三角函數(shù)(7類核心考點(diǎn)精講精練)

im.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年秋考14題兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)的周期的求法

2024年春考17題正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

2023秋考4、15題二倍角公式的應(yīng)用、正弦函數(shù)的圖象與三角函數(shù)的最值

2022秋考3題三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，倍角公式的應(yīng)用

2022春考4題兩角和的正切公式

2021年秋考15題三角函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題

2021年春考12題三角函數(shù)的最值

2020年秋考18題三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用

2020年春考3、5、14題正切函數(shù)的周期性和求法、三角函數(shù)的倍角公式、正弦函數(shù)的圖象

2.命題規(guī)律及備考策略

【備考策略】

三角恒等變換的“4大策略”

⑴常值代換：特別是“1”的代換，I=sin2e+cos28=tan45。等.

(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2ot+2cos2a=(sin2(x+cos2a)+cos2a,Q=(Q一夕)+夕等.

(3)降暴與升暴：正用二倍角公式升幕，逆用二倍角公式降暴.

(4)弦、切互化：一般是切化弦.

12.考點(diǎn)梳理?

一、三角函數(shù)的運(yùn)算

1.同角關(guān)系：sin2a+cos2a=1,^^=tan

cosa

2.誘導(dǎo)公式：在畫+%左￡Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.

2

二、三角恒等變換

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(l)sin(a土尸)=sinacos￡±cosasmP;

(2)cos((z±^)=cos(zcos■干sinasmp;

g、z,nxtana±tan￡

(3)tan(a±￡)=-------------J

1+tanatan0

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa;

(2)cosla—cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2(z;

(3)tan2a=用吸.

1-tan2(x

知識(shí)講解

考點(diǎn)一.三角函數(shù)的周期性

中典例引領(lǐng)

1.(2024?靜安區(qū)二模)函數(shù)y=2siiu-cosx(xGR)的最小正周期為()

37171

A.2KB.TIC.—D.一

22

【分析】先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式即可求解.

21

【解答】解：因?yàn)榇?2sinx-cosx=遮(-^=sinx—T=COSX)

V5V5

=V5sin(x-<p),tancp=q,

根據(jù)周期公式可得r=2ir.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024?奉賢區(qū)三模)函數(shù)了=sinx+2cosx的最小正周期為2TT.

【分析】先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式即可求解.

【解答】解：j=sinx+2cosx=V5sin(x+<p),其中tan(p=2,

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的最小正周期為21T.

故答案為：2n.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

即時(shí)檢測(cè)

I______________________

3.(2024?普陀區(qū)校級(jí)三模)函數(shù)/(x)=sin(3x+(p)(3>0,0<(p<n),設(shè)7為/(x)的最小正周期,

若/（,）=￥，則隼=—

【分析】由7=呼，代入函數(shù)解析式中，結(jié)合0＜隼＜冗，可得（P的值.

2TT

【解答】解：函數(shù)/（x）=sin（o）x+（p）（a）＞0,0＜（p＜n）,最小正周期7=不，

由/（4）=sin（a）x詬+0）=三，

+w）=coscp=?，

又OVcpVn,可得0="

71

故答案為：

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）函數(shù)y=sinxcosx的最小正周期是TT.

【分析】把函數(shù)y=sinxco改化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后求出它的最小正周期.

一1

【解答】解：函數(shù)y=sinrcosx=^sinZx,

它的最小正周期是：-y=TT.

故答案為：IT.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)二.函數(shù)v=Asin（cox+s）的圖象變換

典例引領(lǐng)

5.（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）要得到函數(shù)y=2cos（久-倉）的圖象，只需將函數(shù)y=2s譏★的圖象上所有的

點(diǎn)（）

1TT

A.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腅倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)五個(gè)單位長度

71

B.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)五個(gè)單位長度

157r

c.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模荼叮v坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)運(yùn)個(gè)單位長度

57r

D.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)運(yùn)個(gè)單位長度

【分析】直接利用三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換求出結(jié)果.

