熱點(diǎn)10直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

直線方程，圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓

2022年，第12題，考察根據(jù)直線與圓的弦長(zhǎng)求參數(shù)

錐曲線綜合仍是2025年天津高考熱點(diǎn)，多以填空題

2023年，第12題，考察根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求

形式出現(xiàn)，重點(diǎn)考察直線與圓的位置關(guān)系。

參數(shù)

2024年，第12題，考察點(diǎn)到直線的距離

熱點(diǎn)題型解讀

題型1由直線與線段相交求斜率（傾斜角）范圍

-0

數(shù)形結(jié)合法

（1）畫出線段；（2）找到直線過(guò)定點(diǎn)；（3）繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)直線，讓直線與線段相交;

1.（24-25高二上?天津北辰?期中）設(shè)點(diǎn)4（4,-3）,以5,5）,直線/過(guò)點(diǎn)P（l,l）且與線段A3相交，則直線/的

斜率%的取值范圍是（）

44

A.k>l^k<^B.k>l^k<--C.-4<k<lD.——<k<\

3

2.（24-25高二上?天津南開?期中）已知兩點(diǎn)人（-2,1）,3（4,2）,直線/:依+>-。+1=0與線段42相交，則直

線/的斜率的取值范圍是（）

A.(-=o,-l]u|,+<?

B.T|

C.[-jl]2「1\

D._8，-]U[l，+8)

3.（24-25高二上?天津紅橋?階段練習(xí)）已知直線分-。+>=0,且與以點(diǎn)A（2,l）,網(wǎng)0,6）為端點(diǎn)的線段

有公共點(diǎn)，則直線/斜率上的取值范圍為（）

A.(-oo,-B.[1,+8)

C.[-百,1]D.(-co,_四]“1,+oo)

4.（24-25高二上?天津?階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P（-U）的直線/與連接4（3,3）,3（-2,6）的線段總有公共點(diǎn)，則直線

/的斜率的取值范圍是（）

-5B.(-0°—5]U—,+oo

A.4,

-|,21口、

C.D.—oo,——IJ[2,+oo)

5.（24-25高二上?天津南開?期中）設(shè)點(diǎn)4（-2,3）,磯3,2）,若直線依-嚴(yán)2=0與線段2B沒(méi)有交點(diǎn)，貝M

的取值范圍是.

題型2兩條直線的平行與垂直關(guān)系

直線方程I1:A九+^y+G=0與,2:4%+B?y+C2=0

=片=

KII/24G

4B2C2

Il±z2A[A2+B]B2=0

1.（24-25高三上?天津和平?階段練習(xí)）己知直線4：x+2ay-l=0和直線公伽-1卜-4-1=0,則乜///

是"0=）”的（）

6

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

2.（24-25高三上?貴州?階段練習(xí)）已知直線2x+3,畋-2=0與直線2〃比一5（〃2+l）y+l=?；ハ啻怪保瑒t加為

（）

1111?1111?

A.-----B.-----或0C.—D.一或0

151544

3.（24-25高二上?湖北?階段練習(xí)）"a=4"是"直線4：（a—2）x+2y+l=0與直線小曲+沖-1=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

4.（2024?四川南充?一模）"相=1"是"直線4：x+（〃2+l）y+l=。與直線4:（機(jī)+l）x-my-l=0垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024?上海奉賢?一模）若直線乙：無(wú)+ay-2=0與直線/?：or+y-2=0互相垂直，則。=.

6.（2023?上海長(zhǎng)寧?三模）已知直線4：x+y=0和4：2x-金+3=0（aeR）,^41/2,則。=.

題型3點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用

點(diǎn)到直線的距離公式

7|Ax+By+C|

平面上任意一點(diǎn)6（%0，%）到直線/:Ax+By+C^o的距離d=—n7-n。，

7Az+B-

1.（23-24高二上?廣東茂名?期末）已知直線3x+4y+a=。與圓0:/+丫2-以-5=0相交于A,3兩點(diǎn)，且

ZCAB=30°,則實(shí)數(shù)。=（）

2.（2024?天津?二模）設(shè)直線/：丁=上（％—6）化H0）和圓C:/+y2-6彳一4、+5=0相交于知,"兩點(diǎn).若

CM-CN=0,則實(shí)數(shù)左=.

