熱點(diǎn)07正弦定理與余弦定理

明考情?知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

2022年，第16題，考察解三角形和三角函數(shù)

解三角形"是每年天津高考?？純?nèi)容，出現(xiàn)在解答題

2023年，第16題，考察解三角形和三角函數(shù)

中。對(duì)于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)

2024年，第16題，考察解三角形和三角函數(shù)

單應(yīng)用；二是考查兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用，常與兩角和

差公式，二倍角公式綜合在一起考察。

熱點(diǎn)題型解讀

題型5三角形面積

題型6三角形周長(zhǎng)

正弦定理與余弦定理

題型3正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)

題型1利用正（余）弦定理解三角形

-W

1、在AABC中，若角A、8及C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為。，b及c,其外接圓半徑為R,則

abc八八

①-----=------=------=2R

sinAsinBsinC

?asmB=bsinA；bsinC=csinB；asinC-csinA；

③sinA:sin:sinC=a:b:c

abca+b+ca+ba+cb+c…

④------=-------=-------=-------------------------=----------------=----------------=----------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

⑤a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）

⑥sinA=&,sinB=—,sinC=—（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）

2R2R2R

2、余弦定理

2.1余弦定理的描述

①文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩

倍.

②符號(hào)語(yǔ)言：在AABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是則：

a2=b2+c2-2Z?ccosA；

b2=a2+c2-2QCCOSB

c2=a2+b2-2"cosC

2.2余弦定理的推論

b1+c2-a2

cosA=

2bc

a-be2-b2

cosB=

lac

2

[2+/-c

cosC二

2ab

1.（2024,天津北辰三模）在VABC中，網(wǎng)=2后，。為VA3C外心，且AO-AC=1，則-4BC的最大

值為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、平面向量數(shù)量積的幾何意義、基本不等式求和的最小值、求投影向量

【分析】

根據(jù)三角形外心性質(zhì)及數(shù)量積的幾何意義，可得AO在AC方向上的投影向量為;AC,從而求得

|AC|=V2,再根據(jù)余弦定理及基本不等式可求得最值.

【詳解】

由。為△ABC外心，可得AO在AC方向上的投影向量為^AC，

則AO.AC=；AC2=I,故=

又,耳=20,設(shè)|BC|=a,

則cosZABC=（2國(guó)+“二》2=注￡

2x2,2。4J2a

=-1—+a>2I3x—

2版a4近一V20a4722'

當(dāng)且僅當(dāng)a=卡時(shí)等號(hào)成立，

由0°<ZAfiC<180°可知,Q°<ZABC<30°,

故ZABC的最大值為30。.

故選：A.

2.（2024?天津紅橋?二模）在VA3C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知。=6,cosB=1,

⑴求c的值；

（2）求6的值；

⑶求cos128+胃的值.

【答案】⑴2

⑵40

入7肉4加

18

【知識(shí)點(diǎn)】給值求值型問(wèn)題、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，即可得解；

（2）利用余弦定理計(jì)算可得；

（3）根據(jù)平方關(guān)系求出sinB,即可求出sin23、cos25,最后由兩角和的余弦公式計(jì)算可得.

【詳解】（1）因?yàn)閎sinA=3csinB,由正弦定理可得次?=3仍，所以a=3c,

又a=6,所以。=2；

（2）由余弦定理/二/+。2-2accos3,

即&2=62+22-2X6X2X-=32,

3

所以/?=4收（負(fù)值已舍去）；

（3）由COS3=G，BG（0,7i）,所以sin8=J1—cos?B=2y,

33

所以sin23=2sinBcosB=2x—x?忘=《虛,

339

cos2B=2cos2B-l=2x|—j-1=——,

⑶9

/兀）7171

所以cos2B+—=cos2Bcos——sin2Bsin—

I6J66

764A/21773+472

=x------------x—=-----------------.

929218

3.（2024?天津?一模）在VA6C中，角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c.已知b=sinA=0sinC,

口_5叵

COSD=------.

8

⑴求。的值；

（2）求cosC的值；

⑶求sin（2C+3）的值.

【答案】（1）20

（2）1

⑶呼

【知識(shí)點(diǎn)】給值求值型問(wèn)題、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由余弦定理計(jì)算可得；

（2）利用余弦定理計(jì)算可得；

（3）首先求出sinC,從而由二倍角公式求出sin2C、cos2C,最后由兩角和的正弦公式計(jì)算可得.

