數(shù)列綜合大題歸類：求和，放縮不等式（16題型提分練）

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目錄

題型一：分組求和：公式法........................................................................1

題型二：分組求和：奇偶分段型....................................................................3

題型三：分組求和：正負相間型....................................................................5

題型四：倒序求和型..............................................................................7

題型五：裂項相消1：函數(shù)型......................................................................9

題型六：裂項相消2：指數(shù)型.....................................................................12

題型七：裂項相消3：無理根號型.................................................................14

題型八：裂項相消4：分子分母齊次分離型.........................................................17

題型九：裂項相消5：等差指數(shù)混合型.............................................................20

題型十：裂項相消6：正負相間裂和型.............................................................22

題型十一：裂項相消7：三角函數(shù)型...............................................................26

題型十二：裂項型證明數(shù)列不等式.................................................................28

題型十三：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明.............................................................30

題型十四：先求和再放縮證明數(shù)列不等式..........................................................35

題型十五：先放縮再求和證明數(shù)列不等式...........................................................39

題型十六：利用導數(shù)不等式證明數(shù)列不等式........................................................43

^突圍?檐誰蝗分

題型一：分組求和：公式法

指I點I迷I津

等差等比求和是求和的基礎。等差等比求和公式：

等差：前幾項和公式：S=na-\-------d=--------.

nr22

na\yq—1,

等比：前〃項和公式：4"）arm

1.(23-24高三?河北唐山,模擬)已知數(shù)列｛?！埃?%=&=1，見+2-5%+1+6?！?0.

⑴證明:數(shù)列｛*-2/｝,｛--3%｝為等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑶求數(shù)列｛%｝的前"項和S”.

a”a

【答案】⑴證明見解析(2)%=2"-3"一(3)5?=2"+1----

22

【分析】(1)根據已知條件得到%+2-2%=3(%+1-2%),%+2-3?！?]=2(%-3%),即可證明答案.

\a^,-2a=一3"1

(2)根據題意得到向，"、「再解方程組即可.

=一2?2

(3)利用分組求和的方法求解即可.

【詳解】(1)因為％=。2=1，%+2-5%+1+6。"=0,

所以。"+2-2%+1=3(%+「2%),a,1+2-3a,1+1=2(a?+1-3a?).

而出-2%=-120,%-3。1=-2/0,所以凡+1-2。“片0,%用-3?！捌?,

號匚要=3,7日言”=2.所以數(shù)列｛4+「20”｝是以首項一1,公比為3的等比數(shù)列.

數(shù)列｛。角-3%｝是以首項一2,公比為2的等比數(shù)列.

(2)由⑴知：上%=2”一3。

(3)因為%=2"-3"一，所以S"=2J22+…+2"-(3°+3J…+3"T)=^!Z￡1_1Z21=2"+二之一工

1-21-322

2.(2024?山東,二模)已知數(shù)列｛%｝,也｝中，q=4,4=一2,｛4｝是公差為1的等差數(shù)歹lj,數(shù)列｛%,+，｝

是公比為2的等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列也｝的通項公式；

(2)求數(shù)列也｝的前〃項和..

【答案】(1也=2"-〃一3(2)7；=2"+1-y-y-2

【分析】(1)先根據題意及等差數(shù)列的通項公式計算出數(shù)列也,｝的通項公式，再根據等比數(shù)列的通項公式計

算出數(shù)列｛%+4｝的通項公式，即可計算出數(shù)列｛b?｝的通項公式；

(2)根據數(shù)列也,｝的通項公式的特點運用分組求和法，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可計算出前"

項和4.

【詳解】(1)由題意，可得%=4+(〃-l)xl=〃+3,

故%=〃+3,nGN*,

???數(shù)列｛??+6“｝是公比為2的等比數(shù)列,且％+4=4-2=2,，%。=2.2~=2”,

「.〃=2〃一%=2〃一〃一3,HGN*.

