第08講完全平方公式與平方差公式

——?模塊導(dǎo)航?——

模塊一思維導(dǎo)圖串知識----?素養(yǎng)目標(biāo)?——

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）能推導(dǎo)乘法公式；了解公式的幾何背景，并

模塊三核心考點舉一反三能利用公式進行簡單計算；

模塊四小試牛刀過關(guān)測

模塊一思維導(dǎo)圖串知識

6模塊二基礎(chǔ)知識全梳理-----------------------------

知識點1平方差公式

1.平方差公式

（a+6）（°-6）=/一62即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

注意：（1）公式的左邊是兩個二項式相乘，這兩項中有一項相同，另一項互為相反數(shù).

（2）公式的右邊是兩項的平方差，即相同的項的平方減去相反項的平方.

（3）公式中的。與6可以是具體的數(shù)字也可以是含有字母的代數(shù)式.

2.平方差公式的常見變形

（1）位置變化：（b+。乂—6+a）=（a+6乂a-b）=；

試卷第1頁，共10頁

(2)符號變化：a-6)=-(a+6)(a-6)=-^a2-b2^=-a2+b2；

(3)系數(shù)變化：(2a+36)(2a-36)=(2a)2-(36)2=4/-9/；

(4)指數(shù)變化:

(5)增項變化：(a-fe+c)(a-Z>-c)=(a-fe)2-c2；

(6)連用公式變化:(a-b)(a+b^a2+b2)(a4+b4)=as-bs.

(7)逆用公式變化：a2-b2=(a+b)(a-b).

知識點2完全平方公式

1.完全平方公式

(。+6)2=/+2"+〃；=a=2ab+/；即兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平

方和，加上(或減去)它們的積的兩倍.

注意：(1)公式特點：左邊是兩數(shù)的和(或差)的平方.右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方

和加(或減)這兩數(shù)之積的2倍.

(2)常見變形：

①/+〃=(a+6y-lab,a1+b~=(a-/>)2+2ab；

②(a++(口-4~=2(/+/)；

③(a一(0=4ab.

2.添括號法則

添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不改變符號；如果括號前面是負號,

括至U括號里的各項都改變符號.a+b+c=a+(b+c)=a-(-b-c)

注意：(1)無論怎樣添括號，原式的值都不能改變.

(2)添括號與去括號是互逆的，符號變化也是一效的，可以用去括號法則檢查添括號是否

正確.

6模塊三核心考點舉一反三

考點01：運用平方差公式進行運算

「、憫題

試卷第2頁，共10頁

1.計算：(2+1)X(22+1)X(24+1)X---X(216+1)+1=.

【變式11

2.計算：(2x-l)(-2x-l)=.

【變式2】

3.計算：(2x-y)2~(3x+2y)(3x-2y)

【變式3】

4.計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（結(jié)果保留累的形式）.

考點02：平方差公式與幾何圖形

0^例題

5.（1）將兩個長方形（陰影部分）拼成如圖所示形狀（大正方形）此時，陰影部分的面積

可以表示為:

（2）將同樣的兩個長方形（陰影部分）拼成如圖所示形狀（長方形）此時，新拼成的長方

形的長是；寬是.則新拼成的長方形的面積可以表示為：.

（3）我們可以得到公式：.

【變式1】

6.如圖，在邊長為。的正方形正中間剪去一個邊長為6的小正方形＞6）,把剩下的部分

按照圖中的線段分割成四個等腰梯形，將四個等腰梯形拼成一個大平行四邊形.剪拼前后的

兩個圖形可以驗證的乘法公式是（）

A.(。+6)2=〃+2ab+b2B.(Q-6)=/-2Q6+Z?2

試卷第3頁，共10頁

C.-b~=(q+6)(q_6)D.a1+b2=(^a+by—2ab

【變式2】

（24-25七年級上?河南鄭州?期中）

7.如圖，從邊長為。+3的正方形紙片中剪去一個邊長為3的正方形，剩余部分沿虛線又剪

拼成一個如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的另一邊長是（）

【變式3】

（23-24七年級下?廣東佛山?期中）

8.如圖①，邊長為。的大正方形中有一個邊長為6的小正方形.

