專題06平面向量與解三角形

目錄

題型一：平面向量

易錯(cuò)點(diǎn)01對(duì)平面向量的基本概念理解不到位

易錯(cuò)點(diǎn)02忽略平面向量夾角的范圍與方向性

易錯(cuò)點(diǎn)03忽略向量共線時(shí)的兩種情況

易錯(cuò)點(diǎn)04錯(cuò)用平面向量的運(yùn)算律

題型二：解三角形

易錯(cuò)點(diǎn)05解三角形時(shí)錯(cuò)判解的個(gè)數(shù)

易錯(cuò)點(diǎn)06忽略邊角互化條件

易錯(cuò)點(diǎn)07忽略三角形中的隱含條件

題型一：平面向量

易錯(cuò)點(diǎn)01：對(duì)平面向量的基本概念理解不到位

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）在下列結(jié)論中，其中正確的是（）

A.若向量五，石共線，則向量2,5所在的直線平行

B.若向量5所在的直線為異面直線，則向量苕，石一定不共面

C.若三個(gè)向量b,^兩兩共面，則向量，，b,1共面

D.已知空間的兩個(gè)不共線向量1,b,對(duì)于空間的一個(gè)向量"，存在實(shí)數(shù)x,y,使得力=xa+y5,則

向量力與向量&,5共面

【答案】D

【分析】根據(jù)向量共線共面的判斷，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】選項(xiàng)A,向量落5共線，則向量商而所在的直線平行或重合，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,根據(jù)空間向量的意義知，空間任意兩個(gè)向量日石都共面，故B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C,由于三個(gè)向量。，瓦0兩兩共面，但是。，方,1不一定共面，故C錯(cuò)誤;

選項(xiàng)D,已知向量M，5｝是空間的一個(gè)基底，p=xa+yb,則向量扇尻萬(wàn)共面，D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【易錯(cuò)剖析】

在解題時(shí)容易混淆向量平行與直線平行的不同而出錯(cuò),另外也容易忽略零向量的特殊性.

【避錯(cuò)攻略】

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量，向量的大小叫作向量的模.

(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.

(3)單位向量：模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

(4)共線向量：若兩個(gè)非零向量a,5的方向相同或相反，則稱這兩個(gè)向量為共線向量或平行向量，規(guī)定:

零向量與任一向量共線.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算

向量

定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

運(yùn)算

(1)交換律：

a~\~b=b~\~a；

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

廠…結(jié)合律：

(2)

三角形法則平行四邊形法則

(a+m+c=a+S+c)

求。與力的相反向量一方7y

減法的和的運(yùn)算叫做〃與萬(wàn)的a->=〃+(—b)

三角形法則

差

(DIM=|川同;(2)當(dāng)2>0時(shí),2a

2(//a)=(，/)〃；

求實(shí)數(shù)4與向量a的積的的方向與a的方向相同；當(dāng)衣0

數(shù)乘(2+〃)〃=%。+〃a；

運(yùn)算時(shí)，2a的方向與a的方向相反；

A(a+b)=Xa+Ab

當(dāng)A=0時(shí)，/a=0

【解讀】（1）利用三角形法則時(shí)，兩向量要首尾相連，利用平行四邊形法則時(shí)，兩向量要有相同的起點(diǎn).

（2）當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，三角形法則仍然適用，而平行四邊形法則不適用.

3.共線向量定理

向量a（aWO）與6共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使8=加.

【解讀】共線向量定理中規(guī)定“知原因：⑴當(dāng)”=0時(shí)，若厚0,則不存在實(shí)數(shù)人使得》=貓，但此時(shí)

向量a與》共線；（2）當(dāng)a=0時(shí)，若5=0,則對(duì)任意實(shí)數(shù)人都有》=茄，與有唯---個(gè)實(shí)數(shù)4矛盾.

因此限定存0的目的是保證實(shí)數(shù)力的存在性和唯一性.

易錯(cuò)提醒：（1）注意0與。的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|=0；（2）單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它

們的模相等，但方向不一定相同；（3）零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向

不確定，因此在解題時(shí)要注意它們的特殊性；（4）任一組平行向量都可以平移到同一直線上；（5）向量平行

與向量共線是完全相同的一個(gè)概念，指兩個(gè)向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直線可以平行，也可

以重合；但直線平行不包含直線重合的情況.

