專題02方程與不等式

目錄

01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（4大模塊知識(shí)梳理）

知識(shí)模塊一：一次方程（組）

知識(shí)模塊二：分式方程

知識(shí)模塊三：一元二次方程

知識(shí)模塊四：一次不等式（組）

03究·考點(diǎn)考法：對考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（6大基礎(chǔ)考點(diǎn)+2方法技巧）

考點(diǎn)一：一元一次方程的解法

考點(diǎn)二：二元一次方程（組）的解法

考點(diǎn)三：分式方程及其解法

考點(diǎn)四：一元二次方程的解法

考點(diǎn)五：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系

考點(diǎn)六：一次不等式（組）的解法及解集表示（高頻）

考點(diǎn)七：方程（組）的含參問題（方法技巧）

考點(diǎn)八：方程（組）的實(shí)際應(yīng)用（方法技巧）

04辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：解分式方程時(shí)首要步驟去分母，分?jǐn)?shù)相相當(dāng)于括號(hào)，易忘記根檢驗(yàn)，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果出錯(cuò)。

易錯(cuò)點(diǎn)2：關(guān)于一元一次不等式組有解無解的條件易忽視相等或增根的情況。

知識(shí)模塊一：一次方程（組）

知識(shí)點(diǎn)一：方程的有關(guān)概念

一、等式

1.等式：用“=”來表示相等關(guān)系的式子叫作等式。

2.等式的性質(zhì)：

（1）性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等（如果ab，那么acbc（c

為一個(gè)數(shù)或式子））。

（2）性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等（如果ab，那么acbc；如

ab

果ab（c0），那么）

cc

3.等式性質(zhì)的延伸：

（1）對稱性：等式左右兩邊互換，所得結(jié)果仍相等，即如果ab，那么ba。

（2）傳遞性：如果ab，bc，那么ac。

二、方程的概念和方程的解

1.方程的概念：含有未知數(shù)的等式叫作方程。

2.方程與等式的區(qū)別：方程是等式，但等式中不一定含有未知數(shù)，即等式不一定是方程。

3.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。

4.判斷一個(gè)數(shù)（或一組數(shù)）是不是某方程的解，只需看兩點(diǎn)：

（1）它是方程中的未知數(shù)的值；

（2）將它分別代入方程的左右兩邊，若左邊等于右邊，則它是方程的解，否則不是。

5.解方程：求方程解的過程叫作解方程。

6.方程的解和解方程的區(qū)別：方程的解是一個(gè)結(jié)果，解方程則是得到這個(gè)結(jié)果的一個(gè)過程。

7.一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫作一元一次方程。

8.一元一次方程知識(shí)拓展：

（1）“元”是指未知數(shù)，“次”是指未知數(shù)的次數(shù)；

（2）一元一次方程滿足3個(gè)條件：

①是整式方程；

②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的次數(shù)是1.

（3）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：axb0(a0,a、b是已知數(shù))。

知識(shí)點(diǎn)二：解一元一次方程與一元一次方程的應(yīng)用

一、解一元一次方程

1.移項(xiàng)：把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫作移項(xiàng)，注意移項(xiàng)要變號(hào)。

2.解一元一次方程的步驟：

（1）去分母：把方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（去分母時(shí)，若分子是多項(xiàng)式，要添括號(hào)）；

（2）去括號(hào)：先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)（不要漏乘括號(hào)里的項(xiàng)，不要弄錯(cuò)符號(hào)）；

（3）移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，其他項(xiàng)移到另一邊（注意移項(xiàng)要變號(hào)）；

（4）合并同類項(xiàng)：把等號(hào)兩邊的同類項(xiàng)分別合并，化成“axb”的形式（a0）；

b

（5）系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a得方程的解為x。

a

二、一元一次方程的應(yīng)用

（一）一元一次方程解應(yīng)用題的常見類型有：

（1）和、差、倍、分問題：和、差、倍、分對應(yīng)兩個(gè)量之間的加、減、乘、除，解題時(shí)要注意弄清倍、分

關(guān)系和多少關(guān)系等；

（2）增長（減少）率問題：增長后的量=原有量×（1+增長率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；

（3）等積變形問題：長方形體積=長×寬×高；圓柱體積=r2h；

（4）行程問題：路程=速度×?xí)r間；快車行駛路程+慢車行駛路程=原距離（相向而行）；快車行駛路程-慢

車行駛路程=原距離（同向而行）。

（5）航行問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度；

（6）調(diào)配問題：從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系；

（7）比例分配問題：全部數(shù)量=各種成分的數(shù)量之和；

（8）年齡問題：大小兩個(gè)年齡的差不會(huì)變；

（9）工程問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間；兩個(gè)或幾個(gè)工作效率不同的對象所完成的工作量的和等于總

工作量；一般情況下，把總工作量設(shè)為1.

