專題3.2一輪壓軸小題導(dǎo)數(shù)技巧：求參

目錄

【題型一】求參1：基礎(chǔ)討論型...........................................................1

【題型二】求參2：分離參數(shù)型...........................................................2

【題型三】求參3：零點(diǎn)型..............................................................3

【題型四】求參4：構(gòu)造函數(shù)型...........................................................3

【題型五】求參5：“分函最值”基礎(chǔ)型...................................................4

【題型六】求參6：“分函值域子集”型...................................................5

【題型七】求參7：保值函數(shù)............................................................6

【題型八】求參8：分離參數(shù)之“洛必達(dá)法”與放縮型......................................7

【題型九】求參9：整數(shù)解求參...........................................................7

【題型十】求參數(shù)10：隱零點(diǎn)型..........................................................8

【題型十一】求參11：復(fù)合函數(shù)（嵌套函數(shù)）型...........................................9

【題型十二】求參12：絕對(duì)值型.........................................................10

二、真題再現(xiàn)..........................................................................10

三、模擬檢測(cè)..........................................................................11

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】求參1：基礎(chǔ)討論型

【典例分析】

若對(duì)任意工￡（0,+8）,不等式（2m）-加nxK）恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值（）

A.y[eB.eC.2eD.e2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

無論大題小題，分類討論求參是導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)，也是復(fù)習(xí)訓(xùn)練重點(diǎn)之一：

1.移項(xiàng)含參討論是所有導(dǎo)數(shù)討論題的基礎(chǔ)，也是學(xué)生日常訓(xùn)練的重點(diǎn)。

2.討論點(diǎn)的尋找是關(guān)鍵。

3.一些題型，可以適當(dāng)?shù)慕柚它c(diǎn)值來“壓縮”參數(shù)的討論范圍

【變式演練】

1.已知函數(shù)〃彳)=犯*-:63一；依2+1,彳€(0,-),若/(x)有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

「22)<2-

A.[e,+oo)B.(e,+oo)C.-e2,+coD.—e2,+co

2.若關(guān)于工的不等式/-。之111%+〃對(duì)一切正實(shí)數(shù)不恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.1B.(-00,e]C.(-oo,l]D.(-00,2]

3.已知函數(shù)〃x)=xe'-ga-g蘇+1,XW(O,M),若〃x)有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.[e,+oo)B.(e,+oo)C.-e2,+coD.-e2,+co

l_3J13J

【題型二】求參2：分離參數(shù)型

【典例分析】

已知不等式元e-i-尤Nlnx+2："+3對(duì)Vxe(O,~H?)恒成立，則加取值范圍為()

A.m<—B.m>--C.m<—2D.m>—2

22

【提分秘籍】

基本規(guī)律

分離參數(shù)是屬于“暴力計(jì)算”型方法，分離參數(shù)：將參數(shù)提取到單獨(dú)的一側(cè)，然后通過求解函數(shù)的最

值來求解參數(shù)的取值范圍。

1.分離參數(shù)思維簡(jiǎn)單，不需過多思考；

2.參變分離原則是容易分離且構(gòu)造的新函數(shù)不能太過復(fù)雜

3.缺點(diǎn)是，首先得能分參，其次求導(dǎo)計(jì)算可能十分麻煩，甚至需要二階，三階。。等等求導(dǎo)。

【變式演練】

1.已知函數(shù)當(dāng)x>l時(shí)，不等式+l恒成立，則人的取值范圍是

A.(-00,-e]B.(-oo,^-]C.(-00,-e2]D.(^o,0]

2.關(guān)于X的方程(％-7)尤2+41!!尤-5+左=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

3.已知函數(shù)/(x)=左e'Tg(x)=lnx+.,且“x"g(”)對(duì)任意的“e(0,”o)恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為

【題型三】求參3：零點(diǎn)型

【典例分析】

已知函數(shù)〃尤)=2W-e*至多有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的最大值為

A.0B.1C.2D.e

【提分秘籍】

基本規(guī)律

(1)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知

識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；

(2)方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可

以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題；

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合

思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

【變式演練】

fxx?0

1.已知函數(shù)〃尤)='-，若函數(shù)g(x)=，(x)-X)有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

ICl111.V,光U

A.(-e,0)B.jC.(-oo,-e)D.[叫一，)

2.若函數(shù)〃力=%+/+6+川北+——Hnx)有零點(diǎn)，貝！Jb的取值范圍是()

A.B.[―1,0)

C.D.(0,+8)

/\\^2~4ax+4,x＜0

3.已知函數(shù)〔Mx+2砒，尤＞°恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.1一B.(-co,T)U(-g，o]

c.D.卜

【題型四】求參4：構(gòu)造函數(shù)型

【典例分析】

對(duì)于任意/，x2e[l,+co),當(dāng)%＞為時(shí)，恒有aln三＜2(々-石)成立；則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

X]

A.(-oo,0]B.(-00,1]C.(-00,2]D.(-00,3]

【提分秘籍】

基本規(guī)律

一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)，需要先構(gòu)造合理的函數(shù)形式再求導(dǎo)研究，以達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)”的目的

【變式演練】

1.對(duì)于任意芯，/w[l,+co),當(dāng)馬>百時(shí)，恒有aln三<2(々-石)成立；則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

xi

A.(-co,0]B.(-00,1]C.(-co,2]D.(-oo,3]

2.已知變量%,％2G(0,(?l>0),且不<々，若》:2<々為恒成立，則機(jī)的最大值.