【解答】解：要得到函數(shù)y=2cosO-金）的圖象，只需將函數(shù)y=2s譏*的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>

原來的和（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=2sinx的圖象，再向右平行移動(dòng)工個(gè)單位長度得到y(tǒng)=2s譏（x+修）=

2.cos（x—告■）的圖象.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，主要考查學(xué)生運(yùn)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

6.（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）將函數(shù)/（x）=sin（3x+g）（（o＞0）的圖像向左平移5個(gè)單位長度后得到

曲線C,若C關(guān)于了軸對(duì)稱，則3的最小值是（）

1111

A.—B.-C.-D.一

6432

【分析】由題意，利用函數(shù)了=然畝（3x+（p）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得3的最小

值.

【解答】解：將函數(shù)/（%）=sin（a）x+|77_）（a）＞0）的圖__像向左平移5TT個(gè)單位長度后得到曲線C,

則。對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=sin（o）x+等+號(hào)），

的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，，二■+彳=加+今左EZ,

23乙

1

即co=2左+可，左EZ,

則令左=0,可得3的最小值是:，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y=/sin（3X+（P）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

即時(shí)檢測(cè)

1------------------__________________

1

7.（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）將函數(shù)f（x）=s譏（x-看n）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標(biāo)不變，

n

再將其圖象上的所有點(diǎn)向左平移隼個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，則隼的值可以為—百

（答案不唯一）.（寫出一個(gè)符合要求的答案即可）

【分析】由正弦型函數(shù)的平移與伸縮變換可得變換后的函數(shù)為9。）=sin（2x+2s-3），再利用正弦型

函數(shù)的對(duì)稱性求中的值即可.

【解答】解：將正弦函數(shù)/㈤=sW%—看）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?得到y(tǒng)=s譏（2%-看），

再將其圖象上的所有點(diǎn)向左平移cp個(gè)單位得到函數(shù)g（%）=sin[2（x+0）-看]=sin（2x+2（p一卷）的圖象,

又函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于》軸對(duì)稱，

則2（p—看=kn+.keZ,即0=.-Z,

TC

故＜p的值可以為5（答案不唯一）.

71

故答案為：-（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象變化的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)函數(shù)/(x)=sin-看)+sin(u)x-^),其中0〈a)V3,已知/總)

=0.

(I)求3;

(II)將函數(shù)>=/(%)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左

平移3個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(%)在［―a手］上的最小值.

444

【分析】(I)利用三角恒等變換化函數(shù)/(X)為正弦型函數(shù)，根據(jù)/(看)=0求出3的值；

(II)寫出/G)解析式，利用平移法則寫出g(x)的解析式，求出-半彳］時(shí)g(x)的最小值.

【解答】解：(I)函數(shù)/(x)=sin(3%-看)+sin(cox-5)

717171

=sino)xcos——cosooxsin——sin(——o)x)

662

V53

=-^-sincox—^cosoox

=V3sin(o)x一金,

ITi—TTTT

又/(一)=V3sin(-可)=0,

663

TTJI

o)--y左EZ,

6$

解得o)=6左+2,

又0<o)V3,

.*.o)=2；

(II)由(I)知，f(x)=V3sin(2x—5),

J3

將函數(shù)y=/(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=gsin(x-0

的圖象；

再將得到的圖象向左平移%單位，得到〉=Bsin的圖象，

...函數(shù)y=g(x)=V3sin(x-金)；

*ur兀37r1.nit2%

當(dāng)為日一17］f時(shí)H，x—適曰一my］,

sin(x-Y2)G［-1］>

.?.當(dāng)x=—押，g(x)取得最小值是—苧xb=—/

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換與正弦型函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是中檔題.