（10）利潤問題：商品的售價(jià)=商品的標(biāo)價(jià)×折扣；商品的利潤=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià)；商品的利潤率

商品利潤

=×100%；

商品進(jìn)價(jià)

（11）數(shù)字問題：設(shè)x、y分別為一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位、十位上的數(shù)字，則這個(gè)兩位數(shù)可表示為10yx；

（12）儲(chǔ)蓄問題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期數(shù)）；

溶質(zhì)質(zhì)量

（13）濃度問題：溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量；百分比濃度=100%；溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量×

溶液質(zhì)量

百分比濃度。

（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求

的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求

解、作答，即設(shè)、列、解、答．

列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟

1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．

2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．

3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．

4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．

5．答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．

知識(shí)點(diǎn)三：二元一次方程（組）及其解法

（一）二元一次方程

1.二元一次方程的定義

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．

二元一次方程需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)

都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．

2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解。

（二）二元一次方程組

1.概念：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組；組成方程組的兩

5x3y9

個(gè)方程不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)，例如：也是二元一次方程組。

72x6

axbyc

二元一次方程組的一般形式為：111

2.（其中a1、a2、b1、b2不同時(shí)為0）

a2xb2yc2

3.如果兩個(gè)一次方程合起來共有兩個(gè)未知數(shù)，那么他們也組成一個(gè)二元一次方程組。

4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫作二元一次方程組的解。

axbyc

二元一次方程組111解的情況：

（其中a1、a2、b1、b2不同時(shí)為0）

a2xb2yc2

ab

（1）當(dāng)11時(shí)，方程組有唯一的一組解；

a2b2

abc

（2）當(dāng)111時(shí)，方程組無解；

a2b2c2

abc

（3）當(dāng)111時(shí)，方程組有無數(shù)組解。

a2b2c2

（三）消元—解二元一次方程組

1.消元思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為

我們熟悉的一元一次方程，可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求出另一個(gè)未知數(shù)。這種將未知數(shù)由多化少，

逐一解決的思想，叫作消元思想。

2.代入消元法

（1）定義：在二元一次方程組中，將其中一個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，

再代入另一個(gè)方程中，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種解方程組的方法稱為代入消元

法。

（2）代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：①變形；②代入；③解方程；④求值；⑤聯(lián)立。

（3）代入消元法的技巧：

①當(dāng)方程組中含有一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式時(shí)，可以直接利用代入法求解；

②若方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1（或-1）的方程，則選擇系數(shù)為1（或-1）的方程進(jìn)行變形比較簡便；

③若方程組中所有方程里的未知數(shù)的系數(shù)都不是1（或-1），選系數(shù)較簡單的方程和系數(shù)較簡單的未知數(shù)變

形比較簡便。

3.用加減消元法解二元一次方程組

（1）定義：兩個(gè)二元一次方程中，同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減從

而消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法。

（2）加減法解二元一次方程組的一般步驟：①變形；②加減；③解方程；④求值；⑤聯(lián)立。

（3）加減法的技巧：

①當(dāng)方程組中兩個(gè)方程的同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等時(shí)，可直接用加減法進(jìn)行消元；

②當(dāng)方程組的兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，可把其中一個(gè)方面的兩邊乘以倍數(shù)，使這個(gè)未

知數(shù)的系數(shù)相同或相反，然后運(yùn)用加減法消去這個(gè)未知數(shù)。

③當(dāng)方程組中兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)均不成整數(shù)倍時(shí)，一般選擇系數(shù)較為簡單的未知數(shù)消元，將兩個(gè)方程分別