【詳解】（1）因?yàn)閟inA=A/2sinC，

由正弦定理可得。=缶，

又b=行，cosB=-----，

8

由余弦定理cosB="+c2=迫,即2.?+?2_（碼_5垃,解得。=2或。=一2（舍去），

2ac82后8

所以a=>/2c=2A/2-

（2）由余弦定理（03（7_.+._。2_僅后）+（拒）_2?_3.

2ab-2x2及x0-4

（3）由（2）nT^sinC=Vl-cos2C=—,

4

所以sin2C=2sinCcosC=2xx—=§0,

448

cos2C=2cos2C-l=2x|-|-1=-,

⑷8

又sin3=Vl-cos2B=,

8

所以sin（2C+B）=sin2CcosB+cos2CsinB

3a5后i9A/T?

=---------X-------------F—X---------=-----------.

88884

4.（2024?天津河?xùn)|?一模）在三角形A3C中，角A,民。所對(duì)的邊分別為〃也J已知〃=8,3Q=7C,

7-13

b>Q,COSC=——.

14

⑴求角A的大??；

⑵求sin（A+2C）的值；

⑶求邊。的值.

【答案】⑴ZA=60。；

98

⑶c=3.

【知識(shí)點(diǎn)】已知兩角的正、余弦，求和、差角的正弦、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、余弦定理

解三角形

【分析】⑴先求出sinC=述，故sinA=3,根據(jù)大邊對(duì)大角，得到A為銳角，求出ZA=60。；

142

(2)由二倍角公式得到sin2C,cos2C,進(jìn)而利用和角公式求出答案；

(3)由余弦定理求出c=3.

【詳解】(1)因?yàn)閏osC=E，sin2C+cos2C=bCG(0,TI),解得sinC二至，

1414

由已知3sinA=7sinC,sinA=—，

2

又b>a,故

故解得ZA=60。；

oo71

(2)sin2C=2sinCcosC=-------,cos2c=cosC-sinC=一,

9898

sin(A+2C)=sinAcos2C+cosAsin2C=~~~~；

2

17Q2,^2_T_c

(3)由cosA=—,〃=—c得°

23cosA=-----------

2x8c2

整理為5c2+9。-72=0,解得。=3或。=—彳(舍).

5.(2023?天津北辰?三模)在VA3C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.滿足(2a-c)cos3=6cosC.

(1)求角B的大??；

⑵設(shè)a=4,b=25/7.

(i)求c的值；

(ii)求sin(2C+B)的值.

【答案】明

(2)(I)c=6；(ii)—空

14

【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理

解三角形

【分析】(1)利用正弦定理和誘導(dǎo)公式求解即可.

(2)(i)利用余弦定理求解即可；(ii)利用二倍角公式，兩角和的正弦定理結(jié)合即可求解.

【詳解】(1)由(2a-c)cos5=/?cosC,

根據(jù)正弦定理得，(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

可得2sinAcos3=sin(B+C)=sinA,

因?yàn)镺VAVTT,故sinAwO,則cosB=—,

2

TT

又0<B<n,所以5=耳.

(2)由(1)知，B=且a=4,b=2冊(cè),

a2+c2-b2

(i)貝ijcos3=

lac

即L16+c--28,解得c=_2(舍)，c=6.

22x4xc

故c=6.

(ii)由(2々-c)cos5=/?cosC,

得(2x4-6)XJ=2>/7COSC,

解得cosC=—^―,貝！IsinC=3匹

1414

cos2C=2cos2C—1=-----,

14

貝Ijsin(2C+=sin2CcosB+cos2CsinB

題型2判斷三角形形狀

判斷三角形形狀時(shí)，可利用正余弦實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊或角的形式，還要注意三角形自身的特點(diǎn)