舉一反三

1.（2024高三.北京.專題練習(xí)）給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動(dòng)，零向量的長(zhǎng)度為零，方向

是任意的；②若a,B都是單位向量，則1=方；③向量南與麗相等.其中正確命題的序號(hào)為（）

A.①B.③C.①③D.①②

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若￡與否都是單位向量，則￡=尻

B.“同=間”是的必要不充分條件.

C.若工B都為非零向量，則使，+方=°成立的條件是日與B反向共線.

D.若a=B,B=c,則￡=

3.（23-24高一下.四川.期中）下列命題正確的是（）

A.若］與石都是單位向量，則商=5

B.方向?yàn)槟掀?0。的向量與北偏東60。的向量是共線向量

C.若萬(wàn)與5是平行向量，則。=5

D.若用有向線段表示的向量麗與福不相等，則點(diǎn)M與N不重合

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2024高三?北京?專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量

B.共線向量是在同一條直線上的向量

C.零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的

D.冠〃前就是通所在的直線平行于9所在的直線

2.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知非零向量Z與石共線，下列說(shuō)法不正確的是（）

A.或a=—B

B.%與B平行

c.Z與B方向相同或相反

D.存在實(shí)數(shù)彳，使得￡="

3.（23-24高三下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A.若同明,則2=萬(wàn)B.若問(wèn)〉W，則￡>3

C.若2=方，則Z//BD.y^allb,bllc,則a//c

4.設(shè)￡是非零向量，力是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論中正確的是（）

A.—與的方向相反B.J與儲(chǔ)公的方向相同

C.卜司即|D.|-Aa|>|A|a

5.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）（多選）下列命題中錯(cuò)誤的有（）

A.平行向量就是共線向量

B.相反向量就是方向相反的向量

c.Z與否同向，且問(wèn)>瓦則2>行

D.兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件

6.（23-24高二上?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí)）（多選）給出下列命題，其中假命題為（）

A,向量荏的長(zhǎng)度與向量麗的長(zhǎng)度相等

B.向量￡與B平行，則￡與B的方向相同或相反

C.向+問(wèn)=|正同與方方向相反

D.若非零向量Z與非零向量B的方向相同或相反，則2+B與Z,B之一的方向相同

7.（2024高三?江蘇?專題練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.若。不,則々與B的方向相同或者相反

ab

B.若￡,5為非零向量，且同=忖，則￡與5共線

C.若Z//5,則存在唯一的實(shí)數(shù)2使得2=4

D.若錄式是兩個(gè)單位向量，且W，=1,則何+司=6

8.（多選）下列敘述中正確的是（）

A.若￡//%//乙則薪

B.若￡=方，貝U3Z>2B

c.已知非零向量Z與5且Z〃后，則Z與5的方向相同或相反

一a

D.對(duì)任一非零向量'是一個(gè)單位向量

9.（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.前〃也就是血所在的直線平行于前所在的直線

B.長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量

C.零向量的長(zhǎng)度等于0

D.AB+CA+BC=6

易錯(cuò)點(diǎn)02:忽略平面向量夾角的范圍與方向性

般易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（23-24高三上.山東聊城?期末）已知向量￡=（3f+l,2）,5=（l,r）,若￡與石所成的角為鈍角，則實(shí)數(shù)f

的取值范圍：.

【答案】（-S,-DUIT，-：

【分析】Z與B所成的角為鈍角即且￡與B不平行，列式求解即可.

【詳解】￡與6所成的角為鈍角即且Z與5不平行,

1

3,+1+2/<0t<——

即（3/+l）lw2n5

3r+1—2。0

所以才￡（-8,T）u1—l,—g]

故答案為：（-8,-1）口1一1,一;

【易錯(cuò)剖析】

本題容易誤認(rèn)為2?石＜0是2與石夾角為鈍角的充要條件而出錯(cuò)，因?yàn)楫?dāng)％不＜0時(shí)￡與石夾角可能為萬(wàn).

【避錯(cuò)攻略】

1.向量的模

（1）向量的大小叫向量的模.向量1=（%,%）的模為。=J片+才.

⑵若/1（占,%）,3優(yōu),%）,則向量彳豆的模卜J（.一々J+（%--

2.向量的夾角

（1）已知兩個(gè)非零向量a,儀如圖），O是平面上的任意一點(diǎn)，作芯="，Oh=b,則NAOB=6?（OW6?WTI）

叫做向量。與入的夾角.