(2)由題意及(1),可得:=2"-(力+3),則(=4+4+^---卜b〃

=(21-4)+(22-5)+(23-6)+-??+[2n~(n+3)]=(2!+22+23+---+2w)-[4+5+6+---+(n+3)]

2(1—2")(〃+7)〃+in27n

=------------=2---------2.

1-2222

3.(23-24高三?重慶九龍坡?模擬)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為%且滿足％=-2,邑=0.

⑴求數(shù)列｛g｝的通項公式；

(2)設〃=aj+3會求數(shù)列也｝的前n項和T?.

9〃-1

(1)??=4M-6(2)?(2H-4)+^-

【分析】(1)利用等差數(shù)列的概念計算公差，再求通項即可；

(2)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，分組求和計算即可.

【詳解】(1)由題意可知$2=%+。2=-2+%=0,所以。2=2,

設｛叫的公差為d,則4=。2-q=4,所以％=-2+(〃一l)x4=4〃-6；

(2)由題意知，a=%+32-3,

易知%+%+…+。“="2—―=2n2-4M,

故7；=4+4+%+…+“"+31+31+33+???+32"一3="(4+"")+3'(1.9)="(2”—4)+^^.

"123"2]-9v'24

4.(22-23高三?河南鄭州?期中)已知數(shù)列｛%｝的前"項和為%且滿足S,+"=2%("eN*).

(1)求證：數(shù)列｛。0+1｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的前"項和S”.

【答案】⑴證明見解析(2)S"=2"理-"-2

【分析】(1)由S,和%的關系式消去S,得遞推式%=2%-+1,由此構造等比數(shù)列｛%+4；

(2)法一、由(1)求出數(shù)列通項，再分組求和；法二、由(1)求出數(shù)列通項，代入已知式，整理即得.

【詳解】(1)當”=1時，%+1=2%,解得%=1.因S"+"=2a”①，

當〃22時，S,T+(〃-1)=2%②

Q“+1c

①-②得，a?+l=2??-2a?_1,即％=2%+1,貝以+1=2(為_+1),即七寸2,(?>2),又

an-\+1

4Z]+1=2.

所以。+1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

=(2*-l)+(22-l)+(23-l)+---+(2"-1)

=(2'+22+23+---+2")-?

(2)法一、由(1)可得知+1=2-2"T=2",即%=2"-1,

——n=2"+l-n-2

1-2

法二、由(1)可知%+l=22i=2",即%=2"-1,

又由題知：S“+〃=2a“(”eN*).代入可得5"=2%-〃=2"+1-〃-2.

題型二：分組求和：奇偶分段型

指I點I迷I津

分組求和法：

1.形如即=＞（等差）+C〃（等比），用分組求和法，分別求和而后相加減

2.形如a“=b"（等差比）+C”（裂項），用分組求和法，分別求和而后相加減

（b“，c”為可以求和的常見數(shù)列），用分組求和法，分別求和而后相加減

3.形如an=b“+C”,

如果涉及到分段數(shù)列，則.要注意處理好奇偶數(shù)列對應的項:

（1）可構建新數(shù)列；（2）可“跳項”求和

1.（23-24高三?江蘇泰州?模擬）己知等差數(shù)列｛an｝中，q=1,前〃項和為5“，｛e｝為各項均為正數(shù)的等比

數(shù)列，4=2,且白+$2=7,%+4=io.（1）求。“與”；

為奇數(shù)）

（2）定義新數(shù)列｛￡,｝滿足C"=，為偶數(shù)，'(〃eN*),求｛￡,｝前20項的和7M.

【答案】⑴〃也"2"⑵+

【分析】（1）設出公差和公比，根據等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量運算，列出方程組，解之即得數(shù)列通項;

（2）根據數(shù)列｛Q｝的奇偶性特征，運用分組求和法計算與。，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式計算即

得.

