yùn)算時(shí)還需注意

的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．

【典例4】（2024?廣州模擬）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了利用三角形三邊長(zhǎng)a，b，c求三角形面

1a2b2c2

積的“秦九韶公式”，即S[a2b2()2]．已知在ABC中，a5，b6，c7，則b邊

42

上的高為()

39263926

A．B．C．D．

3264

1

【典例5】如果一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)p(abc)，則有下列面積公式：

2

Sp(pa)(pb)(pc)（海倫公式）；

1a2b2c2

S[a2b2()2]（秦九韶公式）．

42

如果一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)依次為5，6，7，利用兩個(gè)公式分別求這個(gè)三角形的面積．

考點(diǎn)五：實(shí)數(shù)的運(yùn)算及大小比較

【典例1】（2024?吉林）若(3)□的運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)，則□內(nèi)的數(shù)字可以為()

A．2B．1C．0D．1

【典例2】（2024?重慶）估計(jì)12(23)的值應(yīng)在()

A．8和9之間B．9和10之間C．10和11之間D．11和12之間

【典例3】（2024?思明區(qū)二模）如圖，在做浮力實(shí)驗(yàn)時(shí)，小華用一根細(xì)線將一個(gè)正方體鐵塊拴住，完全浸

入盛滿水的圓柱形燒杯中，量筒量得溢出水的體積為34ml，則該鐵塊棱長(zhǎng)大小的范圍是()

A．2cm~3cmB．3cm~4cmC．4cm~5cmD．5cm~6cm

【典例4】（2024?安徽）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張衡將圓周率取值為10，祖沖之給出圓周率的一種分?jǐn)?shù)形式的

2222

近似值為．比較大小：10（填“”或“”)．

77

【典例5】（2024?陜西）小華探究“幻方”時(shí)，提出了一個(gè)問題：如圖，將0，2，1，1，2這五個(gè)數(shù)分別

填在五個(gè)小正方形內(nèi)，使橫向三個(gè)數(shù)之和與縱向三個(gè)數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以

是.（寫出一個(gè)符合題意的數(shù)即可）

【典例6】（2024?金水區(qū)校級(jí)二模）如圖是在浦東陸家嘴明代陸深古墓中發(fā)掘出來的寶玉明白玉幻方．其

背面有方框四行十六格，為四階幻方（從1到16，一共十六個(gè)數(shù)目，它們的縱列、橫行與兩條對(duì)角線上4

個(gè)數(shù)相加之和均為34)．小明探究后發(fā)現(xiàn)，這個(gè)四階幻方中的數(shù)滿足下面規(guī)律：在四階幻方中，當(dāng)數(shù)a，b，

c，d有如圖1的位置關(guān)系時(shí)，均有abcd17．如圖2，已知此幻方中的一些數(shù)，則x的值為．

【典例7】（2024?甘肅）定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：m*nmnmn(m，n均為整數(shù)，且m0)．例：

2*323232，則(2)*2．

【典例8】（2024?北京）聯(lián)歡會(huì)有A，B，C，D四個(gè)節(jié)目需要彩排，所有演員到場(chǎng)后節(jié)目彩排開始．一

個(gè)節(jié)目彩排完畢，下一個(gè)節(jié)目彩排立即開始．每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長(zhǎng)（單位：min)如下：

節(jié)目ABCD

演員人數(shù)102101

彩排時(shí)長(zhǎng)30102010

已知每位演員只參演一個(gè)節(jié)目．一位演員的候場(chǎng)時(shí)間是指從第一個(gè)彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的

節(jié)目彩排開始的時(shí)間間隔（不考慮換場(chǎng)時(shí)間等其他因素）．若節(jié)目按“ABCD”的先后順序彩排，則節(jié)

目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為min；若使這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按的先后順序

彩排．

1

【典例9】（2024?濟(jì)南）計(jì)算：9(3.14)0()1|3|2cos30．

4

考點(diǎn)六：代數(shù)式及求值

【典例1】（2024?岳麓區(qū)校級(jí)三模）中國(guó)古代《孫子算經(jīng)》中有個(gè)問題：今有四人共車，一車空；二人共

車，八人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每4人乘一車，恰好剩余1輛車無人

坐；若每2人共乘一車，最終剩余8個(gè)人無車可乘，問有多少人，多少輛車？如果設(shè)有x輛車，則總?cè)藬?shù)可

表示為()

A．4(x1)B．4(x1)C．2x8D．2(x1)8

考點(diǎn)七：整式的相關(guān)概念及運(yùn)算（含冪的運(yùn)算）

【典例1】（2024?湖南）下列計(jì)算正確的是()

A．3a22a21B．a(chǎn)3a2a(a0)C．a(chǎn)2a3a6D．(2a)36a3

【典例2】（2024?長(zhǎng)春）單項(xiàng)式2a2b的次數(shù)是．

【典例3】（2024?薛城區(qū)二模）現(xiàn)有邊長(zhǎng)分別為a和b(ab)的A類和B類正方形紙片、長(zhǎng)為a寬為b的C

類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長(zhǎng)為ab的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類

紙片．若要拼一個(gè)長(zhǎng)為3ab、寬為a2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為()