⑴請表示圖①中陰影部分的面積;

（2）小穎將陰影部分拼成了一個長方形（如圖②），這個長方形的長和寬分別是多少？你能表

示出它的面積嗎？

（3）比較（1）（2）的結(jié)果，你能驗證平方差公式嗎？

考點03：運用完全平方公式進行運算

例題

9.已知(a+6)~=5,(a-b)2=3.貝!Ja2+〃=,ab=

【變式1】

10.已矢口（2024_a）（2022—a）=2023,貝|5_2023）2=

【變式2】

試卷第4頁，共10頁

【變式3】

,91

12.先化簡，再求值：(x-2y)(x+y)-(x-2y)(x+2y)_(2x-y)~,其中x=-于)=—0.25

考點04：通過完全平方公式變形求值

，憫題

13.已知—8；—求砂的值.

【變式1】

14.已知。+6=2,ab=-8,貝!]/+〃=

【變式2】

15.已知：x+y=5,/+/=]3,則代數(shù)式無3^-3//+盯3的值為

【變式3】

16.代數(shù)式--lOx+Z）可以化為（x-a『-2,則a+b的值是.

考點05：求完全平方公式中的字母系數(shù)

仆3例題

17.已知二項式/和單項式2滿足4=x?+8+1,那么8=.

【變式1】

18.如果4/+（加一1八+25是一個完全平方式，那么常數(shù)十=.

【變式2】

19.若關(guān)于x的整式--（2-加）x+64是某個關(guān)于x的整式的平方，則心=.

【變式3】

20.已知9x2-2（后+l）x+16是一個完全平方式，則左的值為.

考點：06完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用

仆"1例題

21.如圖所示，圖1是一個長為2m,寬為2〃的長方形，沿圖中的虛線剪成四個完全相同的

小長方形，將四個小長方形按圖2、圖3擺放，分別拼成較大的長方形、正方形.

試卷第5頁，共10頁

2m

2n-------------1?----------------------1——

??

圖1圖2圖3

⑴圖1的面積為;(用m與n的代數(shù)式表示)

(2)在圖2中，m與n的等量關(guān)系為；

(3)在圖3中，若大正方形的面積為49,陰影小正方形的面積為24,請直接寫出兩個關(guān)于

m,n的等式.

【變式11

22.如圖，長方形/BCD的周長為20cm,面積為16cm?,以AB、AD為邊向外作正方形

和ADEF,求正方形ABGH和ADEF的面積之和.

23.如圖，將4個長為。，寬為6的長方形木條拼成一個正方形相框.

---------1c

(1)若。=2,b=l,求正方形/8CD和正方形EFG8的面積；

(2)用兩種不同的方法計算大正方形ABCD的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么代數(shù)結(jié)論？

【變式3】

24.如圖①是一個長為4a、寬為6的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形,

然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形(如圖②).

試卷第6頁，共10頁

6

Qa

①

(1)根據(jù)上述過程，寫出(。+6)2、(0-6)2、浦之間的等量關(guān)系：；

9

(2)利用(1)中的結(jié)論，若x+y=4,xy=~,則(x-y)2的值是；

(3)實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式，如圖③，請你寫出這個等式：—；

(4)兩個正方形/5C。，月EFG如圖④擺放，邊長分別為x,y.若/+/=34,BE=2,

求圖中陰影部分面積和.

考點07：整式的混合運算

例題7.(23-24七年級上?河北石家莊?期末)

25.先化簡，再求值：(x+4y)(x-4y)+(x-4y)2-(4x2-xy),其中工=-2,j^=-1.

【變式1】

26.計算

⑴(2x+3y)(3y-2x)-(x-3y)(y+3x)

⑵(x+2y-1)(x-2y-1)

【變式2】

27.計算：

(l)(-2a2)3+2a2-a4-a8-a2；

(2)(-2)2+(202329；

(3)(2X+1)(X-2)；

(4)(x-2y+l)(x+2y-l).

