重難題型?解題技巧攻略

專題03三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

*>----------題型歸納?定方向-----------<>

目錄

題型01三次函數(shù)的零點(diǎn).........................................................................1

題型02三次函數(shù)的極值、極值點(diǎn).................................................................7

題型03三次函數(shù)的切線........................................................................14

題型04三次函數(shù)的對(duì)稱性......................................................................19

?>-----------題型探析,明規(guī)律-----------O

題型01三次函數(shù)的零點(diǎn)

【解題規(guī)律?提分快招】

一、三次函數(shù)概念

定義：形如/(%)=CLX3+bx2+ex+d(aH0)叫做三次函數(shù)

尸(%)=3ax2+2bx+c,把/=4b2-12QC叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式

當(dāng)/>0時(shí)，令/。)=0,記兩根為小=土孚至，土孚圣

、,3a3a

二、三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

若三次函數(shù)/■(>)=a/+b%2+c*+4缶K0)存在極值時(shí)，其圖像、零點(diǎn)、極值的關(guān)系如下:

三次函數(shù)圖像

性質(zhì)說(shuō)明

a>0a<0

零b2—3ac>0

點(diǎn)三Lh/(Xl)-f(X)<0

2

個(gè)個(gè)rAtrI兩個(gè)極值異與

數(shù)VTT,圖像與久軸有三個(gè)交點(diǎn)

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.(24-25高三上?遼寧?期中)已知函數(shù)/(%)=丁+辦？+bx+c的三個(gè)零點(diǎn)分別為1,占，/(。〈再〈尤2)，

若函數(shù)滿足"2尤+1)=-〃1-2無(wú))，則〃3)的取值范圍為()

A.[2,4]B.(4,6)C.(6,8)D.[4,8]

【答案】C

【分析】根據(jù)題設(shè)得函數(shù)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，進(jìn)而有。=-(。+6+1)、%+%=2,且結(jié)合

/(x)=(x-l)[x2+(a+l)x+(a+ft+1)],得至!)和芍是g(x)=r+(a+l)x+(a+6+l)的兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)

性質(zhì)求得。=-3、2Vb＜3,即可求/(3)的范圍.

【詳解】由“2尤+1)=-〃1-2可，gp/(x+l)+/(l-x)=0,故函數(shù)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，

所以/(l)=l+a+b+c=0,則c=-(a+6+l),

故/"(x)=+ax2+bx-(a+6+1)=(%-l)[f+(a+l)x+(a+6+1)],

令g(x)=—+(a+l)x+(a+6+l),且開口向上，對(duì)稱軸為芯=-號(hào)上

由題意占+%=2,且0＜再＜1＜々＜2,它們也是g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，

g(0)=a+b+\=b-2>0

所以一=1=a=-3,故2<b<3,貝!)c=2-6,

g⑴=2a+b+3=b-3<0

所以〃3)=2(b+l)￡(6,8).

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用因式分解及已知得到再,％2是g(x)=x2+(a+l)x+(a+b+l)的兩個(gè)零點(diǎn)，且

西+工2=2,且0＜玉＜1＜工2＜2為關(guān)鍵.

二、多選題

2.(24-25高三上?遼寧沈陽(yáng)?期中)已知函數(shù)/(%)=/-G+2(QER),則()

A./(-2)+〃2)=4B.若”>0,則〃x)的極大值點(diǎn)為x=。

C.若/'(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則。之3D.〃x)在區(qū)間(-叫-0-1)上單調(diào)遞增

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)，代入計(jì)算，得至11/(-2)+〃2)=4；B選項(xiàng)，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，得到片戊為極小

值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，分和。>0兩種情況，結(jié)合B選項(xiàng)，得到函數(shù)極值情況，從而得到不等式，求

出。之3；D選項(xiàng)，分aW0和”>0兩種情況，得到-卡>-"1，得到D正確.

【詳解】A選項(xiàng)，2)=_8+2a+2=_6+2aJ(2)=8_2a+2=10_2a,

故〃-2)+〃2)=4,A正確;

B選項(xiàng)，f\x)=3x2-a,若a>0,當(dāng)無(wú)>5或x<-R時(shí)，f'(x)>0,

當(dāng)時(shí)，f'(x)<0,

故/(x)在］?，+—1一「一上單調(diào)遞增，在［-占，占)上單調(diào)遞減,

故x=祗為極小值點(diǎn)，B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，nx)=3x2-a,當(dāng)。<0時(shí)，r(x)>0,故在R上單調(diào)遞增，不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去;

