第04講平面向量系數(shù)和（等和線）問題

（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究

平面向量與代數(shù)、幾何融合考查的題目綜合性強(qiáng)，難度大，考試要求高。

平面向量是有效連接代數(shù)和幾何的橋梁，已成為高考數(shù)學(xué)的一個命題熱點(diǎn)。

近年，高考、?？贾杏嘘P(guān)“系數(shù)和（等和線）定理”背景的試題層出不窮，學(xué)生在解決此類問題時，

往往要通過建系或利用角度與數(shù)量積處理，結(jié)果因思路不清、解題繁瑣，導(dǎo)致得分率不高，而向量三點(diǎn)共

線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算，數(shù)

形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn)，同時也為相關(guān)問題的解決提供了新的思路，大家可以學(xué)以致用

考點(diǎn)梳理

知識講解

如圖，P為AAOB所在平面上一點(diǎn)，過O作直線///AB,由平面向量基本定理知:

存在x,yeR,使得OP=xOA+yOB

下面根據(jù)點(diǎn)P的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和％+y的值

①若尸w/時，則射線OP與/無交點(diǎn)，由///AB知，存在實數(shù)；L使得加=2%耳

而通=礪一礪，所以而=4無一九礪，于是x+y=/l-/l=0

②若尸定/時，

(i)如圖1,當(dāng)尸在/右側(cè)時，過尸作CD//AB,交射線0A,03于C,。兩點(diǎn)，貝U

NOCD^NOAB,不妨設(shè)AOCD與AQ43的相似比為左

由P,G。三點(diǎn)共線可知：存在XeH使得：

OP=WC+(1-A)OD=kAOA+k(l-2)OB

所以x+y=左/l+左(1-/I)=左

<ii)當(dāng)尸在/左側(cè)時，射線OP的反向延長線與A3有交點(diǎn)，如圖1作尸關(guān)于。的對稱點(diǎn)P',由(i)

的分析知：存在存在2€尺使得：

OP'=AOC+(l-A)OD=kAOA+(l-A)OB

所以O(shè)F=-左幾方+-(1—4)兩

于是x+y=-左2+-4(1-2)=-k

綜合上面的討論可知：圖中而用百，礪線性表示時，其系數(shù)和x+y只與兩三角形的相似比有關(guān)。

我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。

因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過。作A3邊的垂線

設(shè)點(diǎn)P在/'上的射影為P,直線/'交直線A3于點(diǎn)片，則|左|=笛就(左的符號由點(diǎn)P的位置確定)，因

此只需求出|0P|的范圍便知x+y的范圍

考點(diǎn)一、“x+y”或“幺+〃”型綜合

☆典例引領(lǐng)

1.(全國?高考真題)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若壽=

AAS+〃A5，則4+〃的最大值為

A.3B.272C.^5D.2

【答案】A

【法一：系數(shù)和】

分析：如圖，

由平面向量基底等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€/與圓相切時，最大，此時

,AFAB+BE+EF

A+LI=----=------------------誓=3,

ABAB

故選A.

【法二：坐標(biāo)法】

【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)4(0,1),8(0,0),C(2,0),0(2,1),尸(x,y),

2°4

易得圓的半徑/=不，即圓C的方程是(x-2)-+y2=-,

--?/、--./、--?/、ULIULlUUULU1

AP=(x,y-l),AB=(0,-l),Ar>=(2,0),若滿足AP=4A5+〃AD，

x—2〃xX

則1〃=7,彳=1一>,所以；1+〃=彳->+1,

y-l=-A22

設(shè)z=5-y+l,即、-y+l-z=0,點(diǎn)尸（x,y）在圓（x-2y+y2=g上，

PT<2

X

所以圓心（2,0）到直線］-y+l-z=0的距離dWr,即廠飛,解得1Wz<3,

所以z的最大值是3,即2+〃的最大值是3,故選A.

【點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)

乘運(yùn)算.

