專題25嵌套函數(shù)的零點問題

目錄

解題知識必備....................................

壓軸題型講練...................................................................1

題型一、內(nèi)外自復(fù)合型/(/(%)).................................................1

題型二、內(nèi)外雙函數(shù)復(fù)合型/(g(%))............................................7

題型三、二次型因式分解型a[f(尤)『+bf(X)+c............................12

壓軸能力測評(9題).........................................................18

??解題知識必備”

一、嵌套函數(shù)的零點問題

對于嵌套型復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的零點個數(shù)問題，求解思路如下：

⑴確定內(nèi)層函數(shù)”=g(x)和外層函數(shù)9=/(〃)；

(2)確定外層函數(shù)(=/(〃)的零點〃=%(，=1,2,3,..?力)；

(3)確定直線“=%(i=l,2,3,....〃)與內(nèi)層函數(shù)M=g(x)圖象的交點個數(shù)分別為，...，%

則函數(shù)y=/[g(x)]的零點個數(shù)為％+出+%...+%?

注意：抓住兩點：(1)轉(zhuǎn)化換元；(2)充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì).

X壓軸題型講練”

【題型一、內(nèi)外自復(fù)合型/(/(%))】

一、單選題

1.(24-25高三上?湖南?階段練習(xí))已知函數(shù)'X"：，若關(guān)于X的方程*〃x))=0有且僅有兩個

[log2%,X〉U,

實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1)B.C.[L+⑹D.(O,l)U(l,+?)

【答案】C

【分析】利用換元法設(shè)M=〃X),則方程等價為〃")=0,根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)求出M=l,

利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【詳解】令“=〃X),則/(")=0.

①當(dāng)4=0時，若a40J(a)=0；若〃>0,由/(&)=log?”=0,得“=1.

所以由/(〃x))=0可得〃x)W0或/(x)=l.

如圖所示，滿足/(x)W0的x有無數(shù)個，方程/(x)=l只有一個解，不滿足題意；

②當(dāng)a*0時，若w40,則/(1/)=0-2"NO；若〃>0,由/(M)=logzW=0,得&=1.

所以由/(〃x))=0可得=當(dāng)x>0時，由/(x)=log2X=l,可得x=2,

因為關(guān)于x的方程/(/(X))=0有且僅有兩個實數(shù)根，則方程/(x)=1在(-叫0]上有且僅有一個實數(shù)根,

若a>0且xW0J(x)=a-2*e(0,a],故aNl；

若a<0且x40J(x)=a2<0,不滿足題意.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是[1,+8),

故選：C.

[2，+2<]

2.(2024高一上?江蘇?專題練習(xí))已知/(%)=,2”一，則方程/[/(創(chuàng)=2實數(shù)根的個數(shù)是()

|/og2(x-l)|,x>l

A.5B.6C7D.8

【答案】C

【分析】由方程〃(切"先求出小)=1或/a)1或仆)=5,再解方程即可.

【詳解】解：①當(dāng)/(x)41時,

2/(x)+2

/[/?]=^—=2,

解得，/?=1,

-^―=l^|log2(x-l)1=1,

二.x—l=g或%一1=2,

3

故x=5或x=3；

②若/(%)>1,貝！I九/⑼=110g2(/a)-1)1=2,

.?./(%)-1=；或/。)一1=4,

4

二/。)=；或/(》)=5,

若/'(xh；，則2產(chǎn)=:或Ilog2(x-l)|=1,

則x=T或.1+2+或x=l+2：；

7X_|_7

若/(x)=5,貝！I，一=5或1皿(1)|=5,

則x=3(舍去)或x=l+2-或x=l+25，

綜上所述，方程/"(M=2實數(shù)根的個數(shù)是7,

故選：C.

|log2(l-x)|,X<1

3.(24-25高三上?重慶沙坪壩?開學(xué)考試)已知/(x)=，，若方程/(/(x))=0有6個不等

-(x-2)-+m,x>1

實數(shù)根，則實數(shù)加的取值范圍為()

\后+1

A.(1,2)B.

，2

【答案】D

【分析】先畫出函數(shù)圖象，/(。=。有兩根4=0和，2=2+詬，則方程/(x)=《=0及/(耳=12滿足有6個

根即可求參.

【詳解】觀察各選項可得冽＞1,

令，=/(x),先解〃。=0,知其有兩根4=0和戶2+后,

則方程/(x)=。=0提供2個根，故方程/(x)=G提供4個不等實根,

：LV13+7

,解得加

^m-l<t2<m,即機(jī)一142+sfm<me4,---

I2

故選：D.