（2）當(dāng)9=0時(shí)，〃與方同向；當(dāng)。=兀時(shí)，a與力反向.

（3）設(shè)Z=（%,%）石=,%）是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為°，則cos0=器（

Jx；+才也；；￡

7T

3.垂直：如果a與6的夾角是了則稱。與垂直，記作a，尻

易錯(cuò)提醒：（1）兩個(gè)向量只有起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是向量的夾角（2）向量的夾角是指向量方向的夾

角；（3）向量的夾角范圍是[0,?],這一點(diǎn)是與直線的夾角范圍是不同的，要注意區(qū)分.

舉一反三

1.（23-24高三下?湖南湘潭?階段練習(xí)）已知向量@=（利+1,機(jī)），5=（2,-1）,若之與B所成的角為銳角，則實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍為.

2.（24-25高三上?北京順義期中）設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線，貝『'而與XT的夾角為銳角”是

荏+衣|＞|通的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（24-25高三上?湖南常德?階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，。為8C的中點(diǎn)，AB=3AE,

貝IJ而?屈=（）

C

44

A.2B.-C.—2D.—

33

，易錯(cuò)題通關(guān).

1.（23-24高三上.北京.開(kāi)學(xué)考試）已知不共線的兩個(gè)非零向量灑方，則“1+5與。-5所成角為鈍角”是

“|菊＜出|”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（24-25高三上?河南安陽(yáng)?期中）設(shè)非零向量。石的夾角為0,若同=1,問(wèn)=2,則“，為鈍角”是“歸-5卜石”

的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（24-25高三上?山西大同?期中）已知向量二族滿足2+辦+"=0,同=2相=技且￡與否的夾角為巳，則

cos（B,c）=（）

A2岳2而02屈n2屈

A.------D.R----C.----D.----------------

13131313

4.（24-25高三上?湖南?階段練習(xí)）已知VA3C為單位圓。的內(nèi)接正三角形，則加.起=（）

33

A.—B.—C.1D.—1

22

5.（2024.云南貴州二模）設(shè)向量商=（1,2）出=（加,1）,且卜+同=卜-.，貝卜”=—,&和5所成角為

6.（2024.四川綿陽(yáng).模擬預(yù)測(cè)）平面向量苕與方相互垂直,已知々=（6,-8）,|方|=5,且5與向量（1,0）的夾角

是鈍角，則3=.

7.（24-25高三上?福建福州?期中）已知同=6,Z為單位向量，且1在8上的投影向量為-3后巨，則萬(wàn)與巨的

夾角為.

8.（24-25高三上?福建福州?階段練習(xí)）已知商=。,2）,b=（x,-4）,若2與5的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)x的取

值范圍是.

易錯(cuò)點(diǎn)03：忽略向量共線時(shí)的兩種情況

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高二上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）已知單位向量汗與向量萬(wàn)=（1,2）共線，則向量商的坐標(biāo)

是.

【解析】根據(jù)與向量共線的單位向量的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，單位向量乙與向量3=（1,2）共線，

則向量Z=±j=即向量。的坐標(biāo)是（9,當(dāng)）或（一手，一半）.

【易錯(cuò)剖析】共線向量的定義指出方向相同或相反的非零向量稱為共線向量，并規(guī)定零向量與任意向量共

線，本題容易忽略方向相反的情況而造成漏解.

【避錯(cuò)攻略】

1.向量數(shù)乘的定義

規(guī)定實(shí)數(shù)4與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：Aa,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如

下：①|(zhì)2a|=|R|a|；②當(dāng)幾>0時(shí)，4a的方向與。的方向相同；當(dāng)4<0時(shí)，幾@的方向與0的方向相

反.當(dāng)4=0或a=0時(shí)，Aa=0.

2.向量共線（平行）定理

向量a（awO）與方共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)幾，使方=①.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

（1）設(shè)。=（芯，%）,〃=（々，%）,其中8/0，。，入共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)X,使。=勸.

（2）如果用坐標(biāo)表示，向量共線的充要條件是X1%-

易錯(cuò)提醒：處理平面向量的共線問(wèn)題一般有兩個(gè)思路：一是從幾何的角度，二是從坐標(biāo)的角度，這類問(wèn)題

的求解過(guò)程有兩類特殊情況需要特別注意，一種是向量為零向量的情況；二是要考慮向量方向相同或相反

的情況.