（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的

形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

2,（衡水中學(xué)二模）邊長為2的正六邊形A3CDEE中，動圓。的半徑為L圓心在線段。（含短點(diǎn)）上運(yùn)

動，尸是圓。上及其內(nèi)部的動點(diǎn)，設(shè)向量AP=znAB+〃AF（機(jī)￡R）,則m+〃的取值范圍是（）

A(l,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

—.—,—.AG2AB

分析:如圖，設(shè)A尸=加A5+〃A/，由等和線結(jié)論，m+n=—=——=2.此為根+〃的最小值;

ABAB

同理，設(shè)衣="2而+〃正，由等和線結(jié)論，%+〃=芷=5.此為m+〃的最大值.

AB

綜上可知根+〃￡[2,5].

1.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心且與3。相切的圓上,

^AP=AAB+^AD,則九+〃的最大值為（）

A3B272C75D2

解:如圖所示：

過A作6。的垂線，垂足為X,則AH=CE=B=r,當(dāng)E,C,P三點(diǎn)共線時，高線最長，即

（X+〃）max=-=3

r

2.如圖，正六邊形A3CDEF,尸是ACDE內(nèi)（包括邊界）的動

點(diǎn)，設(shè)Q=c而+，亦（e,，eR）,則。+尸的取值范圍是

解：連接5fA。因為正六邊形ABCDEF,由對稱性知道

BF±AD,ADLEC,設(shè)8歹與AD交于點(diǎn)G,CE與AD交于點(diǎn)H,

當(dāng)尸在CE上時，AP在上射影最小為AH；

當(dāng)尸與。重合時，AP在AD上射影最大為A。；

\AH\IAPI

則<a+J3<

|AG||AG|

x

設(shè)網(wǎng)3則IAGR皿骨SI”?！笮?/p>

則3Ka+/?K4

3.如圖在直角梯形A5CD中，ABI/CD,ABLAD,AD=DC=1,AB=3,動點(diǎn)尸在以C為圓心,

且與直線5D相切的圓內(nèi)運(yùn)動，設(shè)市赤+，麗

則。+/7的取值范圍是

解：設(shè)圓C與直線3D相切于點(diǎn)E,過A作AGL3。于G,作直線///￡出，且直線/與圓C相切與尸,

連所，則Eb過圓心，且石廠，5￡>,由圖可知，對圓。內(nèi)任意一點(diǎn)尸

AP在直線AG上的射影長度d滿足：|AG|<d<|AG|+1"|,

又|AG|=W?"包=3,|EF|=2|EC|=2|CD|sinZABD=三

\DB\V10710

35

所以—=<d<—=

V10vio

而a+Q=所以l<o+/?<g

考點(diǎn)二、"mx+ny”或"ma+nju”型綜合

☆典例引領(lǐng)

1.己知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且0X+礪+配=5,點(diǎn)"在AOSC內(nèi)(不含邊界)，若而=4通+〃就，則

2+2〃的取值范圍是

B.(l,2)

【答案】B

【解析】因為。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且次+0豆+芯=0,所以。為AABC的重心

M在QBC內(nèi)(不含邊界)，且當(dāng)/與0重合時,2+2〃最小，

—.—-—.2r1—?—■11—.1—.

此時AM=/lA3+〃AC=§x-(AB+AC)\=-AB+-AC

所以2=；,〃=；,即2+2〃=1

當(dāng)M與C重合時,2+2〃最大，此時AM=AC

所以4=0,〃=1,即2+2〃=2

因為“在AOBC內(nèi)且不含邊界

所以取開區(qū)間，即2+2〃e(1,2).

2.已知AABC為邊長為2的等邊三角形，動點(diǎn)P在以為直徑的半圓上.若AP=AAB+pAC，則22+〃

的取值范圍是

答案：it

_2_

【解析】如圖，取AB中點(diǎn)為。,

AP=AAB+RAC=2AAD+/uAC

顯然，當(dāng)P與C重合時,2/1+〃取最小值1.

將平行移動至與Q0相切處，

P為切點(diǎn)時,22+〃取最大值.

延長P0交CD于G,易知OG=Ob=EP=L.

2

FFAP5

由等和線及平行截割定理，匕=2,-=-.