二、填空題

4.(24-25高三上?江蘇泰州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=則函數(shù)>=/(〃切-1的所有零點構(gòu)

成的集合為.

【答案】{-1,1,4}

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)的性質(zhì)化簡方程，分別解方程即可.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=］：+l'x"0

［log2x,x>0

丁(尤)40或〃x)>0

所以/(〃x))-l=0等價于.,

/3+1-1=00]^log2/(x)-l=0

求解可得/(x)=0,〃x)=2,

Ix<0lx>0|x<0Ix>0

叫x+l=0叫鳴x=0或fx+l=2或1臉尤=2

求解可得x=-l,x=l,X=4

故答案為：｛-1,1,4).

5.(23-24高一上?江蘇南通?階段練習(xí))已知/(x)=］：［：：：)°，若/(/(x))=a只有5個不同的實根,

則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(卜2+2,3］

【分析】令《)=乙本題轉(zhuǎn)化為m：中x的解的個數(shù)為5,作出函數(shù)圖象，根據(jù)嵌套函數(shù)的性質(zhì)一

一分析即可.

【詳解】令〃x)=f,本題轉(zhuǎn)化為伍篙中x的解的個數(shù)為5.

/(0)=3,當(dāng)x>0時，令|lnx|+2=3,解得了=/或e,

/(1)=2,當(dāng)x40時，令1=2,解得x=—1,

則作出的圖象，如下圖所示，

當(dāng)。>3時，/(/)=。有兩個根，0<%</，^>e,則/(x)=G有1個實數(shù)根,

當(dāng)e<g3時，/(Hi有3個根，“3時有兩個根，

故共有3個或4個根，故舍去；

-1

當(dāng)2<a43時，此時有3個根，-l<4<0,e<Z2<1,1<^<e,

有1個根，/(天)"2有1個根，

1<?3<2時，/(工)=4有1個根，不合題意；

&=2時,/(x)=%有2個根,不合題意；

2<q4e時，有3個根，

此時滿足題意共5個根的情況，而/⑵=ln2+2J(e)=3,則ln2+2<aV3；

當(dāng)a=2時，/0)=。有兩個根，L=l，

=：有1個根，/(%)=，2有1個根，共有兩個根，不合題意舍去；

當(dāng)。<2時，。有1個根，t<-l,此時共1個根，舍去.

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是(ln2+2,3].

故答案為：(In2+2,3].

【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題.它包含以形助數(shù)和以數(shù)

解形兩個方面.一般來說，涉及函數(shù)、不等式、確定參數(shù)取值范圍、方程等問題時，可考慮數(shù)形結(jié)合法.運

用數(shù)形結(jié)合法解題一定要對有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而導(dǎo)致錯誤

的選擇.

6.(24-25高三上?江蘇揚州?開學(xué)考試)設(shè)aeR,函數(shù)=八，當(dāng)"=1時，函數(shù)了=/(/(x))

[-X+ax,x<0

有個零點；若函數(shù)>=/(/(x))恰有3個零點，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】2(-2,0)

【分析】根據(jù)方程的根，結(jié)合復(fù)合函數(shù)，即可求根求解空1,令t=f(x),先考慮x20時，函數(shù)了=/(/(x))

在[0,+8)上有2個零點，再考慮x<0,分。20與。<0兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象，得到不等式，求出答案.

【詳解】當(dāng)“=1時，y(x)=r；1l,x-0令/(x)=o,解得x=i,

[-x+x,x<0

令y=/(/(x))=o,則〃x)=l,故x=0或x=2,此時y=/(/(x))有2個零點,

設(shè)r=/(x),當(dāng)無20時，/(x)=|x-l|,此時90,

由〃。=0得/=1,即〃x)=BT=l,解得x=0或尤=2,

所以J=在[0,+8)上有2個零點，

x<0時，若a?0,/(x)=-x2+ax,對稱軸為了=羨，

此時/'(x)=-x?+◎<0,即/<0,貝?。?(，)<0,

所以〃。=。無解，則」=/(x)無零點，y==(〃x))無零點,

綜上，此時)=/(/(x))只有兩個零點，不符合題意，

若。<0,此時/(X)的大致圖象如下：

顯然令“X)=。在(-8,0)上存在唯一負(fù)解，

要使了=/(〃x))恰有3個零點，

只需y=/(/(x))在(0,+8)上除X=0或X=2外不能再有其他解，

即/(x)=1不能再有除x=0或無=2外的其他解，

22

故/《)€(0,1),BPO<-—+—<1,解得一2<"2,所以-e(-2,0).