考點(diǎn)三.由v=Asin(3X+<P)的部分圖象確定其解析式

典例引領(lǐng)

9.(2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬)將函數(shù)/(%)=s譏(3%+0)(3〉0,101V])的圖像向左平移9個(gè)單位長度得到

71TT

函數(shù)g(X)的圖象，如圖所示，圖中陰影部分的面積為；，則隼

26

【分析】結(jié)合正弦型函數(shù)圖象的對(duì)稱性與割補(bǔ)法，可知陰影部分是一個(gè)長為2,寬為。的矩形，從而可得

0=1根據(jù)T=M求得3的值，再代入點(diǎn)邑1)，即可得解.

【解答】解：根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，陰影部分是一個(gè)長為2,寬為。的矩形，

所以29=*即6=?

1TT

所以即

所以3=竿=《=2,f(x)=sin(2x+<p),

將點(diǎn)(7-1)代入/(x)的解析中，有l(wèi)=sin(2?7+<P)，則三+隼=另2右T,任Z,

所以叩=石+2后T,左ez,

因?yàn)樗?lt;p=看.

7T

故答案為：

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的對(duì)稱性，理解3,<p的幾何意義是解題的

關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.(2024?長寧區(qū)二模)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)/(x)=sin(3x+(p)(3>0)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖

像時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

7T

o)x+(p07137r2Tl

2T

XA7157127r117T

612312

sin(a)x+(p)01△-10

(1)請(qǐng)?jiān)诖痤}卷上將上表△處的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)y=/G)的解析式；

(2)設(shè)3=1,(p-0,g(x)-/2(x)+-x)(xG[0,^]),求函數(shù)y=g(x)的值域.

【分析】(1)先求出3,中，即可得函數(shù)解析式，再由五點(diǎn)作圖法可將表格補(bǔ)充完整;

(2)求出g(x)解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)值域.

【解答】解：(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得7=2(第一￡)=n=穹，

363

.?.(0=2,

X2xJ+(p=

..隼=不，

...函數(shù)的解析式為/(x)=sin⑵+看)，

令2x+看=0,解得x=-

_,口571

可得=sinTT=0,

12

數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：

7T

(A)x+(p0IT37r2n

2T

X7T7T57r27T117T

-12

612312

sin(a)x+(p)010-10

(2)若a)=l,(p=0,則/(%)=sinx,

C冗

g(x)=?(x)+f(x)f(—―x)

.27T

sin'x+sinxsin(—―x)

2

=sin2x+sinxcosx

l-cos2x,1..

=-----2------1-2sm^x

42.7t.,1s7rl

=-^-sm(2x—4)+彳

.??2x一江[一￡坐I，sin(2x—*)€乎，1],

V2+1

??.g(x)e[0,2].

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查五點(diǎn)作圖法，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

即時(shí)檢測(cè)

{____________________

11.(2024?浦東新區(qū)三模)已知/(x)=2sin(3x+(p),其中3>0,|(p|V今

(1)若隼=?函數(shù)V=/(x)的最小正周期T為4TT,求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)的部分圖像如圖所示，其中易?品=12,。(0,-V3),求函數(shù)的最小正周期T,

【分析】(1)由周期公式求出3,可得/(X)解析式，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；

(2)由題意可得T力力T。=一T年2+16,結(jié)合已知條件求出周期7,從而求出3,將。(0,-b_)代入/G)

解析式中，結(jié)合叩的取值范圍可得隼的值，從而可得/(x)的解析式.

【解答】解：(1)若隼=?函數(shù)尸/(x)的最小正周期7為4死

則T=空=4兀，解得3=i,

(x)Z

故/(%)=2s譏(8+今).

令2kji++2/CTT+(kCZ),

解得2—2"(左EZ),

解得單調(diào)減區(qū)間為［4/CTT4々兀+苧］(k￡Z).

TT

(2)由題可得%4—%B=2，xc~XA=~2f為->8=4,yc~yA=4

則AB=(—*,-4),ZC=G，-4),

TTT2

因止匕48,AC=——F16,

又6?AC=12,得T=4.