A．7B．8C．9D．10

【典例4】（2024?上海）計(jì)算：(ab)(ba)．

1

【典例5】（2024?重慶）計(jì)算：(3)0()1．

2

【典例6】（2023秋?武漢期中）如果整式A與整式B的和為一個(gè)數(shù)值m，我們稱A，B為數(shù)m的“伙伴整

式”，例如：x4和x6為數(shù)2的“伙伴整式”；2ab4和2ab4為數(shù)8的“伙伴整式”．若關(guān)于x的整

式4x2kx6與4x23xk1為數(shù)n的“伙伴整式”，則n的值為．

考點(diǎn)八：整式的化簡(jiǎn)及求值

【典例1】（2024?甘肅）先化簡(jiǎn)，再求值：[(2ab)2(2ab)(2ab)]2b，其中a2，b1．

考點(diǎn)九：因式分解

【典例1】（2024?甘孜州）分解因式：a25a．

【典例2】（2024?開福區(qū)校級(jí)二模）一個(gè)多項(xiàng)式，把它因式分解后有一個(gè)因式為(x1)，請(qǐng)你寫出一個(gè)符

合條件的多項(xiàng)式：．

【典例3】（2024?西藏）分解因式：x24x4．

【典例4】（2024?通遼）分解因式：3ax26axy3ay2．

【典例5】（2024?重慶）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成m2n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的

十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2n的過程，稱為“方減分解”．例

如：因?yàn)?0225223，25與23的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602

分解成60225223的過程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是．把一個(gè)“方減數(shù)”A

進(jìn)行“方減分解”，即Am2n，將m放在n的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且

2mnk2(k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為．

【典例6】（2024?鹿城區(qū)校級(jí)一模）“字母表示數(shù)”的系統(tǒng)化闡述是16世紀(jì)提出的，被后人稱為從“算術(shù)”到“代

數(shù)”的一次飛躍，從而大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展．經(jīng)過初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道了用字母表示數(shù)可以分析從

特殊到一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，字母與數(shù)一樣，也可以參與運(yùn)算．請(qǐng)同學(xué)們觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分的等

式：

第1個(gè)等式：221122；第2個(gè)等式：322223；

第3個(gè)等式：423324；第4個(gè)等式：524425；

（1）請(qǐng)用此方法拆分20242．

（2）請(qǐng)你用上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）并運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理

說明這個(gè)結(jié)論是正確的．

考點(diǎn)十：分式

21aab

【典例1】（2024?雅安）已知1(ab0)．則()

abab

1

A．B．1C．2D．3

2

xy2xyy2

【典例2】（2024?綏化）化簡(jiǎn)：(x)．

xx

3(a2b)3b

【典例3】（2024?北京）已知ab10，求代數(shù)式的值．

a22abb2

1x2

【典例4】（2024?遂寧）先化簡(jiǎn)：(1)，再?gòu)?，2，3中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代

x1x22x1

入求值．

【典例5】（2024?惠農(nóng)區(qū)模擬）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項(xiàng)式，請(qǐng)寫出單項(xiàng)式

M，并將該例題的解答過程補(bǔ)充完整．

M1

例：先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a2

a1a2a

a21

解：原式

a(a1)a(a1)

考點(diǎn)十一：實(shí)數(shù)計(jì)算中的規(guī)律問題的解決方法（方法技巧）

觀察法：通過觀察數(shù)列或圖形的變化規(guī)律，找出共同點(diǎn)或不同點(diǎn)，再將數(shù)列或圖形的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為代數(shù)，

通過代數(shù)運(yùn)算得出結(jié)果.

【典例1】（2024?綿陽(yáng)）如圖，將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角數(shù)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1

個(gè)數(shù)為2，第二行有2個(gè)數(shù)為4，6，第n行有n個(gè)數(shù)．探究其中規(guī)律，你認(rèn)為第n行從左至右第3

個(gè)數(shù)不可能是()

A．36B．96C．226D．426

【典例2】（2024?德州）觀察下列等式：

1

S11；

14

111

S111；

2449

11111

S1111；

3449916

則S10的值為．

【典例3】（2024?鹽城模擬）如圖是三角形數(shù)陣7231，12252，則：若x，y相等，則用含x的

式子表示m，m．

?

【典例4】（2024?河北）“鋪地錦”是我國(guó)古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法

和簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算．淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示13223，運(yùn)算結(jié)果為3036．圖

2表示一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，正確的

是()

A．“20”左邊的數(shù)是16B．“20”右邊的“■”表示5

C．運(yùn)算結(jié)果小于6000D．運(yùn)算結(jié)果可以表示為4100a1025

【典例5】（2024?重慶）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的

分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6

個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)

是()

A．20B．22C．24D．26

【典例6】（2024?涼山州）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：

如圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)，，第n行有n個(gè)

點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10．

（1）探索：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為，前15行的點(diǎn)數(shù)之和為，那么，前n行的點(diǎn)數(shù)之和

為．

（2）體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)之和（填“能”或“不能”)為500．

（3）運(yùn)用：某廣場(chǎng)要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，

第二排4盆，第三排6盆，，第n排2n盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？

【典例7】（2024?鹽城）發(fā)現(xiàn)問題

小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成

點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有n個(gè)籽，每列有k個(gè)籽，行

上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d(n，k均為正整數(shù)，nk3，d0)，如圖1所示．

小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案．

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長(zhǎng)為，共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)

為；

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)．

解決問題

在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長(zhǎng)最短？請(qǐng)寫出比較過程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià)．

易錯(cuò)點(diǎn)1：平方根、算術(shù)平方根、立方根的區(qū)別（填空題必考）

1、平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個(gè)正數(shù)有

兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根．

2、算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．非負(fù)

數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根a本身