專題07圖形的初步認(rèn)識目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。 02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（2大模塊知識梳理）知識模塊一：幾何圖形基礎(chǔ)知識模塊二：相交線03究·考點考法：對考點考法進行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（10大基礎(chǔ)考點）考點一：由幾何體展開圖計算表面積、體積考點二：正方體的展開圖（高頻）考點三：指出現(xiàn)實問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)（高頻）考點四：線段的和與差考點五：與角平分線有關(guān)的計算考點六：與余角、補角、對頂角、鄰補角有關(guān)的計算考點七：利用平行線的判定進行證明考點八：根據(jù)平行線的性質(zhì)求解考點九：根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求解考點十：平行線的形狀在生活中的應(yīng)用（高頻）04破·重點難點：突破重難點，沖刺高分。（3大重難點）重難點一：平行線常見輔助線作法—與“拐點”作平行線重難點二：等積模型重難點三：三角板拼接模型05辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎(chǔ)。（5大易錯點）易錯點1：不能把握直線、射線、線段的特征而致錯易錯點2：計算線段的長度或角的度數(shù)時未分類討論，導(dǎo)致漏解易錯點3：不注意角的單位未統(tǒng)一而致錯易錯點4：三線八角的識別易錯點5：忽略同位角(或內(nèi)錯角)相等、同旁內(nèi)角互補的前提知識模塊一：幾何圖形基礎(chǔ)知識點一：平面圖形與立體圖形1.立體圖形立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，這個圖形叫做立體圖形.立體圖形的分類：2.平面圖形平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個圖形叫做平面圖形.幾何圖形的概念:我們把實物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形，幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.【補充】幾何圖形不研究物體的顏色、質(zhì)量、質(zhì)地等性質(zhì)，只關(guān)注物體的形狀、大小和位置.【常見的平面圖形的種類】線段、角、三角形、長方形、圓等.知識點二：直線、射線、線段1.線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系直線射線線段定義直線是幾何圖形基礎(chǔ)，是一個不做定義的原始概念.直線上一點和它一旁的部分叫做射線.直線上兩點和它們之間的部分叫做線段.圖形表示方法直線AB或直線BA直線m射線OA射線n線段AB、線段BA線段l端點個數(shù)無1個2個度量情況不可度量不可度量可以度量延伸情況可向兩方無限延伸只能以一方無限延伸不能延伸作法敘述作直線AB作直線m作射線OA作線段AB作線段m連接AB延伸敘述反向延伸射線OA延長線段AB

反向延伸線段BA聯(lián)系射線和線段都是直線的一部分，線段向一方無限延伸就成為射線，向兩方無限延伸就成為了直線，射線向反方向無限延伸就成為直線.2、有關(guān)直線的基本事實經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線，簡述為兩點確定一條直線.3、線段的性質(zhì)兩點的距離：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.它是線段的長度，是數(shù)量（非負(fù)）.線段基本性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短.知識點三：角1、角的定義角的定義（靜態(tài)）：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．角的定義（動態(tài)）：由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.2、角的度量單位和換算角的度量單位：度、分、秒是常用的角的度量單位，1）把一個周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，記為1°；2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，記為1″；3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，記為1′.角的換算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°角的換算方法：1）由度化為分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″；2）由分、秒化為度的形式（即由低位向高位化）：，.3、角平分線角平分線的定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.4、方向角方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角.方位角：從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，叫做方位角，取值范圍為0°到360°,比如正東方向就是方位角為90°,正西方向就是方位角為270°.5、余角和補角的性質(zhì)余角的性質(zhì)：同角（等角）的余角相等；補角的性質(zhì)：同角（等角）的補角相等；知識模塊二：相交線知識點一：相交線直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行.垂線的定義：當(dāng)兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.垂線段的定義：如圖，點P為直線外一點,PO⊥m，垂足為0，稱PO為點P到直線m的垂線段.垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點P與直線m上的各點連線中，線段PO最短.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.【注意】1）垂線段是一個幾何圖形，而點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，容易出現(xiàn)概念混淆的錯誤；2）過直線外一點和直線上各點的線段有無數(shù)條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.知識點二：相交線中的角1.對頂角與鄰補角種類圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角有公共頂點一個角的兩邊分別是另一角的兩邊的反向延長線∠1=∠2，∠3=∠4鄰補角有公共頂點兩個角有一條公共邊，且它們的另一邊互為反向延長線.∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°2.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角角的名稱位置特征基本圖形圖形結(jié)構(gòu)特征同位角在截線的同側(cè)，在被截兩條直線同側(cè)形如字母“F”內(nèi)錯角在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間形如字母“Z”同旁內(nèi)角在截線的同側(cè)，在被截兩條直線之間形如字母“U”【補充】1）如圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，構(gòu)成8個角，簡稱為“三線八角”，其中共有4對同位角，2對內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角.2）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角指的是兩個角之間的位置關(guān)系，不是大小關(guān)系，它們之間的大小關(guān)系是不確定的.3）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是指具有特殊位置關(guān)系的兩個角，是成對出現(xiàn)的，對它們的識別要結(jié)合圖形.4）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角這三類角都沒有公共頂點.知識點三：平行線平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“∥”表示.如圖，直線AB與CD平行，記作;AB∥CD，讀作：AB平行于CD.平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.【拓展】1）平行線具有傳遞性：若多條直線都與同一條直線平行，則這多條直線也相互平行.2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線相互平行，即在同一平面內(nèi)，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別條件結(jié)論作用判定同位角相等兩直線平行由角的數(shù)量關(guān)系確定直線的位置關(guān)系內(nèi)錯角相等兩直線平行同旁內(nèi)角互補兩直線平行性質(zhì)兩直線平行同位角相等由直線位置關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系兩直線平行內(nèi)錯角相等兩直線平行同旁內(nèi)角互補【總結(jié)】從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補關(guān)系，是平行線的性質(zhì).【注意】在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補的結(jié)論.這是平行線特有的性質(zhì)不要一提同位角或內(nèi)錯角就認(rèn)為它們相等，一提同旁內(nèi)角就認(rèn)為互補，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的.平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.考點一：由幾何體展開圖計算表面積、體積1．（2023·江蘇無錫·中考真題）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，則該直三棱柱的表面積為．【答案】36+23/【分析】根據(jù)題意得出正三角形的邊長為2，進而根據(jù)表面積等于兩個底面積加上側(cè)面正方形的面積即可求解．【詳解】解：∵側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，∴底面周長為6，∵底面為正三角形，∴正三角形的邊長為2作CD⊥AB，∵△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=2，∴AD=1，∴在直角ΔADCCD=A∴S

