專題4-4三角函數(shù)與解三角形大題綜合歸類

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】三角函數(shù)求解析式：“識(shí)圖”...................................................1

【題型二】圖像與性質(zhì)1：?jiǎn)握{(diào)性與值域..................................................5

【題型三】圖像與性質(zhì)2：恒等變形：結(jié)構(gòu)不良型..........................................8

【題型四】圖像與性質(zhì)3：恒成立（有解）求參數(shù).........................................12

【題型五】圖像與性質(zhì)4：零點(diǎn)與對(duì)稱軸.................................................16

【題型六】解三角形1：面積與周長(zhǎng)常規(guī).................................................21

【題型七】解三角形2：計(jì)算角度與函數(shù)值...............................................23

【題型八】解三角形3：求面積范圍（最值）.............................................26

【題型九】解三角形4：周長(zhǎng)最值.......................................................28

【題型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非對(duì)稱”型....................................31

【題型十一】解三角形6：最值范圍綜合.................................................34

二、真題再現(xiàn).........................................................................36

三、模擬檢測(cè).........................................................................42

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】三角函數(shù)求解析式：“識(shí)圖”

【典例分析】

JT

（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=Asin（m+e）,xwR（其中AAO.OVOW,）部分圖象如圖所示,

尸（g,A）是該圖象的最高點(diǎn)，M,N是圖象與x軸的交點(diǎn).

⑴求/（x）的最小正周期及夕的值；

TT

⑵若ZPMN+ZPNM=-,求A的值.

4

【答案】（1）2；9=^;（2）A=且一1.

62

【分析】（1）利用"X）的解析式求出周期，再由給定的最高點(diǎn)尸求出夕作答.

（2）由（1）求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，結(jié)合圖形求出NPMN和/PW的正切，再利用和角公式計(jì)算作答.

（1）

函數(shù)/⑺=Asin（m+。）的最小正周期T=臼27c=2,

71

]1JTTTTT

因尸（不A）是函數(shù)/（九）圖象的最圖點(diǎn)，貝！J彳兀+。=2E+G，攵￡Z,fln0<^><—,有人=0,（p=—,

33226

TT

所以函數(shù)aX)的最小正周期為2,(P=y.

6

⑵

TTTT11TT11

由(1)知，/(x)=Asin(7Lx+—),由7ix+—=0得x=——,即點(diǎn)M(——,0),由兀x+—=2兀得兀=一,即

666666

點(diǎn)N(7,0),

6

AA2

tanZPMN=---------=2AtanZPNM=———-=—A,/…八,…兀

于是R得Zl=l，H_13，而/PMN+/PNM=工,

3~{~6~6~34

2

2A+-A

tan/PMN+tanZPNM又A>0,解得A=且-1,

則tan(ZPW+/PNM)=3

1-tanZPMN-tanZPNM2

1-2A-A2

3

所以A=五一1.

2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.注意正余弦“第一零點(diǎn)”和“第二零點(diǎn)”的區(qū)別和聯(lián)系。

正弦"第一零點(diǎn)"：X=2k7T.正弦“第二零點(diǎn)”：x=7l+2k7l

余弦“第一零點(diǎn)"：%=—不+2左乃x=-+2k7v

2；余弦“第二零點(diǎn)”：2

2.對(duì)稱軸在最大值最小值處的區(qū)別和聯(lián)系

【變式演練】

/⑺=Asin（s:+"）A>0,co>0,0<（p<—

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)I2J的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)/(X)的解析式；

⑵將“X)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的3(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)

g(x)上方的解的集合.

【答案】(l)〃x)=2sin[x+m(2)內(nèi)萬(wàn),左乃+奈,左eZ

【分析】(1)由函數(shù)〃x)圖象，得到A=2和7=2乃，得至U"x)=2sin(x+0),結(jié)合〃x)圖象過(guò)點(diǎn)

得到sin(V+e)=-l,求得夕=g,即可求得的解折式；

(2)根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，得到g(x)=2sin(2x+m，根據(jù)g(x"相，得到不等式

進(jìn)而求得不等式的解集.