【詳解】（1）設數(shù)列｛an｝的公差為d,數(shù)列｛%｝的公比為",

b,+S,=102q+2+d=7d=1,

則由電+；10可得，1+"2才=10'解得:仁2故%=1+(1)="也=2、

為奇數(shù)）

〃￡N'

（2）由（1）得，Cn=?12",（"為偶數(shù)廠

則與0=(G+。3T--卜。19)+(。2+。4T----卜020)=(1+34---1-19)+(22+244---1-220)

10(1+19)4(1-41°)4411_296411

=------1------=1OU---1---=---1--

21-43333

2.（2024?山西?三模）已知等差數(shù)列｛2｝的公差d>0,前”項和為S"，且生&=-5,S8=-16.

⑴求數(shù)列｛七｝的通項公式；

（2）若2=。：,eN）,求數(shù)列也｝的前2”項和耳.

4〃+1_4

【答案】⑴％=2"-11（2）2〃2一1歷+------

【分析】（1）依題意得到關于外、d的方程組，解得《、d,即可求出通項公式;

12〃一11,〃二2左一1/*、

（2）由（1）可得"=L'伏―，利用分組求和法計算可得.

[2,〃=21'7

【詳解】（1）因為%%=-5,$8=-16,

(Q[+2d)+5d)=—5

所以，8x(8-1)6=—9、〃1—5

,解得d=2或

8〃[--------<7=-16d=—2'

1H2

因為4>0,所以則?！?%+(〃-1)"=2〃-11；

a,n=2k-l\2n-l1,n=2k-｝

（2）由（1）可得”=nGN*)

2n,n=2k~[2\n=2k

所以耳=[-9-5-1+3+7+―+(4〃-13)]+(22+24+2<>+~+22")="[-9+(；〃-13)]+」由十4"；一4

3.（23-24高三下?廣東?模擬）已知數(shù)列｛an｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前〃項和為S.，53=3,%,生，

必成等比數(shù)列.

⑴求｛即｝的通項公式；

[a,+3,n=2k,

（2）若"=,：t|,左eN*,求數(shù)列｛^｝的前100項和幾0.

[2",n=2k-I,

【答案】⑴?！?2〃一3⑵幾o=51OO+^^

【分析】（1）根據等差數(shù)列基本量的計算可得公差和首項，即可求解通項，

（2）利用等差等比求和公式，結合分組求和即可求解.

%+%+。3=3,

【詳解】（1）設數(shù)列也?｝的首項為多,公差為d,根據題意得2即

〃3二4206，

%+d=1,

(q+24=(q+d)(q+5d),

解得，?=：L或又因dRO,所以巧=1'.所以｛冊｝的通項公式為。“=2〃一3.

d=2,d=0\a=2

\2n.n~2k,

（2）由（1）得?1左￡N.即數(shù)列｛g｝的偶數(shù)項是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列,

[2,n=2.K+1,

奇數(shù)項是以g為首項，16為公比的等比數(shù)列.

數(shù)列｛g｝的前100項中偶數(shù)項有50項，奇數(shù)項有50項，

數(shù)列｛歷J的前100項和北=bx+b2+b3+...+b99+瓦0.

50QO&+“+保+

|(1-16)22u50x49

+48+狐0=50x4+—-—x4=5100.

4+°3+/+........+°97+b”

1-1630

2200-1

所以小=5100+

30

4.（23-24高三?江蘇鹽城?期末）己知等差數(shù)列｛6｝的首項為1,公差4=2.數(shù)列他,｝為公比4=2的等比數(shù)

列，且為也+3也成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛叫和數(shù)列｛4｝的通項公式；

為奇數(shù)（）

⑵若%=/%屈粕，求數(shù)列%的前2〃項和耳.

也,〃為偶數(shù)

【答案】⑴]“=21,*?=3-2"-1（2）2?2-?-2+22*

【分析】（1）直接根據等差數(shù)列，等比數(shù)列基本量的運算即可得結果；

（2）分為奇數(shù)項和偶數(shù)項結合等差數(shù)列和等比數(shù)列的前〃項和即可得結果.

【詳解】（1）由于等差數(shù)列｛%｝的首項為1,公差d=2

所以%=2"-1,

由數(shù)列｛4｝為公比是2的等比數(shù)列且&也+3A成等差數(shù)列，

知2他+3)=。+”,2(44+3)=24+幽,解得乙=3,所以6,=3?2"T.