①sinA=sin8=A=8nAABC為等腰三角形

■JTTT

②sinA=cosBnA+B=-^A-B=5n△ABC直角三角形或鈍角三角形

■JT

③sin2A=sin2864=B或A+B=7n△ABC為等腰三角形或鈍角三角形

④cos2A=cos2B今4=20AABC為等腰三角形

⑤4+b?=c^ncosC=00AABC為直角三角形

⑥02+方2-2<o=>cosC<0

或/<0=>cos8<0=>ZkABC為鈍角三角形

22

或從+c-a<0=>cosA<0

@a2+b2-c2>0=>cosC>0

且6+c2-b2>0=cosB>0今AABC為銳角三角形

J!L&2+c2-a2>0=>cosA>0

1.（2024?河北秦皇島?三模）在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且B=2C,bfa，

則（）

A.VA5C為直角三角形B.VA3C為銳角三角形

C.VABC為鈍角三角形D.VABC的形狀無(wú)法確定

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】由正弦定理得sinB=0sinA，利用正余弦的二倍角公式、兩角和與差的正弦展開(kāi)式化簡(jiǎn)可得

4^cos2C-2cosC-V2=0，解方程可得答案.

【詳解】由b=42a，可得sin5=后sinA，

則sin2C=6sin（7i-3C）=&sin3C,

sin2C=V2sin2CcosC+A/2COS2C-sinC，

2cosC=2A/2COS2C+V2^2COS2C-1）,

即4A/2COS2C-2COSC-V2=0，

由3=2C>C,故C只能為銳角，可得cosC=Y2,

2

因?yàn)?<C<5,所以c=；,B=j

242

故選：A.

2.（2024?陜西渭南?三模）已知VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若人cosC+ccos3=b,

S.a=ccosB,貝IjVABC是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】由正弦定理和sinA=sin（B+C）得到。=6,cosC=0,求出C=],得到答案.

【詳解】bcosC+ccosB=b=>sinBcosC+sinCcos3=sin3=sin（3+C）=sin3,

BPsinA=sinB,故a=6,

a—ccosB=>sinA=sinCcosB=>sin（B+C）=sinCcosB

=>sinBcosC+cosBsinC=sinCeosB=>sinBcosC-0,

因?yàn)?6（0,/,所以sinBwO,故cosC=0,

因?yàn)镃e（O,?t）,所以C=],

故VABC為等腰直角三角形.

故選：D

3.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模）已知VABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足2"+b=2c8s8,

J!LsinA+sinB=l,貝UVABC的形狀為（）

A.等邊三角形B.頂角為120。的等腰三角形

C.頂角為150。的等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、正、余弦定理判定三角形形狀

12兀

【分析】由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)2?+〃=2c8s8,可得cosC=-/,即。=號(hào)，再由兩角差的

jr

正弦公式化簡(jiǎn)sinA+sin3=l,可得A=5=：,即可得出答案.

6

[詳解】由正弦定理可得2sinA+sinB=2sinCeosB,

因?yàn)锳+3+C=TI,所以3+C=7i—A,

所以2sin（3+C）+sinB=2sinCeosB,即2sin3cosC+2cosBsinC+sinjB=2sinCcosB,

即2sinBcosC+sinB=0,因?yàn)??0㈤,所以sin區(qū)wO,

1Ojr-rr

所以cosC=—因?yàn)??！辏?,兀），所以C=3~,所以B+A=§,

因?yàn)閟inA+sin_B=l,所以sinA+sinA）=l,

所以sinA+^^cosA-^sinA=1,BPcosA+—sinA=1,

2222

即$m（人+1）=1,因?yàn)锳GK,5）所以A+]=5,所以A=S，

因?yàn)?+A=g.所以A=3=m，

36

所以VABC的形狀為頂角為120。的等腰三角形.

故選：B.

4.（2023?甘肅酒泉?三模）在VABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若（=史生2型，則VA3C的形

bsinBeosA

狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理邊角互化的應(yīng)用、正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】由正弦定理，余弦定理化角為邊，化簡(jiǎn)已知等式可得（片-廿乂/+〃-。2）=。，即可判斷VABC的

形狀.

序42_2〃242_72

【詳解】由正弦定理，余弦定理及a2cosAsinB=Z?2cosBsinA得，a2----------------b=b2-----------------a,

2bclac

112222244222

a[b+c-a^=b（^a+c一/）,即a-b+c（Z?-?）=O,

貝|+62）（/_J2）+C2僅2一々2）=o,即（〃2_/）（々2+/一02）二0,

:.a=b^a2+b2=c2,:.ABC為等腰三角形或直角三角形.

