整式的乘除壓軸題特訓(xùn)

一、單選題

1.下列各式中，能用完全平方公式計算的是（）

A.（—2a—/?）（/?—2d）B.（—2a—b）（2a+b）

C.（—3a+2b）（3a+2力）D.（3a+2b）（3a—2b）

2.如圖，在邊長為2a的正方形中央剪去一邊長為（Q+2）的小正方形（a>2）,將剩余部分剪開密鋪成

一個平行四邊形，則該平行四邊形的面積為（）

3.若％3?xmy2n=x9y8,則m+九的值為（）

A.6B.10C.9D.7

4.若多項式—3與2/+2%+3的乘積展開式中不含x的二次項，則Q的值為（）

A.3B.-2C.2D.0

5.若談=5,07=2,則a2A3y的值為（)

、…c25-25c8

A.21B.-CTD?元

6.若a—b=3,%—y=2,則代數(shù)式小—2ab+爐一%+y+2024的值是()

A.2024B.2029C.2031D.2035

7.已知小+岳=13,ab=6,則(a+b)2=()

A.25B.19C.9D.6

8.已知5a=2匕=10,那么雋值為（）

A.1B.2C.-1D.3

9.若方程久2+mx+4=。的左邊是一個完全平方式，則加的值是（）

A.-4B.4C.4或一4D.2或一2

10.“舊城改造”中，計劃在市內(nèi)一塊長方形空地上種植草皮，以美化環(huán)境，已知長方形空地的面積為（3ab+b）

平方米，寬為b米，則這塊空地的長為（）

A.3a米B.(3a+1)米C.(3a+26)米D.?。板+2房)米

11.已知久2+久一3=0,那么代數(shù)式久（X-2）+（x+2）2+5值是（）

A.14B.15C.16D.17

12.計算（一5）2013+（—5）2014的結(jié)果是（）

A.4x52013B.-5C.-4x52013口.-4

13.我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章

算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項式（a+b）n的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三

角”.根據(jù)“楊輝三角”請計算（a+6）1。的展開式中第三項的系數(shù)為（）

3+6)。..............①

(。+9.................①①

(。+6)2...................①②①

"3………①③③①

(a+")……①④⑥④①

(a+好…①⑤⑩⑩⑤①

A.28B.36C.45D.55

14.已知小+b2=ab+1,則代數(shù)式M+b2+ab的值可能是（)

A.-1B-c1D.4

15.已知，a=255,b=344,c=433,則a、b、c的大小關(guān)系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>b>c

16.若(X+2)(%-1)=K2+小比+幾，則m+n=()

A.1B.-2C.-1D.2

17.若6%=3,6、=4,貝1J6A2y的值為（）

33

A.-oB.l—oC.-13D.-5

18.沙棘果富含多種維生素、氨基酸等營養(yǎng)成分，被譽(yù)為“神奇之果”.朔州市當(dāng)?shù)厣臣N植不僅改善了生態(tài)

環(huán)境，還帶動了當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展.某果農(nóng)租了兩塊地種植沙棘，第一塊地是邊長為（a+2）m的正方形，第

二塊地是長為（a+10）m,寬為am的長方形，則第二塊地比第一塊地的面積（單位：m?）多（）

A.2a之+14a+4B.14a—4C.6a+4D.6a—4

19.如圖，通過計算，比較圖①，圖②中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的算式是（）

A.a(b—x)=ab—axB.(a—x)(b—x)=ab—ax—bx+x2

C.(a—x)(b—x')=ab—ax—bxD.b(a—%)—ab—bx

20.若4a=2,4b=3,且4.+28-1=18,則X的值是()

A.1B.2C.3D.4

21.如果9%2+(機(jī)+l)xy+y2是一個完全平方式，那么根的值是()

A.5B.±5C.7D.5或一7

二、填空題

22.已知a=233,b=418,c=8i°,則a、b、c的大小關(guān)系是.

23.如圖，若大正方形與小正方形的面積之差為24,則圖中陰影部分的面積是.

24.若a?—5a+l=0,則。2+1=.

25.有若干張如圖所示的正方形/類、3類卡片和長方形C類卡片.如果要拼成一個長為（2a+b）,寬為

26.在長方形4BCD內(nèi)，將兩張邊長分別為。和6（a〉6）的正方形紙片分別按圖1、圖2兩種方式放置

（圖1、圖2中兩張正方形紙片均有重疊部分），長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表

示，設(shè)圖1中的陰影部分的面積為Si，圖2中的陰影部分的面積為S2，當(dāng)4。-48=2時，S2—Si=

(用字母表示)

圖1圖2

若滿足南士弘式，則式子必的值為

27.X,y4/—9

28.若a+6=5,ab=6,貝!J(Q+l)(h+1)的值是.

29.若％—y=7,且(5—%)(5+y)=1,貝!y2=

30.我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋.現(xiàn)有如圖①所示的三種類型卡片4

B,C,想要拼成如圖②所示的長方形，則需要C類型卡片張.

31.如圖是楊輝三角.