12〃-1,“為奇數(shù)q.

⑵由⑴知,十/—為偶數(shù)'耳=1+32+5+3"+…+4〃-3+3?1?

32B-1

7^；i=(1+5+9+---+47J-3)+(3-2+3-2+---+3-2)

〃(1+4〃一3)2(1-4")

=-^----------^+3--^-------L^2n2-n-2+222n+11-

21-4

題型三：分組求和：正負相間型

指I點I迷I津

正負相間求和：

1.奇偶項正負相間型求和，可以兩項結合構成“常數(shù)數(shù)列”。

2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的

奇數(shù)項通項。

1.(24-25高三?全國?練習)已知數(shù)列求數(shù)列｛%｝的前〃項和S”.

二"為偶數(shù)，

2

【答案】S,=

一"+1為奇數(shù).

2

【分析】分奇偶討論，結合分組(并項)求和即可.

【詳解】若"是偶數(shù)，貝|S“=(一1+2)+(-3+4)+(-5+6)+…+[-(〃一+

若n是奇數(shù)，貝1J=(_1+2)+(-3+4)+(_5+6)H---=當n=—丁-

g,"為偶數(shù),

綜上所述，S“=2

-四，〃為奇數(shù).

I2

2.(2023?廣西南寧?模擬預測)已知數(shù)列｛%｝的前"項和為J,5?=^--1，?eN*.

⑴求｛%｝的通項公式；

(2)設“=(log3a“丫，c?=(-1)"+]，求數(shù)列｛g｝的前〃項和北.

【答案】(l)a“=3"(〃eN*)(2)7；=7t^

\n+2)4

【分析】(1)根據“"與S"的關系直接求通項公式即可；

(2)根據(1)中｛冊｝的通項公式得到“=(logs與y=(logs3"丫=〃2,分奇偶討論4并整合即可得到答案.

323

【詳解】(1)由題意，當〃=1時，4=8]=--------=3,

1122

3

當“22時，an=Sn-S,^=Sn=-=3",當”=1時，上式也符合,

所以｛七｝的通項公式為%=3"(〃eN,

⑵由⑴得，。〃=3〃，所以〃=(log3%)2=0og33〃)2=〃2,&=(_])，

(n+1)2(〃+2)

(i)當〃為偶數(shù)時，7；=!---—+…+

n(H+1)(n+1)2(〃+2)(〃+2)4

-11

(Il)當〃為奇數(shù)時，Tn=Tnl-Cnl

++(〃+3)~4(〃+2)(?+3)'(“+2)26

綜上所述,T

n(?+2)24

3.(2024?遼寧沈陽?模擬預測)已知數(shù)列｛氏｝滿足q=1,?！?gt;0,S”是數(shù)列｛為｝的前〃項和，對任意

"eN*,有2S,,=2a：+an-\

(1)求數(shù)列｛4“｝的通項公式；

⑵設〃=(7)"%“，求也｝的前100項的和.

【答案】(1)%=；("+1);⑵-25

【分析】(1)根據為=S“-S,T(“22)作差得到(氏+%7)(2%-2%_「1)=0,從而得到a“-a“T=；("N2),

結合等差數(shù)列的定義計算可得；

(2)由⑴可得”=(-1廣以；("+1),記1=&-+%,,貝地=-；，利用并項求和法計算可得.

【詳解】(1)由2s“=2片+(-1,2S?_1=2^_1+a?_I-l(n>2),

兩式相減得2%=2a；+an~a?-i，即+?！?1)(2。“-2a0_1-1)=0,

因為?！?gt;0，所以2見-2《T-1=0,即=；。△2),

故｛%｝是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以%=；("+1);

(2)由⑴知“=(-!)"%=(-1尸g(〃+l),所以公1+&=-；，

記％=4)]+?“，則c“=一；,bx+b2++Z>100=C1+c2++c50=^--^jx50=-25

4.(23-24高三?廣東深圳?期末)已知等差數(shù)列｛00｝的前”項和為S“，5=81,且%T,a4+l,%+3成等

比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若％eN*,b?=(-iya?+l,或是數(shù)列也｝的前〃項和?求凡

2

【答案】⑴。“=丁+7或=2〃-1⑵&=4"

【分析】（1）設出公差，根據條件求解公差，即可求出通項公式；

（2）利用并項求和法求解即可.