乘以某個(gè)數(shù)，使該未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，再加減消元求解。

（四）列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．

（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組．

（4）求解．

（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．

（五）列二元一次方程組解應(yīng)用題的常見類型

（1）和差倍分問題：增長量=原有量×增長率；較大量=較小量+多余量；總量=倍數(shù)×倍量；

（2）產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是加工總量成比例；

（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間；各部分工作量之和=總量；

利潤

（4）利潤問題：商品售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣率；商品利潤=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià)；利潤率=100%；

進(jìn)價(jià)

（5）行程問題：速度×?xí)r間=路程；順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度；

（6）方案問題：在解決問題時(shí)，常常需合理安排，需要從幾種方案中選擇最佳方案，方案選擇題的題干較

長，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn)，比較幾種方案得出最佳方案。

知識(shí)模塊二：分式方程

知識(shí)點(diǎn)一：分式方程

求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．

注意：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生

增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

知識(shí)點(diǎn)二：分式方程的增根

（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或

是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．

（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未

知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式

方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是

原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．

（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果

為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．

知識(shí)點(diǎn)三：解分式方程

（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．

（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．

所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．

知識(shí)點(diǎn)四：換元法解分式方程

1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．

換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對

象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡

化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．

知識(shí)點(diǎn)五：解分式方程應(yīng)用題

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．

必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位

等．

2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度＝路程時(shí)間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時(shí)

間等等．

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．

知識(shí)模塊三：一元二次方程

知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：

①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．

（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的

最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．

知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解

也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．

2

（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）

的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．

22

ax1+bx1+c＝0（a≠0），ax2+bx2+c＝0（a≠0）．

知識(shí)點(diǎn)三：配方法解一元二次方程

（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫

配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方

程無實(shí)數(shù)解．

知識(shí)點(diǎn)四：因式分解法解一元二次方程

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)

因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二

次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，

得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．

知識(shí)點(diǎn)五：根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．

上面的結(jié)論反過來也成立．

知識(shí)點(diǎn)六：一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)

和作答．

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

（1）數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．

（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次

增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．

（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、

梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，

列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．

（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，

可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．

2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．

3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．

4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．

5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題．

6．答：寫出答案．

知識(shí)模塊四：一次不等式（組）

知識(shí)點(diǎn)一：不等式的基本性質(zhì)

（一）不等式

1.一般地，用符號(hào)“<”、“>”、“≥”、“≤”表示大小關(guān)系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等關(guān)系

的式子也是不等式。

2.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解；

3.不等式的解集：對于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集；

4.不等式解集的表示方法：

（1）用最簡的不等式表示，一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解，其解集是一個(gè)范圍；

（2）用數(shù)軸表示，不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來，形象的表明不等式的無限個(gè)解（注意：邊

界點(diǎn)和方向）。

①確定邊界點(diǎn)：若邊界點(diǎn)是不等式的解，則用實(shí)心點(diǎn)；若邊界點(diǎn)不是不等式的解，則用空心點(diǎn)；②確定方

向：對邊界點(diǎn)a而言，當(dāng)xa或xa時(shí)，向右畫；當(dāng)xa或xa時(shí)，向左畫。

（二）不等式的性質(zhì)

1.不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。

2.不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

3.不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

知識(shí)點(diǎn)二：一元一次不等式（組）及其應(yīng)用

（一）一元一次不等式

1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫作一元一次不等式。

2.一元一次不等式與一元一次方程的區(qū)別與聯(lián)系：

（1）相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1，左邊和右邊都是整式；

（2）不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號(hào)連接，不等號(hào)有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，

由等號(hào)連接，等號(hào)沒有方向。

（二）一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式的解集的過程叫作解不等式。

2.解一元一次不等式的一般步驟：

①去分母：防止漏乘不含分母的項(xiàng)，乘以（或除以）負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要改變方向，分子是多項(xiàng)式時(shí)，須加

括號(hào)；

②去括號(hào)：防止漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)和出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤；

③移項(xiàng)：過了不等號(hào)的項(xiàng)要變號(hào)；

④合并同類項(xiàng)：防指計(jì)算錯(cuò)誤；

⑤系數(shù)化為1：除以負(fù)數(shù)時(shí)要改變不等號(hào)的方向。

（三）一元一次不等式組

1.一元一次不等式組的概念：一般地關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元

一次不等式組。（這幾個(gè)不等式必須含有同一個(gè)未知數(shù)）

2.解一元一次不等式組：

（1）一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中幾個(gè)不等式的解集的公共部分叫作這個(gè)一元一次不等