3

46

結(jié)合圖形，觀察下列等式：

(a+b)1—a+b；

(a+b)2=a2+2ab+b2；

(a+=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

根據(jù)前面各式規(guī)律，寫出(a+b)6的展開式的第4項：.

32.如圖，有兩個正方形4B,現(xiàn)將8放在4的內(nèi)部得圖①，將4,B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖②，若

圖①和圖②中陰影部分的面積分別為6和18,則正方形4B的面積之和為

2

33.如果a?+ma+36是一個完全平方式，那么m的值____.

34.(mx+3)(2—3%)展開后不含x的一次項，m的值___.

35.如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”.例如，16=52-32,

16就是一個智慧數(shù).在正整數(shù)中，從1開始，第2021個智慧數(shù)是

三、解答題

36.某廣場有一塊長為(5a+36)米，寬為(4a+2b)米的長方形地塊，規(guī)劃部門計劃在其四周各修建一個兩

邊長都為(2a+b)米的直角三角形區(qū)域作為道路，在中間修建一個邊長為(3a+2b)米的正方形花壇，其

余陰影部分規(guī)劃為綠化地帶，尺寸如圖所示.

2a+b

(1)用含0、6的式子表示綠化地帶的面積(結(jié)果要化簡);

(2)若a—5,b=20,請求出綠化地帶的面積.

37.數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片，4種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b

的正方形，C種紙片是長為b,寬為a的長方形，并用4種紙片一張，8種紙片一張，C種紙片兩張拼成如

圖2的大正方形.

(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積：方法1：；方法2：:

(2)觀察圖2,請你寫出代數(shù)式：(a+6)2,a2+b2,ab之間的等量關(guān)系；

⑶根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系，解決如下問題：

①已知：a+6=5,a2+/?2=13,求ab的值；

②已知(2024—a)2+(a—2023)2=5,求(2024—a)(a—2023)的值.

38.閱讀：若x滿足(80—x)(x—30)=20,求(80—久尸+(久一30尸的值.

解：設(shè)80—x=a,x—30—b,

則(80—x)(%—30)=ab=20,

a+/?=(80-x)+(x-30)=50,

所以(80—x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=502-2X20=2460

請仿照上例解決下面的問題：

(1)若x滿足(70—％)Q—50)=-40,求(70—久尸+(x—50)2的值.

(2)若x滿足(2025-x)2+(2024—x)2=2023,求(2025—久)(2024-x)的值.

(3)如圖，正方形4BCD的邊長為=50,FB=80,長方形AFNP的面積是1000,四邊形NGQP與APME

都是正方形，四邊形PQHM是長方形，求圖中陰影部分的面積之和(結(jié)果必須是一個具體數(shù)值).

39.用圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個如圖2所示的正方形.

(1)根據(jù)圖2中陰影部分的面積關(guān)系，直接寫出代數(shù)式(a+6)2,a2b2,2ab之間的數(shù)量關(guān)系:

(2)根據(jù)完全平方公式的變形，解決下列問題.

①已知m+n=5,mn=4,求^^+聲的值.

②已知(無一98)2+(100—％)2=34,求(％-98)(100-x)的值.

40.閱讀材料:

對于多項式/+2x+2,雖然不能寫成完全平方形式，但是可以寫成/+2x+1+1=(x+l)2+1,更

一般的，對于二次項系數(shù)不為1的二次三項式a/+6x+c(a*0),它總是可以化為a(x+h)2+k的形式,

例如：2/+4x—3=2(/+2%+1)—5=2(x+l)2—5.將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等

變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，這就是一個配方的過程.這種配方法常被用到代數(shù)式的

變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題.

根據(jù)以上內(nèi)容回答下列問題：

(1)代數(shù)式3%2+12x-1經(jīng)配方可化為；

⑵已知△ABC的三邊長分別為a,b,c且滿足a?+扶—8a—106+41=0,求邊c的取值范圍；

(3)已知P=根2+4n+13,Q=—m2—n2+8m—1,試比較P與Q的大小.

41.如圖，邊長為。的大正方形有一個邊長為6的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形(如圖2

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是:

(2)請利用你根據(jù)(1)中的等式，完成下列各題:

①已知9a2—房=36,3a+b=9,貝！|3a—6=

②計算:(D.a—3)?a—9?a——嬴)?

42.已知2a=10,5b=10,2c=5

(1)求的值.

(2)若x=5ft,y=(125*+3,用含x的代數(shù)式表示y值.

43.(1)【知識回顧】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問

題.圖1中陰影部分的面積能解釋的乘法公式為；圖2中陰影部分的面積能解釋的乘法公式為

(2)【拓展探究】用4個全等的長和寬分別為小6的長方形拼擺成一個如圖3的正方形.

①通過計算陰影部分的面積，直接寫出這三個代數(shù)式(a+b)2,(a-。/，ab之間的等量關(guān)系.

②若a—6=10,ab=11,求a+b的值.

(3)【解決問題】如圖4,C是線段4B上的一點(diǎn)，分別以AC,BC為邊向兩邊作正方形4CDE和8CFG,

設(shè)2B=6,兩正方形的面積和為20,求△4FC的面積.