FPAE2

所以22+〃的最大值為

故24+〃的取值范圍是1,1.

☆即時檢測

1.若點(diǎn)。在以P為圓心,6為半徑的弧上，且定=xPA+y麗則2x+3y的取值范圍為

【解析】^PC=(2x+3y)PD,

則而=―--PA+一—PB,

2x+3y2x+3y

即詠二可+3L_西，

2x+3y"2x+3y1

—.1—.—.1—.

其中％=]PA,pg=-PB.

由于在APABI中,I和I=3,|理|=2,ZAlPBl=120°,

且點(diǎn)D在線段4片上(含端點(diǎn)A,4)，

因此|尸〃|麴1尸D||K4j,其中PH是邊4片上的高.

=(PBi-PAi]=PBX+PAi-2PBiPA]=19

可得|4可=灰.

^=|K|-K|.sinZA1PBi=^\AlBi\-\PH\

可得|P〃|=嚕.

所以，及7款J|PD|3.

再由定=(2x+3y)而

可知2"3y=需二島e

2.設(shè)長方形ABCD的邊長分別是A。=1,A3=2,點(diǎn)P是ABCD內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，設(shè)AP=xAB+yAD,

則x+2y的取值范圍是

解:如圖，取AD中點(diǎn)E,則

AP=xAB+2yAE,

此時的等和線為平行于跖的直線顯然，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)、B重合時,x+2y最小為1,當(dāng)點(diǎn)P與C重合時,x+2y最

大,

由于"二生=2,

AFAE

所以士=3,

AF

AC

于是x+2y的最大值為0=3,

AF

所以x+2y的取值范圍是[1,3].

考點(diǎn)三、“x-y”或型綜合

典例引領(lǐng)

1.如圖，已知。為銳角三角形ABC的外心,A=]']I,且-。-------4--?=xOB?+yOC?,求2x—y的取值范_圍__?

作圓。的直徑CE,3D,則點(diǎn)A在劣弧DE上運(yùn)動.于是OA=(-x)OD+(-y)OE.其中x<0,y<0.

考慮到問題涉及的代數(shù)式為2x-y,為了利用向量分解的系數(shù)和的幾何意義，

將條件轉(zhuǎn)化為OA=2x^-^OD+(-y)OE.

1—?—?

此時可知連接向量-5O。的終點(diǎn)廠與向量0E的終點(diǎn)E的直線EF即等系數(shù)和線，于是2x-y=\.

依次作出其余等系數(shù)和線，可得2x-y的取值范圍是(-2,1).

1.(2020?全國?高三專題練習(xí))在矩形ABC。中，AB=1,AD=6,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與8。相切

UUUUL1UUUIU

的圓上.若AP=；L4B+〃A。，則X-〃的最小值為()

A.也B.1C.-1D.

【答案】C

【解析】以A為原點(diǎn)，直線AB,AD為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得P的坐標(biāo)

UUUUUUUU1U

的參數(shù)。形式，再由AP=XAfi+4Ap用坐標(biāo)表示，這樣％-4就可表示為6的三角函數(shù)，由三角函數(shù)恒等變

換可求得其最小值.

【詳解】以人為原點(diǎn)，直線48,AD為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則5(1,0),C(1,V3),0(0,石)

|A/3+\/3—A/S|百

直線/田：6%+丁=6，圓C與直線8。相切，所以圓C的半徑r=d=,圓C的方程為

7（73）2+122

（1）2+（卜百）2T

、

與sine,gpAP=

設(shè)點(diǎn)尸1+-cosa班+sin。,

2

77

ULttlULUULDU廠

又AP=4AB+juAD=（九J3〃）,

2=1+^-cos^

2

A/3/Z=6+^^sin。

所以％—〃=l+^^cose-[l+；1sinej=cose-Lsin6=cos（0+71

2226

54

即夕=2左乃+▼，左cZ時，丸―"取得最小值—1.

6

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，把向量Q用兩種不同方法表示，從

而把％表示為參數(shù)e的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)知識求得最小值.