當(dāng)a>0時(shí)，由B選項(xiàng)知，/(x)在

在卜郎機(jī)a上單調(diào)遞減,

7

/(x)在》=狀處取得極小值，在尤=-點(diǎn)取得極大值，

且當(dāng)X趨向于時(shí)，/(X)趨向于-8,當(dāng)X趨向于+8時(shí)，〃x)趨向于+8,

解得。23,C正確；

D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，當(dāng)〃W0時(shí)，/(X)在R上單調(diào)遞增，滿足在區(qū)間(-8,-a-1)上單調(diào)遞增,

故_＞-a-1＞所以/（x）在區(qū)間-a-1）上單調(diào)遞增，

綜上，/（X）在區(qū)間（-叫-a-1）上單調(diào)遞增，D正確

故選：ACD

【點(diǎn)睛】三次函數(shù)是近兩年高考?？伎键c(diǎn)，需要對(duì)三次函數(shù)圖象理解到位，由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次

函數(shù)，故常常利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究三次函數(shù)的性質(zhì)，比如三次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，極值點(diǎn)情況等.

3.（24-25高三上?甘肅蘭州?階段練習(xí)）已知三次函數(shù)/（x）=ax3+6x2+cx+d有三個(gè)不同的零點(diǎn)

X],X2，X3（X]＜彳2＜%），函數(shù)g（x）=/（x）-l也有三個(gè)零點(diǎn)九小匕也＜，2＜匕），則（）

A.b1＞3ac

B.若再,迎廣3成等差數(shù)列，貝1K=-二

3a

C.再+%3＜%+/3

D.X：++%3=片+片+.

【答案】ABD

【分析】求導(dǎo)根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)即可求解A,根據(jù)f（x）關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合等差中項(xiàng)即可求解

B,根據(jù)圖象即可求解C,利用因式分解可得《+芍+%=$+々+%3，*2+垃3+印3=XlX2+X2X3+X1X3，即可利

用三元平方關(guān)系求解D.

【詳解】由/（X）=+而+CX+4可得=3辦2+2bx+c,

要使/（%）有三個(gè)不同的零點(diǎn)再,工2/3（王＜工2＜七），

則/（X）=3辦2+2及+C=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故A=4/_12QC〉0,

即b1＞3ac9A正確，

由于r（x）=3a/+26x+c為二次函數(shù)，關(guān)于-對(duì)稱，因此

3c1

/口-靜八-上小-二十小-11）+。1一—1+d-cix^+bt-ex+d

3a)

_'3,262丫（26丫1J2_4bBL

x-3—x+3—x——+Z?xx+

=Q13aJ13a

+。卜一11）+"93+.-""="-!!）+彳-|1）+[-愛12"=募+[-等）+2—[一曰，

故/3關(guān)于HPCU對(duì)稱，

因此再,乙，當(dāng)成等差數(shù)列，故卜2，〃切）是〃X）的對(duì)稱中心，則3=-（，故B正確，

當(dāng)。＜0時(shí)，作出/（x）的圖象，則/（無(wú)）的圖象與y=l的圖象交點(diǎn)如圖所示，

由于再＞4，%＞/3，故再+七＞。+￡3，故C錯(cuò)誤,

2

對(duì)于D,根據(jù)4(工一工1)(工一工2)(工一工3)=a/+bx+cx+df

2XXXXX_ax

展開可得辦3-a(^Xl+X2+X3^X+a(玉超+23+l3)辦112%3=i+bx2+cx+d9

XX

故-a+x2+x3^=b,a(石馬+23+再/)=*-ax1x2x3=d,

同理可得/(X)-1="3+而+%+d—1=0的三個(gè)實(shí)數(shù)根為."2/3(4<%2<%3)，

貝!|辦3+加+cx+d_]=Q(x_.)(x_q)(x_/3)=0,

_Q+/2+,3)=仇〃(4/2+/2*3+不3)二°,一。帛213=>一1,

XXXX+XX

因此。+%2+‘3=玉+%+13，,1‘2+'2%3+幫3=\2+23\3，

+

故（玉+/+%3J—2（演工2+X2X3+演工3）=（%+%2+/3）之一2（%也,2,3+A4），

即得x；+￥+x；=/；+/；+4,故D正確，

故選：ABD

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)因式分解可得4+t2+t,=Xx+X2+丫3，區(qū)+3+%=叱2+X2X3+X1X3,進(jìn)而根據(jù)

2+'2+/3)~-2++Z/)

(X]+X?+鼻-2(國(guó)》X2X3+X]Xj)=(%+2(巾12t33求解.

三、填空題

x3+3x2-2,x<0,

已知/(x)=<Jlnx若函數(shù)g(x)=〃x)-加有兩個(gè)零點(diǎn),

4.（24-25高三上?廣東?階段練習(xí)）則m

---,x>0,

,x

的取值范圍為

【答案】（一鞏-2）U1：,2

【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)在各段的單調(diào)性與最大值，即可畫出函數(shù)圖象，依題意可得〉=加與y=f(x)

的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】當(dāng)xWO時(shí)，/口)=/+3/_2,則/(X)=3x2+6x=3x(x+2),

所以當(dāng)xe(_s,_2)時(shí)，f(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，f(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.