(1)

解：由函數(shù)“X)圖象，可得A=2,|r=^+1=y,所以7=2%,

因?yàn)?〉0,可得刃=亍=1,所以/(x)=2sin(x+9),

又因?yàn)?(X)圖象過(guò)點(diǎn)[V，-2),可得2sin(磊+。)=-2,74

即sin（——+（p）=-l,

6

/rrAJT71

所以上+0=3+2版■，左￡Z,解得e=—+2左肛左EZ,

623

又由0＜夕＜],所以9所以函數(shù)“X)的解折式為了(X)=2sin(x+?]

⑵

解：將〃尤)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的9得到g(x)=2sin(2x+g

由g(x)2A/3,可得sinf2x+—^＞,解得—F2k兀＜lxH—＜------1-2上萬(wàn),

[3J2333

兀

所以左〃■＜尤＜——Fki,keZ,

6

即不等式g(x)＞百的解集為[k7T,kTT+^lkeZ.

2.(2022?四川?宜賓市教科所三模(理))已知函數(shù)〃x)=sin(ox+0)"0,網(wǎng)后]的部分圖象如圖所示:

⑴求〃x）；

（2）若7=奈，且ae（O,7t）,求cos2（z的值.

【答案】⑴〃x）=sin（2x+j⑵-]

【分析】（1）由圖象可求得函數(shù)的周期，可得。=2,根據(jù)圖象過(guò)的點(diǎn)（日,0）,求得即得答案；

（2）由求得sinc+cosc=g,繼而求得cose-sine=-1,再結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式即可

求得答案.

（1）由圖知：—r=—,,'.T=—=n,°=2,無(wú)）=sin（2x+°）,

,1TTT?兀

由圖象得2x——+夕=(2Z+1)私人GZ6=(2左+1)兀---,kGZ,又,.[同<一,..夕="

842

f(x)=sin12x+；

(2)???/(0]=sin[a+=也，???正sina+正cos1=立,sina+cos1=」，

\2)\4J1022105

124

故(sina+cosa)=-,2sincifcoscif=--<0,V6TG(0,7l),aGcos6Z-sincr<0,

?(cos?-sin^=l+^=^,cos?-sin?=-Z

25255

/.cos2a=cos2a—sin2a=(cosa+sina)(cosa一sina)=gx

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=Asin（。尤+0）工?凡4>0,0>0,|同<1^部分圖象如圖所

⑴求/⑴的最小正周期及解析式；

⑵將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移/個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=g(X)的圖象，求函數(shù)g(X)在區(qū)間0彳上

的最大值和最小值.

7T

【答案】⑴最小正周期為7=萬(wàn)，f(x)=sin(2x+-)

6;

(2)最大值為1和最小值為-1.

【分析】(1)結(jié)合五點(diǎn)法求出最小正周期，由最大值最小值求得A,由周期求得。，由點(diǎn)的坐標(biāo)求得。，

得解析式；

(2)由圖象平移寫出g(x)的表達(dá)式，然后由三角函數(shù)性質(zhì)求得最值.

(1)

由圖象可知A=1,：T=|-葛=7,所以最小正周期為7=肛0=半=2

94萬(wàn)377

所以73=sin(2x+0),將T代T入可得=+9=彳+2匕夕=5TT，

3326

7T

所以/(無(wú))=sin(2x+7)

O

(2)

￡(x)=sin2|J;-—|+—=sin|2x--|=-cos2x

［I6」I2J

因?yàn)?,—,所以2%w［0,萬(wàn)］,

當(dāng)2%=0,即X=0,g(X)min=-1；

qr

當(dāng)2%=乃，即％=萬(wàn)，g(%)max=L

【題型二】圖像與性質(zhì)1:單調(diào)性與值域

【典例分析】

(2022?浙江?高三開學(xué)考試)已知函數(shù)/(尤)=cos2%+gsin%?cos%-.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

TT

⑵求/(X)在區(qū)間［0,1］上的最值.

71711

【答案】⑴k7T--,k7T+-(々￡Z)(2)最大值為1,最小值為-不.

【分析】(1)由三角函數(shù)降幕公式與二倍角公式，根據(jù)輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)為單角三角函數(shù)，根據(jù)正

弦函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；

(2)利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，可得答案.

(1)

-、l+cos2x6.入\.c1c.(八

JW=---------1---sin2%——=——sin2x+—coszx=sin2x+—.