舉一反三

1.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）己知向量乙石不共線，且C=2萬(wàn)+瓦彳=萬(wàn)+（24-1）5,若1與2反共線，則

實(shí)數(shù)力的值為（）

A.1B.—C.1或—D.—1或—

222

2.（24-25高二上.河南.階段練習(xí)）已知直線4的方向向量為7=（左,1）,直線4的方向向量為Z=（2-左㈤,

若4〃4，貝壯=（）

A.-2B.1C.—2或1D.0或2

3.（24-25高一下?四川瀘州?期中）（多選）與Z=（3,-4）共線的單位向量有（）

r34r34

C.b=（---）D./?=（--,——）

5555

■4易錯(cuò)題通關(guān)A

1.（24-25高三上?山東日照?階段練習(xí)）已知向量口，石不共線，S.c=Aa+b，d=a+［2A+\）b,若。與徒同

向共線，則實(shí)數(shù)4的值為（）

A.1B.；

C.1或一］D.-1或g

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量”（3,-1）,單位向量。與向量B==（2,1）同向共線，則向量在向量4方向

上的投影向量為（）

（3百石）（3&■石）（V23應(yīng)、

A.「而,而JB.［而，-而JC.「于三J122J

3.（23-24高一下?全國(guó)?隨堂練習(xí)）下列關(guān)于向量的描述正確的是（）

A.若向量B都是單位向量，則￡=B

B.若向量G,B都是單位向量，則|Z1=1石1=1

C.任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量

D.平面內(nèi)起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)共線

4.（24-25高一下?江蘇連云港?階段練習(xí)）已知向量荏=（2,2）,則與通共線且反向的單位向量為（）

C.庫(kù)用或苫一用〉（2,2）

5.（24-25高一上?云南?期末）（多選）設(shè)九石是互相垂直的單位向量，AB=Aa+2b，AC=a+（A-l）b,

下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若點(diǎn)C在線段A8上，則2=2

2

B.若AB1AC,則4=]

C.當(dāng)4=1時(shí)，與通共線的單位向量是好Z+冬$3

55

1-2-

D.當(dāng)4=—1時(shí)，￡在衣上的投影向量為二〃-二人

6.（24-25高一上?上海?課前預(yù)習(xí)）設(shè)[、團(tuán)是兩個(gè)不平行的向量，則向量溫=-1+左段（^GR）與向量

7=E-平行的充要條件是.

7.（24-25高一下?河南?期末）已知向量￡=（2,2）,與萬(wàn)共線且方向相反的單位向量石=

8.（23-24高一下?廣東佛山?期中）已知忖=3,忖=1,2與石的夾角為45。.

（1）求Z在后方向上的投影向量；

⑵求忖+2?的值;

⑶若向量（21砌與（篇-3石）平行且方向相同，求實(shí)數(shù)九

易錯(cuò)點(diǎn)04：錯(cuò)用平面向量的運(yùn)算律

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

1111一

典例（24-25高二上?山東青島?期中）已知。的=人若，下列關(guān)系一定正確的是（）

A./?=0B.Q=CC.（a—c）_LZ?D.（a—c）//b

【答案】C

解析】由已知“助=人④，所以〃?/?—/??c=0,即/??(〃—。)=0,所以(Q—C)故選C.

【易錯(cuò)剖析】本題容易混淆了向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)的積的概念而出錯(cuò)，如由高，兩邊同除以B，所

以〃二。?

【避錯(cuò)攻略】

1.向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)B都是非零向量，工是單位向量，。為［與B(或3)的夾角.則

(1)a-e=e-a=；

(2)〃_LB=Q%=0；

(3)當(dāng)〃與B同向時(shí)，〃3=?卜當(dāng)Q與B反向時(shí)，=-忖W；

特別地，〃?〃二口或H=；

/、八a-b

(4)cos0-p||Tj；

耶

(5),張耶|

2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)a-b=b-a；

(2)(.〃)./?=((〃./?)=a.(4?/4為實(shí)數(shù));

(3)^a+b^'c=a'C+b-c\

(4)常用公式

―?—?\/—?—?\—?2-*2/—?->\2-*2-*-?->2/—>->\2->2-?-?/

(a+by\a-b\=a-b\a+b\=a+2a-b+b\a-b\=a-2a-b+b

易錯(cuò)提醒：(1)在實(shí)數(shù)中：若awO,且必=0,則人=0,但在向量的數(shù)量積中，若且7B=0,

不能推出5=0.