32

所以當(dāng)xWO時(shí)，/(^)max=/(-2)=(-2)+3x(-2)-2=2.

當(dāng)x>0時(shí)，〃x)=(，則/(耳=匕詈，

當(dāng)xe(O,e)時(shí)，f(x)>0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞增；當(dāng)尤e(e,+s)時(shí),f(x)<0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞減.

所以時(shí)，

x>0、/iiiax=/(、e/)=—e=e-.

畫出函數(shù)/(X)的圖象如圖所示：

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/(x)-加有兩個(gè)零點(diǎn)，所以〉=機(jī)與y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

由圖可知加<-2或加<2,

e

所以加的取值范圍為(-碼-2)ug,2j.

故答案為：(---2)ug,2)

5.(24-25高三上?天津?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=“一2》/:0,若方程〃同+〃_"=0有且僅有兩不

[x+a,x>0

等實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】[0,+動(dòng)。{一2}

_丫3?o?X(0

一3,'八，方程〃x)+/(f)=0有且僅有兩不等實(shí)根，即直線y=

x—3x,x>0

與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)交點(diǎn)的情況得到答案.

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，方程/3+/(-月=0可化為*3—2x—X+Q=0,即a=—+3x9

當(dāng)尤>。時(shí)，方程/(無(wú))+/(-x)=0可化為x+a+(-x)3-2(-x)=0,即0=/一3%，

_丫3+§丫Y<0

令g(x)=-3I'c，方程/(x)+〃f)=0有且僅有兩不等實(shí)根，即直線與函數(shù)y=g(x)的圖象

[x-3x,x>0

有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=-/+3x,g<x)=-3x2+3,

當(dāng)T<x<0時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x<-l時(shí),g")<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x=-l時(shí),g(x)取極

小值-2.

當(dāng)尤>0時(shí)，g(x)=x3-3x,g,(x)=3x2-3,

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>l時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取極小值

根據(jù)以上信息，作出g(x)的圖象如圖，

由圖可知，當(dāng)或。=-2時(shí)，直線歹=。與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程〃x)+/(-x)=0有

且僅有兩不等實(shí)根.

故答案為：［0,+8)。卜2}.

題型02三次函數(shù)的極值、極值點(diǎn)

ro)<o恒成立

fa<0fa<0

121<0U2<3acf(x)在R上遞減

/(x)無(wú)極值

f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

極大值fOD，極小值f(%2)

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2024?四川瀘州?一模)已知函數(shù)/(x)=x(x-a)2在x=l處取得極大值，貝的值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，再由所得參數(shù)驗(yàn)證在x=l處是否取得極大值，即可得答案.

【詳解】由題設(shè)/'(x)=3f-4"+/,貝1⑴=3-4。+/=0,可得。=i或°=3,

當(dāng)a=1時(shí)(x)=3x2—4x+1=(3x—l)(x—1),

當(dāng)X<g或X>1時(shí)/''(x)>。，則“X)在(-哈》和(1,+◎上遞增，

當(dāng);<X<1時(shí)/(x)<0,則〃X)在(；,1)上遞減，

此時(shí)在x=l處取得極小值，不符；

當(dāng)a=3時(shí)/'(X)=3X2_]2X+9=3(-3),

當(dāng)X<1或尤>3時(shí)_f(x)>0,則〃x)在(一s,l)和(3,+8)上遞增，

當(dāng)l<x<3時(shí)/'(“<0,則/\x)在(1,3)上遞減，

此時(shí)在x=l處取得極大值，符合；

綜上，a=3.

故選：C

2.(24-25高三上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí))若x=0是函數(shù)〃x)=+3_(a+g卜2+3+爪_1的極小值點(diǎn)，則

fM的極大值為()

,5225

A.—B.-C.—D.—

6336

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由條件可得/''(0)=0,即可得到。的值，然后代入檢驗(yàn)，再由函數(shù)極值的求解，代入

計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由〃x)=；/-Q+1)x2+(q2+a)x-l可得/''(x)=x2-21+；>+,2+0),