故選：D.

5.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）在VABC中，。是5C邊的中點(diǎn)，且AB=3,AC=2,40=百，則VABC

的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.無(wú)法確定

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】分別在和，ACD中，利用余弦定理得到兩個(gè)等式，然后兩式相加，得到BC,然后在VA3C

中，由余弦定理判斷.

【詳解】解：在△ABD中，由余弦定理得AB?=A/P+BD?一2AD.3Z>COSNADB,

在，ACD中，由余弦定理得AC-=AD2+DC2-2AD-DCcosZADC,

兩式相加得3￡>2+￡>。2=7,則DC=恒，BC=A/14，

2

在VABC中，由余弦定理得cosA=4"+8c_=_J_<0,

2ABXAC12

所以VABC是鈍角三角形，

故選：c

題型3正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)

I

1）已知兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

i

2）已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。

例如：已知a,b和A,用正弦定理求B時(shí)的各種情況：（多解情況）

I

①若A為銳角時(shí)：

i

a<bsinA無(wú)解

a=bsinA一解（直角）

bsmA<a<b二解（一銳,一鈍）

a>b一解（銳角）

已知邊a,b和/A

a<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<b

無(wú)解僅有一個(gè)解有兩個(gè)解

a<b無(wú)解

②若A為直角或鈍角時(shí):

a>b一解（銳角）

7T

L（2024?湖北黃岡?一模）已知VABC的內(nèi)角A,氏C所對(duì)的邊分別為a,b,c,A=^,b=3,下面可使得VABC

有兩組解的。的值為（）

A.—B.3C.4D.e

2

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)

【分析】根據(jù)加inA<a<b,即可得到答案.

【詳解】要使得VA5c有兩組解，則6sinA<a<6,又A=g,b=3,得到乳1<。<3,

32

故選：D.

2.（2024?寧夏銀川?三模）VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,且a=4,sinC=1,若VABC有

4

兩解，則c的取值可能為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)

【分析】由題意可得asinC<c<a,計(jì)算即可得.

【詳解】由題意可得asinC<c<〃，即l<c<4.

故選：A.

3.（23-24高一下?天津河西?期中）根據(jù)下列情況，判斷三角形解的情況，其中有唯一解的是（）

A.a=20,b=ll,5=30。B.a=6,c=4,C=60°

C.》=18,c=20,5=120。D.〃=30/=25,A=150。

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)

【分析】由正弦定理結(jié)合大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

旦」10

【詳解】對(duì)于A,由正弦定理可得：SinA，，所以sinA=U，

211

因?yàn)椤?gt;〃，所以A>8,所以三角形有2解，故A錯(cuò)誤；

6_4r

對(duì)于B,由正弦定理可得：而久=:萬(wàn)，所以sinA=±@>l,此三角形無(wú)解，故B錯(cuò)誤；

T4

18_20

對(duì)于C,由正弦定理可得：赤=忑,所以sinB=%r^,

T20

因?yàn)椤?lt;c,所以3<C,則C為鈍角，不成立，所以無(wú)解，故C錯(cuò)誤；

3025「

對(duì)于D,由正弦定理可得：1sinB，所以

512

因?yàn)?>8，所以A>3,所以此三角形只有唯一解，故D正確.

故選：D.

4.（23-24高一下?浙江寧波?期中）在VABC中，a=x,b=2,8=60。，若三角形有兩解，則x的取值范

圍是（）

A.2<x<2y/3B.2<x<->/3C.#,<x<2D.2<%<-73

33

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)

【分析】過(guò)C作CDLAB于。，根據(jù)3C,CZ）,AC的長(zhǎng)度大小關(guān)系判斷三角形個(gè)數(shù)，即可確定參數(shù)范圍.

【詳解】由題設(shè)，過(guò)C作CDLAB于。，如下圖示，

fC￡）=xsin600<24r―

則°,可得2<x<g者時(shí)，三角形有兩解.