22222(6)

jrTT

因?yàn)閥=siru的單調(diào)遞增區(qū)間為2k兀一3,2k兀+5(Z^Z),

')l')L')l'兒’)L

令2XH—￡2k兀---,2k兀—(Z^Z),得1￡k兀,k7i—(左￡Z).

62236

7171

所以/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間為k7l--,k7J：+—（女￡Z）.

36

（2）

因?yàn)椋?,g］,所以2X+￡GJ，??

2oLoo

當(dāng)2x+m=g,即x=1時(shí)，f（x）最大值為1,

o26

當(dāng)2無(wú)+￡=?,即x=g時(shí)，/（x）最小值為

662/

【提分秘籍】

基本規(guī)律

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

［—71+2kn,

7T7T

2祈］

［―1+2E，］+2E］（左GZ）上遞(-1+析，］+

單調(diào)

增；/WZ）上遞增；

ku)

性

［2祈，兀+2左兀］

弓+2祈，:+2祈］（左WZ）上遞減(kWZ)上遞增

（左WZ）上遞減

【變式演練】

1.（2022?湖北?高三開學(xué)考試）已知函數(shù)/（尤）=$1112尤+265.苫＜：05苫+5苗1+71.上-51.

（1）求f（x）的最小正周期；

⑵若xe［0,詞，求出了（元）的單調(diào)遞減區(qū)間.

_._7C5乃

【答案】（1）/（2）

_JO

【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為〉=4&!1（8+夕）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正

周期，

⑵根據(jù)無(wú)目0,句,令t=2x-^,則可求出f的范圍，從而得出〃尤）的單調(diào)遞減區(qū)間.

O

（1）

c,、.?_/T"..|TV\.\7C?

j(X)=smx+2V3smA:cosx+sm^+—|sin^x--J

2.、

--0°s2'+6sin2x+(sinx+cosx)士—(rsinx-cosx)

224

--c；2x+石gm2x-^cos2x-sin2%)=匕4+屈

=V3sin2x-cos2x+—=2sin[+f(x)的最小正周期為—=TT.

2V6j22

(2)

???]￡[0,加，.?.令t=2x-^~,貝Ire—J,孚，

6\_66

~-3

又?.?函數(shù)y=2sinf+g在Ze々，三上單調(diào)遞減，即2x-ge時(shí)，"x)的單調(diào)遞減，

2|_22」o\_22_

457r

.,.當(dāng)工?]時(shí)，/(x)的單調(diào)減區(qū)間為—5-—?

_3o

2.(2022?黑龍江?雙鴨山一中高三開學(xué)考試)己知函數(shù)/(x)=sin[2x+m+cos]2x+j-2sinxcosx.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期及對(duì)稱軸方程；

(2)將函數(shù)y=f[x)的圖象向左平移專個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的

2倍，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求y=g(x)在[0,2用上的單調(diào)遞減區(qū)間.

qr27r17T

【答案】⑴最小正周期為萬(wàn)，對(duì)稱軸方程為戶卡+券，％eZ(2)0,—,—,2n

【分析】(1)利用兩角和差的正余弦公式與輔助角公式化簡(jiǎn)可得〃X)=2COS(2X+￡|,再根據(jù)周期的公

式與余弦函數(shù)的對(duì)稱軸公式求解即可；

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖形變換的性質(zhì)可得g(x)=2cos(x+?|,再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.

(1)

「(、1.A/3y/31..

/(X)——sin2xH-----cos2xH------cos2x—sin2x—sin2x,

v72222

/(x)=V3cos2x-sin2x=2^^-cos2x-^-sin2x

J%.71\

=2coszxcos----sinzxsin—=2cos2x-\——.

I66)I6)

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為萬(wàn)，

令2%+5=上萬(wàn)，keZ,得函數(shù)/⑴的對(duì)稱軸方程為x=—二+"，keZ.

6122

(2)

將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移個(gè)單位后所得圖象的解析式為

-J71兀、71九--71]

y—2cos2xH---H——2cos2xH—|,

I122j6I3

2xlxq=2coslxq71,

所以g(x)=2cos++

23)I3)3

TT

令2人感!kd——TT+2ki,

3

所以一g+2br別：菖+2左心左￡2.又工￡[0,2句,

所以y=g")在[o,2句上的單調(diào)遞減區(qū)間為

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=sin（%-（yx）cos0尤-cos[0x+?J（（y＞。）的最小正周期為

兀.

