第2課時垂徑分弦24.2

圓的基本性質(zhì)第24章圓視頻引入點擊視頻開始播放→

趙州橋的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦長)為

37.4m，拱高(弧的中點到弦的距離)為

7.2m，你知道如何求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？垂徑定理及其推論合作探究問題1

在紙上任意畫一個⊙O，沿⊙O的一條直徑將

⊙O折疊，你發(fā)現(xiàn)了什么？O圓是軸對稱圖形，對稱軸是圓所在平面內(nèi)任意一條過圓心的直線.

問題2

已知：如圖，在⊙O

中，CD

是直徑，AB

是弦，且

CD⊥AB，垂足為

E.求證：AE

=EB，

，.證明：連接

OA，OB，則

OA

=OB.∵CD⊥AB，∴OE⊥AB.∴

OE

平分

AB，即

CD

垂直平分

AB．∴點

A

與點

B

關(guān)于直線

CD

對稱.·OABDEC分析：只要能說明⊙O

關(guān)于直線CD對稱，那么所有結(jié)論都能得證.同理，如果點

P

是⊙O

上任意一點，過點

P

作直線

CD

的垂線，與⊙O

相交于另一點

Q，則點

P

與點

Q

也關(guān)于直線

CD

對稱．∴⊙O

關(guān)于直線

CD

對稱.∴

AE

=EB，，.P·OABDECQ垂徑定理·OABCDE

垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的兩條弧.∵CD是

⊙O

的直徑，CD⊥AB，推導(dǎo)格式：溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理，三種語言要會相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運用自如.歸納總結(jié)∴AE=BE，

，想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么.是不是，因為沒有垂直是不是，因為

AB，CD都不是直徑OABCABOEABDCOEABOCDE垂徑定理的幾種基本圖形：ABOCDEABOEDABODCABOC歸納總結(jié)

如果直徑平分弦（不是直徑），那么該直徑垂直于這條弦，且平分這條弦所對的兩條弧嗎？思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑

CD，使

AE=BE.(1)CD⊥AB嗎？為什么？(2)

與

相等嗎？

與

相等嗎？為什么？·OABCDE解：(1)CD⊥AB，理由如下：連接

AO，BO，如圖，則

AO=BO.又∵AE=BE，OE=OE，∴△AOE≌△BOE（SSS）.∴∠AEO=∠BEO=90°，即

CD⊥AB.(2)由垂徑定理可得

=

，

=.垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論·OABCD歸納總結(jié)特別提醒1.“垂直于弦的直徑”還可以是垂直于弦的半徑或過圓心垂直于弦的直線.其實質(zhì)是：過圓心且垂直于弦的線段、直線均可.2.“兩條弧”是指弦所對的劣弧和優(yōu)弧或兩個半圓.例

1

如圖，⊙O的半徑為

5cm，弦

AB為6cm，求圓心O到弦

AB的距離.·OABE解：連接

OA，過

O作OE⊥AB于

E，則又∵OA

=

5

cm，∴在

Rt△OEA

中，垂徑定理及其推論的計算典例精析答：圓心到弦

AB的距離是4cm.圓心到弦的距離叫做弦心距【變式題】如圖，OE⊥AB于

E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則

AB=

cm.·OABE解析：連接

OA，如圖.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=2×8=16（cm）.16∴例2

如圖，⊙O的弦

AB=8cm，直徑

CE⊥AB于

D，DC=2cm，求半徑

OC的長.·OABECD解：連接

OA．∵

CE⊥AB于

D，∴設(shè)OC=xcm，則

OD=(x－2)cm.根據(jù)勾股定理，得解得x=5.即半徑

OC的長為5cm.x2=42+(x－2)2，例3已知：⊙O中弦

AB∥CD，求證：=..MCDABON證明：作直徑MN⊥AB，如圖.∵

AB∥CD，∴

MN⊥CD.則=，=.（垂直平分弦的直徑平分弦所對的?。啵?－.∴=.

解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，并構(gòu)造半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.歸納總結(jié)例4

趙州橋的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦長)為37.4m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，求趙州橋主橋拱的半徑.垂徑定理的實際應(yīng)用由垂徑定理，得

AD=AB=18.7m，設(shè)⊙O的半徑為

R.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7.由勾股定理，得ABOCD解得R≈27.9.即趙州橋主橋拱的半徑約為27.9m.∴R2=(R

-

7.2)2

+18.72，解：如圖，過橋拱所在圓的圓心

O作

AB的垂線，交

于點

C，交

AB于點

D，則

CD=7.2m.練一練：如圖

a、b，一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為

7cm，則弓形的高為＿___＿＿____.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或

12cm

在圓中解決有關(guān)弦長

a，半徑

r，弦心距

d(圓心到弦的距離)，弓形高

h的計算問題時，常常通過連半徑或作弦的垂線段構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.垂徑定理中常見輔助線的添法弦長

a，弦心距

d，弓形高

h，半徑

r之間的關(guān)系：弓形中的重要數(shù)量關(guān)系d+h=r

OABC·歸納總結(jié)ABCDOhrd1.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圓心到

AB

的距離為

3cm，則此圓的半徑為

cm.52.已知⊙O的直徑

AB=20cm，∠BAC=30°，則弦AC=

cm.

3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為

10cm，弦

MN∥EF，且

MN=12cm，EF=16cm，則弦

MN和

EF之間的距離為

cm.14或2練習(xí)4.判斷正誤：（1）垂直于弦的直徑平分這條弦。（）（2）平分弦的直徑垂直于這條弦。（）（3）弦的垂直平分弦必過圓心。（）（4）平分弦所對弧的直徑垂直于這條弦。（）√練習(xí)√√√5.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于

D，OE⊥AC于

E，求證：四邊形

ADOE是正方形．D·OABCE證明：∵∴四邊形

ADOE為矩形，又∵

AC=AB，∴AE=AD.∴四邊形

ADOE為正方形.∴

6.如圖，在以

O

為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦

AB

交小圓于

C，D

兩點.你認(rèn)為

AC和

BD

相等嗎？為什么？解：AC=BD.理由如下：

過點

O作

OE⊥AB，垂足為

E.則

AE=BE，CE

=

DE.∴AE－CE=BE－DE，

即

AC=BD..ACDBOE方法總結(jié)：解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑．解：連接

OC，如圖.

●

OCDEF┗根據(jù)勾股定理，得7.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中的

，點

O是

的圓心)，其中

CD=600m，E為

上的一點，且

OE⊥CD，垂足為

F，EF=90m.求這段彎路的半徑.設(shè)這段彎路的半徑為

Rm，則

OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=300(m).

●

OCDEF┗解得

R=545.∴這段彎路的半徑約為

545m.∴8.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中的

，點

O是

的圓心)，其中

CD=600m，E為

上的一點，且

OE⊥CD，垂足為

F，EF=90m.求這段彎路的半徑.拓展提升：9.如圖，⊙O的直徑為

10，弦

AB=8，P為

AB上