當(dāng)xsin60o>2,即時(shí)，三角形不存在；

當(dāng)x=2或時(shí)，△ABC分別對(duì)應(yīng)等邊三角形或直角三角形，僅有一個(gè)三角形；

當(dāng)x<2時(shí)，在射線3。方向上有一個(gè)△ABC,而在射線方向上不存在，故此時(shí)僅有一個(gè)三角形;

A

5.(23-24高一下?天津?階段練習(xí))在VABC中，已知6=2,4=30。，且該三角形有唯一解，則。取值范圍一

【答案】{1燈[2,+8)

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)

【分析】利用正弦定理得出。與sinB的關(guān)系式，再根據(jù)三角形有唯一解，可得8只有一個(gè)值，根據(jù)正弦函

數(shù)的圖象與性質(zhì)得到8的范圍，且當(dāng)8為直角時(shí)，也滿足題意，進(jìn)而可得出。的取值范圍.

【詳解】.在VABC中，b=2,A=30。，

2x-

由正弦定理得sm8=變史4=-2=1>A=30°,.-.0<5<1500,

aaa

要使三角形有唯一解，得至!)0<3430。，即OvsinB?；,

0<—<—,解得〃之2,

a2

又3=90。時(shí)，三角形也只有一解，

此時(shí)。=1,.,.的取值范圍為"}|』2,+8).

故答案為：{l}[L2,+8).

題型4三角形邊長(zhǎng)比值(代數(shù)和)

方法：化角

(1)利用正弦定理a=2RsinA；/2=2火5批8;。=2火5達(dá)。將邊化為角；

(2)根據(jù)題意求出角的范圍；

(3)結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)求解

二7號(hào)五面二示兵系浪用薪函錄5巨斯海5訪三不芮福工方工嗣近蔚ij泊石口:瓦直二浸■二m

(1)求A；

(2)若VABC的面積是班,c=2b,求。；

/、

⑶若。為邊AC上一點(diǎn)，且滿足=2+i~產(chǎn)——，0=2正，試求3D+CD的最大值.

\AB\COSA\BD\COSZCDB

7T

【答案】（1）A=§;

（2）a=V6;

⑶最大值為4.

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍、基本

不等式求和的最小值

【分析】（1）用余弦定理即可求解；

（2）利用三角形面積公式即可求解；

（3）取的中點(diǎn)為E,先證明郎_LAC,得到一ABD為等邊三角形，再結(jié)合余弦定理和基本不等式求解

即可.

【詳解】（1）由余弦定理可得/=62+c2-2bccosA,

又b2=a1—c2+betBPa2—b2+c2—be＞cosA=—,

7T

Ae(0,71),A=—；

3

(2)S=—bcsinA=^-bc=y(3,...be=4,

24

又.c=2b,/.b=A/2，c=2A/2，

a2=b1+c2-bc=6y：.a=\[6;

(3)取的中點(diǎn)為E,則區(qū)4+&)=2B￡，

ABACBDAC

(BA+BD)-AC=2BE-AC=2(-+)=^(|AC|-|AC|)=0,

|ABIcosA\BD\cosZCDB

/.BE±AC,BA=BD,XA=—,ABD為等邊二角形,^BDC=—,

J。

在,BDC中，由余弦定理可得BC2=BD2+CD2-2BDCDcosNBDC，

即a2=(BD+CD)2-BDCD=12,

又由基本不等式可得瓦＞?！岸。?="丁

?.3（B￡）+C￡＞）＜12,當(dāng)且僅當(dāng)BD=CD時(shí)等號(hào)成立,

4

:.BD+CD＜4,，勖+⑦的最大值為4.

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，角A,5,C的對(duì)邊分別是。也。，且他+。854=〃（85呂-以）5。）.

（1）證明：A=2B.

⑵若VABC是銳角三角形，求士b的取值范圍.

a

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

⑵（￥￥）?

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的正弦公式、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、證明三角形中的恒等式或不等式、求三角形中

的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍

【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系及和差角正弦公式得到sin（A+C）=sin（A-3）,結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)即可證

結(jié)論；

TTTTI

(2)由題設(shè)得應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、倍角正弦公式有h2=「三，即可求范圍.

64a2cos4

【詳解】(1)由題設(shè)(sin5+sinC)cosA=sinA(cosB-cosC),

所以sinBcosA+sinCcosA=sinAcosB—sinAcosC,

則sinCcosA+sinAcosC=sinAcosB—sin5cosA,即sin(A+C)=sin(A-B),

又A+C=7i—5,貝依皿(兀-3)=51口5=5111(4—5),且A,3￡(0,7i),

所以3=A—5=A=25,得證.