3.已知函數(shù)〃x)=lnx—2雙，g(x)=--2%,若方程〃x)=g(x)恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，則。

Inx

的取值范圍為()

A.(0,e]B.(0,：,、(1、

C.[e,+=o)D.0,-

ke7

【題型五】求參5：“分函最值”基礎(chǔ)型

【典例分析】

已知"》)=&，+」+62,g(x)=-(x+l)2+aln(x+l),若存在占eR,x,e(-l,-Ko),使得“占)〈85)成

立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

此類函數(shù)，多采用兩函數(shù)“取最值法''。一般地，己知函數(shù)y=/(x),無w[a,b],y=g(尤),xe[c,d]

(1)若依小,可,Vx24G心，總有(蒼)成立,故f(無)1mx<g(無2L；

⑵若％24Gd],有〃不)<g(9)成立，故/(力1nax<g(W)1mx；

(3)若叫w[a,6],切且c,d],有〃占)<g(x2)成立，故“無心<g(務(wù))皿；

⑷若出4a,6],3X2e[c,<7],有〃占)=g(尤?)，則/'(*)的值域是g(元)值域的子集.

【變式演練】

_%3_|_2%<0

''，g(無)=丘+5-2左(左>0),若對(duì)任意的A,e[T,1],總存在％e[T，1]使

-x+3,x>0

得了a)vg(z)成立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為()

2

A.(0,2]B.(0,-]C.(0,3]D.(1,2]

2.已知函數(shù)〃x)=g(x)=l-x，若對(duì)V^eR,總存在使得〃占)>g(%)成立，以下

對(duì)加、〃的取值范圍判斷正確的是().

A.m>2B.m>2C.n>2D.n>2

3.已知f(x)=Inx—：+看，g(x)=—x2—2ax+4,若對(duì)任意的xi￡(0,2],存在為￡[1,2],使得式”1)也(%2)

成立，則〃的取值曷圍國(guó))

A.I8：B.|8)c.1D.(一8,-1

【題型六】求參6：“分函值域子集”型

【典例分析】

已知函數(shù)/'(x)=x?-2x,g(x)=ax+2(a>0),若對(duì)任意西e[-1,2],總存在馬4-1,2],使得,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

.11「1；

A.0,-B.—>3

I2」[2」

C.(0,3]D.[3,+<?)

【提分秘籍】

基本規(guī)律

解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系問題

【變式演練】

-IX<1

1.已知函數(shù)/(%)=<24,,g(x)=G：2+2x+a—l,若對(duì)任意的玉ER,總存在實(shí)數(shù)尤2￡(0,+oo),

log2(x+3),x>1

使得了(%)=8(%2)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.0,|B,0,jC,1斕D,

2.已知嘉函數(shù)/(%)=(加-1)2/T吁2在(0,+8)上單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)=2工T,任意占e口,6)時(shí)，總存在

%e[l,6)使得〃占”8色)，貝心的取值范圍是()

A.1<r<28B.l<r<28C."28或方v1D.此28或

cfasinx+2,x>0「、

3已知函數(shù)/(尤)=21，g(x)=|20(a^R),若對(duì)任意玉總存在&eR,使

〃%)=g伍)，則實(shí)數(shù)°的取值范圍是()

Bu2

A.1W[-Ri)[?

7

c.ju2]D.CU：,2

4

【題型七】求參7：保值函數(shù)

【典例分析】

設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)镈,若滿足條件：存在使〃x)在［加，網(wǎng)上的值域?yàn)閮?nèi)W，kn］(^sR

且左>0),則稱〃x)為“左倍函數(shù)”，若函數(shù)〃x)=優(yōu)(a>1)為“3倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

<3><2>

A.1,/B.(l,e3)C.e^,eD.(e,e3)

k7kJ

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.保值函數(shù)，包括“倍增函數(shù)”，“倍縮函數(shù)”，“K倍函數(shù)”，等等新定義

2.應(yīng)用函數(shù)思想和方程思想。

【變式演練】

L設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?,若存在［。,可口/,使得了(力在區(qū)間［a,可上的值域?yàn)椋廴鐭?左eN*),