由T=—=4,得3=y.

COz

再將D(0,—舊)代入y=/(x),BP2sin<p=-V3.

由1如<*,解得0=_*

因此y=/(x)的解析式為/(x)=2sin(^x-^).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由y=Nsin(3x+(p)的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

12.(2024?松江區(qū)二模)設(shè)/(x)=sin?當(dāng)x+V^cos與xs出當(dāng)久(3〉0),函數(shù)y=/(x)圖像的兩條相鄰對(duì)稱

軸之間的距離為TT.

(1)求函數(shù)>=/(X)的解析式；

(2)在△/8C中，設(shè)角/、8及C所對(duì)邊的邊長分別為°、6及c,若a=B,b=近,/⑷=措，求

角C.

【分析】(1)先對(duì)函數(shù)化簡，然后由函數(shù)y=/(x)圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為m可求周期，進(jìn)

而可求3,即可求解函數(shù)解析式；

(2)先由己知求出力,結(jié)合正弦定理求出2,然后結(jié)合三角形內(nèi)角和即可求解C.

【解答】解：f(x)=sin2-^-+正s譏與cos半

_V3.1,1

=SlTL(x)X—COSOOX+2

./兀、

=SITlyCOX-6)+?彳1

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為m

所以T=2TT,

27r

所以一=271,得3=1,

0)

所以/(%)=—著)+

(2)由f(4)=3，得/(/)=si"/一看)+}="!■,

所以si7i(Z—召)=1，

因?yàn)榱(0,n),貝!)4—注[―看，等]，

所以4—看=￡解得4=票

因?yàn)镼=V3,b=V2,

由正弦定理得二三=-y——Tn=得sinB=孚，

sinAsinBsm-sinB乙

因?yàn)镼>6,所以56(0,J),

所以B=$

TT

C=TC—A—B=j-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式，輔助角公式在三角化簡中的應(yīng)用，還考查了正弦定理在求解三角

形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

考點(diǎn)四.三角函數(shù)的最值

中典例引領(lǐng)

13.(2024?崇明區(qū)二模)設(shè)函數(shù)/(久)=s譏(久―看)，若對(duì)于任意ae[—等，—%在區(qū)間[0,〃”上總存

在唯一確定的仇使得/(a)+f(P)=0，則加的最小值為()

717177r

A.-B.-C.—D.n

626

【分析】由三角函數(shù)圖象的單調(diào)性得：因?yàn)閚>)=sin(xY),xe[—普，—芻，所以xYe[—兀，—爭,

所以f(x)G[—0],即f(a)G[—0],

由三角函數(shù)的最值得：在區(qū)間[0,加]上總存在唯一確定的B，使得/(a)tA(B)=0，則在區(qū)間[0，團(tuán)

上總存在唯一確定的B，使得y(B)G[0,y],由函數(shù)/(x)在[0,爭為增函數(shù)，值域?yàn)椋篬-表1],又

TC7TTT7T

f(-)=sin—=—,即論2，故冽的最小值為：萬，得解.

【解答】解：因?yàn)?(%)=sin?！?，x6[——芻，

所以X—看€[—兀，—?

所以f(工)可―0],即/(a)6[--^-90],

由在區(qū)間[0,河上總存在唯一確定的仇使得了(a)=0，

則在區(qū)間[0,河上總存在唯一確定的B，使得/(B)e[0,y],

27r[TCTC\3

由函數(shù)/(x)在[0,；為增函數(shù)，值域?yàn)椋篒-亍1],又f(3)=sin-=—,

3乙，32

TTTC

即冽之亍故冽的最小值為：—,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)圖象的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值，屬中檔題.