?.兀兀

0<A<—Q<2B<-

22

7171

（2）由題設(shè)■0<B<-即，0<B<-,得…，

22

71

'<A+8<7i-<3B<71

：2[2

1黑二黑二2濡而cosBe（號(hào)務(wù)故/J,今

cosB-sinC

3.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別記為〃，b,c,且tanA=

cosC+sinB

（1）若8=?,求C的大小.

（2）若〃=2,求b+c的取值范圍.

【答案】（l）C=q

⑵（2次）

【知識(shí)點(diǎn)】三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題、正弦定理解三角形、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍

_sin

【分析】（1）由tanA=----------------,得sinAcosC+sinAsin5=cosAcos5—cosAsinC,再利用兩角和差

cosC+sinB

的正余弦公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求得A8的關(guān)系，即可得解；

（2）利用正弦定理求出反c,再根據(jù)48的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

、“cosB-sinC=一、，sinAcosB-sinC

【詳解】⑴因?yàn)?必=授五"’所以高萬(wàn)'

即sinAcosC+sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,

即sinAcosC+cosAsinC=cosAcosB—sinAsin5,

所以sin(A+C)=cos(A+5),即sinB=cos(A+B),

而A,8e(0,兀)，所以B+A+8=|?或B-(A+B)=B，

所以A+2B=g或A=-g(舍去)，

22

又因?yàn)?=9所以A=3，

66

兀

所以c=2T；

TT

(2)由⑴得A+2B=,

因?yàn)?=——b=——c,

sinAsinBsinC

.asinB2sinB2sinB2sinB

b---------~---------=---------------------------

所以sinAsinA.(兀cdcos2B,

sin——2B

12

.2sin—+B

asinC2sinC_(2J_2cosB

sinAsinA.\7icos25

sin——2B

(2)

2(sinB+cos2(sinB+cos8)2叵

則cos2Bcos2B-sin2BcosB-sinB(兀、，

cosBn+—

I4j

0<B<7l

兀TT

又由彳0<]-28<兀，<0<B<-,

0<—+B<7t

I2

所以:+：后，所以0<cos[B+V<*，

所以b+C￡（2,KO）.

4.（2024?四川瀘州?一模）設(shè)VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且溶1=您經(jīng)處

ab+c

⑴求A；

⑵若2加+°2的最大值為6+26，求。的值.

【答案】（1）A=1;

（2）a=5/3.

【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題、正弦定理邊角互化的應(yīng)

用、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍

【分析】（1）禾U用正弦邊角關(guān)系及差角正弦公式得sinGB-A）=sin（A-C）,結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角A的

大??；

（2）根據(jù)正弦邊角關(guān)系及倍角余弦公式可得2〃+°2J/?-2cos23-cos2C）,結(jié)合及三角恒等變

3

換有力2+°?=2/[1+等sin（2jB一三）],最后根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)及已知求邊長(zhǎng).

【詳解】（1）由題設(shè)及正弦邊角關(guān)系，有任4=叫+”,

sinAsmB+sinC

所以sinBcosA+sinCcosA=sinAcosB+sinAcosC,

整理得sin3cosA—sinAcos3=sinAcosC-sinCcosA,即sin（B-A）=sin（A-C）,

顯然3—A+A—C=5—C=TI不合題設(shè)，貝ijB—A=A—C,

所以A=^A+B+C=7t,可得A=].

,abc一2asinB2asinC

⑵由嬴葭砧可得匹k'

所以2〃+c2-4/(2sin2B+sin2C)_2a2(3-2cos2B-cos2C)

+C-3-3

由(1)知：B+C-,則2產(chǎn)后-冽

2/(3+乎sin28-1cos2B)=2a2口+3sin(2B_馬],

-333

由0<8<曰，則-]<23-三<兀，又2廿+，的最大值為6+26，

所以2/(l+g)=6+2g,可得a=6(負(fù)值舍)，

綜上，a=\/3.

5.（23-24高一下?北京?期末）已知△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,S,b2+c2=a2-2bcsinA.

（1）求A的大??；

（2）若。是邊AB的中點(diǎn)，且CD=2,求c+2回的取值范圍.