(2)已知實(shí)數(shù)。，反W0),且ab=bc,則。=c,但在向量的數(shù)量積中沒(méi)有￡?石二石?"=￡?2?

(3)在實(shí)數(shù)中有(a/)-c=a-(6c),但是在向量數(shù)量積中(7抄號(hào)7僅①，這是因?yàn)樽筮吺?/p>

與2共線的向量，而右邊是與￡共線的向量.

舉一反三

1.（24-25高三?河北石家莊期末）已知3,反工均為非零向量，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.若—〃.c=0,則B=c

B.^\a-c\=\b-c\則￡=3

C.若|a|〉|B|,則（a+石）?（a—石）＞0

D.若2|a|=|B|=2,a-b=O，且|a+B—2cl=1,貝ij|c|的最大值與最小值之和為上

2.（2025全國(guó)高三第一次模擬）已知。瓦亍為非零平面向量，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.=0B.a//bR,b=Aa

c.若=則方=5D.（a.B）々=a.（B?

3.（2025,全國(guó)?高三課時(shí)練習(xí)）已知平面向量a=（1,3）,*2,且（_同=由,則（21+5）?（萬(wàn)-5）=（）

A.1B.14C.而D.710

易錯(cuò)題通關(guān).

1.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)九B為非零向量：2,〃eR,則下列命題為真命題的是（）

A.若7（￡-@=0,貝|J￡=B

B.若［=」￡,則忖+忖=忖+耳

C.若+=貝!|丸=〃=0

D.若問(wèn)＞.,則僅+葉（￡一石）＞0

2.（24-25高三上?安徽合肥?階段練習(xí)）下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是：（）

①若一b,2為平面向量，則（無(wú)5斤=萬(wàn)（5?；

②向量,可不-（萬(wàn)⑹5與2垂直；

③%=（-3,m），5=（4,3）,若Z與B的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是加＜4

b

④.記閭=仁則向量Z在向量5上的投影向量為伍心”

A.0B.1C.2D.3

3.（24-25高三上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）若向量璃5滿足忖=1,（a+b^Lb,（^a+2b）1af則同=（）

A.72B.73C.2D.3

4.（24-25高三上?山西太原?期中）（多選）已知非零向量￡,瓦￡,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若〃（幾c）=6,則6_12

B.若（。+石）_L（。一石）,則|〃|二|B|

C.向量可.楊c-（a.c）5與向量￡垂直

D.若Q.C=B.C，則〃=石

題型二：解三角形

易錯(cuò)點(diǎn)05:解三角形時(shí)錯(cuò)判解的個(gè)數(shù)

叁易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高三上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）在三角形ABC中，a=2,A==,6=26，則/C=（）

6

71

A.—c殳或四D

6-I6^2洌

【答案】C

【分析】由正弦定理求得B,即可求解.

2273

ab

【詳解】由可得：1sinB,

sinAsinB

2

所以sin5=,又b>a,

2

所以8=日或?，

33

結(jié)合內(nèi)角和定理，所以/c=m或g,

62

故選：C

【易錯(cuò)剖析】

己知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，容易忽略對(duì)解的個(gè)數(shù)的討論而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

在△ABC中，已知mb和A時(shí)，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

C

-....Ac

X

圖形

AB\BA......B八'B

AB

bsinA<a<ba>b

關(guān)系式a=bsinAa>ba<b

解的個(gè)

一解兩解一解一解無(wú)解

數(shù)

由上表可以得出：已知兩邊一對(duì)角:

「大角求小角一解（銳）

‘兩解一sinA<K一銳角、一鈍角）

小角求大角一,一解一sinA=l（直角）

無(wú)解—sinA>l

易錯(cuò)提醒：兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它的邊和角時(shí)，由于正弦函數(shù)在在區(qū)間（0,〃）內(nèi)不單調(diào)，此時(shí)三