242

故答案為：2,(-2,0)

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

【題型二、內(nèi)外雙函數(shù)復(fù)合型

一、單選題

1.(23-24高一下?云南曲靖?階段練習(xí))若函數(shù)/(X)在R上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意xeR,都有

則函數(shù)/(x)的零點所在的區(qū)間為()

A.陷B.C./JD.(|,2)

【答案】B

【分析】設(shè)/⑺-=根據(jù)=列出關(guān)于/的方程，進(jìn)而求得/的值，得到了⑴

的解析式，再用零點存在定理判斷即可.

【詳解】因為函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，/[/(x)-2I-x]=-^,

設(shè)/(x)-2'-x=f,所以/(x)=2*+x+t,

所以/[/(x)-2:X]=〃/)=2*+/=2，+2/=_?,

因為＞=，與y=2/在R上單調(diào)遞增，所以t有唯一解，解得/=-2,

所以〃x)=2'+x-2,

X/Qj=22+l-2=V2-1<0,/(1)=2'+1-2=1>0,

故〃x)的零點所在的區(qū)間為G，I).

故選：B.

ex,x<0,

2.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=g(x)=x-3,方程/'(g(x))=-3-g(x)有兩個不

lnx,x>0,

同的根，分別是項也，則%+無2=()

A.0B.3C.6D.9

【答案】B

【分析】方程/(g(x))=-3-g(x)有兩個不同的根等價于函數(shù)y=/(g(x))與尸f的圖象有兩個交點，作

出函數(shù)/伍仁))與夕=一》的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合計算即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意得：g(x)=x-3為R上的增函數(shù)，且g(3)=0,

當(dāng)蟀3時,g(x)<0,/(g(x))=e'-3,

當(dāng)x>3時，g(x)>0,/(g(x))=ln(x-3),

方程/(g(x))=-3-g(x)=r有兩個不同的根等價于函數(shù)y=/(g(x))與kf的圖象有兩個交點,

作出函數(shù)/(g(x))與〉=r的圖象如下圖所示：

由圖可知歹=e、7與y=ln(x-3)圖象關(guān)于y=x-3對稱，

則48兩點關(guān)于>=x-3對稱，中點C在y=x-3圖象上，

由[尸:，解得：41,-ji

[y=x-3122J

3

所以西+%=2X,=3.

3.(22-23高三上?河南安陽?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)I若函數(shù)g(x)=/(〃x)+l)有5個

零點，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(1,2)B.(2,+動C.(0,1)D.。,+8)

【答案】C

【分析】對。值進(jìn)行討論，可得到只有。>0有五個根，再根據(jù)最小值大于取值可求得.

—、x2+2ax,x<0

【詳解】①當(dāng)。=0時，/(x)=i,

mx,x>0

若g(x)=o有/1(x)+i=o或y(x)+i=i,

有/(x)=-i或y(x)=o,得x=o或,或i；

e

只有三個根，所以不符合.

②當(dāng)"0時，若x40,</(x)>0,

若函數(shù)g(x)有三個零點必有/(x)+l=0或〃x)+l=l,

有/(X)=-1或〃x)=0,得x=0或』或1；

e

只有三個根，也不符合.

③當(dāng)a>0時，若g(x)=O必有心)+1=0或〃x)+l=l或小)+1=-2。

可得/'(x)=T或/'(x)=0或〃x)=-2a-l,

函數(shù)〃x)=。有三個零點，分別為x=0或x=-2a或x=l,

/(x)=-l至少一根,

f(x)=-2a-l至少一個根，又因g(x)=O有五個根

所以/(x)=-1有一個根，/(幻=-24-1有一個根,

又因—2a—1<—1,

令x=-a

由函數(shù)y=g(x)的草圖有-/>-1,解得

綜上知實數(shù)。的取值范圍為(0,1).

故選：C

|log5(l-x)|X<1

4.(22-23高一上?上海?期末)已知〃無)=",則方程+=a(aeR)的實數(shù)根個

-(x-2)-+2x>l

數(shù)不可能為()

A.5個B.6個C.7個D.8個

【答案】A

【分析】作出了(X)的圖象，令g(x)=x+：-2,由對勾函數(shù)的性質(zhì)作出g(x)的圖象，再對。分類討論，將

問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程x+』-2=x,(具體到每種類型時x,為常數(shù))的解的個數(shù)問題.