【變式3】

28.已知x=3,將下面代數(shù)式先化簡,再求值(x-1)2+(x+2)(x-2)+(x-3)(x-l)

<?>模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------------------

試卷第7頁，共10頁

一、單選題

（23-24七年級下?安徽淮北?期末）

29.下列各式能用平方差公式計算的是

A.（3a—56）（3?！?6）B.(-3a-56)(3。+5人)

C.（a-26）（-a+26）D.(-a-26)(a-2b)

（23-24七年級下?安徽安慶?期末）

30.下列計算正確的是（）

A.（加+"）~=m2+rrB.[m+n]^m-n)=m2+n2

C.2m2nm2-2nD.(-2m)3=-2m3

（23-24七年級下?安徽安慶?期末）

31.如圖①，從邊長為。的大正方形中剪去一個邊長為6的小正方形，再將陰影部分沿虛

線剪開，將其拼接成如圖②所示的長方形，則根據(jù)兩部分陰影面積相等可以驗證的數(shù)學(xué)公

式為（）

A.(a-Z?)2=a2-2ab+b2B.(a+b)(a-b)^a2-b2

C.a^a-b^-a1—abD.(a+/?)"=a2+lab+b~

二、填空題

（22-23七年級下?安徽池州?期末）

32.已知(x+y)2=7,(尤_y)2=5,貝!jV+y：,xy=,

（23-24七年級下?安徽安慶?期末）

33.已知實數(shù)。滿足（。一2023）（。-2024）=3,貝一2023）2+（a-2024）2的值是.

三、解答題

（23-24七年級下?遼寧阜新?期末）

34.計算：

試卷第8頁，共10頁

(l)(3x-2y)2-(3x+2y)2；

(2)(a-2b+1)(°+26-1)-(a+26)(a-2b).

(22-23七年級下?貴州畢節(jié)?期末)

35.先化簡，再求值：

(1)[(x—3yy—x(x-4y)]+2_y,其中(x+—)2+|_y—1|=0

(2)(2x+y)(2x-j)-(x-2y)2+(6x4-1Ox2y2)(-2x2),其中x=；,y=-1

(22-23七年級下?安徽六安?期末)

2

36.我們知道完全平方公式是(。+6)2=/+2仍+62,(。-6)2=a^_2ab+b,由此公式我們可

以得出以下結(jié)論：①(a-6)2=(。+6)2-4。6；②成=；[(0+6)2-(/+62)]；利用公式①

和②解決下列問題：

(1)若加+〃=10,mn=-3,求(加一〃了的值.

(2)若m滿足(2023-2m)2+(2m-2024)2=7,求(2023—2m)(2m-2024)的值.

(23-24七年級下?安徽淮北?期末)

37.(1)填空：

(a-b)(a+b)=；

(〃-6)(/+qb+/)=；

(a-b)^a3+a2b+ab2=；

(2)猜想：

12n32n21

(a-b)(a"-+a"-b+a-b+...+ab-+b'-)=(其中〃為正整數(shù)，且〃N2)；

(3)利用(2)猜想的結(jié)論計算：399+398+397+-+32+3+1.

(22-23七年級下?安徽合肥?期末)

38.數(shù)學(xué)課上，老師用圖1中的一張正方形紙片A、一張正方形紙片8、兩張長方形紙片C,

拼成如圖2所示的大正方形?觀察圖形并解答下列問題：

試卷第9頁，共10頁

x

ba

(1)寫出由圖2可以得到的等式；(用含。、6的等式表示)

(2)小明想用這三種紙片拼成一個面積為(2。+以3a+26)的大長方形，則需要A,B,C三種

紙片各多少張?

⑶如圖3,岳，$2分別表示邊長為X、了的正方形面積，且M、N、尸三點在一條直線上,

若岳+邑=20,x+y=6,求圖中陰影部分的面積.

試卷第10頁，共10頁

1.232

【分析】此題考查了平方差公式.再原式的基礎(chǔ)上乘以（2-1）,利用平方差公式進行計算即

可.

【詳解】解：原式=（2-l）x（2+l）x（22+l）x（24+l）x…、（2"+1）+1

=（22-1）X（22+1）X（24+1）X---X（216+1）+1

=（24-1）X（24+1）X（28+1）X（216+1）+1

=（28-l）x（28+l）x（216+1）+1

=232-1+1

=232,

故答案為：232.

