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專題03新高考情景下的結(jié)構(gòu)不良問題

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01解三角形結(jié)構(gòu)不良.......................................................................1

題型02數(shù)列結(jié)構(gòu)不良...........................................................................3

題型03立體幾何結(jié)構(gòu)不良.......................................................................5

題型04圓錐曲線結(jié)構(gòu)不良.......................................................................8

?>-----------題型探析?明規(guī)律-----------O

題型01解三角形結(jié)構(gòu)不良

【解題規(guī)律?提分快招】

一、“結(jié)構(gòu)不良問題”的解題策略

(1)題目所給的三個可選擇的條件是平行的，無論選擇哪個條件，都可解答題目；

(2)在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程規(guī)范，都會得滿分,

但計算要細(xì)心、準(zhǔn)確，避免出現(xiàn)低級錯誤導(dǎo)致失分.

二、“正弦定理”與“余弦定理”的選用策略

在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某

個定理的信息.

(1)如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；

(2)如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；

(3)以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

三、“邊化角”或“角化邊”的變換策略

(1)若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；

(2)若式子中含有。、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

(3)若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；

(4)代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；

(5)含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

(6)同時出現(xiàn)兩個自由角(或三個自由角)時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

【典例訓(xùn)練】

一、解答題__

1.(2024?北京?三模)在VABC中，2=巫，cosA=巫.

a510

(1)求證：VABC為等腰三角形；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，使VABC存在且唯一，求6的值.

冗15

條件①：ZB=-;條件②：VABC的面積為二；條件③：43邊上的高為3.

2.(2024.四川宜賓.二模)在VA3c中，角A,3,C所對的邊分別是a,b,c,在下面三個條件中任選一個作為

條件，解答下列問題，三個條件為：

①2bcosA=ccosA+tzcosC；②asinB=^/§Z?cosA；③cosC+(cosB—V3sinB^cosA=0.

⑴求角A的大??；

(2)若〃=J7,Z;+C=4,求be的值.

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）在①（2-sinA）cos_B-l=cosAsin_B-2cos_BsinC；②（2a-c）cos5=Z?cosC兩個

條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題.在VABC中，角A,B,。所對的邊分別是mb,

c,且______.

⑴求角5的大小：

(2)若點。在5c的延長線上，且BD=25C,AD=3,求VABC面積的最大值.

4.(2024?四川南充?三模)已知函數(shù)/(x)=4cos]x-Sbinx-2sin[-g+2xJ—l.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在VABC中，a,b,c分別是角A、B、C所對的邊，記VABC的面積為S,從下面①②③中選取兩個作為

條件，證明另外一個成立.

①/(A)=l;@S=—ab；③/=/+/?<?.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

5.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知VABC中，內(nèi)角A,氏C的對邊分別為a,b,c,且

在acosC-石bcos'A="asinAsin8-csinA.

⑴求角A；

(2)若a=q,角A的平分線交邊BC于T,在下列三個條件中選擇一個作為已知，求AT.

?AC-BA=-3;②點A在以反C為焦點的橢圓上±+宜=1上；③VABC的面積為逮.

2592

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

題型02數(shù)列結(jié)構(gòu)不良

【解題規(guī)律?提分快招】

一、數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問題

1.“結(jié)構(gòu)不良問題”：題目所給的三個可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個條件，都可解答題目，而且,

在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程規(guī)范，都會得滿分.

2.數(shù)列求和的常用方法：

(1)對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；

(2)對于｛4〃｝型數(shù)列，其中｛4｝是等差數(shù)列，｛2｝是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；

(3)對于｛q+2｝型數(shù)列，利用分組求和法；

(4)對于」一|型數(shù)列，其中｛%｝是公差為d(dwO)的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.

、anan+\一

3.常見的裂項公式:

1H1__

（1，+k\nn+kj

]=U_J______

（2）（2.-1）（2"+1）-——2L+J

]_j_rj]

1

（4）-—^-y/n+y/n+

G+dn+kk

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

S73

1.（2024.廣西賀州.一模）在①邑-3《=0,②邑=14,③”二石這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的

問題中，并解答.

設(shè)｛%｝是遞增的等比數(shù)列，其前〃項和為S“，且出=4,.

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵若數(shù)列也｝滿足“=［現(xiàn)為偶數(shù),求數(shù)列也｝的前2”項和心.

（注：若選擇多個解答，按第一個解答計分）

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列｛4｝滿足4=1.

（1）從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，求數(shù)列｛0｝的通項公式；

條件①：當(dāng)心2時，=2/7-1；

條件②：數(shù)列｛〃：｝與均為等差數(shù)列；

⑵在（1）的基礎(chǔ)上，設(shè)S,為數(shù)列的前〃項和，證明：S?<1.