式組的解集。

（2）由2個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集的情況：同小取小；同大取大；大小小大取中間，大大

小小取不到。

（3）一元一次不等式組的解法：

第一步：分別求出不等式組中各不等式的解集；

第二步：將各不等式的解集在數(shù)軸上表示出來；

第三步：在數(shù)軸上找出各不等式的解集的公共部分，這個(gè)公共部分就是這個(gè)不等式組的解集。

3.一元一次不等式（組）的應(yīng)用：審題設(shè)未知數(shù)找不等關(guān)系列不等式（組）解不等式（組）

檢驗(yàn)回答

考點(diǎn)一：一元一次方程的解法

【典例1】（2024·海南·中考真題）若代數(shù)式x3的值為5，則x等于（）

A．8B．8C．2D．2

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，根據(jù)題意可知x35，解方程即可得到答案．

【詳解】解：∵代數(shù)式x3的值為5，

∴x35，

解得x8，

故選：A．

【典例2】（2024·貴州·中考真題）小紅學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺(tái)天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”

三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設(shè)“■”與“●”的質(zhì)量分別為x，y，則下列關(guān)系式正確的是（）

A．xyB．x2yC．x4yD．x5y

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)

【分析】本題考查等式的性質(zhì)，設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，根據(jù)題意列出等式xyy2a，xax2y，然后

化簡代入即可解題．

【詳解】解：設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，

由甲圖可得xyy2a，即x2a，

由乙圖可得xax2y，即a2y，

∴x4y，

故選C．

a2b,a0,

【典例3】（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運(yùn)算：ab例如：24(2)240，

ab,a0,

3

23231．若x1，則x的值為．

4

17

【答案】或

24

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)、解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確新運(yùn)算的定義．根據(jù)

新定義運(yùn)算法則列出方程求解即可．

a2b,a0,

【詳解】解：∵ab

ab,a0,

3

而x1，

4

3

∴①當(dāng)x0時(shí)，則有x21，

4

1

解得，x；

2

3

②當(dāng)x0時(shí)，x1，

4

7

解得，x

4

17

綜上所述，x的值是或，

24

17

故答案為：或．

24

考點(diǎn)二：二元一次方程（組）的解法

【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）國家“雙減”政策實(shí)施后，某班開展了主題為“書香滿校園”

的讀書活動(dòng)．班級決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購買筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買），其中

筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購買方案（）

A．5B．4C．3D．2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程的解

【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)購買x支筆記本，y個(gè)碳素筆，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，再結(jié)合x，

y均為正整數(shù)，即可得出購買方案的個(gè)數(shù)．

【詳解】解：設(shè)購買x支筆記本，y個(gè)碳素筆，

依題意得：3x2y28，

3

y14x．

2

又x，y均為正整數(shù)，

x2x4x6x8

或或或，

y11y8y5y2

共有4種不同的購買方案．

故選：B．

【典例2】（2024·四川宜賓·中考真題）某果農(nóng)將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個(gè)大箱裝4千

克荔枝，每個(gè)小箱裝3千克荔枝．該果農(nóng)現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則

所裝的箱數(shù)最多為（）

A．8箱B．9箱C．10箱D．11箱

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程的解

【分析】本題考查的是二元一次方程的正整數(shù)解問題，設(shè)用x個(gè)大箱，y個(gè)小箱，利用每個(gè)大箱裝4千克荔

枝，每個(gè)小箱裝3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整數(shù)解可得答案．

【詳解】解：設(shè)用x個(gè)大箱，y個(gè)小箱，

∴4x3y32，

323y3

∴x8y，

44

∴方程的正整數(shù)解為：

x5x2

或，

y4y8

∴所裝的箱數(shù)最多為2810箱；

故選C．

【典例3】（2024·湖北·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)關(guān)于“方程”的問題：“今有

牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．問牛羊各直金幾何？”譯文：“今有牛5頭，羊2頭，共值

金10兩．牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少？”若設(shè)牛每頭值金x兩，羊每頭值金y