又x=0是函數(shù)〃x)的極小值點(diǎn)，所以((0)=/+a=0,解得q=o或"_1,

當(dāng)a=0時(shí)，f'(x)=x2-x=x(x-l),

當(dāng)xe(-8,o)時(shí),r(x)>0,此時(shí)〃X)單調(diào)遞增，

當(dāng)尤e(O,l)時(shí)，r(x)<0,此時(shí)/(X)單調(diào)遞減,

即x=0是/(x)的極大值點(diǎn)，不符合題意，故舍去；

當(dāng)(2=-1時(shí)，f'(x)=X2+X=X(X+1),

當(dāng)xe(-叫-1)時(shí)，r(x)>0,此時(shí)單調(diào)遞增，

當(dāng)L時(shí),r(x)<0,此時(shí)/(X)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(0,+8)時(shí),r(x)>0,此時(shí)〃龍)單調(diào)遞增，

即x=-l是〃x)的極大值點(diǎn)，x=0是/(x)的極小值點(diǎn)，符合題意，

此時(shí)〃X)=；x3,

所以“X)的極大值為=+=

32o

故選：D

3.(24-25高三上?遼寧?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=/-2辦2+法+。(。也ceR),/'(x)是〃x)的導(dǎo)函數(shù),

則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.“a=c=0”是“/(x)為奇函數(shù)”的充要條件

B.“a=6=0”是“/(x)為增函數(shù)”的充要條件

C.若不等式/(x)<0的解集為{x|x<l且XN-1},則/(X)的極小值為一萬(wàn)

D.若為、入2是方程/(x)=0的兩個(gè)不同的根，且不+7=1，貝!Ja<0或々>3

【答案】B

【分析】利用奇函數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用不等式解

集與方程的關(guān)系可得出函數(shù)/(X)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極小值，可判斷C選項(xiàng)；利用根與系數(shù)的

關(guān)系結(jié)合A>0可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若函數(shù)/(x)=/-2辦2+6x+c(a,瓦ceR)為奇函數(shù)，

則/(-x)f(x),

日f(shuō)(—x)—(一龍)一2a(一尤)~+b*(—x)+c——彳3_2ax~—bx+c,

以,一無(wú)3_26tx2_bx+c=_(工3_2cix~+bx+c)=_+2ux-_bx—c,

_f-4a=0

即一4G2+2C=0對(duì)任意的xeR恒成立，貝葉。,可得a=c=0,

[2。=0

所以，M=c=0”是“/⑺為奇函數(shù)”的充要條件,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，易得/'(x)=3x2-4ax+6,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為增函數(shù)，則A=16a2_126N0,可得4a2_3bN0,

所以，，，4=/,=0"="4/_3此0”，

若取a=6=2,則4a2-3620成立,即“a=6=0"位"4/-3620”,

所以，"a=b=0”是“/(x)為增函數(shù)”的充分不必要條件，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椴坏仁?(x)<0的解集為{x|x<1且xN-1},

則-1、1為方程〃x)=0的兩個(gè)根，設(shè)方程/(x)=0的第三個(gè)根為%,

則〃x)=(xT)(x+l)(x-x()),

若/<-1,則不等式〃x)v0的解集為(-8,X0)U(-M),不合乎題意;

若毛=-1,則不等式〃x)<0的解集為(-s,T)U(-U),合乎題意；

若-則不等式/(x)<0的解集為(-%不合乎題意；

若％=1,則不等式/(力<。的解集為不合乎題意；

若%>1,則不等式/(x)<0的解集為(fo,-DU。,/),不合乎題意.

所以，x()=T,則/(x)=(xT)(元+1)2,

廠(x)=卜+以+2(x-l)(x+l)=(3x-l)(x+l),列表如下：

X(-8,-1)-1

3

/'(X)

+0-0+

“X)增極大值減極小值增

所以，函數(shù)〃x)的極小值為嗎卜-+曰=-||,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，若占、9是方程/'(%)=3/_4^+6=0的兩個(gè)不同的根，

由韋達(dá)定理可得再+%=￡，XxX2=y,

~1I+居4q1.

所以，一+—=」~-=-=1,可得6=4%

X］無(wú)2X1X2b

由于A=16a2-126=16/-48a>0,解得"0或。>3,D對(duì).

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)求導(dǎo)；

(3)解方程/'(%)=0,當(dāng)/'(%)=0；

(4)列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：

①如果在天附近的左側(cè)/'(x)<0,右側(cè)/'(x)>0,那么/(%)是極小值;

②如果在毛附近的左側(cè)/'(x)>0,右側(cè)/'(x)<0,那么〃/)是極大值.

二、多選題

4.(24-25高三上?江西南昌?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x-a)2(x-6)(a<6),2為〃x)的極大值點(diǎn)，則下

列結(jié)論正確的有()

A.〃=2

B.若4為函數(shù)〃x)的極小值點(diǎn)，貝服=4

C.若/⑴在(等，”內(nèi)有最小值，則b的取值范圍是(|,+丁|

D.若/(x)+4=0有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，則b的取值范圍是(5,+co)

【答案】AD

【分析】先求得f(x),然后根據(jù)函數(shù)的極值、最值、方程的解等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答

案.