考點(diǎn)四、加”或“成型綜合

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，ABLAD,AB^DC,AB=2,AD=DC=1,

圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C,半徑為且點(diǎn)尸在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動.若Q=x通+y正，

其中尤，yeR,則4x-y的取值范圍是（）

A.2,3+乎B,2,3+岑C.3一￡'3+用D.「一字3+誓］

【答案】B

【分析】建立直角坐標(biāo)系，將4x-y由尸點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化后數(shù)形結(jié)合求解

【詳解】以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD方向為x,y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則4（0,0）,3（2,0）,,

_,__.\m=2x-y

AB=(2,0),3C=(—1,1),設(shè)尸(八”)，則〈,解得〈

y=n

i^z=4x-y=2m+n,§Pn=-2m+z,

數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)嗎時，z取最小值2,

當(dāng)直線與圓(x-l)2+(y-l)2=J相切時，■“=:，z取得最大值3+好.

4，522

故選：B

2.(2022春?安徽六安?高三階段練習(xí))在直角梯形ABCD中，AB±AD,DC^\AB,AD=DC=1,AB=2,

E、F分別為AB、8C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE上變動，(如圖所示)，若

AP^AED+jtiAF,其中則22-〃的取值范圍是.

【答案】[T，l]

【分析】如圖以AB，AO為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(cosa,sina)[ce0,^,則可表示出擊的坐標(biāo),

可列出關(guān)于的不等式組，表示出4〃，利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡，從而可求得結(jié)果

31

【詳解】如圖以AB,為九,>軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(2,0),C(l,l),0(0,1),E(l,0),

―.-31

所以￡B=(-1,1),AF=

7C

設(shè)尸(cosa,sin叫a￡0,—

因為而二2而+〃正

31

所以(cos。,sina)=(-2+—//,2+—//),

,3

cosa=一4+一〃

所以

?。

sma=Z+—1//

解得力=一(3sina-cosi),〃=—(cosa+sina),

42

所以24—〃=3sini—工cosi—』cosa—工sini=sina—cosa=A/2sin[a--

2222(4.

TTTTTTTT

因為0,—,所以a-■一■,

L2j444_

所以----<sina——<——，

214)2

所以-14夜sin[c-?]wl,即—1W2X—//W1,

故答案為：[-LI]

我即時檢測

1.（2023?四川?校聯(lián)考三模）在直角梯形ABC。中，AB±AD,AD//BC,AB^BC=2AD=2,E,F分

別為BC,CD的中點(diǎn)，以A為圓心，AD為半徑的半圓分別交朋及其延長線于點(diǎn)V,N,點(diǎn)尸在AffiiN上

運(yùn)動（如圖）.若而=幾原+〃防，其中幾，〃eR,則22-5〃的取值范圍是

A.[-2,2]B.[-2,2夜]C.[-2A/2,2]D.[-2忘,2忘]

【答案】C

【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可表達(dá)出2/1-5〃=2cosc-2sina,進(jìn)而用輔助角公式

以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

分別以A民AD所在直線為x軸，y軸，通,而方向為正方向建立直角坐標(biāo)系，知

B（2,0）,D（0,l）,E（2,l）,F

2X-//=cos。

）（）一3，即<

設(shè)尸（8545m0（04二《兀），由Q=4m+"喬得：（,cosa,sina=22,1+“-1,c3.

24+—〃=sma

2

則22-5/z=2cos。-2sina=2A/2sin\a+-

I4

由OVaWn可得：—<a+—<—,則Twsin[a+空]V也，故-20420sin（a+七]42.

444（4）2I4J

則2"5〃的取值范圍是卜20,2].

故選：c

考點(diǎn)五、系數(shù)和（等和線）的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

—.1—.1—.

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)。是AABC的外心（三角形外接圓的圓心）.^AO=-AB+-AC,則，BAC

的度數(shù)等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】將向量式9=雙+通兩邊平方，結(jié)合三角形外心性質(zhì)和已知條件可得尼?麗=g通,同理可得

--------?1----d

AB-AC=-AC,然后根據(jù)夾角公式可得.