兩，則可列方程組是（）

5x2y102x5y10

A．B．

2x5y85x2y8

5x5y105x2y10

C．D．

2x5y82x2y8

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二元一次方程組、古代問題(二元一次方程組的應(yīng)用)

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題

的關(guān)鍵．因?yàn)槊款^牛值金x兩，每頭羊值金y兩，根據(jù)“牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，

共值金8兩”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，此題得解．

5x2y10

【詳解】解：根據(jù)題意得：．

2x5y8

故選：A．

2xy5

【典例4】（2024·浙江·中考真題）解方程組：

4x3y10

1

x

【答案】2

y4

【知識(shí)點(diǎn)】加減消元法

11

【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①×3＋②得，10x5，解得x，再把x代入①求出y4

22

即可.

2xy5①

【詳解】解：

4x3y10②

①×3＋②得，10x5

1

解得x，

2

1

把x代入①得1y5，

2

解得y4

1

x

∴2

y4

考點(diǎn)三：分式方程及其解法

kx3

【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程2無解，則k的值為

x33x

（）

A．k2或k1B．k2C．k2或k1D．k1

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】分式方程無解問題

【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵．先將分式方程去分

母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．

【詳解】解：去分母得，kx2(x3)3，

整理得，(k2)x9，

當(dāng)k2時(shí)，方程無解，

當(dāng)k2時(shí)，令x3，

解得k1，

kx3

所以關(guān)于x的分式方程2無解時(shí)，k2或k1．

x33x

故選：A．

33

【典例2】（2024·江蘇徐州·中考真題）分式方程的解為．

x12x

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】?=解1分式方程

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．利用去分母將原方程化為整式方程，

解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

【詳解】解：原方程去分母得：6x3x1，即6x3x3

解得：，

檢驗(yàn)：當(dāng)?=1時(shí)，2xx10，

故原方程的?=解1為，

故答案為：?．=1

?=1xmx

【典例3】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程3的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為．

x11x

【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值

【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．

表示出方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)m的值即可．

xmx

【詳解】解：3，

x11x

xmx

化簡得：3，

x1x1

去分母得：x3x1mx，

移項(xiàng)合并得：2mx3，

3

解得：x，

2m

由方程的解是正整數(shù)，得到x為正整數(shù)，即2m1或2m3，

解得：m1或m1（舍去，會(huì)使得分式無意義）．

故答案為：1．

13

【典例4】（2024·廣東廣州·中考真題）解方程：．

2x5x

【答案】x3

【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程

【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關(guān)鍵，注意檢驗(yàn)．依次去分母、去括號(hào)、

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)求解，檢驗(yàn)后即可得到答案．

13

【詳解】解：，

2x5x

去分母得：x32x5，

去括號(hào)得：x6x15，

移項(xiàng)得：x6x15，

合并同類項(xiàng)得：5x15，

解得：x3，

經(jīng)檢驗(yàn)，x3是原方程的解，

該分式方程的解為x3．

考點(diǎn)四：一元二次方程的解法

【典例1】（2024·山東東營·中考真題）用配方法解一元二次方程x22x20230時(shí)，將它轉(zhuǎn)化為(xa)2b

的形式，則ab的值為（）

A．2024B．2024C．1D．1

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程——配方法、配方法的應(yīng)用

【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關(guān)鍵．

2

用配方法把x22x20230移項(xiàng)，配方，化為x12024，即可．

【詳解】解：∵x22x20230，

移項(xiàng)得，x22x2023，

配方得，x22x120231，

2

即x12024，

∴a1，b2024，

2024

∴ab11．

故選：D．

【典例2】（2024·山東濰坊·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2mxn2mn10，其中m,n滿足

m2n3，關(guān)于該方程根的情況，下列判斷正確的是（）

A．無實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．無法確定

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程ax2bxc0a0，若

b24ac0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若b24ac0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若

22

b24ac0，則方程沒有實(shí)數(shù)根，據(jù)此先求出m2n3，再求出Δm4nmn1的符號(hào)即可

得到結(jié)論．

【詳解】解：∵m2n3，

∴m2n3，

2

∴Δm4n2mn1

m24n24mn4，

2

2n34n24n2n34

4n212n94n28n212n4

50，

∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：C．

【典例3】（2024·河北·中考真題）淇淇在計(jì)算正數(shù)a的平方時(shí)，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答