X

|log5(l-x)|X<1

【詳解】因為/(x)=<

2

-(X-2)+2X>］

當(dāng)時〃X)=-(X-2)2+2,則在［1,2］上單調(diào)遞增，在(2,+動上單調(diào)遞減,

又/⑴=〃3)=1,/(2)=2,/(2+V2)=0,

-log5(l-x),0<x<1

當(dāng)X<。時/(x)=|log5(l-x)|=<

log5(l-x),x<0

所以/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(-8,0]上單調(diào)遞減，

且/(0)=0,=〃一24)=2,/[|卜1，/(一4)=1,

-(龍一2『+2x>l

令g(x)=x+:-2,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)在(0,1),(TO)上單調(diào)遞減，

在(-8,-1),(1,+8)上單調(diào)遞增，且g⑴=0,g(-l)=-4,則g(x)的圖象如下所示:

1241

當(dāng)。>2時f令1x-\---2=%]<—24—---2=%2<1,

x25x

則關(guān)于X的方程無+1-2=占有兩個實數(shù)解，關(guān)于X的方程X+--2=X2的方程也有兩個實數(shù)解，

XX

即此時對應(yīng)X的個數(shù)為4,(以下處理方法類似)；

11241

②當(dāng)〃=2時，令x+——2=-24或x+——2=一或x+——2=2,此時對應(yīng)1的個數(shù)為6；

xx25x

③當(dāng)1<Q<2時，

1412411

—24<xH---2=Xj<—4—---2=/<—l<xH----2=X5<22<XH----2=/<3,

x5x25xx

此時對應(yīng)工的個數(shù)為8；

④當(dāng)0=1時，x+工-2=-4或X+L，或x+」-2=l或X+』-2=3,此時對應(yīng)x的個數(shù)為7；

xx5xx

當(dāng)0<a<1時，—4<xH---2=/<?；?<n----2=/<—3<xH----2=x9<2+V2,此時對應(yīng)x的個

xx5x

數(shù)為4；

⑥當(dāng)4=0時，xH-----2=0或xH------2=2+V2,此時對應(yīng)x的個數(shù)為3；

xx

⑦當(dāng)〃<0時，x+--2=x10>2+72,此時對應(yīng)1的個數(shù)為2.

x

綜上可知，實數(shù)根個數(shù)不可能為5個.

故選:A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是作出/(')的圖象，再對。分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于％的方程

%+1_2=%(具體至悔種類型時為為常數(shù))的根的問題.

x

二、多選題

5.(24-25高一上?江蘇泰州?階段練習(xí))若和g(x)都是R上的函數(shù)，且/[g(x)]=x有實數(shù)解，則g"(x)]

可能是()

11

A.x2+x—B.x2+xH—

55

C.X2--D.x2+-

55

【答案】ACD

【分析】這是一個抽象函數(shù)與方程的問題，如何化抽象為具體，則需要根據(jù)題意轉(zhuǎn)換變量，即可得到

g[7")]=t方程至少有一解，從而檢驗四種可能，通過是否有解來作出判斷.

【詳解】設(shè))[g(x)]=x有實數(shù)解X。，則/[g(%)]=%,

因為/(X)和g(x)都是R上的函數(shù)，

所以有g(shù){/[g(x())]}=g(飛),再令/=g(x°),

則有g(shù)[〃川=f，從而可知磯〃X)]=X至少有一個解是t,

對于A,由g[/(x)]=x2+x-：=x,此方程有解，故A正確；

對于B,由g"(x)]=x2+x+：=x,此方程無解，故B錯誤；

對于C,由=此方程有解，故C正確；

對于D,由g"(x)]=x2+：=x,此方程有解，故D正確；

故選：ACD.

【題型三、二次型因式分解型a[f(x)K+b/(x)+c】

一、單選題

1.(23-24高二下?吉林白山?期末)已知函數(shù)/'(%)=<則方程12[/(x)T-7/(x)+l=0的實

數(shù)個數(shù)為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】作出函數(shù)的部分圖象，利用整體法求出/(x)=g或/(x)=：,再根據(jù)圖象觀察交點個數(shù)即可.

【詳解】函數(shù)“X)的部分圖象如圖所示.

911

由方程-7/(x)+l=0,解得=§或/(x)=『

當(dāng)/(x)=g時，有5個實根，當(dāng)時，有6個實根，

故方程12[/(X)]2-7/(X)+1=0的實根個數(shù)為11.