【詳解】0。為“WC的外心，

啊=網(wǎng)=國，

5iOB=OA+AB,Ad=-AB+-AC

33

|2|2I------>|2------?------?------?2------?22（------*----------------?------?21----22----?---?

0+|AB|+2ABOA=OA+AB--^AB+ACjAB^OA+jAB--AC-AB

SACAB=^AB2,同理荏?衣=g/“詞=|叫

,…ABAC1

故…c=阿同力

又NBAC￡（O㈤

團(tuán)440=60。.

故選：C.

2.（2023?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預(yù)測）在直角梯形ABCD中，AB±AD,AB//DC,AD^DC^l,

A

AB=2,動點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心，且與直線3。相切的圓上移動，設(shè)Q=；l而+〃通（九4eR）,則一最大

值是一

【答案】4

【分析】建立直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出2。的方程，求出圓的方程，設(shè)出尸（x,y）,求出三個向量

的坐標(biāo),用尸的坐標(biāo)表〃，沏則：=2?=2.E，根據(jù)直線W丘與（1『+（…『（有交點(diǎn)，求出

范圍.

【詳解】解：以A為原點(diǎn)，分別以方向為光,丁軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系:

所以A（0,0）,3（2,0）,C（l,l）,￡＞（0,1）,所以歷=（0,1）,AB=（2,0）,

因為圓C與直線BD相切，而：x+2y-2=0,圓心

所以半徑廠=&=￡,所以圓C：（x-l）2+（y-l）2=1,

設(shè)P（x,y）廁Q=（x,y）,AD=（0,1）,AB=（2,0）

又旃=2而+〃通=2（0,l）+〃（2,0）=（2〃,/l）

所以（x,y）=（2〃,4）,則x=2〃,y=X,所以〃=*彳=>

Xyy—0

所以一=2.2=2.匕下表示坐標(biāo)原點(diǎn)A與點(diǎn)尸兩點(diǎn)之間連線的斜率%的2倍,

〃XX~\J

因為動點(diǎn)尸在圓C上移動，所以直線4P：y=丘與(x-iy+(y-1『=:有交點(diǎn),

貝I]圓心C(1,1)至ljy=Ax的距離為J2]<

解得:左V2,貝

2尤

所以IV—W4,則一最大值是4.

故答案為：4.

3.(2022秋?江蘇蘇州?高一?？茧A段練習(xí))如圖，在正方形ABCQ中，￡為A3的中點(diǎn)，P是以A為圓心,

AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，^AC^ADE+juAP,貝U"下的最小值為_______.

4

7

【答案】4

4

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)回=2,可得尸點(diǎn)軌跡，從而可設(shè)P(2cose,2sine),

2sin0-2cos^

「14=------：--

0與；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得2cos；+sin°,將所求式子整理為

〃=-----------

、2cos0+sin0

16+2sin2616+2sin20TT

；令”。)6e0,-；利用導(dǎo)數(shù)可求得當(dāng)8sin2，-9cos2。=-1時,

3cos26+4sin26+53cos26+4sin26+5

/(e)取得最小值，利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可構(gòu)造方程求得sin2acos26,代入可求得最小值.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系

設(shè)AB=2,則4(0,0),3(2,0),C(2,2),￡>(0,2),E(l,0)

.-.AC=(2,2),DE=(1,-2)

由題意可得，P點(diǎn)軌跡方程為：x2+y2=4(x>0,y>0)

TT__

設(shè)P(2cosa2sin。)，0e0,—AP=(2cos6,2sin6>)

%_2sin8-2cos6

2=4+2〃cos82cos0+sin0

由/=4力后+〃”得：2=-22+2〃sind斛侍：3

、2cos+sin0

2

2129(sin8-cosOp9-(sin<9-cos^)

=

4—4--------------------7-----------------------T-------------------------------z-

4(2cos6+sin。)(2cos6+sin6)(2cos8+sin。)

8+sin2016+2sin26

3cos26+2sin26+"3cos26+4sin26+5

22

16+2sin23

設(shè)〃e)=

3cos26+4sin26+5

4cos26(3cos26+4sin2^+5)-(16+2sin2^)(-6sin26+8cos2。)