案小1，則a（）

A．1B．21C．21D．1或21

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程、其他問題(一元二次方程的應(yīng)用)

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解一元二次方程，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

由題意得方程2a1a2，利用公式法求解即可．

【詳解】解：由題意得：2a1a2，

解得：a12或a12（舍）

故選：C．

【典例4】（2024·吉林·中考真題）圖①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水

深度，其示意圖如圖②，其中ABAB，ABBC于點(diǎn)C，BC0.5尺，BC2尺．設(shè)AC的長度為x尺，

可列方程為．

2

【答案】x222x0.5

【知識(shí)點(diǎn)】列方程、用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題

【分析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，運(yùn)用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)AC的長度為x尺，則ABABx0.5，在Rt△ABC中，由勾股定理即可建立方程．

【詳解】解：設(shè)AC的長度為x尺，則ABABx0.5，

∵ABBC，

由勾股定理得：AC2BC2AB2，

2

∴x222x0.5，

2

故答案為：x222x0.5．

【典例5】（2024·江蘇徐州·中考真題）關(guān)于x的方程x2kx10有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k值為．

【答案】k2

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程ax2bxc0(a0)，當(dāng)Δ0時(shí)，一元

二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ0時(shí)，一元二次方

程沒有實(shí)數(shù)根．

【詳解】解：∵方程x2kx10有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ0，即k24110，

解得：k2，

故答案為：k2

考點(diǎn)五：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系

2

【典例1】（2024·山東日照·中考真題）已知，實(shí)數(shù)x1,x2x1x2是關(guān)于x的方程kx2kx10k0的

11

兩個(gè)根，若2，則k的值為（）

x1x2

11

A．1B．1C．D．

22

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

2

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程axbxc0a0，若x1，x2

11

bc1

是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1x2，x1x2，據(jù)此得到x1x22,x1x2，再由2得到

aakx1x2

2k2，據(jù)此可得答案．

2

【詳解】解：x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程kx2kx10k0的兩個(gè)根，

1

xx2,xx．

1212k

11

2，

x1x2

xx

122，

x1x2

2

2

∴1

k

2k2，

解得k1，

經(jīng)檢驗(yàn)，k1是原分式方程的解，

故選：B．

【典例2】（2024·山東德州·中考真題）已知a和b是方程x22024x40的兩個(gè)解，則a22023ab的

值為．

【答案】2028

【知識(shí)點(diǎn)】已知式子的值，求代數(shù)式的值、一元二次方程的解、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，先根據(jù)方程的解滿足方程以及根與系

數(shù)關(guān)系求得a22024a4，ab2024，再代值求解即可．

【詳解】解：∵a和b是方程x22024x40的兩個(gè)解，

∴a22024a40，ab2024，

∴a22024a4，

∴a22023ab

a22024aab

42024

42024

2028，

故答案為：2028．

考點(diǎn)六：一次不等式（組）的解法及解集表示（高頻）

【典例1】（2024·廣東廣州·中考真題）若ab，則（）

A．a(chǎn)3b3B．a(chǎn)2b2C．a(chǎn)bD．2a2b

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)

【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)不等式的基本性質(zhì)

逐項(xiàng)判斷即可得．

【詳解】解：A．∵ab，

∴a3b3，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；

B．∵ab，

∴a2b2，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；

C．∵ab，

∴ab，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D．∵ab，

∴2a2b，則此項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D．

3x22x①

【典例2】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）解不等式組時(shí)，不等式①和不等式②的解集在