【詳解】（1）.??｛%｝為等差數(shù)列，設公差為d,,Sg=9（%；。9）=皿=81,Aa5=9,

6Z3-1,%+1，。7+3成等比數(shù)列，「?（%+1）2=（〃3—1）（%+3）,

即（9—d+1）=（9—2d—l）（9+2d+3）,整理得5d2—12d+4=0,解得或d=2,

2372

當d=1時，a=—,a=—H+7,當d=2時，％=1,a=2n-l,

55x5nn

o

，數(shù)列｛《｝的通項公式為%=丁+7或%=2〃-1：

（2）???4eN*,由（1）矢口，a?=2n-l,6“=（一1）%“+1=（-1）"（2〃-1）+1,

22

+b2n=［（-I）-（4?-3）+1］+［（-1）"（4?-1）+1］=4,

=（4+4）+低+幻+…+（&-+&）=4+4+…+4=4”.故&=4”.

題型四：倒序求和型

［指I點I迷I津

倒序求和：

倒序求和，多是具有中心對稱的“函數(shù)型”，此類函數(shù)具有“和定”的特征，滿足“和定”特征的還有組

合數(shù)。

1Y

1.（2022高三?全國?模擬）設/（4必）,3（%,%）是函數(shù)〃力=彳+嚏2/的圖象上任意兩點，且

21—x

——?1—?—?1

OM=-（OA+OB）,已知點M的橫坐標為萬.

⑴求證：M點的縱坐標為定值；

⑵若Sa+…+eN*,且〃22求；

【答案】⑴證明見解析；（2）S.=、一（〃22,〃eN*）.

【分析】（1）利用中點坐標公式的表示，得到西+乙=1,然后代入求中點的縱坐標的過程，根據對數(shù)運算

法則，可以得到常數(shù)；

（2）利用（1）中所求，當士+無2=1時，yl+y2=l,可以采用倒序相加法，求和即可.

【詳解】(1)證明：設”(XJ),因為兩=；(與+礪)，故可得X=土產/=無區(qū),

由X=J知網+迎=1,故X]=1-X2，%=1-占，

故必+%”再)+〃切1+嗅21-匹+1°氏1一—l+log2^-+log2—

x2_x2再_1.

y

1222-2

故”點的縱坐標為定值;.

(2)由(1)知再+迎=1,/(再)+/口2)=1s,=/d)

+/(---)

nnn

S=/(—)+/(-)+...+/(-),兩式相加得：

nnnn

2(小"+口+匕]-；

故S"=<(〃22,〃eN)

2.(20-21高三,全國?模擬)已知函數(shù)/卜)=；/+小?，數(shù)列｛%｝的前“項和為S”，點(〃總乂〃€z)均在函

數(shù)“尤)的圖象上.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若函數(shù)g(x)_/+2'令a_g120Zj("eN)

，求數(shù)列｛4｝的前2020項和T2020.

【答案】(1)??=?;(2)右2。=1010?

1.1[S,n=1

【分析】(1)由題意可得然后利用肉=:]可求出數(shù)列｛%｝的通項公式;

22[S,2

(2)由題意可得g(x)+g(l-x)=l,然后利用倒序相加法可求得結果

【詳解】⑴,?,點(說)均在函數(shù)〃x)的圖象上，.2=；/+9.