⑴求“X）圖象的對(duì)稱軸方程；

⑵將“X）的圖象向左平移7個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g（元）的圖象，求函數(shù)g（x）在0,1上的值域.

【答案】⑴X=7+午，笈eZ；⑵-

【分析】（1）先由誘導(dǎo)公式及倍角公式得/（x）=sin2ax-g,再由周期求得。=1,由正弦函數(shù)的對(duì)稱性

求對(duì)稱軸方程即可；

（2）先由圖象平移求出g（x）,再求出2x+1e，即可求出g（“）在。套上的值域.

（1）

71\.71

/(x)=sincosa)x-cos2(DXH——=sinscoscox-cos2CDX+—

4j

1+cos2a)x+—

」sin2s-I2.=sin2(yx」'

222

2萬(wàn)1jr■rrKTT

貝lj——=兀,解得@=1,貝(J/(x)=sin2x——,令2%=—+左匹左EZ,解得力=—+——,keZ,

2。2242

故圖象的對(duì)稱軸方程為了=7+?,左eZ.

⑵

1廠小兀"7i447〃r_7|■rr

g(x)=sin12x+gXG0,-,貝+y—,sinf2x+yje,1,則g(x)在0,—上

223?3~2

的值域?yàn)?----.

【題型三】圖像與性質(zhì)2：恒等變形：結(jié)構(gòu)不良型

【典例分析】

（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在①sina="，②tan?a+夜tana-4=0這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到

3

下面的問(wèn)題中，并解答.

已知角a是第一象限角，且___________.

⑴求tana的值；

（2）求Ccos（2a+cos（a+兀）cos（a-3兀）的值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴tana=0⑵g

【分析】⑴選①：因?yàn)閟ina=逅，求得cosa=±且，結(jié)合角。是第一象限角，得到cos。二也，進(jìn)

333

而求得tanc的值.

選②：化簡(jiǎn)得至lj（tana-J5）（tana+2V5）=O,結(jié)合角。是第一象限角，進(jìn)而得到tana的值.

(2)化簡(jiǎn)得到&cos(2a+9)+cos(c+萬(wàn))cos(c-3萬(wàn))=2130+1,結(jié)合tana=夜，代入即可求解.

2tan~a+1

(1)

解：選①：因?yàn)閟inc=逅，所以cos2a=l-sin%=L所以cosa=±，^,

333

因?yàn)榻莂是第一象限角，所以cosa=3,則tana=2=0.

3coscr

選②：因?yàn)閠an2a+0tana-4=O,所以(tana-0)(tana+20)=0,

解得tana=-Jl或tana=-20，

因?yàn)榻?。是第一象限角，所以tana=0.

⑵

解：由血cos(2a+至)+cos(a+/r)cos(a-3%)

272sinacosa+cos2a2V2tana+1

=0sin2a+cos2a=2\j2sinacosa+cos2a

sin2+cos2atan2a+\

2A/2tancr+1_2后x0+1_5

因?yàn)閠ana=^2，所以

tan2cif+1(V2)2+13

即V2cos(2cr+3)+cos(cr+))cos(cr-3))=.

【變式演練】

1.(2022?北京?二模)已知函數(shù)/(x)=cos20x+百sinoxcosax+zn(①>0,mwR).再?gòu)臈l件①、條件②、

條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)〃尤)的解析式的兩個(gè)作為已知.

(1)求f(x)的解析式及最小值；

⑵若函數(shù)〃尤)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求/的取值范圍.

條件①：函數(shù)/(%)的最小正周期為笈；

條件②：函數(shù)“X)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

3

條件③：函數(shù)”無(wú))的最大值為1

2

注：如果選擇的條件不符合要求，得。分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計(jì)分.

7T7T1

【答案】⑴選擇①②：/(x)=sin(2x+F),人無(wú))的最小值為-1；選擇①③：/(x)=sin(2x+-)+-,f(X)

662

的最小值為-；；

⑵選擇①②：/的取值范圍是他'等］;選擇①③：t的取值范圍是已當(dāng).

1212)|_207

【分析】(1)首先利用三角恒等變換公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)/'(X),然后根據(jù)條件①②或①③求其解析

式即可，若選擇②③，機(jī)的取值有兩個(gè)，舍去；

(2)根據(jù)零點(diǎn)即是函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，令/(口=。求出橫坐標(biāo)，即可判斷f的取值范圍.