【詳解】對(duì)于A,/'(X)=2(x-q)(x-6)+(x-〃)2=(x-q)(2x-26+x-q),

=(X-6Z)(3X-6Z-2ZJ),/r(x)=0,則x=a或",而則q<三”,

令？(x)>0,得或x<---,令f<x)<0,得a<x<--—,

故〃X)在(-叫單調(diào)遞增，卜^^|單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；，

??一位)的極大值點(diǎn)為。，；々=2,A對(duì).

對(duì)于B,若4為極小值點(diǎn)，則上產(chǎn)=4,貝(］6=5,B錯(cuò).

對(duì)于C,〃x)在［三,“內(nèi)有最小值，則〃尤)在手處取得最小值(彳),

/(x)=(x-2)(x-b),/［彳J,

伍-3)%?僅-2)3,:"當(dāng)，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,〃x)=-4有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，"2)=0,

則-<-4,故"5,故D正確；

故選：AD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確求解與符號(hào)分析：通過(guò)求導(dǎo)并分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，是判斷函數(shù)單調(diào)性和

極值點(diǎn)的關(guān)鍵步驟.確保每一步的符號(hào)處理準(zhǔn)確，是得出正確答案的基礎(chǔ).

條件驗(yàn)證的完整性：對(duì)于多項(xiàng)選擇題，通過(guò)完整地驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)的條件，可以確保答案的準(zhǔn)確性.尤其是涉

及極值點(diǎn)和方程解的條件時(shí)，要特別注意每個(gè)條件的符號(hào)和數(shù)量判斷.

5.(24-25高三上?江蘇?階段練習(xí))已知三次函數(shù)/(無(wú))="(》-6)2,貝U()

A.函數(shù)/(x)一定有兩個(gè)極值點(diǎn)B.當(dāng)a<0<6時(shí)，/(a)>/(a+Z?)

C.當(dāng)ab>0時(shí)，〃x)的極小值為0D.出力€11"(>)在區(qū)間［見可上的值域?yàn)椋鄯?］

【答案】BCD

【分析】對(duì)于AD,利用特例法可判斷其正誤，對(duì)于B,利用作差法可判斷其正誤，對(duì)于C,判斷導(dǎo)數(shù)的符

號(hào)可判斷其正誤.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)6=0,a=l時(shí)，f(x)=x3,該函數(shù)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,f(a)-f{a+b)=a1^a--a3^a+b^=crb(Z>-3a),

而a<0<6,故。%>0,伍-3。)>0,故/6優(yōu)-3。)>0,所以/(a)>/(a+6),

故B正確；

對(duì)于C,f'(x)=a(x-b)2+2辦(工一6)=3a,

若a>0,貝!|6>0,此時(shí)當(dāng)或時(shí)，f,(x)>0,

當(dāng)g<x<6時(shí)，f，(x)<0,故/(x)在x=b處取極小值〃6)=0；

若。<0,貝!]6<0,此時(shí)當(dāng)x<6或x>|■時(shí)，f(x)<0,

當(dāng)6Vx時(shí)，f(x)>0,故在x=b處取極小值"6)=0；

故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)Q<0,b>0時(shí)，

貝[|當(dāng)或x〉b時(shí)，f(x)<0,當(dāng)時(shí)，f(x)>0,

故〃x)在a,：為減函數(shù)，在gb上為增函數(shù),

24〃

取6=3,3,貝曠3=/—6ZX----—CL

mm27

(_2\2_2

考慮方程/x-3-2^-3?2行=0在(-8,0)上是否有解，

\7

2

<_2\_22

設(shè)s(x)=%2x-3-23-3-23,則s(0)=-3-21<0，

\7

(_2\2_2_2

s(-3)=93+3-2"-3-2-?>9-3-2^>0,

\7

由零點(diǎn)存在定理可得s(x)在(-8,0)上存在零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為。，則〃“)=6>0,

則f(x)在回句上的值域?yàn)榛厮?

故D成立，

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于三次函數(shù)中定義域與值域一致的問(wèn)題，我們先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再

結(jié)合函數(shù)在閉區(qū)間上端點(diǎn)處、在區(qū)間內(nèi)的最值的關(guān)系來(lái)判斷處理即可.

三、填空題

6.(24-25高三上?四川攀枝花?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=]x3+」i上V+x+2兩個(gè)極值點(diǎn)分別為橢圓與雙

曲線的離心率，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【答案】m<\

【分析】根據(jù)題意可得方程/''(》)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根西廣2,且占€(0,1),%€(1,+8),根據(jù)一元二次

方程根的分布可得結(jié)果.