∴該直三棱柱的表面積為6×6+23故答案為：36+23【點睛】本題考查了三棱柱的側(cè)面展開圖的面積，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）用相同尺寸的長方形紙板制作一個無蓋的長方體紙盒．先在紙板上畫出其表面展開圖（需剪掉陰影部分），兩種裁剪方案如圖1和圖2所示，圖中A，B，C均為正方形：下列說法正確的是（）A．方案1中的a=4 B．方案2中的b=6C．方案1所得的長方體紙盒的容積小于方案2所得的長方體紙盒的容積 D．方案1所得的長方體紙盒的底面積與方案2所得的長方體紙盒的底面積相同【答案】C【分析】本題考查圖形的展開與折疊，考查學(xué)生的運算能力、推理能力、空間觀念．分別求出a和b的值，方案1和方案2的容積即可得到答案．【詳解】解：方案1：a=12÷4＝所折成的無蓋長方體的底面積為3×3=9．容積為5×9=45．方案2：b=12?2×2所折成的無蓋長方體的底面積為4×2=8．容積為6×8=48．∴方案1所得的長方體紙盒的容積小于方案2所得的長方體紙盒的容積，故選：C．3．（2024·河北邯鄲·一模）一透明的敞口正方體容器ABCD?A'B'C'D'內(nèi)裝有一些有色液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α．（注：圖探究：如圖①，液面剛好過棱CD，并與棱BB'交于點Q，此時液體的三視圖及尺寸如圖②所示，那么圖利用圖②中數(shù)據(jù)，計算出圖①中液體的體積為多少？（提示：V＝底面積×高）拓展：在圖①的基礎(chǔ)上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出．若從正面看，液面與棱CC'或CB交于點P，點Q始終在棱BB'上，設(shè)PC=xdm【答案】探究：三棱柱，24；拓展：124?xdm或【分析】本題考查利用幾何體三視圖識別原圖形，三棱柱體積公式，一元一次方程，代數(shù)式表示線段，勾股定理等．根據(jù)題意觀察幾何體可知圖形為三棱柱，再利用三棱柱體積公式可求出體積，后列出關(guān)于BQ的一元一次方程即可得到．【詳解】解：探究：通過觀察圖形可知，幾何體為三棱柱，∵BQ=3dm，CQ=5dm，正方體容器∴CB=4dm∴S△CBQ∴圖①中液體的體積：6×4=24dm3拓展：若容器向左旋轉(zhuǎn)，主視圖如圖①∵液體體積不變，∴12∴BQ=(?x+3)dm若容器向右旋轉(zhuǎn)，主視圖如圖②，同理可知12∴BQ=12考點二：正方體的展開圖1．（2024·江西·中考真題）如圖是4×3的正方形網(wǎng)格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】B【分析】此題主要考查了幾何體的展開圖，關(guān)鍵是掌握正方體展開圖的特點．依據(jù)正方體的展開圖的結(jié)構(gòu)特征進行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：共有2種方法，故選：B．2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）全國兩會，習(xí)近平總書記在參加江蘇代表團審議時指出，我們能不能如期全面建成社會主義現(xiàn)代化強國，關(guān)鍵看科技自立自強．將“科技、自立、自強”六個字分別寫在某正方體的表面上，如圖是它的一種表面展開圖，在原正方體中，與“強”字所在面相對面上的漢字是（