12%]x<0

2.(24-25高三上?廣東廣州?開學(xué)考試)已知函數(shù)，若方程尸(x)-2〃x)-/+i=0有3

[Igx,x>0

個不同的實根，則實數(shù)加取值范圍值是()

A.U[l,+?)B.(-2,2)

C.(-2,-l]U[l,2)D.[-1,1]

【答案】C

【分析】求解二次方程，即可求得/'(x)的結(jié)果，根據(jù)/'(x)的圖像，數(shù)形結(jié)合，即可容易求得參數(shù)的范圍,

屬中檔題.

【詳解】由/2(x)_2/(x)-/+l=[/(x)-(加+l)][/(x)+(加一1)]=0,

得〃X）=%+1或〃x）=l-機(jī)，作出y=/（x）的圖象，如圖所示,

由圖可知，要使方程/2（耳-2/（力-加2+1=0有3個不同的實根，

當(dāng)一1<1-加W0,即IV加<2時，2<l+m<3,符合題意，

當(dāng)一1<1+加W0,即一2〈加V-1時,2<l-m<3,符合題意,

所以所求范圍是〃?

故選：C.

3.（22-23高一下?江西宜春?開學(xué)考試）函數(shù)/（x）=Rj+l,若關(guān)于x的方程2尸3一（2a+3）〃x）+3a=0

有4個不同的根，貝。。的取值范圍（）

A.（U）B.[|,2）C.[。，和停"D.尺）嗚J

【答案】D

【分析】令〃x）=f（l<f42）,求得2/一（2a+3）f+3a=0的兩根，再結(jié)合函數(shù)〃x）的圖象，數(shù)形結(jié)合即可

求得。的范圍.

【詳解】令〃x）=:（l<M2）,

則由2尸T（2.+3）f+3a=0得（2f-3）（-a）=0,

解得f=2,或，=a,

要使方程2/（尤）-（2a+3）/（x）+3“=0有4個不同的根，

則》=會尸。與〃X）的圖象有四個交點,

由圖象可得則a的取值范圍上，3US21.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵點.

二、多選題

4.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)一，+1：，°'關(guān)于x的方程

[-3-%+2,x＞0,

/2(x)-(m+2V2)/(x)+2V2m=0,下列命題正確的是()

A.若2(加＜3,則方程恰有4個不同的解

B.若1＜%＜2,則方程恰有5個不同的解

C.若方程恰有2個不同的解，則〃?＞3或利=2友

D.若方程恰有3個不同的解，則機(jī)W1

【答案】BC

【分析】由尸(》)-(加+2&)/(2+2以=0得〃x)=7〃或/(》)=2上，畫出〃x)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可

求解在不同條件下加的取值范圍.

【詳解】因為尸(x)-(/n+20)f(x)+2瓜=0,

所以"(%)-詞1/(尤)-2拒]=0,所以/(x)=加或〃x)=2后，

/(x)的圖象如圖所示，由圖可知/(x)與y=2近有兩個交點.

-1(/

對于A,若2＜優(yōu)＜3且,"=20,則方程恰有2個不同的解，故A錯誤；

對于B,若1＜?。?,則/'(x)與了=加有3個不同的交點，此時方程恰有5個不同的解，故B正確；

對于C,若方程恰有2個不同的解，

當(dāng)/(必與."=加沒有交點時滿足題意，此時心＞3；

當(dāng)〃x)=2行時，方程恰有2個不同的解，此時帆=2夜，

故若方程恰有2個不同的解，則加＞3或祇=2a,故C正確；

對于D,若方程恰有3個不同的解，則aWl,則/(》)與了=加有1個交點，此時機(jī)=3或加＜1,故D錯

誤.

故選：BC.

5.(2024?陜西一模)已知函數(shù)/(x)=|log2U-x||,若函數(shù)g(x)=/2(x)+/(x)+26有6個不同的零點，且

最小的零點為-1,則下列說法正確的是()

A.g(x)的所有零點之和是6B.a+b=-\

C.a=0D.b=-1

【答案】AB

【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的圖象變換，得到函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，令f=/(x),得到

關(guān)于》的方程/+袱+26=0,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)＞=log2X的圖象，經(jīng)過V軸翻折變換，可得函數(shù)＞=bg2|x|的圖象，