則稱/(x)為“攵倍函數(shù)''.已知函數(shù)/(%)=1%(3、-間為“3倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)相的取值范圍為()

2.若存在實(shí)數(shù)K,對(duì)任意xe/,g⑴？筆'(%)成立，則稱g⑴是/'(x)在區(qū)間/上的“K倍函數(shù)”.已知函數(shù)

—爐—2%—4,工,0

“X)=1和g(x)=x,若g(x)是〃力在R上的K倍函數(shù)，則K的取值范圍是__________.

lnx+—,x>0

I2

3.對(duì)于函數(shù)y=〃x),若存在區(qū)間［a,可,當(dāng)xe［a,可時(shí)的值域?yàn)椋廴缥?左>0),則稱尸/⑺為左倍值

函數(shù).若〃x)=e'+2x是上倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.(e+l,+oo)B.(e+2,+co)C.|￡+-,+<?］D.［e+—,+<?|

【題型八】求參8：分離參數(shù)之“洛必達(dá)法”與放縮型

【典例分析】

已知函數(shù)/(x)=*%inx,則下列結(jié)論正確的是()

(jr37r)

A.AM是周期為2〃的奇函數(shù)B.7(x)在-1，彳上為增函數(shù)

71

C.“X)在(-101,10萬)內(nèi)有21個(gè)極值點(diǎn)D./(%)..ax在0,-上恒成立的充要條件是a,,1

【提分秘籍】

基本規(guī)律

如果最值恰好在“斷點(diǎn)處”，則可以通過洛必達(dá)法則求出“最值”。

【變式演練】

1.已知函數(shù)Ax)=finx-a(尤2-1)(aGR),若/(x)20在xG(0,1]時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.[—,+00)B.[g,+oo)C.[2,+oo)D.[l,+oo)

42

2.若對(duì)任意xe(O,;r),不等式/—e~x>asinx恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

A.[—2,2]B.(―oo,e]C.(—00,2]D.(—8,1]

3.若;(a-l)x2+1</-%對(duì)以>0恒成立，貝！J實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(一8,2]B.(-oo,2)C.(-℃,1]D.(一8,3]

【題型九】求參9：整數(shù)解求參

【典例分析】

若不等式aIn(尤+1)-尤3+2/>。在區(qū)間(0,+?)內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

9321(932]

A，21n2'ln5B，121n2‘ln5)

c9321C9}

C-〔赤？而]D.S，+sJ

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.通過函數(shù)討論法，參變分離，數(shù)形結(jié)合等來切入

2.討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)函數(shù)的符號(hào)問題

【變式演練】

1.已知函數(shù)7(尤)=靖-冰-1在區(qū)間(-U)內(nèi)存在極值點(diǎn)，且/食)<0恰好有唯一整數(shù)解，則、/的取值范圍

是()

C.(e-l,e)

2.設(shè)函數(shù)”X)=42垢-1)-改+即其中。>0,若僅存在兩個(gè)正整數(shù)％使得〃飛)<0,貝！的取值范圍

是

33

A.41n2-2<a<31n3——B.41n2-2<a<31n3——

22

C.a>41n2—2D.a<31n3—2

3.已知函數(shù)/(x)=xln無，g(x)=-x2+(a+12)x+2a,若不等式<g(x)的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)

數(shù)”的取值范圍是.

【題型十】求參數(shù)10：隱零點(diǎn)型

【典例分析】

已知一2<”1,且X20時(shí)，5e"+4824(2元一。)5恒成立，貝！的最小值是()

A.-1B.ln2-2C.1-eD.ln3-3

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.代入消參，也是壓軸大題的一個(gè)類型。

2.解題框架(主要的)：

(1)導(dǎo)函數(shù)(主要是一階導(dǎo)函數(shù))等零這一步，有根X。但不可解。但得到參數(shù)和X。的等量代換關(guān)

系。備用

(2)知原函數(shù)最值處就是一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)處，可代入虛根X。

(3)利用X。與參數(shù)互化得關(guān)系式，先消掉參數(shù)，得出X。不等式，求得X。范圍。

(4)再代入?yún)?shù)和X?；セ街星蟮脜?shù)范圍。

【變式演練】

L設(shè)函數(shù)〃x)=/-2e(l+lnx)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

2.已知當(dāng)無e(l,y)時(shí)，關(guān)于x的方程3平二^=7有唯一實(shí)數(shù)解，貝必值所在的范圍是

k

A.(3,4)B.(4,5)C.(5,6)D.(6,7)

3.設(shè)實(shí)數(shù)2>0,若對(duì)任意xe(O,E),不等式In(4x)20恒成立，則幾的取值范圍是()

A.0<2<-B.0<2<^-1C.0<A<eD.0<A<e2

【題型十一】求參11:復(fù)合函數(shù)(嵌套函數(shù))型

【典例分析】

.已知“X)是定義域?yàn)?o,+8)的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的xe(O,+?>),都有//(x)+log,x=4,且方程