注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

3.（2024.青海西寧.二模）已知數(shù)列｛?！埃?.請從下列兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的

問題中并解答.（注:如果選擇多個條件,按照第一個解答給分.）①數(shù)列｛。.｝的前〃項和為S“=2?！?2（“eN*）;

②數(shù)列｛?！埃那啊椫e為4=2駕1（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛?！埃耐椆?；

⑵令bn=an+log2an,求數(shù)列也｝的前〃項和5.

3

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）在①6=1,q,a3,成成等比數(shù)列，②出+%=6,a,-a5=5,③Zq=6,

i=l

6

?,=21,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中并作答.

Z=1

問題：已知數(shù)列｛。“｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，.

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項公式；

(2)數(shù)列的前〃項和為S“，對任意的〃eN+有根-3＜S“＜根恒成立，求機(jī)的取值范圍.

2"

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

5.(2024.四川德陽.三模)已知｛%｝是等差數(shù)列，低｝是等比數(shù)列，且也｝的前"項和為

S“,2q=4=2,%=5(%-4)，在①仇=4(2-4)，②"+i=S“+2這兩個條件中任選其中一個，完成下面問

題的解答.

⑴求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列的前〃項和為Z,,是否存在九"cN*,使得＜=%若存在，求出所有滿足題意的相，人若不

存在，請說明理由.

6.(2024.廣東廣州.三模)已知數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，出＞4,記S,為｛叫的前〃項和.

(1)從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛4“｝是等差數(shù)列；②數(shù)列是等差數(shù)列；③出=2%.

(2)若4=1,在(1)的條件下，將在數(shù)歹￡%,｝中，但不在數(shù)歹U｛2%｝中的項從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列出｝,

求數(shù)列｛〃｝的前20項和.

題型03立體幾何結(jié)構(gòu)不良

【解題規(guī)律?提分快招】

一、空間向量與立體幾何的求解公式

(1)異面直線成角：設(shè)a,b分別是兩異面直線/i，L的方向向量，則/i與L所成的角。滿足：。050=黯；

(2)線面成角：設(shè)直線/的方向向量為a,平面a的法向量為小。與〃的夾角為￡,

則直線/與平面a所成的角為。滿足：sin8=1儂4=盟.

(3)二面角：設(shè)九1，您分別是二面角a—/一夕的兩個半平面a,4的法向量，

則兩面的成角夕滿足：COSff=COS＜m，〃2〉=d：信；

注意：二面角的平面角大小是向量"1與"2的夾角或是向量"1與"2的夾角的補(bǔ)角，具體情況要判斷確定.

(4)點到平面的距離：

如圖所示，己知AB為平面a的一條斜線段，”為平面a的法向量，

則點8到平面a的距離為：|仍尸嚕即向量仍在法向量〃的方向上的投影長.

二、幾種常見角的取值范圍

__JT____7T

①異面直線成角e(o,-］；②二面角口0,兀］；③線面角口0,-］；④向量夾角口0,兀］

三、平行構(gòu)造的常用方法

①三角形中位線法；②平行四邊形線法；③比例線段法.

四、垂直構(gòu)造的常用方法

①等腰三角形三線合一法；②勾股定理法；③投影法.

五、用向量證明空間中的平行關(guān)系

⑴線線平行：設(shè)直線和％的方向向量分別為V1和吸，貝！I〃，2(或/1與L重合)UV1〃V2.

(2)線面平行：設(shè)直線/的方向向量為v,平面a的法向量為"，貝I］/〃a或/uaUvJ_M.

(3)面面平行：設(shè)平面a和￡的法向量分別為"1，U2,則a〃伙

六、用向量證明空間中的垂直關(guān)系

⑴線線垂直：設(shè)直線和/2的方向向量分別為V1和V2,則/1_1_/2令」丫26「丫2=0.

(2)線面垂直：設(shè)直線/的方向向量為v,平面a的法向量為"，貝U/_Lauv〃瓦.

(3)面面垂直：設(shè)平面a和夕的法向量分別為圖和如貝!Ia_L供初_1_〃20:“2=。.

七、點面距常用方法

①作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離；②等體積法；③向量法

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(2024?北京西城?二模)如圖，正方體ABCD-ABCIR的棱長為2,E為8C的中點，點M在8。上.再從

下列三個條件中選擇一個作為己知，使點M唯一確定，并解答問題.條件①：MA=MC；條件②：EMVAD-,

條件③：RW〃平面

⑴求證：M為82的中點;

⑵求直線EM與平面MCD所成角的大??；

⑶求點E到平面"CD的距離.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

2.（2024.北京東城?一模）如圖，在五面體ABCDEF中，底面ABCZ）為正方形，AB=4,EF=1.