14.(2024?嘉定區(qū)二模)已知〃久)=熹+熹，xe(0,y),則函數(shù)y=/(x)的最小值為4a.

oLItJLCL/OA.乙

【分析】t=sinx+cosx=&sin(x+a)，可求f的范圍，然后結(jié)合同角基本關(guān)系對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡，然

后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【解答】解：因?yàn)?x)='+加=2(霓展廣),

令，=sinx+cosx=V^sin(x+亨)，

因?yàn)镺VxV貨

7T7137r

所以T<x+7<—?

444

,V27T

所以kVs譏(％+-)<1,

L4

故1vt<VL

由，=sinx+cosx可得,Z2=l+2sinxcosx,

貝!Jsinxcosx=~2~

2t4t4

原函數(shù)可化為g⑺一目一F'

2

1

因?yàn)椋?:一/在(1,魚]上單調(diào)遞增,

L1V2L

故勺魚時(shí)，尸f-鈍得最大值于此時(shí)g⑺取得最小值4&

故答案為：4vL

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角基本關(guān)系，輔助角公式的應(yīng)用，還考查了函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)最值求解中的

應(yīng)用，屬于中檔題.

即時(shí)校L

15.（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知a>0,若函數(shù)/（x）=sinx-acosx的最大值為2,則a=_V5_.

【分析】由輔助角公式得函數(shù)最大值，進(jìn)而列方程即可求解.

【解答】解：由題意/（x）=sinx—acosx=Va?+lsbi（尤一cp）,其中coscp=，sin（p=.

Va2+1Va2+l

所以/'（x）max=Va2+1=2,

因?yàn)閍>0,所以a=國.

故答案為：V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能

力，屬于中檔題.

16.（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）記函數(shù)y=4s譏（2x+專）在［如t+制上的最大值為M,最小值為機(jī)”則

當(dāng)怎R時(shí)，Mt-儂的最小值為_4-2V3_.

1

［分析】求出函數(shù)的最小正周期，得到t+g-t=看為最小正周期的/數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)［t,t+看關(guān)于y=

4s譏（2支+導(dǎo)）的某條對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)M-電取得最小值，不妨令跖=4,得到khr,任Z,恤=2同得

到答案.

【解答】解：y=4s譏（2x+￡）的最小正周期7=竽=兀，

由于t+裝T屋，為最小正周期的，，

要想跖-如取得最小值，則y=4s譏（2支+引在［t,t+看］上不單調(diào)，

由對(duì)稱性可知，當(dāng)［t,t+?關(guān)于y=4s譏（2x+寺）的某條對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，

71

/=——r兀

Mt~如取得取小值，其對(duì)稱軸為一--=t+—,

所以當(dāng)％=t+今時(shí)，y=4sin（2%+號(hào)）取得最值±4,

不妨令跖=4,則4s譏（2力+看+.）=4,解得￡=而,kEZ,

故7nt=4sin（2t+.）=4sin（2kn+.）=2V3,

故Mt-mt的最小值為4一2V3.

故答案為：4-2V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬中檔題.

考點(diǎn)五.兩角和與差的三角函數(shù)

卡“典例引領(lǐng)

7T

17.（2024?長寧區(qū)校級(jí)三模）若函數(shù)f（%）=as譏X-V^cos%的一個(gè)零點(diǎn)是石，則函數(shù)歹=/（x）的最大值為

2.

【分析】由兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

7T

【解答】解：函數(shù)/（久）=asinx-V^cosx的一個(gè)零點(diǎn)是

,V3V3

則n5"。一'7=0，

即a—1,

BP/（x）=sinx—43cosx—2sin（x—，）,

則/（x）e[-2,2],

則函數(shù)y=/（x）的最大值為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.

18.（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）若86（0,5），cosd=則cos（8+方）=——竽一

【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系得sin。=孥，再結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得到答案.

【解答】解：8€（0,,cosd=g，sind=J1—（.）2=cos（8+與）=—siti9=—

故答案為：—

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7T1

19.（2024?寶山區(qū)二模）已知tana=3,則—彳）

4—2―

【分析】由已知結(jié)合兩角差的正切公式進(jìn)行化簡即可求解.