_3_

/(X)-3|=丁一6/+9%-4+。在區(qū)間(0,3]上有兩解，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

A.0<?<5B.a<5C.0<?<5D.a>5

【提分秘籍】

基本規(guī)律

換元為主要切入點(diǎn)。注意借助于雙坐標(biāo)系來轉(zhuǎn)換

【變式演練】

ex-1+-,x<0

1.已知實(shí)數(shù)”0,函數(shù)/(x)=2若關(guān)于*的方程/[-/?]=^°+|有三個(gè)不

exl+^x2-(a+1)尤+^,x>Q

-22

等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(1,2H—)B.(2,2d—)C.(1,1H—)D.(2,2H—)

eeee

2.?設(shè)函數(shù)/(x)=q+x-，(Q￡R),若曲線>=釜7(6是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上存在點(diǎn)(%，%)使得

/(/(%))=%,貝!1〃的取值范圍是

A.(-?,0]B.(0,e]C.D.[0,+co)

3.已知a>0,函數(shù)/)=2*7,若函數(shù)F(x)=/(/(x))-x恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

21、/八1八7八1、21

A.[―,—)B.(0,—]C.(0,—)D.[―9~]

eeeeee

【題型十二】求參12：絕對(duì)值型

【典例分析】

已知函數(shù)〃力=2工，8⑺二三+但若不等式/⑴+8⑺+匕⑺-㈤會(huì)/在他+^上恒成立，則a的

取值范圍為()

A.[-6,+℃)B.[-2,+co)C.[0,+oo)D.

【變式演練】

I.已知函數(shù)/（"=匕?竺的定義域?yàn)椋?,4,若對(duì)任意的冷zjo,!],4^上2＞四*1恒成立,

'，/Ie」Ve]菁一%占三

則實(shí)數(shù)M的取值范圍為（）

A.（-＜?,3]B.C.（-＜?,5]D.（-?,6]

2.已知定義在R上的函數(shù)/'（x）滿足（x-4）/'（x）W0,且y=/（x+4）為偶函數(shù)，當(dāng)卜-4|＜民-4|時(shí)，有

（）

A./（8-^）＜f（8-X2）B./（8-%1）＜/（8-%2）

C./（8-X,）＞/（8-X2）D./（8-%1）＞/（8-%2）

3.已知向量。=（x+l,l）,B=（sinx,cosx）,函數(shù)/（x）=a4.若對(duì)于任意的斗,馬e0,^,且工產(chǎn)斗,均有

/㈤―/（%）|＜旭再-則成立,則實(shí)數(shù)，的取值范圍為（）

A.[。,+8）B.[l,+oo）C.（-00,1]D.（-00,0]

真題再現(xiàn)

1.（2021.全國(guó)?高考真題（理））設(shè)立0,若x=a為函數(shù)“x）=q（尤-4（無一°）的極大值點(diǎn)，則（）

A.a＜bB.a＞bC.ab＜c^D.ab＞a1

2.（2。13.全國(guó).高考真題（文））已知函數(shù)?。?扁：：2，若"網(wǎng)"，則”的取值范圍是（）

A.（—oo,0]B.（—oo,l]C.[—2,1]D.[_2,0]

丫2_2^7Y|zj丫1

':若關(guān)于X的不等式/（元）-。

）x-amx,x＞\,

在R上恒成立，貝！I。的取值范圍為

A.[0,1]B.[0,2]C.[0口D.[L,e]

a=O.le°',b=-,c=-ln0.9

4.（2022?全國(guó)?高考真題）設(shè)9，則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

31II

5.（2022?全國(guó)考真題（理））已知a=—,b=cos—,c=4sin—,則（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

6.（2022?全國(guó)?高考真題（理））已知x=%和尤=々分別是函數(shù)/（x）=2優(yōu)-ex?（。＞0且awl）的極小值

點(diǎn)和極大值點(diǎn).若為＜三，則。的取值范圍是.

7.(2022.天津.高二期末)已知函數(shù)/(x)=e*(x-1),則/(%)的極小值為；若函數(shù)g("=如，

對(duì)于任意的王目-2,2],總存在馬4-1,2],使得〃不)>8(々)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

，。模擬檢測(cè),

1.已知函數(shù)〃x)=(x-4-l)e'+3,若存在匕€氏，對(duì)于任意xe[l,2],都有，(力|<1則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是?

2.不等式"+1+/nrW尤/對(duì)于定義域內(nèi)的任意》恒成立，則。的取值范圍為.

3.已知函數(shù)/(無人1111"："：”,方程尸(x)+時(shí)(x)=0(機(jī)eR)有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

[一xe,x<0

圍是()

A.~，TB.U.o]C.C，+oo]D.

4.已知函數(shù)/(x)=