2x1x1②

數(shù)軸上表示正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集

【分析】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再在

數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．

3x22x①

【詳解】解：

2x1x1②

解不等式①得，x2，

解不等式②得，x3，

所以，不等式組的解集為：3x2，

在數(shù)軸上表示為：

故選：C．

【典例3】（2024·山東·中考真題）根據(jù)以下對話，

給出下列三個(gè)結(jié)論：

①1班學(xué)生的最高身高為180cm；

②1班學(xué)生的最低身高小于150cm；

③2班學(xué)生的最高身高大于或等于170cm．

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】代入消元法、用一元一次不等式解決實(shí)際問題

【分析】本題考查了二元一次方程、不等式的應(yīng)用，設(shè)1班同學(xué)的最高身高為xcm，最低身高為ycm，2

班同學(xué)的最高身高為acm，最低身高為bcm，根據(jù)1班班長的對話，得x180，xa350，然后利用不

等式性質(zhì)可求出a170，即可判斷①，③；根據(jù)2班班長的對話，得b140，yb290，然后利用不等

式性質(zhì)可求出y150，即可判斷②．

【詳解】解：設(shè)1班同學(xué)的最高身高為xcm，最低身高為ycm，2班同學(xué)的最高身高為acm，最低身高為bcm，

根據(jù)1班班長的對話，得x180，xa350，

∴x350a

∴350a180，

解得a170，

故①錯(cuò)誤，③正確；

根據(jù)2班班長的對話，得b140，yb290，

∴b290y，

∴290y140，

∴y150，

故②正確，

故選：C．

2x1x

【典例4】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）關(guān)于x的不等式1的解集是，這個(gè)不等式的任意

32

一個(gè)解都比關(guān)于x的不等式2x1xm的解大，則m的取值范圍是．

【答案】x8m7

【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集

【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解題關(guān)鍵．先分別求出不等式的解集，

再根據(jù)題意列出關(guān)于m的不等式，求解即可得．

2x1x

【詳解】解：1，

32

22x163x，

4x263x，

x8．

解不等式2x1xm得：x1m，

2x1x

∵不等式1任意一個(gè)解都比關(guān)于x的不等式2x1xm的解大，

32

∴1m8，

解得m7，

故答案為：x8；m7．

【典例5】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）對于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“※”為a※ba3b，例如

5※253211，則關(guān)于x的不等式x※m2有且只有一個(gè)正整數(shù)解時(shí)，m的取值范圍是．

1

【答案】0m

3

【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的整數(shù)解、求不等式組的解集

【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義和正整數(shù)解列出關(guān)于m的

不等式組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義列出不等式，解關(guān)于x的不等式，再由不等式的解集有且只有一個(gè)正整

數(shù)解得出關(guān)于m的不等式組求解可得．

【詳解】解：根據(jù)題意可知，x※mx3m2

解得：x23m

x※m2有且只有一個(gè)正整數(shù)解

23m1①

23m2②

1

解不等式①，得：m

3

解不等式②，得：m0

1

0m

3

1

故答案為：0m．

3

1x

【典例6】（2024·江蘇鹽城·中考真題）求不等式x1的正整數(shù)解．

3

【答案】1，2．

【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整數(shù)解

【分析】本題考查了求一元一次不等式的解集以及正整數(shù)解，先求出不等式的解集，進(jìn)而可得到不等式的

正整數(shù)解，正確求出一元一次不等式的解集是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：去分母得，1x3x1，

去括號(hào)得，1x3x3，

移項(xiàng)得，x3x31，

合并同類項(xiàng)得，2x4，

系數(shù)化為1得，x2，

∴不等式的正整數(shù)解為1，2．

考點(diǎn)七：方程（組）的含參問題（方法技巧）

【典例1】（2024·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：對于任意實(shí)數(shù)a、b、c，有【a，b】★cacb，其中等式右

面是通常的乘法和加法運(yùn)算，如【2，3】★12135．若關(guān)于x的方程【x,x1】★mx0有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為（）

1111

A．mB．mC．m且m0D．m且m0

4444

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、一元二次方程的定義、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】此題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，根據(jù)題意得到mx2x10，再由有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根得到124m10，且m0，即可得到答案.

【詳解】解：∵【x,x1】★mx0，【a，b】★cacb

∴xmxx10，即mx2x10，

∵關(guān)于x的方程【x,x1】★mx0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴124m10，且m0，

1

解得m且m0，

4

故選：D．

axybx3

【典例2】（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于x、

cxydy2

ax2y2ab

y的方程組的解是．

cx2y2cd

x5

【答案】

y1

【知識(shí)點(diǎn)】已知二元一次方程組的解求參數(shù)、加減消元法

x3axyb3a2b

【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把，代入，得到，

y2cxyd3c2d

ax2y2abax2y5a2①

整體代入中，得到方程組，加減消元法解方程組即可．

cx2y2cdcx2y5c2②

x3axyb3a2b

【詳解】解：把代入，得：，

y2cxyd3c2d

ax2y2ab

∵，

cx2y2cd

ax2y2a3a2a