）A．自 B．立 C．科 D．技【答案】C【分析】本題考查正方體相對兩個面上的文字，還原正方體是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)正方體表面展開圖的特征進行判斷即可．【詳解】解：將“自”作為底面，則折起來“強”在前面，“立”在右面，“科”在后面，∴與“強”字所在面相對面上的漢字是“科”，故選：C．3．（2023·山東青島·中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】根據(jù)正方體展開圖的特征，得出相對面上的數(shù)字，再結(jié)合正方體擺放方式，得出使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，即可解答．【詳解】解：由圖①可知：1的相對面是3，2的相對面是4，5的相對面是6，由圖2可知：要使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，上面的正方體有一個面被遮住，則這個面數(shù)字為6，能看見的面數(shù)字之和為：1+2+3+4+5=15；左下的正方體有3個面被遮住，其中兩個為相對面，則這三個面數(shù)字分別為4，5，6，能看見的面數(shù)字之和為：1+2+3=6；右下的正方體有2個面被遮住，這兩個面不是相對面，則這兩個面數(shù)字為4，6，能看見的面數(shù)字之和為：1+2+3+5=11；∴能看得到的面上數(shù)字之和最小為：15+6+11=32，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方體的相對面，掌握正方體展開圖中“相間一行是相對面”，是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，已知骰子相對兩面的點數(shù)之和為7，下列圖形為該骰子表面展開圖的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)骰子表面展開后，其相對面的點數(shù)之和是7，逐項判斷即可作答．【詳解】A項，2的對面是4，點數(shù)之和不為7，故A項錯誤；B項，2的對面是6，點數(shù)之和不為7，故B項錯誤；C項，2的對面是6，點數(shù)之和不為7，故C項錯誤；D項，1的對面是6，2的對面是5，3的對面是4，相對面的點數(shù)之和都為7，故D項正確；故選：D．【點睛】本題主要考查了立體圖形的側(cè)面展開圖的知識，解答時，找準(zhǔn)相對面是解答本題的關(guān)鍵．沒有共同邊的兩個面即為相對的面．考點三：指出現(xiàn)實問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)1．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，推動水桶，以點O為支點，使其向右傾斜．若在點A處分別施加推力F1、F2，則F1的力臂OA大于F2的力臂A．垂線段最短B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直C．兩點確定一條直線D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【答案】A【分析】本題考查了力臂，平行公理，垂直的性質(zhì)，直線特點，垂線段最短，根據(jù)圖形分析得到過點O有OB⊥AB，進而利用垂線段最短得到OA>OB即可解題．【詳解】解：∵過點O有OB⊥AB，∴OA>OB，即得到F1的力臂OA大于F2的力臂∴其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，故選：A．2．（2024·吉林·中考真題）如圖，從長春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊含的數(shù)學(xué)道理是．

【答案】兩點之間，線段最短【分析】本題考查了兩點之間線段最短，熟記相關(guān)結(jié)論即可．【詳解】從長春站去往勝利公園，走人民大街路程最近，其蘊含的數(shù)學(xué)道理是：兩點之間，線段最短故答案為：兩點之間，線段最短．3．（2022·河北·二模）下列能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了兩點確定一條直線，垂線段最短，兩點之間，線段最短等知識．熟練掌握兩點確定一條直線，垂線段最短，兩點之間，線段最短是解題．【詳解】解：由題意知，A中能用兩點確定一條直線進行解釋，不符合題意；B中能用兩點確定一條直線進行解釋，不符合題意；C中能用垂線段最短進行解釋，符合題意；D中能用兩點之間，線段最短進行解釋，不符合題意；故選：C．考點四：線段的和與差1．（2023·寧夏·中考真題）如圖，點A，B，C在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是?1，點B是AC的中點，線段AB=2，則點C表示的數(shù)是

【答案】2【分析】根據(jù)兩點間的距離公式和中點平分線段進行計算即可．【詳解】解：∵點B是AC的中點，線段AB=2∴AC=22∴點C表示的數(shù)是：22故答案為：22【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離，以及線段的中點．熟練掌握線段中點的定義，以及數(shù)軸上兩點間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河北滄州·三模）如圖，用圓規(guī)比較兩條線段的長短，則正確的結(jié)果是（

）A．AB>AC B．AB=AC C．AB<AC D．不能確定【答案】C【分析】本題考查了線段的大小比較，熟練掌握線段大小的比較方法是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)比較線段的長短的方法即可解答．【詳解】解：由圖可知，AB<AC．故選C．3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）A，B，C，D四個車站的位置如圖所示．求：(1)A，D兩站的距離；(2)C，D兩站的距離；(3)若a=3，C為AD的中點，求b的值．【答案】(1)4a+3b(2)a+3b(3)b=2【分析】此題考查了整式的加減，線段和差關(guān)系；（1）根據(jù)題意列出關(guān)系式，合并即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號合并即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)中點的定義列出方程計算即可求解．【詳解】（1）a+b+3a+2b=4a+3b∴A，D兩站的距離是4a+3b；（2）3a+2b?(2a?b)=3a+2b?2a+b=a+3b∴C，D兩站的距離為a+3b；（3）由（2）得：C，D兩站的距離為a+3b，∵A，C兩站的距離為a+b+2a?b=3a，∵C為AD的中點，∴a+3b=3a，∴b=2∵a=3，∴b=2．考點五：與角平分線有關(guān)的計算1．（2024·四川·中考真題）如圖，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1=30°，則∠2=（

A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的計算，根據(jù)平行線的性質(zhì)求角，根據(jù)∠BAD=∠1、∠2=∠BAD即可求解.【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BAD=∠1=30°∵AD平分∠BAC，∴∠2=∠BAD=30°故選：B2．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，△ABC中，在CA，CB上分別截取CD，CE，使CD=CE，分別以D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠ACB內(nèi)交于點F，作射線CF，交AB于點M，過點M作MN⊥BC，垂足為點N，若BN=CN，AM=4，BM=5，則AC的長為

【答案】6【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)定理得到MB=MC，因此∠B=∠BCM，由角平分線定義推出∠ACM=∠B，又∠CAM=∠CAB，推出△ACM∽△ABC，得到ACAB=AM【詳解】由題中作圖可知：CM平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM，∵MN⊥BC，BN=CN，∴MB=MC，∴∠B=∠BCM，∴∠ACM=∠B，∵∠CAM=∠CAB，∴△ACM∽△ABC，∴ACAB∵AM=4，BM=5，∴AB=AM+BM=4+5=9，∴AC9∴AC=6，故答案為：6．【點睛】此題考查了尺規(guī)作圖，角平分線定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△ACM∽△ABC，得到ACAB=AM3．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠D，點E在BA的延長線上，連接CE．