2.-4X2+1##1-4X2

【分析】本題考查了整式乘法公式，將原式變形為-（2X-D（2X+1）,再利用平方差公式運

算即可.

【詳解】解：（2x-l）（-2x-1）=-（2X-1）（2X+1）=-4X2+1.

故答案為：-4x2+1.

3.-5x2-4xy+5v2

【分析】本題考查了完全平方公式與平方差公式，根據(jù)乘法公式進行計算即可求解.

【詳解】解:（2x-y）2-（3x+2y）（3x-2y）

=4x2-4xy+y2-（9x?-4y2）

=4x2-4xy+y2—9x2+4y2

——5x2-4xy+5y2.

4.232-1

【分析】本題考查了平方差公式，先添加因式（2-1）,然后連續(xù)多次運用平方差公式進行計

算即可.

［詳解］解：原式=（2-1）（2+002+1）（24+1）（28+1）（2"+1）

答案第1頁，共18頁

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）

=（24-l）（24+l）（28+l）（216+l）

=（28-l）（28+l）（216+l）

=（216-1）（216+1）

=232-1

5.（1）a2-b2;（2）a+b,a-b,a2-b2;（3）（a+Z?）-（a-Z＞）=a2-b2

【分析】本題考查了列代數(shù)式，平方差公式與幾何圖形面積；

（1）觀察圖形，從圖中可看出陰影部分面積為邊長為。的大正方形面積減去邊長為6的小

正方形面積；

（2）兩個長方形的再次組合形成的一個大長方形，可看出小長方形的寬和大長方形的寬都

是大正方形的邊長與小正方形的邊長的差，長方形的長是小長方形的長與大長方形的和；

（3）求出長方形的面積化簡結(jié)果與圖左陰影部分面積對比.

【詳解】解:（1）從已知可得陰影部分面積:aa—bb=a2—b1;

（2）第一個圖中陰影部分的小長方形的寬和大長方形的寬為6；

陰影部分的小長方形的長為b,大長方形長即為

???新拼成的長方形的長為a+6,寬是a-b；

二新拼成的長方形的面積為（。+辦（。-6）=/-"+兒-/=/-心

（3）根據(jù)（1）（2）中兩個圖形的陰影部分面積相等可得公式：（。+今（。-6）=/-/

6.C

【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，利用兩種方法表示出圖形的面積，即可.

【詳解】解：第一個圖形中剩余的面積為：a2-b2,

由第一個圖形可知，大平行四邊形的高為：a-b,

???第二個圖形的大平行四邊形的面積為（。+6）（。-與，

.-.a2—b2=（a+Z＞）（a-Z?）；

故選C.

7.B

【分析】本題考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，多項式除以單項式.能夠通過所給正

答案第2頁，共18頁

方形和長方形的面積關(guān)系進行求解是解題的關(guān)鍵.先求出剩余部分的面積為：

6+3）2-9="+6%再由面積相等，即可求解.

【詳解】解：???邊長為（。+3）的正方形的面積為（a+3『，邊長為3的正方形的面積為9,

減去正方形后剩余部分的面積為：（a+3）2-9=/+6。，

???長方形的一邊為“，

二長方形的另一邊長為：（/+6a）+a=a+6,

故選：B.

8.（l）a2-Z）2

（2）（a+^）（a-&）

⑶能

【分析】（1）求出大正方形及小正方形的面積，作差即可得出陰影部分的面積；

（2）圖乙所示的長方形的長和寬分別為（。+?、（a-b）,由此可計算出面積；

（3）根據(jù)陰影部分的面積相等可得出平方差公式.

本題考查了平方差公式的幾何背景，注意幾次分割后邊的變化情況是關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：大正方形的面積為/，小正方形的面積為〃，

???圖①陰影部分的面積為/;

（2）解:圖②的陰影部分為長為（。+6）,寬為（。-3，

.?.其面積為（。+6）（。-6）；

（3）解：由圖①與圖②的面積相等，可以得到平方差公式：（。+6）（。-6）=。2-/.

1

9.4-##0.5

2

【分析】本題考查了完全平方公式的變形與求值，熟練掌握完全平方公式和整體代入的思想

是解題關(guān)鍵.