(1)由題可知，f(x)=cos2cox+j3sin6yxcos(ox+m=-^-sinIcox+—cosIcox+m+—=sin(26?x+y)+m+—.

22262

選擇①②：因?yàn)槎?三=兀，所以。=1.又因?yàn)椤ā?=1+根=:，所以羽=一二.

2(022

TT7L7L7L

所以/(%)=sin(2x+—).當(dāng)2x+—=2航——,keZ,即x=E——,時(shí)，/(%)=-1.

6623

所以函數(shù)/(1)的最小值為-1.

選擇①③：

因?yàn)?=算=兀，所以。=1.又因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為機(jī)+1=W，所以m=。.所以/(x)=sin(2x+》+1.

2a)2262

jrjrjrIT

當(dāng)2xH—=2kli—,keZ,即％=kit,kGZ時(shí)，sin(2xH—)=—1,

6236

所以函數(shù)/'(尤)的最小值為-1+g=-j.

選擇②③：

1133

因?yàn)?(0)=1+機(jī)=5,所以相=-],因?yàn)楹瘮?shù)/(*)的最大值為加+2=5,所以相=0

,??利的取值不可能有兩個(gè)，，無(wú)法求出解析式，舍去.

(2)

選擇①②：令sin(2x+2)=。，則2XH—=kn,ZeZ,所以x=------,kEZ.

66212

當(dāng)％=1,2時(shí)，函數(shù)/(x)的零點(diǎn)為弓,詈，由于函數(shù)在區(qū)間[0刀上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，

所以在f〈等.所以/的取值范圍是信詈).

選擇①③：

令sin(2x+工)+l=0,貝lj2%+工=2也+1兀，keZ,或2X+工=2也+口兀，ksZ,

626666

所以x=E+f,k&Z,或丈=也+￡,ZeZ.當(dāng)％=0時(shí)，函數(shù)"x)的零點(diǎn)分別為

2626

由于函數(shù)/(尤)在區(qū)間[。用上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，

所以5」(不.所以，的取值范圍是12'6

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=asinoxcosox(a>OM>0).從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)

作為已知，使函數(shù)〃x)存在且唯一確定.

條件①：/[￡|=1；

條件②："X)為偶函數(shù)；

條件③："X)的最大值為1;

條件④：/(%)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

注：如果選擇的條件不符合要求，第(1)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一

個(gè)解答計(jì)分.

⑴求八》)的解析式;

(2)設(shè)g(x)=/(x)-2cos20x+l,求函數(shù)g(尤)在(0,兀)上的單調(diào)遞增區(qū)間.

和?

【答案】(1)選擇①④或③④均可得到/(x)=sin2x(2)單調(diào)遞增區(qū)間有

【分析】(1)首先利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可得到②與題設(shè)沖突，再分別選擇①③，①④,

③④三種情況討論，分別根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出。，。，即可求出函數(shù)的解析式；

(2)由(1)可得g(x)=sin2x-2cos2x+l,再利用二倍角及輔助角公式化簡(jiǎn)，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性

質(zhì)求解即可

(1)因?yàn)?(%)=〃sinoxcoscox^a>0⑷>0),所以/(x)=萬(wàn)〃sin2cox,

顯然當(dāng)時(shí)/(%)為奇函數(shù)，故②不能選，

若選擇①③，即"X)=sin2sx最大值為1,所以ga=1,解得a=2,所以=sin2ox,又/']=1,

所以/[E]=sin[20x[]=l,即10='+2M,kwZ,

解得。=1+4%,左eZ,故/（x）不能唯一確定，故舍去;