當〃22時，an=Sn-S,T="；

當〃=1時，q=S]=l,適合上式，

U202J

(2)?.?g(x)=——,.-.g(x)+g(l-x)=l.又由(1)知g=",...“=

''4X+2

?—m+…+3gQo2j+g(2O2j+…+g[202)①

「T[7「2020、(2019、1g(11

又加。一般。+怎-—+4W2021)g〔202i>|2021｝②

①+②，27M2。=2020、［焉］+g［第］［=2020,.-.7；020=1010.

3.(20-21高三?江蘇蘇州?期中)已知/?(")=%++…+3cL+…%C("eN*).

(1)若為="T,求/(〃)；

(2)若a“=3"T,求/(20)除以5的余數(shù)

1

【答案】(1)/(n)=n-2-:(2)余數(shù)為1.

【分析】(1)根據倒序相加法，結合二項式系數(shù)和公式進行求解即可；

(2)根據二項式定理進行求解即可.

【詳解】⑴因為/(〃)=0C；+l.C；+2Q+3C；…+〃&.

所以/⑺="C；+g)C『+("2)C,+…+LC；+0V

2Hd+〃C：+〃C；+???+＜；="C+C+d+-+C)=〃-2",

.?./(?)=?-2-1

(2)因為〃")=3°C；+3iC：+32Q+…+3"C：=(l+3)"=4".

202020

/(2O)=4=(5-1)=C°05-C+C；o5,-…+C；；52_GQi+嚼5°

除以5余數(shù)為1,所以/(20)除以5的余數(shù)為1.

4.(23-24高三?四川成都?模擬)已知數(shù)列｛氏｝滿足:9+2+?+…+/=小工),數(shù)列也｝滿足

A"=F洵?⑴求數(shù)列｛"〃｝的通項公式；

⑵求”+狐Of的值；

⑶求4+人2+4~1---^如的值.

199

【答案】(1)%=2〃(2)萍(3)產

【分析】⑴根據題意，當心2時，可得爭爭生+―?+第=1，兩式相減，求得4=2"，再由

n=i,得到q=2,即可求得數(shù)列｛an｝的通項公式.

(2)由(1)得4=吩*，結合指數(shù)塞的運算法則，即可求得，+九》的值；.

(3)由(2)知6.+如。_,,=一，結合倒序相加法，即可求解.

【詳解】⑴由數(shù)列｛叫滿足：爭墨+號+…+墨=〃(〃eN*),當“22時,可得

￡1.,￡2.,+…+/="一1,

222232'1

兩式相減，可得墨=1,所以%=2",當〃=1,可得51,所以%=2,適合上式,

所以數(shù)列｛即｝的通項公式為%=2".

,11

（2）由數(shù)列｛%｝滿足6”=a+250=2“+25。，

1112〃1T2〃+25。1

則"+狐。一"2"+250+2100-"—H----------------=---------------F—

+2502"+2502"100+250,2"2"+250(2"+250)250(2"+250)250

(3)由(2)知2+6*=文

可得4+&+&+…+砥=耍&+號^+…+產基’

則為9+48+47+…+4=2"+250+298+25021+250"

9999

兩式相加可得2(。+Z)2+&H--+如)=/"'所以4+a+4H卜如二產

題型五：裂項相消1:函數(shù)型

指I點I迷I津

函數(shù)型，指的是3型

pq

（1）f（n）=t（q-p）,差型;

（2）f（n）是分離常數(shù)型；

1.（24-25高三?廣東?開學考試）已知數(shù)列｛?！埃母黜椌鶠檎龜?shù)，。1=1石〃為｛對｝的前〃項和，且

2

（北2）

S.+Si

⑴求｛?！埃耐椆?

⑵設"=與昔

記也｝的前“項和為?“，求證：

【答案】⑴%IM-⑵證明見解析

【分析】（1）由題意知，當〃22時，a.=S「Sz，代入題干表達式可得S3=2（”上2）,通過計算數(shù)

a.,n=l,

列｛酣｝的通項公式即可計算出前”項和S”的表達式，最后結合公式為'c、.，即可計算出數(shù)列

Sn-Sn_x,n>2

｛an｝的通項公式；

（2）由（1）計算出數(shù)列｛%｝的通項公式，再運用裂項相消法計算出前"項和的表達式，最后根據不等式

的性質即可證明結論成立.