利用完全平方公式化簡，計算即可求值.

【詳解】解：,..（a+6）2=a：!+2a6+62=5①，

（。一6）2^a2-2ab+b2=3②.

答案第3頁，共18頁

①+②得：2(/+>2)=8,即/+廿=4,

①—②得：4al>=2,即=—,

2

故答案為：4,；.

10.2024

【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)完全平方公式對原式進行變形，計算求值即可

【詳解】解：???(2024-。)(2022-。)=2023

(2023+1-。)(2023-1-a)=2023

(2023-0+1)(2023-a-l)=2023

(2023-a)2-1=2023

(2023-a)2=2024,

(a-2023)2=2024；

故答案為：2024.

11.8x2

【分析】本題主要考查了整式乘法的混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)完全平方公式，單項式乘以多項式，積的乘方計算法則去括號，然后合并同類項即可.

【詳解】(2x+y)2-y(y+4x)+(~2x)2

=4x2+4xy+y2-y2-4xy+4x2

=8x2.

9

12.-4x2+3xy+y2,--

【分析】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，完全平方公式，平方差公式，熟練掌握運

算法則是解本題的關(guān)鍵.原式利用完全平方公式，平方差公式，以及單項式乘以多項式法則

計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，把x與歹的值代入計算即可求出值.

【詳解】解：(x-2y)(x+^)-(x-2y)(x+2j)-(2x-j；)2

=x2-xy-2y2-x2+4y2-^4x2-4xy+/)

答案第4頁，共18頁

=x2-xy-2y2-x2+4y2-4x2+4xy-y2

=-4/+3xy+,

當(dāng)％=_1,y=-0.25=_?時,

24

19

原式=-4x(—5>+3X

131

=-44x—H----1----,

4816

,31

=-l+-+—,

816

__9_

一一話‘

13.3

【分析】本題考查了完全平方公式在計算中的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式的特征是解題的

關(guān)鍵.先把x『L5兩邊平方，利用完全平方公式展開后代入八/￡的值即可求解.

【詳解】解：—>=1.5,

??Gry］，

_2xy+y2=-f

vx2+y2-8—,

4

.,.8--2xy=—

44

??.2xy=6,

:.xy=3；

14.20

【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，熟練掌握完全平方公式，是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)。2+/=（。+6）2,結(jié)合。+6=2,ab=-S,進行求值即可.

【詳解】解：+b=2,ab=-8,

2

???/+b=(a+b『-2"=22-2x(-8)=4+16=20.

故答案為：20.

15.-30

【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用.根據(jù)題意得出（X+>）2=25,求得9=6,將

答案第5頁，共18頁

彳3了-3//+中3化簡為孫卜2-3孫+必)，再整體代入，即可得出答案.

【詳解】解：+>=5,X2+y2=13,

???(x+y『=x2+y2+2xy=25,

：.xy=6,

???x3y-3x2y2+xy3

=xy(^x2-3盯+y2)

=6x(13-3x6)

=—30,

故答案為：-30.

16.28

【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握配方法，

即可完成.根據(jù)配方法化/T0X+6=(X-5)2+6-25,即可得到°、6的值，從而求得結(jié)果.

【詳解】解：：/-10了+6=(無一5『+6-25,

.??〃=5,6-25=-2,

???6=23,

.,?。+6=5+23=28.

故答案為：28.

17.±2%,—x4

4

【分析】本題考查了完全平方式，根據(jù)平方項確定出這兩個數(shù)是解題的關(guān)鍵.完全平方式:

/±2"+4的特點是首平方，尾平方，首尾底數(shù)積的兩倍在中央，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：?.?A是二項式,

??.A2是一個二項式的完全平方，

???/+3+1可以寫成一個二項式的完全平方，

B—±2%,—x4.

4

故答案為：±2x,J/.

4

18.21或—19##—19或21

答案第6頁，共18頁

【分析】本題考查完全平方公式，熟記公式的形式，找出首項和尾項的底數(shù)是關(guān)鍵.根據(jù)完

全平方式的形式可知，該式子首項為2x的平方，尾項為5的平方，則中間項為±2x2x-5,

可得結(jié)果.