【詳解】橢圓離心率ee(0,1),雙曲線離心率e'e(l,+8).

由題意得，/'口)=/+(%-3)x+l.

?.?函數(shù)/'(X)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為橢圓與雙曲線的離心率,

方程((x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根%,超，且再e(0,1),x2e(1,+⑹,

|/(0)=1>0

[r⑴=1+加-3+i<o解得m<\.

故答案為：m<\.

題型03三次函數(shù)的切線

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.(23-24高三上?廣東汕頭?階段練習(xí))若過(guò)點(diǎn)("〃)(加>0)可作曲線了=無(wú)3-3無(wú)三條切線，貝U()

A.n<—3mB.n>m3—3m

C.〃="/—3承或〃=—3加D.—3m<n<m3—3>m

【答案】D

【分析】設(shè)出切點(diǎn)河(%，%),求導(dǎo),得到切線方程，將>0)代入切線方程，得到說(shuō)-3蛆；+3加+"=0,

故-3g：+3機(jī)+〃=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根，令g(x0)=2x；-3機(jī)片+3機(jī)+〃，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和極值點(diǎn)情況，

從而得到不等式，求出答案.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為初(無(wú)。，％),則為=/(%)=XQ-3x0,

r(x)=3/_3,故廣(x°)=3片-3,且切線方程為y-%=(3x—°),

因?yàn)?m,n)[m>0)在切線上，故〃-(x；-3x0)=(3x；-3)(m-x0),

整理得2x；-3mx：+3m+n=0,

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(加,〃)(">0)可作曲線y=/-3x三條切線，

故2'-3加X(jué)：+3抑+〃=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根，

f

設(shè)g(x0)=2x?-3mx?+3m+n,則g(x0)=6x；-6mx0=6x0(x0-zn),

由g'(x())=0得,或加，

因?yàn)榧?gt;0,由g'(xo)=6xo(x0-加)>0得無(wú)0>機(jī)或x0<0,此時(shí)g(x())單調(diào)遞增，

由g'(x())=6xo(xo-機(jī))<0得。<機(jī)，此時(shí)g(xo)單調(diào)遞減，

所以g(x())=2x；-37MX；+3m+n的極大值點(diǎn)為％=0,極小值點(diǎn)為％,

,,g(0)>0

故2x-3*+3加+〃=0要有三個(gè)實(shí)數(shù)根的充要條件為，(。,

g(/77)<0

13m+n>0

即_療+3"+”<0,解得-3…<33機(jī)

故選：D

【點(diǎn)睛】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

(1)已知切點(diǎn)求斜率七即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)左=/'(%)；

⑵已知斜率先求切點(diǎn)/(再J(再)),即解方程/'(占)=%;

⑶已知切線過(guò)某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)4%,[(尤。)),利用

k==/由)求解.

再—x0

二、多選題

2.(24-25高三上?河北張家口?開學(xué)考試)已知函數(shù)"x)=：x3-辦2+J,則()

A.。>0時(shí)，x=0是〃x)的極大值點(diǎn)

B.若/Xx)存在三個(gè)零點(diǎn)，貝

C.當(dāng)。=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)(0,0)可以作“X)的切線，有且只有一條

D.存在。，使得了(——1)+/(——2)+/(^3)+---+/(2-0^2—2)=3—37

20232023202320232

【答案】ACD

【分析】求出極大值點(diǎn)判斷A；/(X)有三個(gè)零點(diǎn)，求出4的范圍判斷B；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解判斷C；

取”=求出函數(shù)圖象對(duì)稱中心計(jì)算判斷D.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。〉0時(shí)，/z(x)=x2-2ax=x(x-2a),當(dāng)x<0或x>2。時(shí)，/z(x)>0,

當(dāng)0<X<2Q時(shí)，/V)<0,因此x=0是/(x)的極大值點(diǎn)，A正確；

2

對(duì)于C,當(dāng)。=。時(shí)，〃刈=：/+：,f'(x)=x>0,設(shè)切點(diǎn)為億/'?)=產(chǎn)，

3636

則切線方程為y-(7+3=〃(x-),由切線過(guò)點(diǎn)(0,0),得此方程有唯一解，

因此過(guò)點(diǎn)(0,0)可以作/(X)的切線，有且只有一條，C正確；

對(duì)于B,當(dāng)。>0時(shí)，〃x)在尤=0上取得極大值/■(())=：,在x=2a處取得極小值〃24=-㈣+L

636

函數(shù)〃X)存在三個(gè)零點(diǎn)，則"2a)=-㈣+4<0,解得

362

當(dāng)。=0時(shí)，〃x)在R上單調(diào)遞增，〃X)最多一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)"0時(shí)，當(dāng)xv2a或x>0時(shí)，f\x)>0,當(dāng)2Q<X<0時(shí)，/'(x)<0,