(3cos26+4sin26+5

12+12(8sin26?-9cos261)

(3cos2。+4sin2。+5/

當(dāng)8sin2夕一9cos20<-1時,/'(夕)<0；當(dāng)8sin28—9cos26>-1時，

當(dāng)8sin26*-9cos2。=—1時,/(e)取最小值

jr

0e0,—:.2O/.sin20e[O,l]

?cc20

8sin26—9cos20=-1sin2,=——

29

由<sin?26+cos?26=1得：<

“21

0<sin26><lcos2”=——

on717

即當(dāng)sin26=與，cos26=有時，取最小值”⑻.三

17

即〃2一：'~的最小值為了

44

7

本題正確結(jié)果：4

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題；解題關(guān)鍵是能夠通過建立平

面直角坐標(biāo)系的方式將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解，從而利用導(dǎo)數(shù)來確定最值取得的情況，屬于難題.

即時檢測

1.（2022春?黑龍江雙鴨山?高二雙鴨山一中校考期末）已知點(diǎn)。是AABC的外接圓圓心，A3=3,AC=4.

若存在非零實數(shù)％，使得AO=xAB+y苑且元+2y=1，則cosZBAC的值為

A-B.遮C."D.2

3333

【答案】D

【分析】根據(jù)加=x^+y正旦x+2y=l判斷出。,2與線段AC中點(diǎn)三點(diǎn)共線，由此判斷出三角形ABC的

形狀，進(jìn)而求得cos/&1C的值.

【詳解】由于=n=xZ^+2y與，由于x+2y=l,所以0,2與線段AC中點(diǎn)三點(diǎn)共線，根據(jù)

圓的幾何性質(zhì)可知直線。8垂直平分AC,于是AABC是以AC為底邊的等腰三角形，于是

AC

COSZBAC=2=2'故選D-

AB3

【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量中三點(diǎn)共線的向量表示，考查圓的幾何性質(zhì)、等腰三角形的幾何性質(zhì)，

屬于中檔題.

2.（2022?全國?高一專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E為A3的中點(diǎn)，尸為以A為圓心，為半徑

2

的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量蔗=2萬方+〃/，則一的最小值為

【分析】以A為原點(diǎn)，A3所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，正方形ABCD的

JT

邊長為1,求出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P（cos。,sin。），0e0,-,由市口2讀+〃衣列方程，利用sin。和cos。表

示〃和2,再由三角函數(shù)的性質(zhì)可得人的最小值.

【詳解】

以A為原點(diǎn)，A3所在直線為x軸，A。所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方形ABCD的邊長為1,則A(0,0),fifpOkC(l,l),0(0,1),

JT

設(shè)尸(cos。,sin。)，0G0,—

uuu------.(1、__.

因為4C=DE=\,AP=(cos0,sin6^

所以AC=2￡>E+/zAP=f^-2+//cossin^-2j,

(-i2sin"2cos6

/0ici4=-------------------

匚匚【、1—+Acos=1及刀/曰2cos+sin0

所以j2,解得：j3

一X+〃sin6=lu=-----------

、2cos6+sin。

42

所以一二—(sin^-cos0),

〃3

令/（e）=］（sine-cos。），可知當(dāng)Oe0,-時，函數(shù)/（。）單調(diào)遞增,

所以當(dāng)6=0時，4的最小值為一,，

〃3

2

故答案為：

3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在直角梯形ABCD中，AB±AD,AB//DC,AD=DC=1,AB=2,動點(diǎn)

P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線3D相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)無？=入礪+〃礪（4〃eR）,則尤+^加最大

值是.