【解答】解：因?yàn)閠ana=3,

百萬四/vm，"7r、一tana~1-3_1_1

所以彼九（仇-4）-耳說五-1+3-2-

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）已知+苧）=一半則tanS=-5.

【分析】根據(jù)兩角和的正切公式可求出結(jié)果.

■一—一、，57rtan3+tan^tanBA-12

【解答】解：因?yàn)槔牛?+苧）=；——--&=罌*=一*

4l—tan0-tan^-1—tanU3

所以tan0=-5.

故答案為：-5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)六.二倍角的三角函數(shù)

典例引領(lǐng)

17

21.（2024?楊浦區(qū)二模）已知sina=a，則cos2a=9.

J9

【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為關(guān)于sina的式子，將sina的值代入即可求出值.

【解答】解：因?yàn)閟inaj

所以cos2a=l-2sin2a=1-2x（2）2=g.

7

故答案為：--

【點(diǎn)評(píng)】通常，在高考題中，三角函數(shù)多會(huì)以解答題的形式出現(xiàn)在第一個(gè)解答題的位置，是基礎(chǔ)分值的

題目，學(xué)生在解答三角函數(shù)問題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)，會(huì)而不對(duì)的狀況.所以，在平時(shí)練習(xí)時(shí)，既要熟練掌

握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，又要在解答時(shí)考慮更為全面.這樣才能熟練駕馭三角函數(shù)題.

21

22.（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）若siirr=-a，貝1]cos2x=_^_.

【分析】由已知利用二倍角公式化簡所求即可計(jì)算得解.

【解答】解：?.?siiix=-w，

21

cos2x=1-2sin2x=1-2X（一亍）2=

□v

,,1

故r答案為：--

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

即

37

23.（2024?虹口區(qū)二模）若sinx=-1,貝!Icos2x=__^_.

D25

【分析】根據(jù)二倍角公式求解即可.

【解答】解:因?yàn)閟3=-|,

D7

所以cos2x=l-2sin2x=l-2x(--g-)2=國.

7

故選：25,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

24.(2024?虹口區(qū)模擬)若tan9=2,貝ijtan2e=——t

【分析】由題意利用二倍角的正切公式即可求解.

【解答】解：因?yàn)閠an0=2,

2tan6_4

所以tcm28=

1—tarfl63,

故答案為：-*

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角的正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)七.三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

典例引領(lǐng)

25.(2024?閔行區(qū)三模)對(duì)于函數(shù)f(%)=gsi7i%cos%+s譏2%—今給出下列結(jié)論：

(1)函數(shù)y=/G)的圖像關(guān)于點(diǎn)(揩，0)對(duì)稱；

(2)函數(shù)尸/G)在區(qū)間吟，的上的值域?yàn)椋垡话?］；

TC

(3)將函數(shù)y=/(x)的圖像向左平移百個(gè)單位長度得到函數(shù)＞=-cos2x的圖像；

(4)曲線y=/(x)在久=軟的切線的斜率為1.

則所有正確的結(jié)論是()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(3)

【分析】由三角恒等變化得/(x)=sin⑵―3)，

對(duì)于(1),驗(yàn)證工)=0是否成立即可；

對(duì)于(2),由三角函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的值域即可；

對(duì)于(3),由函數(shù)的平移及誘導(dǎo)公式即可判斷；

對(duì)于(4),驗(yàn)證/(彳)=1即可.

【解答】解：因?yàn)?(%)=Hs譏xcosx+sin?久一去=孚疝12了一■|cos2x=sin(2x—卷),

57r57rTC2TFA/3C

(1)因?yàn)?(77)=sin(---)=sin—=—^=0,所以函數(shù)》=/(x)的圖像不關(guān)于點(diǎn)(yy,0)對(duì)稱,

lz663Z工乙

故錯(cuò)誤；

IT27rrrIT7lT,Jr1,,__.