角形解的情況可能是無(wú)解、一解、兩解，此時(shí)可通過(guò)大邊對(duì)大角進(jìn)行分析，也通過(guò)幾何法來(lái)判斷三角形解

的個(gè)數(shù)。

舉一反三

1.（24-25高二上?河南洛陽(yáng)?期末）在VABC中，已知A=60°，a=26,b=2,則3=（）

A.30°或150°B.60°C.30°D.60°或120°

2.（24-25高二上?山西晉城■階段練習(xí)）在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若“=

b=2非,C=g,則角B的大小為（）

71—兀—兀一lx兀_7T

A.-B.-C.一或一D.一

62634

3.（24-25高三下?江蘇揚(yáng)州?開(kāi)學(xué)考試）在VABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為b、c,根據(jù)下列條

件解三角形，其中有兩個(gè)解的是（）

A.a=8,b=W,A=45°B.a=6O,Z?=81,B=60°

C.a=7,b=5,4=80°D.a=14,b=20,A=45°

>易錯(cuò)題通關(guān).

1.在AASC中，B=300,b=2,c=2&，則角A的大小為（）

A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°

jr

2.（24-25高二上?重慶?開(kāi)學(xué)考試）若滿足ZABC=：,AC=6,BC=左的VABC恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)上的取值范

4

圍是（）

A.（0,6]B.（0,6]U{6夜}C.[6,6近]D.（6,60）

3.（24-25高三上?江蘇淮安?期中）在外接圓半徑為4的VABC中，ZABC=30°,若符合上述條件的三角形

有兩個(gè)，則邊48的長(zhǎng)可能為（）

A.2B.3C.4D.5

4.在44SC中，AC=1,ZACB=y,延長(zhǎng)班到點(diǎn)。，使得4。=后，ZADC=^,則AB的長(zhǎng)為_(kāi)___.

46

5.已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C,若4=2,A=y,且，-sin（B-C）=sin25,

則AABC面積為.

易錯(cuò)點(diǎn)06:忽略邊角互化條件

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知7〃cosB=b（c—7cosA）.

⑴求h;

IT

（2）。為邊A3上一點(diǎn)，AD=2DB=2BC,ZBDC=~,求AASC的面積.

【答案】⑴人=7

4

【分析】（1）通過(guò)正弦定理將7acosB=Nc-7cosA）中的邊化為角，可求出b的值；

（2）由題可知ABDC為等邊三角形，|CD|=a,在△ADC中運(yùn)用余弦定理可求出。的值，進(jìn)而求得AABC

的面積.

【詳解】（1）V7ocosS=Z?（c-7cosA）,由正弦定理得：7sinAcosS=sinB（c-7cosA）,

7sinAcosB+7sinBcosA=csinB,即7sin（A+jB）=Z?sinC=7sinC,

則6=7.

（2）由題可知&BDC為等邊三角形，則|CD|=。，ZADC=y,

\-\AD\=2a,在八40。中，由余弦定理可得：

|AC|2-1AD|2+1￡>C|2-21A￡)|■|DC|■cosZADC,

2元

即49=(2a)2+q2-2.2Qa-cos3-,解得a=J7,

AABC的面積為,xJZX3A/7xsin4=處叵.

234

【易錯(cuò)剖析】

本題在對(duì)題設(shè)條件的應(yīng)用過(guò)程中容易錯(cuò)用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，將7ocosB=6(c-7cosA)化為

7sinAcosB=sinB(sinC-7cosA)而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1.正弦定理

在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為外接圓半徑

4」=J2R

sinAsinBsinC

2.正弦定理的變形

①asin5=Z?sinA；Z?sinC=csinB；asinC=csinA；

②sinA:sin5:sinC=a:b:c

abca+b+ca+ba+cb+c

(3)-----=-----=------=--------------------=-------------=-------------=-------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

?<2=27?sinA,b=2RsinB,c=2RsinC(可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化)

cihc

⑤sinA=——,sin3=——,sinC=——(可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化)

2R2R2R

3.正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa::c=sinA:sin5:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊a>bA>Bsin6ocosAvcos3

a+b+ca+bb+ca+cabc

③合分比:———————

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsin5+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

易錯(cuò)提醒:若等式中每一項(xiàng)的邊或者三角的正弦(特指sinAsinB,sinC)的個(gè)數(shù)相同，可以考慮直接改成對(duì)

應(yīng)角的正弦或者對(duì)應(yīng)角的邊，否則就得利用2火進(jìn)行等量代換.