【答案】（1）4=不

4

⑵（4,4⑹

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍

【分析】（1）根據(jù)余弦定理可以求解；

（2）令NACD=。，利用正弦定理，把邊長(zhǎng)瓦c都用。表示，最后用三角函數(shù)知識(shí)解得取值范圍.

【詳解】（1）因?yàn)?+/=/_2/?csinA

一2AsinA

所以cosAJ+c-一=-sinA,

2bc2bc

所以tanA=—l,又因?yàn)锳e(O,7t),所以A=7；

(2)

令NACD=。,因?yàn)锳=與，所以

CD2nb=2夜sin]；一6

由正弦定理可得:sinA.3兀

sin—

4

ADCDAD2

——=-.....=>——=-------=>AO=2應(yīng)sin。

sin0sinAsin0sjn3K

T

所以c=2AD=40sin。，

所以c+2傷=4&sin6?+2&x20sin(：—e)=40cose

又因?yàn)樗詂osOe

所以c+2后e(4,40)

題型5三角形面積

00

①s='乂底乂高；

2

!@S=—absmC=—acsmB=—bcsmA；

222

③S=g(a+Z?+c)r(其中，a/,c是三角形ABC的各邊長(zhǎng)，廠是三角形ABC的內(nèi)切圓半徑)；

:④S=Unhr(其中，a,b,c是三角形ABC的各邊長(zhǎng)，R是三角形ABC的外接圓半徑).

4R

2、三角形面積最值：

核心技巧：利用基本不等式。6<(苫^)24日產(chǎn)，再代入面積公式.!

3,三角形面積取值范圍：

「核心技巧：利用正弦定理a=2HsinA,Z?=2RsinB,代入面積公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取

值范圍，求面積的取值范圍.

W…7兀耳關(guān)渾凝擬預(yù)測(cè))巨而至C逾7的揚(yáng)'區(qū)芳苫:？4名0,過(guò)0的前置說(shuō)寫(xiě)揚(yáng)■薪;AC分別相交

于點(diǎn)M、N,AM=2AB,AN=juAC,BD=DC-

(1)若AN=2NC，則A?2N=;

(2)AAW與VABC的面積之比的最小值為.

34

【答案】-/-0.75—

49

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、數(shù)量積的運(yùn)算律、基本不等式求和的

最小值

【分析】根據(jù)A/>BN=：(A2+AC>qAC-A2),利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可計(jì)算；由題意可得

AO=~AM+^-AN,根據(jù)三點(diǎn)共線可得<+'=3,利用三角形的面積公式可得自圖如=2”,再結(jié)合基

343〃4〃SABC

本不等式即可求解.

112

【詳解】(1)ADBN=-(AB+AC)(AN-AB)=-(AB+AC)(-AC-AB)

232

=-(--AJB-AC+-AC-AB)=-X(-1X^X^X-+-X3-3)=--；

23323234

2111__1—.1一

(2)因?yàn)锳O=—x—(A8+AC)=-AB+—AC,所以AO=AM+「A2V,

323337zT34

因?yàn)镸,O,N三點(diǎn)共線，故+丁=1，即7+—=3,

343〃ZjU

S-\AM\-\AN\-sinA,,

又因?yàn)?----------------="，而4440,1],-+-=3,

3ABCi|AB|-|AC|-sinA〃

iinr4?

則V+_L=322」?L,即加當(dāng)且僅當(dāng)％=〃=；時(shí)取等號(hào)，

AJLl\AjLL93

4

所以AW與VABC的面積之比的最小值為

34

故答案為：一二；—.

49

2.（2024?天津?二模）在VABC中，AM=2MB，尸是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AP交8C于點(diǎn)。.設(shè)ABF,AC=b，

3

則AP可用〃，b表示為，若AT>=遙，COSNA4C=不則VA3C面積的最大值為.

【答案】AP二1〃+13,2一5

32o

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、用基底表示向量、數(shù)量積的運(yùn)算律、基本不等式求積的最大值

【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，表示向量AP；設(shè)AP=/IAD,再利用平面向量基本定理表示BP，即可求解力，再

根據(jù)相>=6,以及基本不等式，三角形面積公式，即可求解.

【詳解】由點(diǎn)尸是的中點(diǎn)，

則AP=_L（AM+AC）=L