(2)當(dāng)t時(shí)，2x—薩［9—］，所以sin(2x—石)日一］,1］，故正確；

(3)將函數(shù)(x)的圖像向左平移9個(gè)單位長度得尸sin[2(x+號(hào))-^]=sin⑵+掾)=cos2x,故

錯(cuò)誤；

(4)因?yàn)?'(x)=sin(2x—，，所以，(x)=2cos(2x—專)，所以/(J—2cos(———)=2sin—=1,

即曲線y=/(x)在x=*處的切線的斜率為1,故正確.

故說法正確的有(2)、(4).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變化、三角函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

26.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模)已知函數(shù)/(比)=4(s譏2乂—cos?久)-V^sinxcos(7r—

(1)求/G)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)己知△/8C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且/'(紅今)=孚，b=2c—g,求角2的

大小.

【分析】(1)利用二倍角公式，輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

(2)由已知先求出力,然后結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡即可求解反

【解答】解：(1)由題意得，/(x)——^-cos2x+y[3sinxcosx-^-sin2x—^-cos2x-sin(2x—

令-2+2.ku42.x—G<2+2kir,keZ,得一石+ku<％<可+kukEz,

所以/(工)的單調(diào)遞增區(qū)間為[—卷+%加,+kn](fc6Z)；

(2)由(1)知f(?+*)=si7i(4+3)=又(0,n),

所以4+可6(可，-2-),

所以4=等

由正弦定理及b=2c—V2a,得sinB=2sinC-42sinA,

貝!JsinB=2s譏(竽-B)一字=V3cos5+sin5—手，

整理得cosB=?，

277

又Be(0,-g-),

所以B=S

4,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式，和差角公式及輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,

正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

即時(shí)檢測(cè)

1

27.(2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)/(%)=sinxcos%-sin?%+于

(I)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)在△NBC中，a,b,c為角4,B,。的對(duì)邊，且滿足6cos2/=bcoM-asinB,且0<54V*求角

力的值，進(jìn)而再求/(3)的取值范圍.

【分析】(I)首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用

整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(II)首先利用正弦定理求出相應(yīng)的角，進(jìn)一步利用三角函數(shù)的關(guān)系式求出結(jié)果.

111

【解答】解：(I)由題知/(%)=譏2久一^(l-cos2%)+之，

11^^27171

=-^sin2x+,cos2%=~Y(sin2xcos-^^cos2xsin-^)

—~2~siYi(2.x+4)，

由2/CTT-242%+442klr+-2(左EZ),

解得Icn:-<x<kji+不

所以/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為即―等，fcTT+g］(Z：GZ).

(II)由正弦定理得sin5cos2/=sinScos/-siiL4sin5,

因?yàn)樵谌切沃?<5VTT,所以sin5WO,

所以cos2A=cosA-sinA,即cos?4-sin2^=cos^-sirU,

所以(cosZ-sirU)(cos4+siih4-1)=0,

當(dāng)cos/=siih4時(shí)，

A71

A=T

當(dāng)cosZ+siM=1時(shí)，

A71

A=2-

由于0<C4喘，

所以

則8+。=?兀.

則0<B<^n.

一7T7177r

又了<2B+-<—,

444

所以—14SITI(2B+?)W1.

q

由f(B)=辛s譏(2B+*),

則的取值范圍是［一字.芋］.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)

用.

28.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)/(x)=cos2x-2sin2x-1.

(1)當(dāng)x€[0,TT]時(shí)，求/(x)的增區(qū)間；

(2)在△/8C中，角/所對(duì)邊角3所對(duì)邊6=5,若/(/)=-1,求△48。的面積.

【分析】(1)利用二倍角公式得到/(x)=2cos2x-2,利用換元法求出單增區(qū)間；

(2)先求出力=看利用余弦定理求出c,即可求出三角形的面積.