(1)求證：∠E=∠ECD；(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD，直接寫出△BCE的形狀．【答案】(1)見解析(2)等邊三角形【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得到∠EAD=∠B，已知∠B=∠D,則∠EAD=∠D，可判定BE∥CD,即可得到∠E=∠ECD；（2）由∠E=60°，∠E=∠ECD得到∠ECD=∠E=60°，由CE平分∠BCD，得到∠BCE=∠ECD=60°，進一步可得∠BCE=∠E=∠BEC，即可證明△BCE是等邊三角形．【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∵∠B=∠D,∴∠EAD=∠D，∴BE∥CD,∴∠E=∠ECD．（2）∵∠E=60°，∠E=∠ECD，∴∠ECD=∠E=60°，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠ECD=60°，∴∠BCE=∠E=60°，∴∠B=180°?∠BCE?∠E=60°，∴∠BCE=∠E=∠B，∴△BCE是等邊三角形【點睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023鄭州市模擬）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，則∠AOC=12∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時，由于(1)【知識運用】如圖2，∠AOB=120°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM=________°，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是________．（用含α的代數(shù)式表示）(2)如圖3若∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點O以每秒3°的速度逆時針轉(zhuǎn)動，射線OD與射線OB重合，并繞點O以每秒5°的速度順時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)射線OD與射線OA重合時，運動停止．①是否存在某個時刻t（秒）使得∠COD的度數(shù)是20°？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．②當(dāng)t的值為多少時，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線中任意一條射線的伴隨線？【答案】(1)40°,(2)①當(dāng)t=20秒或25秒時，∠COD的度數(shù)是20°．②當(dāng)t=907,【分析】本題主要考查了角平分線的頂用、角的計算、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，靈活利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)伴隨線定義求解即可；（2）①利用分類討論思想，分相遇之前和之后兩種情況分別列式計算即可；②利用分類討論思想，分相遇之前和之后，分別畫出四個圖形進行計算即可．【詳解】（1）解：如圖，∵射線是射線的伴隨線，∴∠AOC=1∴∠AOC=1∴同理，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，∴∠BON=1∵射線OC是∠AOB的平分線，∴∠BOC=1∴∠NOC=∠BOC?∠BON=1故答案為：40°,π（2）解：射線OD與OA重合時，t=180①當(dāng)∠COD的度數(shù)是20°時，有兩種可能：若在相遇之前，則180?5t?3t=20，解得：t=20；若在相遇之后，則5t+3t?180=20，解得：t=25．綜上所述，當(dāng)t=20秒或25秒時，∠COD的度數(shù)是20°．②相遇之前：a．如圖1，當(dāng)OC是OA的伴隨線時，則∠AOC=12∠COD，即3t=b．如圖2，當(dāng)OC是OD的伴隨線時，則∠COD=12∠AOC，即180?5t?3t=相遇之后：c．如圖3，當(dāng)OD是OC的伴隨線時，則∠COD=12∠AOD，即5t+3t?180=d．如圖4，當(dāng)OD是OA的伴隨線時，則∠AOD=12∠COD，即180?5t=綜上所述，當(dāng)t=907,考點六：與余角、補角、對頂角、鄰補角有關(guān)的計算1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，直線AB∥CD，直線MN分別與直線AB、CD交于點E、F，且∠1=40°，則∠2等于（

）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DFN=∠1=40°，再根據(jù)鄰補角求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∠1=40°，∴∠DFN=∠1=40°，∴∠2=180°?∠DFN=140°．故選：C．2．（2024·山東日照·中考真題）如圖，直線AB,CD相交于點O．若∠1=40°,∠2=120°，則∠COM的度數(shù)為（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】B【分析】本題考查對頂角的定義，幾何中角度的計算，由對頂角相等得到∠2=∠BOC=∠COM+∠1，即可解答．【詳解】解：∵∠2=∠BOC=∠COM+∠1，∴∠COM=∠2?∠1=120°?40°=80°．故選：B．3．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，一副三角尺按如圖方式擺放．若直線a∥b，∠1=50°，則∠2的度數(shù)為（

）A．20° B．15° C．10° D．5°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠4=∠1+∠3°，從而可得∠4=80°，再根據(jù)余角關(guān)系求出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖，∵直線a∥b，∴∠4=∠1+∠3∵∠3=30°，∴∠4=50°+30°=80°∵∠4+∠2=90°∴∠2=90°?故選：C．4．（2021·山東煙臺·一模）如圖，已知∠EOC是平角，OD平分∠BOC，在平面上畫射線OA，使∠AOC和∠COD互余，若∠BOC=56°，則∠AOB的度數(shù)為（

）A．118° B．34°C．90°或34° D．118°或6°【答案】D【分析】本題考查了角的和差，角平分線的定義，互余的定義，根據(jù)角平分線的定義求出∠COD、∠BOD的度數(shù)，分兩種情況：射線OA在直線CE的左上方和射線OA在直線CE的右下方一一加以計算即可，掌握知識點的應(yīng)用及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵OD平分∠BOC，∴∠COD=1①當(dāng)射線OA在直線CE的左上方時，如圖所示，∵∠AOC和∠COD互余，∴AO⊥OD，即∠AOD=90°，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°+28°=118°，②射線OA在直線CE的右下方，如圖所示，∵∠AOC和∠COD互余，∴∠COD+∠AOC=90°，∴∠AOC=62°，∴∠AOB=∠BOC?∠AOC=62°?56°=6°，故選：D．考點七：利用平行線的判定進行證明1．（2023·山東臨沂·中考真題）在同一平面內(nèi)，過直線l外一點P作l的垂線m，再過P作m的垂線n，則直線l與n的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)“在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行”即可作出判斷．【詳解】解：∵在同一平面內(nèi)，過直線l外一點P作l的垂線m，即l⊥m，又∵過P作m的垂線n，即n⊥m，∴l(xiāng)∥∴直線l與n的位置關(guān)系是平行，故選：C．【點睛】本題考查平行線的判定．掌握平行線判定的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖，直線a∥b，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線c∥d的是（