【詳解】解：???4/+（加-1卜+25是一個完全平方式，

.1.4x2+-1）x+25=（2x±5）"=4x2±20%+25,

m-l=±20,

解得："?=21或-19.

故答案為：21或-19.

19.-14或18

【分析】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)題意可知兩平方項為V,8L則一次項為

±2-x-8,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的整式》2-（2-加）x+64是某個關(guān)于x的整式的平方，

X?—（2—機）x+64—x?—（2—加）工+82,

-（2-m）x=±2-x-8,

/.m-2=±16,

???加=18或加=一14,

故答案為：-14或18.

20.-13或11

【分析】本題主要考查了求完全平方式，根據(jù)題意可知兩平方項為（3x）2、42,據(jù)此可確定

一次項，進而求出左的值即可.

【詳解】解：??,9/一2（左+l）x+16=（3x/-2（左+l）x+4?是一個完全平方式，

??.-2（4+1）%=±2.3%?4,

.?.2（左+1）=±24,

???左=-13或左=11,

故答案為:-13或11.

21.（l）4mn

⑵m=3n

答案第7頁，共18頁

(3)(777+77)2=49,(/?-")-=24

【分析】本題主要考查了整式的運算，面積的計算等，審清題意列式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)面積公式計算即可；

(2)根據(jù)圖形推導(dǎo)長方形的長與三個寬相等求出即可；

(3)由圖推出大正方形的邊長和陰影小正方形的邊長，再根據(jù)“大正方形的面積為49,陰

影小正方形的面積為24”列出關(guān)系式即可.

【詳解】(1)解：由長方形的面積公式可得：2mx2n=4mn.

故答案為：4mn；

(2)由圖可知：m=3n.

故答案為：m=3〃；

(3)由圖可知：大正方形的邊長為機+",陰影小正方形的邊長為加-77,

又???大正方形的面積為49,陰影小正方形的面積為24

兩個關(guān)于小，"的等式為：(/77+〃)2=49,(m-n)2=24.

22.正方形/3G〃和4DE尸的面積之和為68cm2.

【分析】先根據(jù)題意列出長方形關(guān)于周長和面積的代數(shù)式，再根據(jù)完全平方公式的變

式應(yīng)用即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)長方形的長為“cm,則寬為6cm,

長方形48co的周長為20cm,面積為16cm

。+b=10,ab=16f

正方形和ADEF的面積之和為

a2+b2=(a+6)2-lab=102-2x16=68(cm2).

二正方形和ADEF的面積之和為68cm2.

【點睛】本題主要考查完全平方公式變式應(yīng)用，根據(jù)題意列出等式是解決本題的關(guān)鍵.

23.(1)正方形/8CZ)的面積為：9,正方形EFG”的面積為：1

(2)面積計算見解析，(a+4=("切+406

【分析】(1)根據(jù)正方形面積計算公式求解即可；

(2)根據(jù)大長方形面積等于邊長乘以邊長，以及大正方形面積等于4個小長方形面積加上

小正方形面積進行求解即可.

答案第8頁，共18頁

【詳解】⑴解：正方形的面積為：(。+6)2=(2+1>=9

正方形EFG”的面積為：("bp=(2-1)2=1；

(2)解：方法一：正方形N3CD的面積為：(4+6)2

方法二：正方形/BCD的面積為：(a-b^+Aab

,兩種表示方法表示的面積相等，

???(a+=(0-b)~+4ab.

【點睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，代數(shù)式求值，熟知完全平方公

式是解題的關(guān)鍵.

24.(l)(a-Z?)2=(a+b)2-4ab

(2)7

⑶(3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b1

(4)8

【分析】(1)圖①的面積是4a6,圖②的面積是(a+b)、(a-b)2,由此即可求解；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，代入計算即可求解；

(3)將圖形中各部分的面積通過圖形面積計算公式表示出來并等于大長方形的面積即可求

解；

(4)BE=x-y=2,并計算出x+y=8,分別求出x,V,根據(jù)圖中陰影部分面積和

S&DFC+S&BEF，由此即可求解.