【解答】解：(1)f(x)=cos2x?2sin2x-1=2cos2x-2,

令t=2x,則由x€[0,TT],可得始[0,2TT],

因?yàn)閥=cosf在怎[n,2n]單調(diào)遞增，

所以/'(x)=2cos2x-2在％e[￡,兀]上單調(diào)遞增，

即/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為g,捫；

(2)由/(/)=-1,可得cos24=',

因?yàn)?0,TT),所以2/6(0,2TT),故2/=?；?/=等

當(dāng)24=苧時(shí)，A=^,

因?yàn)閍=g,b=5,則所以

即B＞里,不符合三角形內(nèi)角和定理，舍去，

O

所以在△45C中，24=某即2屋，

由余弦定理及4=看，a=V13/b=5可得：

a2=b2+c2-2bccosA,即13=25+，一2x5xcX字，

解得c=遮或c=4V3,

當(dāng)。=舊時(shí)，S^ABC--^bcsinA=*x5xV3x

當(dāng)C=時(shí)，S4ABC=2^CS^n^=2x5X4V3X2=5V3,

r

所以△4SC的面積為一:一或5V3.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查解三角形，屬中檔題.

.好題沖關(guān)

A基礎(chǔ)過關(guān)

一.選擇題(共3小題)

1.(2024?黃浦區(qū)二模)函數(shù)y=1-2852(了一()是()

A.最小正周期為九的奇函數(shù)B.最小正周期為萬的偶函數(shù)

C.最小正周期為工的奇函數(shù)D.最小正周期為工的偶函數(shù)

22

【分析】利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性和周期性，得出結(jié)論.

【解答】解：,函數(shù)y=1-2cos2(%-?)=-cos(2x-g=-sin2x,

故該函數(shù)的為奇函數(shù)，且最小正周期為主=%，

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.

_jr-rr

2.(2024?閔行區(qū)二模)已知〃x)=sinx,集合。=[-5,5],「={(x,y)|2/(x)+/(y)=0,x,yeD},

Q={(x,J)|2/(X)+/(J)^,x,yeD].

關(guān)于下列兩個(gè)命題的判斷，說法正確的是()

命題①：集合「表示的平面圖形是中心對(duì)稱圖形

命題②：集合。表示的平面圖形的面積不大于”

12

A.①真命題；②假命題B.①假命題；②真命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、判斷命題①，再結(jié)合對(duì)稱性計(jì)算陰影部分的面積判斷命題②.

【解答】解：對(duì)于①，/(x)=sinx,集合D=顯然該函數(shù)為奇函數(shù)，所以/(x),/⑺都是奇函

數(shù)，

則曲線2/(x)+/(y)=0必關(guān)于(0,0)對(duì)稱，即集合T表示的平面圖形是中心對(duì)稱圖形，①正確；

對(duì)于②，如圖：

2s2

陰影部分是由x=土工與y=土生圍成的正方形的一半，故面積為二>工，②錯(cuò)誤.

22212

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性，屬于中檔題.

3.(2024?虹口區(qū)二模)設(shè)/(x)=sin2x+gcos2x,將函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸向右平移三個(gè)單位，得

6

到函數(shù)y=g(x)的圖像，貝!1()

A.函數(shù)〉=g(x)是偶函數(shù)

B.函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱

C.函數(shù)y=g(x)在[&,芻上是嚴(yán)格增函數(shù)

42

D.函數(shù)y=g(x)在匕，朋]上的值域?yàn)閇-行,2]

63

【分析】先確定g(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：/(x)=2sin(2x+-),把函數(shù)/(x)的圖象沿X軸向右平移&個(gè)單位，

36

得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)=2sin[2(x-&)+^]=2sin2x,是奇函數(shù)，/項(xiàng)錯(cuò)誤；

63

當(dāng)2x=左"+即x=^+?/eZ),y=g(x)其圖象關(guān)于直線》=曰+:(左eZ)對(duì)稱，B項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)2左左+9六月左"+日，即左"+乃+今，y=