EF

⑴求證：AB//EF；

（2）若“為CD的中點，M為5”的中點，EMLBH,EM=2框,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一

個作為已知，求直線CP與平面ADE所成角的正弦值.

條件①：ED=EA；

條件②：AE=5.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分

7T

3.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?三模）如圖，三棱錐P-ABC中，ZABC=-,AB=BC=2,PA=PB,。是棱A8

（1）下面有①②③三個命題，能否從中選取兩個命題作為條件，證明另外一個命題成立？如果能，請你選取

并證明（只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分）；

①平面R4B_L平面ABC；

②DELAC；

@PELAC.

2

（2）若三棱錐尸-ABC的體積為以你在（1）所選的兩個條件作為條件，求平面尸Z汨與平面尸3c所成二

面角的大小.

4.（2024?河南開封三模）已知四棱錐的底面ABCD是正方形，給出下列三個論斷：①PC=PD；

?ACLPD-③班）工平面PAC.

(1)以其中的兩個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題，并證明;

⑵在(1)的條件下，若上4=1,求四棱錐尸-ABCD體積的最大值.

5.(2024?北京?三模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是邊長為2的菱形，ZABC=60°,PA=PC,

M為中點，PC=3NC.

⑴設(shè)平面B4BC平面尸8=/,求證：AB//1；

(2)從條件①，條件②，條件③中選擇兩個作為已知，使四棱錐尸-ABCZ)存在且唯一確定.

(i)求平面MVD與平面ABC。所成角的余弦值；

(ii)平面肱VD交直線PB于點。，求線段P。的長度.

條件①：平面尸AC_L平面ABCD；

條件②：PB=PD；

條件③：四棱錐P-ABCD的體積為述.

3

題型04圓錐曲線結(jié)構(gòu)不良

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(2024.遼寧?模擬預(yù)測)已知定點戶(1,0),動點N在直線/:x=-l上，過點N作/的垂線，該垂線與狼的

垂直平分線交于點T,記點T的軌跡為曲線E.

(1)求E的方程；

⑵己知點P(m,"),Q(sJ),動點A,8在E上，滿足且與x軸不垂直.請從①尸在E上；②4,5,。

三點共線；③S-加=4/+77=0中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

注：如果選擇不同的組合分別解答，按第一個解答計分.

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓A：（尤-2）2+尸=4,點3（-2,0）,點P為圓A

上任意一點，線段BP的垂直平分線和半徑AP所在直線相交于點。，當(dāng)點P在圓上運動時，點。的軌跡為

C.

⑴求C的方程.

（2）斜率存在且不為。的直線/與C交于M,N兩點，點。在C上.從下面①②③中任選兩個作為已知條件，

證明另外一個成立.

①DMLx軸；②直線/經(jīng)過點③。，B,N三點共線.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

22

3.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知雙曲線C:二-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為耳鳥，從下面3個條

件中選出2個作為已知條件，并回答下面的問題：

①點網(wǎng)-3夜,1）在雙曲線C上；②點。在雙曲線C上，月乙=90。，且|。用=：；③雙曲線C的一條漸近

線與直線y=3尤-3垂直.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵設(shè)4,8分別為雙曲線C的左、右頂點，過點（0,-1）的直線/與雙曲線C交于兩點，若誓=-“，求

KBN

直線/的斜率.

4.（2024?福建漳州?一模）已知過點耳（-1,0）的直線/與圓F?：（x_iy+y2=i6相交于G,H兩點，GH的

中點為E,過G￡的中點下且平行于%的直線交〃于點P,記點P的軌跡為C.

（1）求軌跡C的方程.

（2）若48為軌跡C上的兩個動點且均不在'軸上，點/滿足+（A,〃eR）,其中。為坐

標(biāo)原點，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①點M在軌跡C上；②直線與08的斜率之積為-^；③萬+〃2=1.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

5.（2024?福建泉州?二模）已知拋物線C:尤2=2py（p>0）的焦點為RO為坐標(biāo)原點，拋物線C上不同兩點

A,2同時滿足下列三個條件中的兩個：①|(zhì)E4|+|F8|=|AB|；②|1=|1=|A81=；③直線的方程

為y=6p.

(1)請分析說明4B滿足的是哪兩個條件？并求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線經(jīng)過點且與(1)的拋物線C交于A,B兩點，N(0,〃)，若ZMNA=NMNB,

求巴的值；

n

(3)點A,B,E為(1)中拋物線C上的不同三點，分別過點A,B,E作拋物線C的三條切線，且三條切線

兩兩相交于M,N,P,求證：△WP的外接圓過焦點R

o-----------題型通關(guān)?沖高考------------?>

一、解答題

1.(2024.北京?高考真題)在VA2C中，內(nèi)角A,5,c的對邊分別為。，4c,—A為鈍角，4=7,

/?

sin2B=——bcosB.