【詳解】(1)解：中間部分的面積可以看作從邊長為。+方的正方形面積減去4個長為。，寬

為6的長方形面積，即(。+方)2-4金,

'?(6t-b)~=(a+b)?！?ab,

故答案為：(a-b)2=(a+6)2-4a6.

9

(2)解：?.?x+y=4,xy=-^(x-y)2=(x+y)2-4xy,

???(x-y)2=(x+y)2-4xy

=16-4x-

4

答案第9頁，共18頁

=7,

故答案為：7.

(3)解：分別以大矩形的面積和幾個小矩形的面積為等量可得：

(3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b2,

故答案為：(3a+b)(“+b)=3a2+4〃b+/.

(4)解：-x2+y2=34,BE=2,

???1一)二2①，

???x2-2xy+j/=4,

34-2xy=4,

xy=15,

v(x+y)2=x2+2xy+y2=34+30=64,且

???x+y=8②，

①+②得，x=5,

???V=3,

圖中陰影部分面積和

11121112122

=S4DFC+^^BEF=~x(x~y)+~y(x~y)=~x--xy+—xy--y=~(x-y)

=1x(25-9)=8.

【點睛】本題主要考查多項式與多項式的乘法，乘法公式與圖形面積，掌握整式的乘法運算

法則是解題的關(guān)鍵.

25.-2x~-7xy,-15

【分析】本題考查整式的化簡求值，熟練掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵.先利用整

式的混合運算法則化簡，再代入求值即可.

【詳解】解：(x+4y)(x-4y)+(x-4y)2~(^4x2-xy^

=x2-16y2+x2—Sxy+16y2-4x2+xy

=_212_1xy,

答案第10頁，共18頁

當(dāng)％=—2,>=一1■時,

原式=-2x(—2)2-7x(-2)=-8-7=-15.

26.(1)—7%2+12y2+8xy

(2)x2—2x+1-4y2

【分析】本題考查了整式的混合運算的法則和順序，解決此題的關(guān)鍵是掌握平方差公式和完

全平方公式進行運算.

(1)根據(jù)整式的混合運算的法則和順序，結(jié)合平方差公式計算即可；

(2)根據(jù)整式的混合運算的法則和順序，結(jié)合平方差公式和完全平方公式計算即可.

【詳解】(1)解：(2x+3田(3y—2x)—(x—3y)(y+3x)

=9產(chǎn)-4x2-+3x2-3y2-9盯),

=9y2-4x2-(3x2-3y2-8盯),

=9y2—4%2—3x2+3y2+Sxy

=—7%2+12y2；

(2)解：(x+2j-1)(x-2)/-1)

=(x-1+2y)(x-1-2y)

二(1)2—(2爐

—-2x+1-4y2.

27.(1)-7-

(3)2/-3X-2

(4)x?-4y2+4y-l

【分析】本題考查的知識點是同底數(shù)基相乘、積的乘方運算、同底數(shù)塞的除法運算、整式的

混合運算、實數(shù)的混合運算、整數(shù)指數(shù)塞的運算、計算多項式乘多項式、運用平方差公式進

行運算、運用完全平方公式進行運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運算法則.

(1)根據(jù)同底數(shù)幕相乘、積的乘方運算、同底數(shù)幕的除法運算、整式的混合運算即可解答;

答案第11頁，共18頁

(2)根據(jù)整數(shù)指數(shù)累的運算、實數(shù)的混合運算即可求解；

(3)利用多項式乘多項式的法則進行計算即可求解；

(4)利用平方差公式、完全平方公式進行計算即可求解.

【詳解】(1)解：原式=-8(+206一原,

=-7a6；

(2)解：原式=4+1—,

4

19

=7;

(3)解：原式=2x?-4x+x-2,

=2x~-3x~2；

(4)解：原式=[x_(2y_l)][x+(2y_l)],

=x2-(2y-l)2,

=x2-(4_y2-4y+1),

=x2-4y2+4y-1.

28.3x2-6x;9

【分析】本題考查的是整式的混合運算，化簡求值，先計算整式的乘法運算，再合并同類項,

最后把x=3代入計算即可.

【詳解】解：(X-1)2+(X+2)(X-2)+(X-3)(X-1)

—+1—2x+—4+—x—3x+3

=3x2-6x

將x=3代入，原式=27-18=9.

