利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題

（高考高頻考點(diǎn)，3大題型+1類易錯(cuò)）

目錄

第一部分：題型篇..........................................1

題型一：函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問題..................1

題型二：函數(shù)的最值（極值）與函數(shù)零點(diǎn)問題..............5

題型三：函數(shù)的圖象與函數(shù)零點(diǎn)問題......................9

第二部分：易錯(cuò)篇.........................................12

易錯(cuò)一：借助圖象時(shí)注意結(jié)合極限，畫更精確的圖象........12

第一部分：題型篇

題型一：函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問題

典型例題

1nY

例題1.（23-24高一下?甘肅天水?階段練習(xí)）已知函數(shù)7'（x）—UX--------Fu-2,IER.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求曲線），=〃”在點(diǎn)（1,/（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；

⑵討論f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

例題2.(浙江省L16聯(lián)盟2024-2025學(xué)年7月新高三適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題)已知。為實(shí)數(shù),

〃eN*,設(shè)函數(shù)=-alnx.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/'(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求”的取值范圍.

4

例題3.(23-24高二下?安徽蕪湖?期中)已知函數(shù)=-辦2+i2x+6在》=3處取得

極小值-2.

⑴求實(shí)數(shù)。，6的值；

⑵若函數(shù)V=/(x)-彳有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

例題4.(23-24高三下?山東青島?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=e'

⑴求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求出方程/⑴=eR)的解的個(gè)數(shù).

精練高頻考點(diǎn)

1.(23-24高二下?黑龍江?期末)已知函數(shù)/(%)=("-a+l)e1

⑴若”=1，求“X)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

⑵若關(guān)于x的方程/(x)=-L恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求。的取值范圍.

e

2.(23-24高二下?陜西漢中?期末)已知函數(shù)/(x)=x2-8x+61nx-m.

(1)求〃x)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)；

(2)若方程/⑺=0有三個(gè)不同的根，求整數(shù)加的值.(In3。1.09)

3.(23-24高二下?云南曲靖?期末)已知函數(shù)/(x)=71.

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并求出/(x)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=〃x)-a(aeR),討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

4.(24-25高三上?湖北武漢?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃無(wú))=x-/iu與函數(shù)g(x)=e"-x,其

中a>0.

(1)求/'(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若g(x)>0,求a的取值范圍；

⑶若曲線'=與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求證：曲線y=f(x)與曲線y=g(x)共有三個(gè)

不同的交點(diǎn).

題型二：函數(shù)的最值(極值)與函數(shù)零點(diǎn)問題

典型例題

例題1.(23-24高二下?江蘇南京?期中)已知函數(shù)/(x)=e[x2-8)+加.

(1)當(dāng)俄=0時(shí)，求函數(shù)了=/(力在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程；

⑵若函數(shù)V=/(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

例題2.(23-24高二下?北京海淀?期末)已知函數(shù)〃x)=(x-l)e-x2.

⑴判斷,f(x)在(-8,0)上的單調(diào)性，并證明；

(2)求f(x)在(0,+功上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

例題3.(23-24高二下?遼寧沈陽(yáng)?期末)已知函數(shù)〃耳=學(xué)+°(--1).

(1)當(dāng)°=0時(shí)，求/(x)的極值；

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，求/(x)在［1,+8)上的最小值；

(3)當(dāng)好0時(shí)，若/'(x)在(l,e)上存在零點(diǎn)，求。的取值范圍.

例題4.(23-24高二下?重慶?期末)已知函數(shù)〃x)=xe，.

⑴若關(guān)于尤的方程/(x)=上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)+/(l-x)冷對(duì)Vxe1,2恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

精練高頻考點(diǎn)

1.(23-24高二下?貴州畢節(jié)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=；xL；x2-2x-b(beR)

⑴當(dāng)6=0時(shí)，求/(力在［-2,3］上的值域;

(2)若方程/(x)=。有三個(gè)不同的解，求6的取值范圍.

2.(23-24高二下?云南玉溪期中)設(shè)/(x)=a(x-心+6',曲線(=/(力在點(diǎn)(1J⑴)處

的切線與了軸相交于點(diǎn)(0,6).

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)V=/(x)+6有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

3.(23-24高二下?廣東惠州?期中)已知函數(shù)/(》)=；/一4尤+4.

(1)求曲線y=/⑶的圖象在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(2)若方程f(x)=左有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

4.(23-24高二下?河南,階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=：+21nx.

⑴求曲線y=〃x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)求函數(shù)〃尤)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

題型三：函數(shù)的圖象與函數(shù)零點(diǎn)問題

典型例題

例題1.(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x2-x-alnx.

⑴若函數(shù)/(尤)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)"的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(X)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例題2.(23-24高二下?山東聊城?期末)已知函數(shù)/(x)=(ae'-b)x-e'+b.

(1)當(dāng)b=0時(shí),求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑵若/(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足/'(X)*/'(-|)恒成立.

(I)求。的值；

(H)討論/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例題3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知”0且〃片1,函數(shù)/（x）=m（x>0）,若曲線

ax

V=與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求4的取值范圍.

例題4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（元）=上下的圖象在點(diǎn)（0J（0））處的切線方程為

ax+b

2x+y+1=0.

（1）求6的值;

⑵若“外:占有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

2x-l

精練高頻考點(diǎn)

1.(2024?云南曲靖?二模)已知函數(shù)/(x)=(x+a)e',aeR.

⑴求函數(shù)的圖象在點(diǎn)7(0J(0))處的切線方程；

⑵討論方程/(x)=b的實(shí)根的個(gè)數(shù).

2.(2024?貴州貴陽(yáng)?二模)已知函數(shù)/(x)=czxlnx+L,aeR.

2x

(1)當(dāng)。=1時(shí).求〃x)在(1,7(1))處的切線方程；

(2)若方程/(x)=d+1存兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求。的取值范圍.

3.(23-24高二下?廣東佛山?階段練習(xí))已知函數(shù)/("=。班+/(。為實(shí)常數(shù)).

⑴當(dāng)。=-4時(shí)，求函數(shù)/(x)在［l,e］上的最大值與最小值及相應(yīng)的x值；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.

⑶討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

m

4.(23-24高二下?北京延慶?期末)已知函數(shù)/(》)=+ln(x-1),其中加eR.

(x-D2

(1)當(dāng)"z=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程;

(2)若/(x)在(2,+◎上存在極值，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

⑶求/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

第二部分：易錯(cuò)篇

易錯(cuò)一：借助圖象時(shí)注意結(jié)合極限，畫更精確的圖象

典型例題

例題1.(23-24高二下?四川眉山?期中)已知函數(shù)=下+2)x+ltu,其中"R.

(1)求當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值0(。)；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-ax-有兩個(gè)不同的零點(diǎn)孫X］.

①求實(shí)數(shù)"的取值范圍；

②證明：>e2?

例題2.(2024?天津?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=ln(x+2)

⑴求曲線y=/(x)在產(chǎn)-1處的切線方程；

(2)求證：e'>x+1;

⑶函數(shù)/?(x)=/(x)(X+2)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求.的取值范圍.

精練高頻考點(diǎn)

1.(23-24高一下?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí))高三年級(jí)學(xué)生李波研究函數(shù)無(wú)