因此—2“處取得極大值心--耳+3。，在x=。上取得極小值

則/Xx)最多一個(gè)零點(diǎn)，于是〃x)存在三個(gè)零點(diǎn)，?>1,B錯(cuò)誤;

對(duì)于D,取。=彳，貝!l/(x)=彳無(wú)3—彳x~+工，/(l-x)+/(x)=-(l-x)3--(l-x)~+■7+-+T=7'

232o3zo3Z00

1232022

令A(yù)S:/(——)+/(——)+/(——)+-??+/(——),

2023202320232023

20222021202011337

貝！=+++-+2S=-x2022=337,5=—

202320232023202362

11232022337

因此當(dāng)4=7時(shí)，/(——)+/(——)+/(——)+-??+/(——)二——，D正確.

220232023202320232

故選：ACD

3.(24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí))已知函數(shù)〃幻=；/+/+辦+b(a/eR),貝|()

A.。=-3時(shí)，若“X)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)6的取值范圍是1-9,￡|

B.。=6=0時(shí)，過(guò)(L0)可作函數(shù)〃x)的切線有兩條

C.若直線/與曲線》=/(無(wú))有3個(gè)不同的交點(diǎn)/(再,“)，B(x2,y2),且則

石+馬+￡=3

D.若“X)存在極值點(diǎn)/，且〃其中無(wú)0片花，貝！|%+2%+3=0

【答案】AD

【分析】求導(dǎo)后分析函數(shù)的單調(diào)性，利用極大值大于零，極小值小于零可得A正確；設(shè)切點(diǎn)(匕，%)，由導(dǎo)

數(shù)的意義求出斜率，再由點(diǎn)斜式得到直線方程，然后由點(diǎn)在切線上代入解方程，由根的個(gè)數(shù)可得B錯(cuò)誤；

再次構(gòu)造函數(shù)g(x),從而求出對(duì)稱中心點(diǎn)即可得C錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)存在極值點(diǎn)遍,再結(jié)合令

x1+2x0=t,求出t即可得D正確；

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=-3時(shí)，/(X)=1X3+X2-3X+Z>>f\x)=x2+2x2-3=(x+3)(x-1),

令/''(x)=0，解得占=-3,%=1,

所以/(x)在(-8,-3),(1,+8)上為單調(diào)遞增函數(shù)，在(-3,1)上為單調(diào)遞減函數(shù)，

若〃x)有3個(gè)零點(diǎn)，則極大值〃-3)=9+6>0=6>-9,極小值〃i)=b-g<Onb<g,

所以實(shí)數(shù)6的取值范圍是1-9,］，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)。=6=0時(shí)，/(x)=^-x3+x2,

設(shè)切點(diǎn)為(Z，%),貝lj_f(x)=x?+2x,所以切線的斜率后=3+2乙，

切線方程為y-乂=(其+2項(xiàng))(%-七)，

又點(diǎn)(1,0)在切線上，且為=；x；+x；,

代入可得一，V+x[=(X：+2匕)。一%),

2

整理可得一]右+2匕=0,解得Z=?；颉?，

所以應(yīng)該有三條切線，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令g(x)=f，(x),貝1|g'(x)=2x+2=0,得x=-l,貝！|三次函數(shù)〃x)的對(duì)稱中心是

當(dāng)直線/與曲線y=f(x)有3個(gè)不同的交點(diǎn)A(Xi，yQ,B(x2,y2)，。(%,力),且|/8|=|/口時(shí)，

所以點(diǎn)A一定是對(duì)稱中心，所以占+無(wú)2+W=3%=-3,故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D：若存在極值點(diǎn)%,則/(x)=(x+l)2+a-l=0,a<\,(x0+1)=l-d-,

令J1+2%0=」,得再二￡一2%,

因?yàn)椤?)=/(再),于是/(3)=/("2/),

J132

以—XQ+XQ+CLXQ+b=§（"-2x（））+（，-2XQ）+q（/-2x0）+6,

化簡(jiǎn)得:仁+1卜3x°y=0,

因?yàn)椋X1，故3%-//0,于是公-3,即再+2%+3=0,故D正確;

故選：AD.