22

【詳解】（1）由%=.”?,得s〃—Si三丁，即S”E：T=2（〃"）；

5+1

又S：=a；=1,

所以｛S：｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列,

所以鼠=1+2（"-1）=2〃-1,又｛即｝是正項數(shù)列，所以S“=kl.

當〃22時，an=Sn-Sn_｛=y/2n-l-yj2n-3,又當〃=1時，4=1不符合〃之2時〃〃的形式.

1/=1,

所以％,=

-1—Y2n-3,n>2.

（2）證明:

b_S；+S；+1_21+2十+1-4〃_11_________1___

"S：$1（21）2Q+1）2（21）2Q+1）22（2〃_以（2〃+I）2'

T7771111111I]I「1IlI

T=b,+b+--+b=——--7+—r-7H---H--------7--------7=—l--------7<—.

2n2[l2323252（2,7-I）2（2,7+1）2J2[（2?+l）2J2

2,

2.（23-24高三?江西?模擬）已知數(shù)列憶｝滿足百+向+...+阮=與±.

⑴求｛%｝的通項公式；

（2）設，=々色，記數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，證明：1<S?<l.

anan+\4

【答案】⑴氏=〃2⑵證明見解析

【分析】（1）利用作差法得到向=",即可求出｛%｝的通項公式；

,11

（2）由（1）可得“=/-7--r,利用裂項相消法求和即可得證.

【詳解】（1）因為石+伍+…+阮=^^,當〃=1時百=丁=1,所以%=1;

當心2時石+H+…+?

所以值所以凡="2,經檢驗當〃=1時為=〃2也成立,

所以凡="上

72?+12幾+1_11

（2）由（1）可得”=丁丁"+1）2=/—（〃+1）2,

UnUn+l

所以5，=1一；+"…+:113

=1------<1,當I時'H=1一廠"

5+1）25+1）2

「號十帚卜帚-舟

所以⑸｝單調遞增，所以:VS“<1.

3.（2024?陜西西安?模擬預測）設數(shù)列｛0“｝的前〃項和為S“,%=1,且s"=（"+1）>

⑴求數(shù)列｛2｝的通項公式;

⑵若數(shù)歹也｝的前〃項和為&小N/。恒成立，求實數(shù)朗的最小值.

【答案】（1）。,=〃⑵1

&n

【分析】（1）根據條件，利用%與S”間的關系，得到工=-T，再利用累積法，即可求出結果;

%n-\

（2）根據（1）中結果得到"=*一目正，利用裂項相消法得到q=1-馬7，即可求出結果.

【詳解】（1）因為S"=（"+D""①’所以當時，S“7=誓②，

22

由①-②得到%=立普—-，整理得到㈣1=（"又％=1,所以。，*0,得到2

22〃"一1〃一1

ana.an_.a.nn—\2,

所以當“22時，an=—?—?—=--x--x---x-xl=n,

4Tan-2an-3%?-1?-21

當〃=1,滿足q=",所以％=〃.

2〃+1J_____1_

（2）由（1）知”=

22222

%”+1n(n+1)n(〃+1)2

所以1=4+。+…+”1一齊+落*jgp

因為舟17>°'且所以北是關于"的遞增數(shù)列’由V"eN*,「（掰恒成立‘得至

所以實數(shù)加的最小值為1.

4.（23-24高三?河北石家莊?模擬）己知等差數(shù)列｛an｝的前〃項的和為S“,$2,S3,凡-2成等差數(shù)列，且%,%,%2

成等比數(shù)列.