）A．∠3=∠4 B．∠1+∠5=180° C．∠1=∠2 D．∠1=∠4【答案】C【分析】利用平行線的判定條件進行分析即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、當(dāng)∠3=∠4時，c∥d；故A不符合題意；B、當(dāng)∠1+∠5=180°時，c∥d；故B不符合題意；C、當(dāng)∠1=∠2時，a∥b；故C符合題意；D、∵a∥b，則∠1=∠2，∵∠1=∠4，則∠2=∠4，∴c∥d；故D不符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件并靈活運用．3．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知AB=CD，點E，F(xiàn)在線段BD上，且AF=CE．請從①BF=DE；②∠BAF=∠DCE；③AF=CF中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得△ABF≌△CDE．你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．添加條件后，請證明AE∥CF．【答案】①（或②）【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)并靈活運用．利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行線的判定證明即可．【詳解】解：可選取①或②（只選一個即可），證明：當(dāng)選?、贂r，在△ABF與△CDE中，AB=CDAF=CE∴△ABF≌△CDE(SSS∴∠B=∠D，∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF，∴BE=DF，在△ABE與△CDF中，AB=CD∠B=∠D∴△ABE≌△CDF(SAS∴∠AEB=∠CFD，∴AE∥CF；證明：當(dāng)選取②時，在△ABF與△CDE中，AB=CD∠BAF=∠DCE∴△ABF≌△CDE(SAS∴∠B=∠D，BF=DE，∴BF+EF=DE+EF，∴BE=DF，在△ABE與△CDF中，AB=CD∠B=∠D∴△ABE≌△CDF(SAS∴∠AEB=∠CFD，∴AE∥CF；故答案為：①（或②）4．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，點D在△ABC的邊AB上，DF經(jīng)過邊AC的中點E，且EF=DE．求證CF∥AB．【答案】見詳解【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的判定，根據(jù)題意得AE=EC，即可證明△AED≌△CEF，有∠DAE=∠FCE成立，根據(jù)平行線的判定即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵點E為邊AC的中點，∴AE=EC，∵EF=DE，∠AED=∠CEF，∴△AED≌△CEFSAS∴∠DAE=∠FCE，∴CF∥AB．考點八：根據(jù)平行線的性質(zhì)求解1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，直線m∥n，一塊含有30°的直角三角板按如圖所示放置．若∠1=40°，則∠2的大小為（

A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】A【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．利用對頂角相等求得∠3的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)求得∠4的度數(shù)，最后利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵∠3=∠1=40°，∴∠4=∠3+30°=70°，∵m∥∴∠2=∠4=70°，故選：A．2．（2024·陜西·中考真題）如圖，AB∥DC，BC∥DE，∠B=145°，則A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”，得到∠C=35°，再根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，即可得到答案．【詳解】∵AB∥∴∠B+∠C=180°，∵∠B=145°，∴∠C=180°?∠B=35°，∵BC∥∴∠D=∠C=35°．故選B．3．（2023·江蘇鹽城·中考真題）小華將一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如圖所示的方式擺放，其中AB∥EF，則∠1的度數(shù)為（

A．45° B．60° C．75° D．105°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AGF=∠F=45°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：如圖：設(shè)AB、FD交于點G，

∵AB∥∴∠AGF=∠F=45°，∵∠A=60°，∴∠1=180°?∠A?∠AGF=180°?60°?45°=75°．故選：C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，則∠C=°．

【答案】55°/55度【分析】先由鄰補角求得∠ADE=60°，∠BFG=65°，進而由平行線的性質(zhì)求得∠B=【詳解】解：∵∠BDE=120°,∠DFG=115°，∠BDE+∠ADE=180°∴∠ADE=60°，∠∵DE∥BC,FG∥AC，∴∠B=∠ADE=60°∵∠A+∴∠C=180°?65°?60°=55°故答案為：55°．【點睛】本題主要考查了鄰補角，平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點九：根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求解1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，已知∠1=∠2，∠B=40°，則∠3的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，先根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到AB∥CT，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可得到【詳解】解：如圖所示，∵∠1=∠2，∴AB∥∵∠B=40°，∴∠3=∠B=40°，故選：B．2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）“抖空竹”是我國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，某中學(xué)將此運動引人特色大課間，某同學(xué)“抖空竹”的一個瞬間如圖所示，將圖1抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：在平面內(nèi)，AB∥CD．若∠BAE=50°，∠DCE=85°，則∠AEC的度數(shù)為（