若選擇①④，即/（x）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為g,所以?=兀，解得。=1,

22。

所以7(x)=；asin2x,X=1-asin^2x^J=1,所以ga=i,解得°=2,所以/(x)=sin2x；

若選擇③④，即/（x）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為5，所以工=無(wú)，解得。=1，所以

sin2x,

又“X）的最大值為1,所以;。=1,解得。=2,所以〃x）=sin2x；

(2)由(1)(x)=f(x)-2cos2a)x+\=sin2x-2cos2x+1=sin2x-cos2x

=V2——sin2x----cos2x=A/2sin2x~~\^2kit-—<2x-—<2kji+—,keZ,

(22JI4j242

qr3TT713JT

解得+keZ,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為kTi--,kK+—,keZ,

88L8X_

又xe(0,7T),所以g(x)在(0,兀)上的單調(diào)遞增區(qū)間有和(0,獲；

3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/'(%)=磁山0%￥-&<：0$2%(%€2，若

條件①：a>0,且〃x)在xeR時(shí)的最大值為1-咚；

條件②:巧=T

請(qǐng)寫出你選擇的條件，并求函數(shù)/'（尤）在區(qū)間上的最大值和最小值.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】選①或選②結(jié)論相同，最大值為0；最小值為_1一走.

2

【分析】⑴根據(jù)二倍角的正弦、余弦公式和輔助角公式可得/（x）=『^sin（2x-e）-!（其中

tan（p=叵）,選條件①或②都算出。=1,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.

a

【詳解】仆）Wc。―鳳S2尤胃in2x^g-小女--

=『；3$也（2*一0）一曰,其中tan。=走，

若選①，一中=1一*解得a=l,得9=。，所以〃同=5皿（2X-曰-日，

，1-兀5%7C，當(dāng)=4時(shí)，/（X）min=T-咚，當(dāng)時(shí)，/（?max=。；

由xe，得2x-]￡

若選②，/用得0=5，所以/(x)=sin(2x—g1—

71兀_7C5%兀

由工￡得2尤一§€當(dāng)2尤_1=_彳時(shí)，/(x)^=-1-—,

5~6,132?/、/min2

當(dāng)時(shí)，/(x)max=0

【題型四】圖像與性質(zhì)3：恒成立(有解)求參數(shù)

【典例分析】

(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知函數(shù)=2sin(x+1).

⑴若不等式|小)-小3對(duì)任意.[J，勺恒成立，求整數(shù)機(jī)的最大值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(]-尤)，將函數(shù)g(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;倍(縱坐標(biāo)不變)，再向

右平移看個(gè)單位，得到函數(shù)y=/?(x)的圖象，若關(guān)于x的方程；〃(x)d=0在xe[-仁,獸上有2個(gè)不

同實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

【答案】(1)4；(2)：4左<1.

【分析】(1)求出函數(shù)“X)在1g勺上的最大、最小值，再利用恒成立的不等式求解作答.

o3

(2)根據(jù)給定變換求出函數(shù)心)，再探討心)在[4,言上的性質(zhì)，結(jié)合圖象求解作答.

(1)

當(dāng)勺時(shí),X+H，巧,則當(dāng)尤+[=3即=5時(shí),/(x)mn=l,

63363366

當(dāng)x+g=5,即x=7時(shí)，/wmax=2,

326

|/(x)-m|<3?/(x)-3<wS/(x)+3,于是得"(x)-3]回--1,"(x)+3]11a=4,

TVTT

依題意，任意f(x)-3<m<f(x)+3,因此有一加44,

63

所以整數(shù)機(jī)的最大值是4.

(2)

依題意，g(x)=2sin(--x+—)=2sin(x+—),貝!jh(x)=2sin[2(x--—)+—]=2sin2x,

236126

、[,「715711lr兀5兀[、i/兀，c/?？陂T兀兀n-U

當(dāng)工￡[-77,二]n時(shí)，2xe[--,-],當(dāng)一二42九工大，即一有4％〈：時(shí)，

12126662124

函數(shù)y=S(x)=sin2x在[-3：]上單調(diào)遞增，函數(shù)值從-;遞增到1,

當(dāng)]w2x4系,即時(shí)，函數(shù)y=/(x)=sin2x在4上單調(diào)遞減，函數(shù)值從1遞減到白

如圖，

方程(3)-左=0在多上有2個(gè)不同實(shí)數(shù)解，等價(jià)于函數(shù)y=sin2x在g,白上的圖象與直

幺1Z1ZIN

線'=%有兩個(gè)公共點(diǎn)，

觀察圖象知，當(dāng)二女<1時(shí)，函數(shù)y=sin2x在[-白色上的圖象與直線y=%有兩個(gè)公共點(diǎn)，

21212

-<^<1

所以實(shí)數(shù)人的取值范圍是2.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用二倍角和降暴公式等進(jìn)