再向右平移1個單位，可得了=1。82忖-1|=142|1-$的圖象，

最終經(jīng)過x軸翻折變換，可得/(x)=|log2|l-x||的圖象，如圖所示，

則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，令t=/(x),

因為函數(shù)g(x)=/2(x)+4(x)+26最小的零點為-1,且/■(-1)=1,

故當(dāng)〃x)=l時，方程g(x)=O有4個零點，

所以要使函數(shù)g(x)=/(x)+4(x)+26有6個不同的零點，且最小的零點為x=-l,則〃x)=0或

〃x)=l,

由/(x)=。，可得%=0或x2=2,

設(shè)/(尤)=1的四個根從小到大依次為X3,x^,x5,x6,

由函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，可得X3+/=X4+%=2,

所以g(x)的所有零點之和是6,故A正確；

2

關(guān)于/的方程t+at+2b=0的兩個實數(shù)根為0和1,

由韋達(dá)定理，得。=-1,b=0,a+b=-1,所以B正確，C、D錯誤.

三、填空題

/、|lgx|,x>0、/、/、

6.(24-25高三上?寧夏銀川?階段練習(xí))已知/(')=2：[<0，則函數(shù))=/⑴-3/3+2的零點個數(shù)

是.

【答案】6

【分析】先由函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程/(力=1和2的根，再利用數(shù)形結(jié)合求出零點個數(shù)即可；

【詳解】令片尸(尤)-3/(0+2=0,Bp[/(x)-l][/(x)-2]=0,

解得/(尤)=1或2,

畫出/(x)圖象，如下：

由圖可知，實線和虛線共有6個交點，所以函數(shù)>=r(x)-3/(x)+2的零點個數(shù)是6.

故答案為：6.

7.(24-25高二上?湖南郴州?階段練習(xí))己知函數(shù)g(無)=忙-1|,若函數(shù)/(x)=[g(x)T+g_i)g(x)_2(a+l)

有三個零點，貝吐的取值范圍為.

【答案】

【分析】令〃x)=0,可得g(x)=2或g(x)=-"l,函數(shù)有三個零點，則需方程g(x)=-a-1有兩個解，

則y=g(x)與y--a-1的圖象有兩個交點,數(shù)形結(jié)合可求解?

【詳解】令〃x)=0,可得幅(%)7+(叱1心(乃—2(a+l)=0,

所以[g(x)-2][g(x)+(a+l)]=0,所以g(x)=2或g(x)=-叱1,

由g(x)=2,又g(x)=,T，可得忙-1|=2,解得2，=-1或2工=3,

方程2'=-1無解，方程才=3有一解，故g(k=2有一解，

要使函數(shù)/(x)=[g(x)}+(q_l)g(x)-2(a+l)有三個零點,

貝!|8(工)=一。-1有兩解，即y=g(x)與7=的圖象有兩個交點，

作出函數(shù)y=g(x)的圖象的示圖如下:

由圖象可得0<—。一1<1,解得一2<。<一1.

所以〃的取值范圍為(-2,-1).

故答案為：(-2,-1).

一4

XH--.X>0.

8.(24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=x若方程/2(x)+/(x)+6=0有且僅有5

log2|x|,x<0,

個不相等的整數(shù)解，則方程所有整數(shù)解之和等于.

【答案】-41

【分析】令=得到〃+秋+6=0從而得到此方程要有兩個不等根22年<幻，再結(jié)合圖象求解

/(x)=:和/'⑴乂即可.

【詳解】先作出/(X)的大致圖象，如圖，

令〃x)=t,貝!|g(t)=/+成+b=o,根據(jù)/(X)的圖象可知：

要滿足題意必須g⑺=0有兩個不等根力小(4<)，且/。有兩個整數(shù)根,f(x)=t2有三個整數(shù)根,

結(jié)合對勾函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，兩函數(shù)

y==x+3相切時符合題意.因為X+=當(dāng)且僅當(dāng)尤=2時取得等號，又

y=嚏2|x|=log2(-x)(x<0),

易知其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即/(X)=4=4,

此時有兩個整數(shù)根x=2或x=-16,

而要滿足了(%)=(2有三個整數(shù)根，

結(jié)合/(x)的圖象知必有一根小于2,顯然只有x=l符合題意，

當(dāng)尤=1時，有/'(1)=5,

4

貝?。?=5,解方程X+3=5,得弓=5的另一個正根為X=4.

X

又log2(-x)=5^x=-32,此時五個整數(shù)根依次是%=-32,-16,1,2,4,

顯然根和為-41.