）A．115° B．125° C．135° D．145°【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過點E作EF∥AB，得出EF∥AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)得出∠DCE=∠CEF=85°，∠BAE=∠AEF=50°，進而得出答案．【詳解】解：如圖，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠DCE=∠CEF=85°，∠BAE=∠AEF=50°，∴∠AEC=∠CEF+∠AEF=85°+50°=135°．故選：C．3．（2024西城區(qū)模擬）如圖是一種躺椅及其結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面EF，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點G和點D，AB與DM交于點N，∠AOE=∠BNM．(1)請對OE∥(2)若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)105°【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對頂角相等推出∠AOE=∠BNM，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可得解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線定義求解即可；本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)的運用，角平分線的定義，平行公理推論，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：理由如下：∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，∴∠AOE=∠AND，∴OE∥（2）解：∵AB與底座CD都平行于地面EF，∴AB∥∴∠BOD=∠ODC=30°，∵∠AOF+∠BOD=180°，∴∠AOF=150°，∵OE平分∠AOF，∴∠EOF=1∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=105°，∵OE∥∴∠ANM=∠BOE=105°．考點十：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【熱考】1．（2024·山西·中考真題）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α=25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角βA．155° B．125° C．115° D．65°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，根據(jù)題意結(jié)合圖形可知β是重力G與斜面形成的三角形的外角，從而可求得β的度數(shù)．【詳解】解：∵重力G的方向豎直向下，∴重力G與水平方向夾角為90°，∵摩擦力F2的方向與斜面平行，α=25°∴β=∠1=α+90°=115°，故選：C．2．（2023·四川綿陽·中考真題）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，∠1=122°，則∠2的度數(shù)為（

）A．32° B．58° C．68° D．78°【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”和“兩直線平行，同位角相等”即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°，∵∠1=122°，∴∠3=180°?∠1=180°?122°=58°．∵水中的兩條光線平行，∴∠2=∠3=58°．故選：B．3．（2024·山東濰坊·中考真題）一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架AB與吊線FG平行，燈桿CD與底部支架AB所成銳角α=15°．頂部支架EF與燈桿CD所成銳角β=45°，則EF與FG所成銳角的度數(shù)為（

）A．60° B．55° C．50° D．45°【答案】A【分析】本題考查了平行線性質(zhì)，平行公理的推論，過點E作EH∥AB，可得AB∥EH∥FG，即得∠BEH=∠α=15°，【詳解】解：過點E作EH∥∵AB∥∴AB∥∴∠BEH=α=15°，∠FEH+∠EFG=180°，∵β=45°，∴∠FEH=180°?45°?15°=120°，∴∠EFG=180°?∠FEH=180°?120°=60°，∴EF與FG所成銳角的度數(shù)為為60°，故選：A．4．（2024·福建·中考真題）在同一平面內(nèi)，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如圖方式擺放，若AB∥CD，則∠1的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，由AB∥CD，可得∠CDB=60°，即可求解．【詳解】∵AB∥CD，∴∠CDB=60°，∵CD⊥DE，則∠CDE=90°，∴∠1=180°?∠CDB?∠CDE=30°，故選：A．重難點一：平行線常見輔助線作法—與“拐點”作平行線1．（2024·海南·中考真題）如圖，直線m∥n，把一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖所示的方式放置，點B在直線n上，∠A=90°，若∠1=25°，則∠2等于（A．70° B．65° C．25° D．20°【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)．如圖，過點C作直線CD平行于直線m，易得m∥CD∥n，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠3=∠1=25°，由∠ACB=45°可求出【詳解】解：如圖，過點C作直線CD平行于直線m，∵直線m∥∴m∥∴∠3=∠1=25°，∠4=∠2，由題意可得∠ACB=45°，∴∠4=45°?25°=20°，∴∠2=∠4=20°，故選：D．2①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點在直線上，則．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①過點E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可作出判斷；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①錯誤；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個數(shù)為2，故選：B．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，已知：點A、C、B不在同一條直線，AD

(1)求證：∠B+∠C?∠A=180°：(2)如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究(3)如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直線AQ、BC交于點P，QP⊥PB【答案】(1)見解析(2)2∠AQB+∠C=(3)1【分析】（1）過點C作CF∥AD，則CF∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出（2）過點Q作QM∥AD，則QM∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出（3）由（2）的結(jié)論可得出∠CAD=12∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，聯(lián)立①②可求出∠CAD、∠CBE【詳解】（1）在圖①中，過點C作CF∥AD，則

∵CF∥∴∠ACF=∠A，∴∠ACB+∠B?∠A=∠ACF+∠BCF+∠B?∠A=∠A+180°?∠A=180°．（2）在圖2中，過點Q作QM∥AD，則

∵QM∥∴∠AQM=∠NAD，∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD=1∴∠AQB=∠BQM?∠AQM=1∵∠C=180∴2∠AQB+∠C=180°．（3）∵AC∥∴∠AQB=∠CAP=1∴∠ACB=180°?∠ACP=180°?1∵2∠AQB+∠ACB=180°，∴∠CAD=1又∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，∴∠CAD=60°，∴∠ACB=180°?(∠CBE?∠CAD)=120°，∴∠DAC：故答案為：1：【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、添加輔助線構(gòu)建平行線．重難點二：等積模型1．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD交于點O，若S△ABDS△BCD=【答案】1【分析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)AD，BC的距離為d，則S△ABDS△BCD=1【詳解】解：設(shè)AD，BC的距離為∴S△ABDS△BCD∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，∴△AOD∽△COB，∴S△AOD故答案為：192．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點（不與點B，C重合）．過點D作DE∥AB交AC于點E；過點D作DF∥AC交AB于點F．N是線段BF上的點，BN=2NF；M是線段DE上的點，DM=2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（

A．△AFE的面積 B．△BDF的面積C．△BCN的面積 D．△DCE的面積【答案】D【分析】如圖所示，連接ND，證明△FBD∽△EDC，得出FBED=FDEC，由已知得出NFME=BFDE，則FDEC=NF【詳解】解：如圖所示，連接ND，