29.D

【分析】本題考查了平方差公式，利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征進行判斷即可.

【詳解】解：A、(3"5b)(3a-5b)=(3°-5葉，不能用平方差公式，故該選項不正確，不

符合題意；

B、(-3a-56)(3°+5b)=-(3a+56)2,不能用平方差公式，故該選項不正確，不符合題意;

C、("26)(-4+26)=-("2與2,不能用平方差公式，故該選項不正確，不符合題意；

答案第12頁，共18頁

D、(-a-26)(a-2b)=(-26『-I,能用平方差公式，故該選項正確，符合題意；

故選：D.

30.C

【分析】本題考查了整式的運算，利用完全平方公式判斷選項A；利用平方差公式判斷選項

B；利用單項式除以單項式法則判斷選項C；利用積的乘方法則判斷選項D即可.

【詳解】解：A.(勿+力)2=/+2"?〃+〃2,原計算錯誤，不符合題意；

B.("z+〃)(加-")=??-心原計算錯誤,不符合題意；

C.2加2”加2=2〃，原計算正確，符合題意；

D.(-2m)3=-8m3,原計算錯誤，不符合題意；

故選：C.

31.B

【分析】本題考查幾何圖形驗證平方差公式，分別表示出圖①和圖②中陰影面積，即可解

答.

【詳解】解：圖①中陰影面積為/-從，

圖②中陰影面積為(a+6)("b),

根據(jù)根據(jù)兩部分陰影面積相等可以得到(a+b)(a-b)=a、62.

故選：B

32.6-##0.5

2

【分析】根據(jù)完全平方公式將原式變形：x2+2xy+/=70,/-2盯+/=5②，①+②

和①-②即可得出答案

【詳解】解：v(x+y)2=7,(x-y)2=5,

x2+2xy+y2=7(T),x2—2xy+y2=5(2),

二①+②得：

x2+2xy+y2+x2-2xy+y2=12,

貝|］一+/=6；

①-②得：

答案第13頁，共18頁

4xy=2,

解得：xy=~-

故答案為：6;y.

【點睛】此題主要考查了完全平方公式，正確運用完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

33.7

【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的前提,

根據(jù)已知條件設(shè)元求解是關(guān)鍵.設(shè)"2023=、，"2024=九得孫=3,X-k1,利用完全

平方公式變形得一+/=(工-四2+2盯，代入計算即可得答案.

【詳解】解：設(shè)。一2023=%,a-2024=y,

:.x—y=a—2023—(a—2024)=1,

???3—2023)(4—2024)=3,

:.xy=3,

x2+y2=(x-y)2+2xy,

.-.x2+/=l2+2x3=7,

(a-2023)2+(a—2024)2=7.

故答案為：7.

34.(l)-24xy

⑵431

【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式：

(1)先根據(jù)完全平方公式去括號，然后合并同類項即可；

(2)先根據(jù)平方差公式和完全平方公式去括號，然后合并同類項即可.

【詳解】⑴解:(34-2好-3+2班

=9尤2一12孫+4「_(9x?+12盯+4月

=9x2-12盯+4y2-9x2-12xy-4y2

=-24^7；

(2)解：(。一26+1)(。+26—1)一(。+26)(。一26)

=[〃_(26-1)][a+(26-1)]-(a?_4/)

答案第14頁，共18頁

=a12-*(2Z>-l)2-a2+4P

=4b2-(4b2-4b+1)

=4b2-4b2+4b-l

=46—1.

9

35.(l)-J-x；5

⑵4中；-2

【分析】(1)先利用整式的混合運算法則進行化簡，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求得x=-;，

了=1,最后代入求值即可；

(2)先利用平方差公式和完全平方公式及多項式除以單項式法則進行計算，再進行合并同

類項，最后代入求值即可.

【詳解】(1)解：[(x-3y)2-x(x-4y)]+2〉

=(J-6孫+9>2-x2+4盯)+2y

9

=-x+r

■■(x+^)2+\y-l\=O,

???x+；=0,y—l=O,

11

**.x=--,y=l,

1Q1Q

把x=V=1代入得，一%+7歹=