【答案】m

【分析】建立合適的直角坐標(biāo)系，求出各個點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得圓C的方程，再求出尸

點(diǎn)坐標(biāo)，建立關(guān)于4〃的不等式，令r=X+〃代入不等式，根據(jù)判別式大于零可得，的范圍，化簡外

為關(guān)于％的二次函數(shù)，開口向下，可取得最大值，求出最大值時的值可證明其存在，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：以A為原點(diǎn)，分別以方向為軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系:

所以A(0,0),3(2,0),C(l,l),0(0,1),所以須=(0,1),通=(2,0),

因為圓C直線8D相切，而"+2y-2=0,圓心

所以半徑r=4=0,所以圓C：(x-l)2+()；-l)2=1,

V55

因為Q=AAD+juAB=2(0,1)+〃(2,0)=(2〃,彳),

即P（2〃"），因為動點(diǎn)尸在圓C上或圓C內(nèi)移動，

所以（2〃―1）2+（力—1）2＜（,設(shè)+〃，則4=（一〃，

所以不等式可化為：（2〃-l）2+（r-l-〃）2wg,

4

所以5〃2-（2,+2）〃+?—1）9-+140,易得不等式有解，則A20,

所以(2f+2)2-4x5x1(t-l)2+：)20,Bpt2-3t+2<0,解得1</42,

7757

所以原式下+/彳〃=矛+]”/1"=_/+5以

537工49249

2(10J4040

7/7a(7

所以當(dāng)1=2,2=%即2=：,〃=?時，尤+

1U331乙

故答案為：—

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查向量結(jié)合直線與圓的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于該題的思路有:

（1）圖形比較規(guī)則，建立直角坐標(biāo)系來解決向量問題；

（2）得到關(guān)于尢〃的不等式中沒有外〃，所以取/=%+〃，建立尢〃之間的關(guān)系；

（3）用判別式求得/的范圍，化簡所求式子至二次函數(shù)的形式；

（4）根據(jù)二次函數(shù)的最值及》的范圍求出最值.

好題沖關(guān)

【能力提升】

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在邊長為1的正方形A3CZ）中，動點(diǎn)尸在以點(diǎn)C為圓心且與BZ）相切的圓上.

若AP=XAB+〃AD,則幾+〃的最大值是

A.3B.25/2C.2也D.4

【答案】A

【分析】以A為原點(diǎn)，以AB,AO所在的直線為%＞軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

再設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（"cosO+l,*sind+1）,根據(jù)AP=4AB+〃A￡）,求出九，〃，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)

即可求出最值

【詳解】如圖：以A為原點(diǎn)，以A3,AD所在的直線為x,＞軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則4(0,0),5(1,0),0(0,1),C(l,l),

,??動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與相切的圓上，

設(shè)圓的半徑為「，

vBC=1,CD=1,J-+12f：.r=叵,

2

圓的方程為(x-1『+(尸1)2=”

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(Y^cosO+l，Y^sinO+1),

22

,.tAP=AAB+piAD,

即(^^os6+l,^^sinO+1)=4(1,0)+//(0,1)=(4,〃)，^^cosJ+1=4,^^sin6+l=〃，

+〃=^_cose+l+^~sine+l=sin[e+（）+2;-l強(qiáng)虹+1,張！R+〃3,故2+〃的最大值為3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)，考查了學(xué)生的

運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在正方形ABCD中，動點(diǎn)尸在以點(diǎn)C為圓心且與8。相切的圓上，若

AP=xAB+yAD,則*+丫的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】設(shè)正方形ABCD的邊長為2,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD所在直線分別為x、y軸建立平面直

角坐標(biāo)系加，可得出圓C的方程為（x-2『+（y-2）2=2,可設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2+也cos6,2+&sin。），根

據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將x+y用e的三角函數(shù)表示，利用輔助角公式和正弦函數(shù)的有界性可求出x+y的最大

值.

【詳解】設(shè)正方形A3C。的邊長為2,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD所在直線分別為X、y軸建立如下圖

所示的平面直角坐標(biāo)系xAy,

則點(diǎn)A（0,0）、3（2,0）、C（2,2）、0（0,2）,直線8。的方程為:+1=1,即x+y-2=0,

2

點(diǎn)C到直線BD的距離為"==亞,

則以點(diǎn)C為圓心且與直線8。相切的圓C的方程為（尤-2）2+（y-2y=2,

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2+應(yīng)cosea+^sine）,由市5=尤通+、而，

x=l+——cos6

得（2+&cos6,2+應(yīng)sin。）=x（2,0）+y（0,2）=（2x,2y）,<2

后A

y=l+——sin”

所以，x+y=日sin6+孝cose+2=sin[〃+?）+2,

因此，x+y的最大值為3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的基本定理求參數(shù)和的最小值，利用圓的有界性結(jié)合圓的參數(shù)方程來求解

是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.