4.(24-25高三上?浙江?開學(xué)考試)三次函數(shù)/@)=苫3+辦2+》+1敘述正確的是()

A.函數(shù)〃x)可能只有一個(gè)極值點(diǎn)

B.當(dāng)。=。時(shí)，函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0」)中心對(duì)稱

C.當(dāng)天=-三時(shí)，過(guò)點(diǎn)卜。,/(%))的切線可能有一條或者兩條

D.當(dāng)/*-三時(shí)，在點(diǎn)卜。,/(%))處的切線與函數(shù)y=/(x)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)

【答案】BD

【分析】求導(dǎo)，令/'(x)=0,利用△結(jié)合二次函數(shù)的圖象可判斷A；利用y=x3+x是奇函數(shù)，可判斷B；

設(shè)切點(diǎn)(Xi，f(xQ),切線方程為了-/(再)=/'(占')(_?-為)，結(jié)合已知可得(％-再)2伉+4+2不)=0,求解可

判斷C；在點(diǎn)(Xo,f(Xo))處的切線為了-/國(guó))=/伉)?-再)，與曲線方程聯(lián)立方程求解可判斷D.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：/,(X)=3X2+2?X+1,令/(X)=0,

即3/+2ax+1=0,A=4〃-12,

當(dāng)A>0時(shí)，方程/'("=0有兩個(gè)不同根，/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)A40時(shí)，/(x)無(wú)個(gè)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)：〃x)=d+x+l,又>是奇函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，

所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：設(shè)切點(diǎn)(xi,f(x0),貝!)切線方程為尸/(%)=/'(xj(xf),

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(Xo，f(Xo)),所以/(%)-/(再)=/'(再)(％-西),

即XQ—x；+ci(xj-x；)+x。-X]=(3x；++1)(x0—占)，

整理得(工()-%)2(%+。+2占)=0,所以再=%,或&,由于

則兩根相等，即只有一個(gè)切點(diǎn)，即只有一條切線，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：在點(diǎn)(x(),f(X。))處的切線為了-/(%)=/'(%)(x-占)，

與曲線聯(lián)立方程組P二小):/(X。)(》一/)化簡(jiǎn)得，(尤_/)2(再+q+2x)=0,

[y=x+ax+x+1

所以X=X。，或》=-專匕由于則方程組有兩個(gè)不同解，

即有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故D正確.

故選：BD.

三、填空題

5.(23-24高三上?四川內(nèi)江?期末)己知函數(shù)〃X)=7+2X2_X+1,若過(guò)點(diǎn)尸(1J)可作曲線y=〃x)的三

條切線，貝曙的取值范圍是.

【答案】(1,多

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根的問(wèn)題，再

利用導(dǎo)函研究函數(shù)的極值求解作答.

【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)網(wǎng)10作曲線>=/(x)的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(％,-4+2焉-%+1),

由/(x)=-/+2尤2_x+l求導(dǎo)得：r(x)=-3x2+4x-l,貝!J切線斜率％=-3x；+4x0-l,

切線方程為>—(一x；+2x；-x。+1)=(―3XQ+4X0—1)(X—X0),

于是，=(—3xg+4x0—1)(1—x0)+(—x；+2XQ—JC0+1),整理得t=2XQ—5xg+4x0,

令g(x)=2x3-5x2+Ax-t,求導(dǎo)得g'(無(wú))=6尤2-lOx+4=2(3x-2)(尤-1),

22

由g<x)>0,得或x>l,由g'(x)<0,得

22

因此函數(shù)g(X)在(-8,§),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(§,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)'時(shí)，函數(shù)g(x)取得極大值gg)=||T,當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值g⑴=1-

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)尸(1#作曲線V=/⑺的切線有三條，則方程"+4%有3個(gè)不等實(shí)根，

[28

____{>0AOQ

即函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，由三次函數(shù)的性質(zhì)知，27,解得1<",，

1t<027

所以，的取值范圍是(1,II).

故答案為：

題型04三次函數(shù)的對(duì)稱性

【解題規(guī)律?提分快招】

二丁二次菌藪的韋達(dá)比迪

2

設(shè)/(%)=+bx+cx+d(aW0)的三個(gè)零點(diǎn)分別為％1，x2,x3,則

(l)xi+%2+%3=

(2)%1%2+%2%3+%3%1=(

(3)X1X2X3=一(

,111c

(4)五+R+京=一百

二、三次函數(shù)的對(duì)稱性

結(jié)論1三次函數(shù)/(久)=口爐+6久2+CK+d(aH0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2，/(一2))中心對(duì)稱

結(jié)論2已知三次函數(shù)/(x)=ax3+bx2+ex+d(a豐0)中心對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為沏，兩個(gè)極值點(diǎn)分別為處,

X2,則二一=#3>)=一5(巧一支2)2

結(jié)論3若y=/(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(m,7?)對(duì)稱，則丫=尸(久)圖像關(guān)于軸x=m對(duì)稱

點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是軸對(duì)稱函數(shù)，軸對(duì)稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)

奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)

彳麗加綠i

一、多選題

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=d-x+i,貝U()

A./(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B./(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=〃x)的對(duì)稱中心