故答案為：-41

X壓軸能力測評8

一、單選題

1.(23-24高一上?廣東湛江?期中)設(shè)〃x)=|l-2，|,若關(guān)于X的方程/(幻-3/(尤)+2〃=0有三個不同的實

數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,￡|C.川D.(0,1]

【答案】C

【分析】作出函數(shù)/(x)的圖象，由題意可得/(')=/或/W=2f,〃x)的圖象與直線y==共有三個

不同的交點，從而可求出實數(shù)t的取值范圍.

【詳解】由r(x)_3/(x)+2產(chǎn)=0得/。)=，或/(x)=2f,作出函數(shù)〃x)的圖象，

易知當(dāng)two時，不符合題意；

當(dāng)然0時，2t>t,結(jié)合函數(shù)〃X)的圖象知，要使方程尸(無)-3以x)+2〃=0有三個不同的解，需滿足方程

/(x)=r有兩個解，方程/(口=為有且只有一個解，

fO<?<l1

由圖象知2,21,所以

故選：C.

1-xI/(x),xe(-1,1)

2.(23-24高二下?貴州?階段練習(xí))己知函數(shù)f(x)=lg^-,g(x)=函數(shù)V=g(g(x))與函

\+x四x|+2,xe(-l,l)

數(shù)y=3的圖象有5個不同的交點，則正實數(shù)人的取值范圍是()

A.(0,V2-l]B.(V2-l,l)C.0,^^D.

【答案】A

【分析】作出函數(shù)g(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求得參數(shù)左的范圍.

【詳解】作出g(x)的圖象如圖所示，

函數(shù)kg(g(x))與函數(shù)>=3的圖象有5個不同的交點，即g(g(x))=3有5個不同零點，

令g(x)=f,貝！Jg[)=3,又g(l)=4+2,

當(dāng)上+2>3時,g?)=3有唯一的/e(T,O),即g(x)=f僅有一個零點，不合題意；

當(dāng)上+2=3時，g(f)=3有三個零點彳=-1,f2e(-l,0),z3=l,相應(yīng)的g(x)=f只有3個零點,不合題意;

當(dāng)人+2<3時，g⑺=3有三個零點(-喝一1),弓€(-1,。)，”。，+8),

所以g(x)=。有1個零點，g(x)=「有1個零點,則g(x)j有3個零點，

又包+2=3,,則人+2,解得-1-也W后W板-1,

kk

又后>0,0-1].

綜上，正實數(shù)人的取值范圍是(0,3-1].

故選：A.

「17\/、[|log(x-2)|,2<x<6

3.(23-24高一下?安徽?階段練習(xí))定義在[T6]上的/(x)滿足對〃x)=lS?2\小,關(guān)于x的

(x—1)

方程[〃x)]L(a+l)/(x)+a=0有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)0的取值范圍是()

A.(1,2]B.[1,2]C.(2,4]D.(1,4]

【答案】A

【分析】依題意，對"(x)7-g+l)/(x)+a=0化簡得-司=0,即分x)=l,/(x)=a,畫

出/(x)圖象，結(jié)合圖象即可得到答案.

【詳解】關(guān)于x的方程[〃叫2-(〃+1)〃制+“=0可化簡為"(力1][/()可=0,

即/(x)=lj(x)=a有7個不同的根，畫出y=f(x)的圖象，

觀察可以看出當(dāng)/(x)=l有4個不同的根，

故只需/何=。有3個不同的根即可，所以l<aW2.

故選:A.

4.(2024?安徽合肥三模)設(shè)aeR,函數(shù)〃x)=?一'一，若函數(shù)>=/(/(叼)恰有5個零點，則實

-x+ax,x<0

數(shù)。的取值范圍為()

A.(-2,2)B.(0,2)C.[-1,0)D.(-8,-2)

【答案】D

【分析】設(shè)f=/(x),可確定當(dāng)x20時，函數(shù)的零點個數(shù)，繼而作出y=f(x)的大致圖像，考慮x<0時的

圖象情況，分類討論，將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.

【詳解】設(shè)f="x),當(dāng)x20時，/(x)=2lx-1|-l,此時此0,

由/⑺=0得，=1,BP/(X)=2M-1=1,解得X=0或X=2,

所以>=/(〃x))在[0,+功上有2個零點；

尤<0時，若=對稱軸為x=￡,函數(shù)y=f(x)的大致圖象如圖:

此時/(*)=一/+ax<0,即f<0,則

所以〃。=0無解，貝!=無零點，y=/(/(x))無零點,

綜上，此時》=/(/(x))只有兩個零點，不符合題意，

若。<0,此時〃x)的大致圖象如下:

令-〃+加=0,解得t=a＜0（f=0舍去），

顯然/（x）=。在（-叫0）上存在唯一負(fù)解，

所以要使＞=/（/（x））恰有5個零點，

需/得＞1,BP--+—＞1,解得。＜-2,

42

所以ae（-叫-2）.