舉一反三

1.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知VABC的內(nèi)角A,5,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,若

（c-〃）sinA=csinC-戾inB,Z?=3,則AC邊上中線長(zhǎng)度的最大值為（）

A3&口4指03后n40

2323

2.（23-24高一下?江蘇鹽城?期中）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若acos3+6cosA=a,

則△ABC一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等邊三角形

3.（23-24高一下?廣西南寧?期末）已知VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,點(diǎn)。是A3的中

點(diǎn).若a+1=ccosB且AC=1,CD=—,則AB=______.

22

易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2024.四川成都.模擬預(yù)測(cè)）已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且產(chǎn)=產(chǎn)'

b+csinA+sinC

貝UA=（）.

JCJC2兀5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

2.（2024?陜西.模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,c（sinA-sinC）=（o-/?）（sinA+sinB）,

若VABC的面積為石，周長(zhǎng)為36,則AC邊上的高為（）

4

、BB.且C.6D.273

32

3.（2024?全國(guó)?二模）在AA8C中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,2acosA=bcosC+ccosB,且a=4sinA,

則△ABC周長(zhǎng)的最大值為（）

A.472B.642C.4A/3D.6y/3

4.（24-25高三上?廣東東莞?階段練習(xí)）在VABC中，sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,且AB邊上的中

線長(zhǎng)為2,則VABC面積的最大值為.

5.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）VABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若6=2asin3,bc=4,貝UVABC

的面積為.

6.（2024.陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且〃="，

"cos3=（3c-b）cosA,則YABC面積的最大值為.

7.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在VABC中，內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,2b=a（2cosC-cosB）-bcosA.

⑴求A；

（2）若VABC的面積為4石，。為AC的中點(diǎn)，當(dāng)80取得最小值時(shí)，求3C的長(zhǎng).

易錯(cuò)點(diǎn)07：忽略三角形中的隱含條件

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

2f+b

典例（2025高三?全國(guó)?期末）設(shè)銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若C=2A,貝汁上^的

a

取值范圍是.

【答案】（2五+1,2月+2）

【分析】根據(jù)已知條件，利用正弦定理邊角互化結(jié)合三角恒等變換將目標(biāo)式化為角A的函數(shù)關(guān)系，再求A的

取值范圍，根據(jù)函數(shù)值域即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镃=2A,貝!JsinC=sin2A=2sinAcosA,cosC=cos2A=2cos2A—1,

又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

故由正弦定理可得：

2c+bsinB+2sinCsinAcosC+cosAsinC+4sinAcosA-cosAsinC

-------=------------------=------------------------------------------------=4AcosA4+cosCH----------------

asinAsinAsinA

=4cosA+2cos2A-1+2cos2A

=4cos2A+4cosA-l,

又MBC為銳角三角形，故可得A￡（0弓）,C=2A￡（0個(gè)）,5=?！?A￡（0微），

解得Aw（弓,：）,則COSAE告），

由于V=4cos2A+4cosA-l=4（cosA+g1-2,在cosA￡上單調(diào)遞增，

當(dāng)cosA=y=1+2\[2,當(dāng)cosA=,y=2+2A/3,

22

故4cos2A+4cosA-1￡（272+1,2石+2）,

即處主s（2應(yīng)+1,2百+2）.

a

故答案為：（2夜+1,20+2）.

【易錯(cuò)剖析】

本題在求解過(guò)程中容易忽略條件中三角形是銳角三角形這一限制條件，以致求錯(cuò)A的取值范圍而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

l.AABC內(nèi)角和定理：A+B+C=7T

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+Z?cosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②—cosC=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB；

tanA?tanZ?

③斜三角形中，一tanC=tan(A+5)=-------------------*?tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

1-tanA-tanB

④sin(*)=cosC；cos(j)=sinC

2222

⑤在AA5c中，內(nèi)角AB,C成等差數(shù)列=B=：,A+C=,

2.三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB

3.中線、角分線

(1)中線:

在A45C中,設(shè)。是的中點(diǎn)角A,5,C所對(duì)的邊分別為“，b,c

①向量形式:2AD=AB+AC

---；(Jb2+c2+2/?ccosA)

結(jié)論：AD

②角形式:

ZADB+ZADC=%=>cosZADB+cosZADC=0

在"中有：c某燎5-

122

升A4n心尾七DA+DC-AC

在AADC中有：cosZADC=----------------