3.（2022秋?湖北武漢?高三階段練習(xí)）如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P是ACDE內(nèi)（包括邊界）

的一個動點(diǎn)，設(shè)而=4/+〃荏（4〃€7?）,則幾+〃的取值范圍是（）

「3J”1「35]「3二

A.-,4B.[3,4]C.D.-,2

【答案】B

【分析】以直線尸B為x軸，線段陽的中垂線為y建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合已知求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由

點(diǎn)尸所在區(qū)域求解作答.

【詳解】在正六邊形ABCDE戶中，以直線用為x軸，線段FB中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,

令|AB|=2,則點(diǎn)A（0,-l）,B（V3,0）,F（-6,0）,C（6,2）,E（-區(qū)2）,D（0,3）,

因止匕衣=（一g,l）,通=（6,1）,因而=4加+〃而，貝=+

于是得點(diǎn)尸（-J。+〃T）,又點(diǎn)P是ACDE內(nèi)（包括邊界）的一個動點(diǎn)，

顯然點(diǎn)尸在直線CE:y=2及上方，點(diǎn)尸縱坐標(biāo)最大不超過3,即有2。+〃-"3,解得3。+左4,

所以2+〃的取值范圍是[3,4].

故選：B

4.（2022?浙江紹興?浙江省柯橋中學(xué)?？寄M預(yù)測）在矩形ABC。中，AB=1,AD=2,動點(diǎn)尸在以C為

圓心且與相切的圓上，若麗=2麗+〃型，設(shè)4+2〃的最大值為最小值為N,則M-N的值為()

A.當(dāng)B.半C.孚D.M

【答案】C

【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，求出各個點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求麗，BC，麗的坐標(biāo)，再結(jié)合直線與圓相切

的性質(zhì)求出半徑，再設(shè)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)求出4+2〃關(guān)于sin(x+g)=l的代數(shù)式，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)

即可求出最大值與最小值，從而求出M-N的值.

【詳解】解：如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系

A]Bx

BQ,O)C(1,2)0(0,2),

直線皮>:y=-2%+2,圓。方程為：(%—I)2+(y—2)2=r2,

又麗=(-1,0),BC=(0,2),

貝lj麗=2麗+4肥，麗=4(-1,。)+〃(0,2)=(-X,2//)

2

圓與直線50相切，則半徑〃=下.

點(diǎn)尸的坐標(biāo)可表示為％=l+rcose=l-4,y=2+rsin<9=2〃

則/+2//=-rcos+2+rsin=rsin-rcos3+2=sin(x+-^-)+2,

當(dāng)sin(x+?)=l時，有最大值M=2+及r,

當(dāng)sin(%+R=-1有最小值N=2-yflr，

所以M-N=2^r=

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在正六邊形ABCDE尸中，點(diǎn)P是ACDE內(nèi)（包括邊界）的一個動點(diǎn)，設(shè)

Q=4礪+月弱則2+〃的取值范圍是（）

A.[1,2]B.[2,3]C.[2,4]D.[3,4]

【答案】D

【詳解】因為P為動點(diǎn)，所以不容易利用數(shù)量積來得到九〃的關(guān)系，因為六邊形為正六邊形，所以建立坐標(biāo)

系各個點(diǎn)的坐標(biāo)易于確定，

可得：2（l,0）,c1|岑;歹-;岑，E（0,@,則荏=（1,0）,府=J岑,所以設(shè)尸（x,y）,

貝1|由通=幾通+可得：P咚〃，因為尸在ACDE內(nèi)，且CE:x+百y=3,CD:瓜+y=2石，

（22）

x+J3y>3A+//>3

所以P所滿足的可行域為b<V3

代入可得：通過線性規(guī)劃可得：2