L角度不一致，可以"打散"：角度不一致，可以拆開

2.“重組”：系數(shù)次塞一致，合并為正弦余弦，便于使用輔助角“化一”

行恒等變形

【變式演練】

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知平面向量而=12-sin(2x+j,-2],?=(l,sin2x),f[x)=m-n,其

I兀

中xe0,—.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象所有的點(diǎn)向右平移5個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的;(縱坐

12N

45TT

標(biāo)不變)，再向下平移1個(gè)單位得到g(x)的圖象，若g(x)=7%在xe上恰有2個(gè)解，求機(jī)的取

_o24_

值范圍.--

【答案】⑴仁司(2)-,11

【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

(2)根據(jù)三角函數(shù)變換規(guī)則得到g(x)的解析式，再根據(jù)x的取值范圍求出4x+J的取值范圍，再根據(jù)

余弦函數(shù)的性質(zhì)及圖象計(jì)算可得；

(1)

解：因?yàn)閻?12—sin(2x+f,—2：3=(l,sii?x)且/⑴=而.日，所以

/(%)=m-n=2-sin12%+方1-2sin2x,

=2-2x+；cos2x—(1—cos2x)=；cos2x-^^sin2x+l=cos(2x+21+l,

即/(%)=cos(2%+工1+1,^2k7r-<2x+—<2k;r,keZ,kn--<x<k7i~—,keZ,

又因?yàn)閄E0,1,所以函數(shù)/⑴的單調(diào)增區(qū)間為：.

(2)解：因?yàn)椤▁)=cos12尤+,+1,

所以將函數(shù)/⑴的圖象所有的點(diǎn)向右平移專個(gè)單位得到

+l=cos]2x+?)+l,

將所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的!(縱坐標(biāo)不變)再向下平移1個(gè)單位得到g(x)=cos(4x+V

又因?yàn)閤e4考，所以t=4x+￡e-g,萬(wàn)，令-g<4x+/v0,解得一?W尤W-J,

824J6L3J36824

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=Asin(s+。)卜>0,?>0,0<^<的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)“X)的解析式；

77

(2)先將函數(shù)〃尤)的圖象向右平移!■個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

(i)若租>0,當(dāng)xe[0,詞時(shí)，g(x)的值域?yàn)閇-百,2],求實(shí)數(shù)相的取值范圍;

JTTT

(ii)若不等式g2(x)-(2f+l)g(x)T-l<0對(duì)任意的xey,-恒成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【答案】⑴/(尤)=2sin(2尤+￡)⑵me挈，苧；-1'+oo>|

31_63」|_3)

【分析】(1)由圖象的最小值求得A,函數(shù)的最小正周期求得。，再求得。，即可求出函數(shù)的解析式；

(2)(i)利用三角函數(shù)的平移和伸縮變換，先求出g(x)=2sin(x-?1,再由xw[0,何，求出x-。的范

圍，即可得出g(x)的值域?yàn)閇-也,2J,，”的取值范圍；

(ii)利用恒成立將不等式轉(zhuǎn)化為1-⑵+1)〃-—140對(duì)任意的恒成立，設(shè)

M〃)=7?-(2r+l)/T-,對(duì)其對(duì)稱軸進(jìn)行討論即可得出答案.

(1)

根據(jù)函數(shù)/(x)=Asin(0x+e)[A>O,0>O,O<e<m]的部分圖象可得：A=2,

32兀7兀(兀、3兀

-------=-------------=—=>(0=2,又因?yàn)??皆+9=葭，所以夕=。，所以

4012(6J4

7T

/(x)=2sin(2x+—).

(2)

TT_TTTT

由(1)知，/(x)=2sin(2%+j),先將函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得：y=2sin(2x--),

再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到g(x)=2sin(x-g

7t7t71rA.(7T、V3r-?！?44]

(i)xe[0,m]r，2sin--=-2x—=-V3,所以m-—e—,所以

JViJ2。1乙

5TV5TT

mG~69^

jljl

(ii)不等式/(兀)—⑵+l)g(x)--lWO對(duì)任意的XE恒成立，令

〃=g(x)=2sin(x-3”H。*，2sin(x-口￡[0,1],所以〃￡[0,1],所以上式：不等式

/一⑵+1)幾T-1W0對(duì)任意的〃恒成立，令

拉⑺=n2-(2z+l