7

⑴求4；

(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VABC存在，求VABC的面積.

條件①：6=7；條件②：cosB=^;條件③：csinA=|>/3.

142

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

2.(2024.江西宜春.三模)在VA3C中，設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知C=120。，VABC的

周長為15,面積為坦叵.

4

⑴求VABC的外接圓面積；

⑵設(shè)。是邊上一點，在①。是邊A8上的中線；②是NACB的角平分線這兩個條件中任選一個，

求線段8的長.

3.(2024?北京?三模)已知函數(shù)/(x)=2gsin(yxcos0x+2cos20x,(0>O)的最小正周期為兀.

⑴求。的值；

(2)在銳角VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,6,c.c為〃尤)在0,|上的最大值，再從條件①、條件

②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求〃的取值范圍.條件①：?cosB+bcosA=2ccosC；條件

②：2asinAcos5+bsin2A=J'a；條件③：VABC的面積為S,且S=——注：如果選擇多個

4

條件分別解答，按第一個條件計分.

4.(2024高三下?全國?專題練習(xí))在①b(sinA+sinB)=(c+a)(sinC-sinA),@tanB+tanC=--,③

ccosB

?J3bsin"+'=csinB

2

這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.

在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且______.

⑴求角C的大??；

（2）已知c=7,。是邊A3的中點，且CD_LCB,求CD的長.

5.（23-24高三上.浙江紹興.開學(xué)考試）從①生成等差數(shù)列；②%,g+1,生成等比數(shù)列；③$3=]

這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的問題中，并解答下列問題.

已知S,為數(shù)列｛%｝的前〃項和，3s“=%+2q（weN*）,a戶0,且________.

⑴求數(shù)列｛〃“｝的通項公式；

⑵記。"為偶立冊,求數(shù)列也｝的前2〃+1項和T?向.

[log3a”,〃為奇數(shù)

注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

6.（2024.云南昆明?模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛/｝的首項q=1,其前〃項和為S“，從①%=2瘋-1；

②S“H+S,T=2（S“+1）（〃N2）,且S2=4；③a“=冏+6=（“22）中任選一個條件作為已知，并解答下列

問題.

⑴求數(shù)列｛《,｝的通項公式；

17

⑵設(shè)優(yōu)=不，設(shè)數(shù)列伊“｝的前〃項和7；,證明：

（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）記7“為數(shù)列｛%,｝的前〃項的積，a,>0g=32,葉=（8%）".

（1）求力,并證明.

⑵從下面兩個條件中選一個，求數(shù)列｛〃｝的前〃項和S”.

_.3〃+4_.3及一1

①""=/，n；②4二.

〃（幾+l）a〃+]“〃+1

8.（24-25高三上?北京海淀?期末）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為矩形，PAA.AB,PA=AB^1,

AD=2,歹是出的中點，E在棱BC上，且EF//平面尸CD.

⑴求證：E是BC的中點；

(2)再從條件①，條件②中選擇一個作為已知，求平面EFD與平面R4B夾角的余弦值.

條件①：平面平面ABCD；

條件②：PC=底.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

9.(23-24高三?山西?階段練習(xí))A在三棱錐A-3c。中，△BCD是等邊三角形，ZADB=ZADC,〃是8C

邊的中點.

(1)求證:8。_14)；

(2)M4=3,BC=2拒,從以下兩個條件中任選一個，求直線與平面ACD所成角的余弦值.①平面A3C

與平面3。所成二面角為y；②三棱錐A-BCD的體積為3A/3.

10.(23-24高三上.山東荷澤?階段練習(xí))在如圖所示的五面體A3CMF中，AB￡F共面，是正三角形，

27r

四邊形"8為菱形，ZABC=y,EF//^ABCD,AB^2EF^2,點M為BC中點.

⑴在直線CD上是否存在一點G,使得平面EMG〃平面瓦才請說明理由;

(2)請在下列條件中任選一個，求平面BDF與平面BEC所成二面角的正弦值?

?cosZBDF=-；@EM=2.

4

11.(23-24高三上?湖南張家界?階段練習(xí))如圖①，在梯形ABCD中，AB//DC,AD=BC=CD=2,AB=4,

E為AB的中點，ACDE=O,以DE為折痕把VADE折起，連接AB,AC,得到如圖②的幾何體，在圖②

的幾何體中解答下列問題.

(2)請從