（1）求｛/J的通項公式；

71+11

（2）若27==丁，數(shù)列出?｝的前"項的和為北，試比較北與5的大小，并證明你的結論.

anan+\7。

【答案】⑴％=2〃+1⑵?；<《，證明見解析

【分析】（1）根據題意，利用等差中項和等比中項列出方程組，即可解出首項和公差，進而求出｛an｝的通項

公式;

（2）將a化簡，利用裂項相消法求和，即可得從而判斷

2&=S,+S「2

【詳解】（1）設也,｝的公差為d,由題意得

?7=?2?22

2(3%+3d)=(2q+d)+(4。[+6d)-2=3

(%+6d)=(〃i+d)(q+21d)[d=2

所以Q“=ax+(n-X)d=3+(n-l)x2=2n+l.

〃+l〃+l11]

(2)

a：a；+i(2〃fl?(2"+3)28(2n+l)2(2”+3)2

所以北入住一寸落k…十而可一斫鏟『拳一瓦百

>°，所以北<：義]=[<2,即1<1

因為一--7

(2〃+3)2oy/Z/U70

題型六：裂項相消2：指數(shù)型

;指I點I迷I津

指教型，類仞曲教型的列項思維

形如a=7-----孚1—r（?eN*）

（a〃+m）（a〃i+加）',

___________________________________________________

1.（23-24高三?河南?模擬）已知數(shù)列｛%｝滿足%=10,%=3。“-2.

⑴求｛%｝的通項公式；

7g—1，、1

⑵若〃=（°；2”，記數(shù)列也｝的前〃項和為，，求證：

【答案】⑴%=3向+1；⑵證明見解析.

【分析】（工）構造等比數(shù)列結合等比數(shù)列的通項公式，即可求得結果;

（2）根據（1）中所求見,利用裂項求和法，求得北，再證明即可.

【詳解】（1）因為4+1=3%-2,所以4用一1=3（%一1）,又4-1=9,

所以y=3,

所以是以9為首項，3為公比的等比數(shù)列,

所以%—1=9?37=3向，所以%=3向+1.

_見_1_3向_3“_1(1_1)

(2)由(1)知”一(%+2)氏一(3'陽+1)(3角+3)一(3向+1乂3"+1)+13叫1>

10__11

又（角+）＞所以

5a3"+1+lJ82(3"+1+1)2310'

2.（23-24高三下?河南?模擬）已知數(shù)列｛%｝滿足ax=3,an+l=3an-2n+l.

⑴求證:｛。"-"｝為等比數(shù)列;

%+i一”一1

（2）數(shù)列｛??-〃｝的前"項和為S?,求數(shù)列的前n項和￡.

S"S"+\

【答案】⑴證明見解析；（2）（=：-不，.

【分析】（1）變形給定等式，再利用等比數(shù)列定義判斷得解.

（2）由（1）求出數(shù)列｛%-"｝的通項公式及前〃項和，再利用裂項相消法求和即得.

【詳解】（1）數(shù)列中，an+l=3a?-2n+l,則。向-（"+1）=3a-〃），

而〃i=3,gp^-1=2,

所以數(shù)列｛%-〃｝是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)知，%—〃=20〃1,%+]—〃-1=2,3",S,,=2XE=3"T，%=3向-1,

1~3

_2x3"_(3向-1)_(3'-1)_]_1

n+1+1+1

SnSn+l-(3-l)(3"-l)―(3"-1)(3"-1)-3"-1-3"-1

Q—n—1

所以數(shù)列｛飛—｝的前"項和（=4r±]+3二＞一+。-高片-白

3.（23-24高三?云南曲靖?模擬）設等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且2a2-%=2,$5=30.

⑴求數(shù)列｛6｝的通項公式;

b,—________2"_______

⑵若"“老乃聲「，求數(shù)列｛〃｝的前"項和I.

Z—1Z—1

【答案】⑴氏=2〃（2）》=1-前二

2—1

【分析】（1）設數(shù)列｛為｝的公差為d,然后由已知條件列方程組求出％,d,從而可求出其通項公式;

2"11

（2）由（1）得”=J二7一懣17,再利用裂項相消法求和.

Z—1L—\

2(〃]+d)-(〃]+2d)=2q=2,

【詳解】（］）設數(shù)列｛%｝的公差為d,由題意可得,解得

5al+10d=30d=2.

%=%+(〃-l)d=2〃；