∵DE∥AB，DF∥∴∠ECD=∠FDB，∠FBD=∠EDC，∠BFD=∠A，∠A=DEC．∴△FBD～△EDC，∠NFD=∠MEC．∴FBED∵DM=2ME，BN=2NF，∴NF=13∴NFME∴FDEC又∵∠NFD=∠MEC，∴△NFD～△MEC．∴∠ECM=∠FDN．∵∠FDB=∠ECD∴∠MCD=∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC∵DM=2ME，∴S△EMC∵S△DCE∴S△DCE故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定和性質(zhì)，等面積轉(zhuǎn)換．3.課題學(xué)習(xí)：平行線間三角形的面積問題中“等底等高轉(zhuǎn)化”的應(yīng)用閱讀理解：如圖1，已知直線a∥b，直線a，b的距離為h，則三角形ABC的面積為S△ABC

(1)【問題探究】如圖2，若點C平移到點D，求證：S△AOC(2)【深化拓展】如圖3，記S△AOC=S1、S△BOD=S(3)【靈活運用】如圖4，在平行四邊形ABCD中，點E是線段AD上的一點，BE與AC相交于點O，已知S△ABE=10，且EO:EB=2:5，求四邊形【答案】(1)見解析(2)見解析(3)11【分析】本題考查平行線間的距離，三角形的面積，掌握轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“等底等高”可得S△ABC=S（2）分別過點C、B作邊AD的垂線，記高分別?1、?2，根據(jù)三角形的面積可得出（3）連接EC，由EO:EB=2:5得到EO:OB=2:3，從而S△AEO:S△ABO=2:3，進而得到S△AEO=4，S△ABO=6，由（1）可得S【詳解】（1）證明：∵S△ABC=1∴S△ABC∴S△ABC∴S（2）證明：如圖3分別過點C、B作邊AD的垂線，記高分別?1、?

則S1S∴S1∴S1（3）解：連接EC，

∵EO:EB=2:5，∴EO:OB=2:3，∴S△AEO∵S△AEO∴S△AEO=4∵AD∥∴由（1）可知，S∵由（2）可知，S△ABO?S∴S△BOC∴S∴S四邊形4．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，解：相等．理由如下：設(shè)l1與l2之間的距離為?，則S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如圖②，當(dāng)點D在l1，l2之間時，設(shè)點A，D到直線l2的距離分別為?，?證明：∵S△ABC(2)如圖③，當(dāng)點D在l1，l2之間時，連接AD并延長交l2于點M證明：過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥∴△AEM∽．∴AEDF由【探究】（1）可知S△ABCS∴S△ABC(3)如圖④，當(dāng)點D在l2下方時，連接AD交l2于點E．若點A，E，D所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，S△ABC【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)7【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABC（2）過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，先根據(jù)平行線的判定可得AE∥DF，再根據(jù)相似三角形的判定可證△AEM～△DFM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AEDF（3）過點A作AM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N，先根據(jù)相似三角形的判定證出△AME～△DNE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AMDN=AEDE=【詳解】（1）證明：∵S△ABC=∴S（2）證明：過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥DF．∴△AEM～△DFM．∴AE由【探究】（1）可知S△ABC∴S（3）解：過點A作AM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N，則∠AME=∠DNE=90°，∴AM∥DN，∴△AME～△DNE，∴AM∵點A,E,D所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，∴AE=5?1.5=3.5，DE=1.5，∴AM又∵S△ABC=∴S故答案為：73【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、三角形的面積等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．重難點三：三角板拼接模型1．（2023·河南信陽·二模）【閱讀理解】如圖1，小明把一副三角板直角頂點O重疊在一起．如圖2固定三角板AOB，將三角板COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)OD邊與OB邊重合時停止轉(zhuǎn)動．

【解決問題】(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)畛觥螦OC、∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系______；(2)當(dāng)運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；(3)當(dāng)∠AOC、∠AOB、∠BOC中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”，請直接寫出所有滿足條件的t值．【答案】(1)∠AOC+∠BOD=180°(2)有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD，理由見解析(3)t=2，3，4，9，12【分析】（1）由題意，根據(jù)題目分析，然后畫出圖形可得結(jié)論；（2）依據(jù)題意，畫出圖形，然后分別計算出角的度數(shù)可得解；（3）依據(jù)題意，將所有可能情形梳理并分類討論可得t的值．【詳解】（1）解：①如圖，∠AOC+∠BOD=180°，理由如下：由題意得，∠DOA=90°?∠AOC，∠COB=90°?∠AOC．∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠DOA+∠AOC+∠COB=∠AOC+90°?∠AOC+∠AOC+90°?∠AOC=180°，

②如圖，∠AOC+∠BOD=180°，理由如下：由題意得，∠DOA=90°?∠DOB，∠COB=90°?∠DOB．∴∠AOC+∠BOD=∠DOA+∠DOB+∠COB+∠BOD=90°?∠DOB+∠DOB+90°?∠DOB+∠BOD=180°，

綜上，∠AOC+∠BOD=180°．故答案為：∠AOC+∠BOD=180°；（2）解：有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD．如圖所示，理由如下：當(dāng)運動時間為9秒時，∠AOC=15°×9=135°，∴∠BOC=∠AOC?∠AOB=135°?90°=45°．∵∠COD=90°，∴∠BOD=∠COD?∠BOC=90°?45°=45°，∴∠BOC=∠BOD=45°，∴OB平分∠COD，∵∠BOD=45°=1∴OD平分∠AOB；