故選：D

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

5.（24-25高三上?重慶?開學(xué)考試）已知=若函數(shù)g（x）=[/⑴了-力'（x）-l有三個零點，則。

的取值范圍為（）

A.（0,+8）B.（-l,0）u（0,+oo）C.（-l,O）U（O,l）D.。,+8）

【答案】A

【分析】首先畫出函數(shù)=卜1的圖象，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點個數(shù)問

題進(jìn)行求解即可.

【詳解】函數(shù)/（月=卜'-1卜1的圖象如下圖所示：

令"X）=t,若函數(shù)g（x）=[/（X）『-歹（X）-1有三個零點，

①方程分⑺=產(chǎn)-〃-1=0有一根在（-1,0）上，一根在[0,+8）上,

從一1)>°即6Z>0

則A(0)<0,即1八，解得Q>0,

—1SU

②方程由)=產(chǎn)--1=0有一根在(-1,0)上，一根等于-I,

/?(—1)=0

則〃(0)>0，此時無解,

綜上：a>0,

故選：A.

x1+k,x<0,,,、、

6.(24-25高三上?浙江?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=<廠若/(〃x))=l恰有三個不同實根，貝喋的

yJX-k,X>0.

取值范圍是()

【答案】D

【分析】對于嵌套函數(shù)的零點問題，一般需要用換元法，再結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行討論.

【詳解】令/(x)=f,貝！

①當(dāng)后>0時，7)的圖象如圖所示

則/(0=1一定要有兩個不同的根,

所以0〈左41,設(shè)/(。=1的兩根為佻，且4<，2,則一定有。<0，，2>°

所以+后=1,—k=l

解得t\=-Jl-k,t2=(1+后)

當(dāng)人>0時，/(x)如圖所示,

若/'(7(x))=1恰有三個不同實根,

—k<-y/1-k<0

則必須有

;第2時(\+k^>k

解得二1我〈人§

2

一吟…

②當(dāng)后＜-1時，或左＞1時，只有一個根,

此時/(/(無))=1不能有三個不同實根.

③當(dāng)一14人＜0時，0〈一人41,

f(。、〃無)的圖象如圖所示，

。€（左,0]k<-yjl-k<0

,此不等式無解

t2G（-左,+。）（l+k^>-k

綜上所述：

2

故選：D.

2Xx<0

，一g(x)=|x(x-2)|,若方程/(g(x))+g(x)-a=0

{inx,x〉u

的所有實根之和為4,則實數(shù)。的取值范圍是().

A.(1,+oo)B.[1,+s)

C.(fl)D.(-8』

【答案】C

【分析】結(jié)合圖象按"＞1、。=1、。＜1分類討論，利用函數(shù)圖象的交點個數(shù)去判斷方程根的個數(shù)，進(jìn)而求

得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】令g(x)=f,y=g(x)的對稱軸為x=l,

則〃/)+"。=0實根的個數(shù)即為函數(shù)了=〃/)與函數(shù)＞一圖象交點個數(shù),

如下圖，

當(dāng)。＞1時，

函數(shù)＞與函數(shù)＞一的圖象有1個交點，且交點橫坐標(biāo)大于1,

即g(x)=t>l,函數(shù)y=g(x)與函數(shù)尸=，(/>1)有2個交點,

且2個交點關(guān)于x=l對稱，

則方程/(g(x))+g(x)-。=0有兩根，且兩根和為2,不符合題意；

當(dāng)。=1時，函數(shù)了=/(。與函數(shù)>-的圖象有2個交點，4=0'=1，

%=0時g(x)=O,可得x=0,或x=2,

%=1時g(x)=1,|x(x—2)=1,可得x=l,x=1+y/2>x=l—V2>

即函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=/的圖象有5個交點,

則方程/(g(x))+g(x)-q=0有5個根，且5個根的和為5,不符合題意;

當(dāng)時，函數(shù)了=與函數(shù)>=。一的圖象有2個交點，

即函數(shù)y=g(x)與函數(shù)>=/的圖象有2個交點，分別為4<。，。<〃<1，

即