44.【知識生成】我們知道：對于一個圖形，通過不同的方法計算幾何圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式,

請結(jié)合圖形解答下列問題:

圖①圖②圖③

(1)如圖①是一個長為2a,寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形，然后按圖②

的形狀拼成一個正方形，用兩種不同的方法求陰影部分的面積，得到的數(shù)學(xué)等式是;

【知識應(yīng)用】

(2)若x+y=7,xy=7，求久一y的值；

【知識遷移】類似的，用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積，也可以得到一個恒等式.

(3)如圖③是用2個小正方體和6個小長方體拼成的一個大正方體，類比(1),用不同的方法表示這

個大正方體的體積，得到的數(shù)學(xué)等式是；

(4)已知a+b=7,a2b=50,而2=20,利用⑶中所得等式，求代數(shù)式+a的值.

45.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事

休.數(shù)形結(jié)合思想是解決問題的有效途徑.請閱讀以下材料:若(％+4)(x—1)=6,求Q+4/+(x-1)2

的值.

解：設(shè)x+4=a,x—l=b,

則ab=(x+4)(%—1)=6,cz—b=(%+4)—(x—1)=5,

(x+4)2+(x—l)2=a2+b2=Qa—b)2+2ab=52+2x6=37

根據(jù)以上材料，解決下列問題：

(1)若(x—1)(4—%)=-1,求(x—I)2+(4-x)2的值；

(2)如圖，已知數(shù)軸上4C,8三點(diǎn)表示的數(shù)分別是小，5,9.分別以4B,AC為邊作正方形4BDE、正

方形2CFG,延長GF交BD于點(diǎn)兒若長方形2BHG的面積為8.求正方形力BDE與正方形力CFG面積的和.

46.數(shù)形結(jié)合是我們解決數(shù)學(xué)問題常用到的思想方法.如圖2,我們通過兩種不同的方法計算陰影部分的面

積，可以得到一個數(shù)學(xué)公式.

圖1圖2

【操作】圖1是一個長為2血、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2

的形狀拼成一個正方形.

【計算】（1）請用兩種不同的方法求出圖2中陰影部分的面積.

方法1：;

方法2：.

【總結(jié)】（2）觀察圖2并結(jié)合前面的計算，我們可以得出（爪+兀）2,（m-n）2,nm三個代數(shù)式之間的

等量關(guān)系為;

【應(yīng)用】（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決下列問題：若a—%=7,ab=4,求（a+6）2的值.

47.通過小學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道：周長一定的長方形中，正方形的面積最大.此結(jié)論可以利用圖形的割補(bǔ)

加以說明.

圖3

(1)【方法理解】

已知長方形的周長是12,設(shè)長方形的一邊長是無，則相鄰一邊長是(6—%).

①當(dāng)0<x<3時，如圖1,將此長方形進(jìn)行如下割補(bǔ).如圖2,長方形B的一邊長是x,相鄰一邊長是

.如圖3,將長方形B割補(bǔ)到長方形力的右側(cè)，陰影部分是一個邊長為的正方形(以上兩

空，均用含x的代數(shù)式表示).通過上述割補(bǔ)，圖1中長方形的面積可以看成圖3中兩個正方形的面積

之差，所以代數(shù)式x(6—幻、9、(3—x)2滿足的等量關(guān)系是；

②當(dāng)3<x<6時，類似上述過程進(jìn)行割補(bǔ)；

③當(dāng)x=3時，該長方形即為正方形；

綜上分析，周長是12的長方形的最大面積是；

(2)【方法遷移】

當(dāng)一2<久<6時，仿照上述割補(bǔ)過程，求代數(shù)式(6-x)(4+2支)的最大值.

48.綜合與探究

【閱讀理解】

圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中數(shù)的關(guān)系，而運(yùn)用代數(shù)思想也能

巧妙地解決一些圖形問題，“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”就是數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法一數(shù)形結(jié)合.

某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在研究數(shù)形結(jié)合思想方法時，準(zhǔn)備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中,

甲種紙片是邊長為x的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，丙種紙片是長為外寬為x的長方形,

并用甲種紙片一張、乙種紙片一張、丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方形.

yx

圖1圖2

（1）觀察圖2,用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式:

（2）利用（1）中的等式解決問題：若x+y=10,xy=19,則必+必的值為.

【拓展探究】

該學(xué)習(xí)小組在研究過程中還發(fā)現(xiàn)一些較為復(fù)雜的式子也能用類似方法求解.

例：若x滿足（20—久）（％—30）=10,求（（20—久了+（久一30）2的值.

解：設(shè)a=20—%,b—x—30,

則(20—久)(x—30)=ab=10,a+b=(20-x)+(x-30)=20-30=-10.

22

(20-x)+(x-30)2=a2+b2=5+b)2-2ab=(-10)-2x10=80.

（3）如圖3,將正方形EFG”疊放在正方形4BCD上，重疊部分LFKD是一個長方形，AL=2,

CK=6.沿著LD,KD所在直線將正方形EFGH分割成四個部分，若四邊形ELOV和四邊