（3）解：由題意得，∠AOB=90°，∠AOC=(15t)°．當(dāng)∠BOC=2∠AOC時，∠AOC=30°，∴15t=30，解得t=2；當(dāng)∠AOB=2∠AOC，OC在∠AOB內(nèi)部時，∠AOC=45°，∴15t=45，解得t=3；當(dāng)∠AOC=2∠BOC時，∠AOC=60°，∴15t=60，解得t=4；當(dāng)∠AOB=2∠BOC時，∠AOC=135°，∴15t=135，解得t=9；當(dāng)∠AOC=2∠AOB時，∠AOC=180°，∴15t=180，解得t=12；綜上，t=2，3，4，9，12．【點睛】本題主要考查角的計算，解題時需要全面考慮分析所有可能，學(xué)會分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇南京·二模）三角尺是幾何學(xué)習(xí)中常用的學(xué)具．【重溫舊知】(1)圖①～③是課本上三角尺的3種擺放方式．借助圖①中的∠α和∠β，課本定義了一種兩個角的關(guān)系，這種關(guān)系叫做______；圖②中，∠DBC的度數(shù)是______°，三角尺DEF的直角邊DF和三角尺ABC的直角邊AC之間的數(shù)量關(guān)系是______；圖③中確認(rèn)弦MN是圓的直徑的定理是______．

【探索研究】(2)如圖④，將圖②中的一副三角尺ABC和DEF疊放在一起，使得點D，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，我們在同一平面內(nèi)研究下面兩個問題．①當(dāng)DF∥AB時，求②若AB的長為a，直接寫出頂點C和E的距離的最大值（用含a的代數(shù)式表示）．

【答案】(1)互補，75，3DF=(2)①33；②【分析】（1）根據(jù)互補的定義，即可得出∠α和∠β的關(guān)系；根據(jù)三角板中各個角的度數(shù)，即可求出∠DBC；根據(jù)EF=AB，即可得出DF和AC之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，即可得出弦MN是圓的直徑；（2）①證明△CDF∽△CAB，即可根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出結(jié)論；②連接點C和DF中點M，連接點E和DF中點M，在△CME中，CE<CM+EM，當(dāng)點C、M、E在同一條直線上時，CE=CM+EM，此時CE最大．【詳解】（1）解：由圖可知，三角板的兩個直角頂點重合，∴∠α+∠β=180°，則∠α和∠β互補；由圖可知：∠DBC=∠DBA+∠CBA=30°+45°=75°；∵∠DBF=30°，∠CBA=45°，∴EF=DFtan30°∵EF=AB，∴3DF=∵∠MFN=90°，∴弦MN是圓的直徑（直徑所對的圓周角為直角），故答案為：互補，75，3DF=（2）解：①根據(jù)題意可得：EF=AB，由（1）可知EF=3DF，則∴DFAB∵DF∥∴∠CDF=∠A,∠CFD=∠B，∴△CDF∽△CAB，∴CFCB

②連接點C和DF中點M，連接點E和DF中點M，∵AB=EF=a，DFAB∴DF=3∵點M為DF中點，∴CM=MF=1根據(jù)勾股定理可得：EM=M在△CME中，CE<CM+EM，當(dāng)點C、M、E在同一條直線上時，CE=CM+EM，此時CE最大，∴頂點C和E的距離的最大值=CM+EM=3

【點睛】本題主要考查了互補的定義，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握相加等于180°的兩個角互補，相似三角形對應(yīng)邊成比例，三角形兩邊之和大于第三邊．易錯點1：不能把握直線、射線、線段的特征而致錯1．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，下列給出的直線，射線，線段能相交的是（

）A．a(chǎn)與b B．b與d C．b與c D．c與d【答案】C【分析】本題考查線段、直線、射線的概念和性質(zhì)，直線：直線向兩方無限延伸，無法度量長度；射線：射線只能向一方無限延伸，無法度量長度；線段：線段不能向任何一方無限延伸，能度量長度．【詳解】A、線段不能向兩邊延伸，∴a與b不會相交，故本選項錯誤；B、射線d向右上方方向延伸，∴b與d不會相交，故本選項錯誤；C、射線c向左下方方向延伸，∴b與c會相交，故本選項正確；D、射線d向右上方方向延伸，射線c向左下方方向延伸，∴c與d不會相交，故本選項錯誤；故選：C．2．（2024·河北邢臺·三模）下列圖形中，可以表示為“線段AB”的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)即可得解．線段是直線的一部分，有兩個端點．熟練掌握線段的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、是直線，不符合題意；B、是射線，不符合題意；C、是線段，符合題意；D、是射線，不符合題意；故選：C．3．（2023·河北邯鄲·一模）對于如圖，有兩種語言描述：①射線BA；②延長線段AB．其中（

）A．只有①正確 B．只有②正確 C．①和②均正確 D．①和②均錯誤【答案】A【分析】根據(jù)射線指從一個定點出發(fā)沿著單一方向運動的點的軌跡，線段的延伸線解答即可．【詳解】解：①圖中是以B為定點，沿BA方向延伸，因此稱為射線BA，故①正確，②圖中是以B為定點向BA方向延伸，因此應(yīng)是延長線段BA(延長線段AB是以A為定點，向AB方向延伸)，故②錯誤，故選：A．【點睛】本題考查了直線、射線、線段的概念，解題的關(guān)鍵是掌握線段的延長概念．易錯點2：計算線段的長度