3.（2024?天津?一模）已知圓G：Y+y2=4與圓C2：/+/一8工+6、+”=0外切，止匕時(shí)直線/:x+y+l=O被

圓a所截的弦長(zhǎng)為.

4.（24-25高三上?天津?yàn)I海新,期中）已知直線：x+y-l=O與圓/+/-2元+4y+l=0相交于A,B兩點(diǎn),

貝1阿=.

5.（24-25高三上?天津紅橋?期中）若直線依+V=0（a>0）截圓（x-2）2+丁=4所得的弦長(zhǎng)為2,則a=.

題型4直線中的對(duì)稱問(wèn)題

1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題（方法：中點(diǎn)坐標(biāo)公式）

求點(diǎn)POi,%）關(guān)于點(diǎn)A（x0,y0）的對(duì)稱點(diǎn)Q（a,b）

_玉+a

■—2fa=2x0-x1

：由：1=>}

b

v,y0+也=2%-%

i［為一丁

2、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題（聯(lián)立兩個(gè)方程）

求點(diǎn)PQi，%）關(guān)于直線/：Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)Q（a,b）

①設(shè)PQ中點(diǎn)為A利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，以”），將A,包1）代入直線/：

Ax+By+C=0中；

②kpQ'ki——1

整理得：

A3+B』+C=O

22

",（-A

xx-aB

3、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題（求4關(guān)于點(diǎn)P（a,。）的對(duì)稱直線4,則414）

方法一：在直線打上找一點(diǎn)A,求點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的點(diǎn)3,根據(jù)《/4=>%=&，再由點(diǎn)斜式求解;

方法二：由/J/。///設(shè)出4的直線方程，由點(diǎn)P到兩直線的距離相等4=4求參數(shù).

方法三：在直線4任意一點(diǎn)（x，y），求該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的點(diǎn)（2a-x,2匕-y）,則該點(diǎn)（2a-x,2b-y）在

4、直線關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題

4.1直線4：4%+男丁+￡=。（田+環(huán)。0）和/：瓜+為+。=。（&+以/0）相交，求/［關(guān)于

直線/的對(duì)稱直線，2

①求出4與/的交點(diǎn)P

②在4上任意取一點(diǎn)M（非P點(diǎn)），求出M關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)N

4.2直線4：Ax+gy+￡=0（用+哥20）和/：Ax+By+C=Q（用+段/0）平行，求人關(guān)于

直線/的對(duì)稱直線，2

①左2=人

I

②在直線4上任取一點(diǎn)M,求點(diǎn)M關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)N,利用點(diǎn)斜式求直線以

1.（2024?天津和平,二模）過(guò)直線y=x上的點(diǎn)尸作圓C："+3）2+（>-5）2=4的兩條切線/1,12,當(dāng)直線4,

6關(guān)于直線丁=無(wú)對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

2.（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線l:x+y-l=0,一束光線從原點(diǎn)0出發(fā)沿射線y=kx（x^0）向

直線/射出，經(jīng)/反射后與x軸交于點(diǎn)M,再次經(jīng)x軸反射后與y軸交于點(diǎn)N.若

|MN|=巫，貝U%的值為（）

116

3.（2024?廣東韶關(guān)?二模）過(guò)點(diǎn)尸（-2,3）作斜率為—2的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)x軸反射后與圓

C:（x-3）2+（y-2）2=/（r>0）相切，則r=（）

A.72B.6C.2D.垂

4.（2024?陜西西安?一模）唐代詩(shī)人李頑的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)："白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交

河"，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一一"將軍飲馬"問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先

到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為A（-3,0）,

若將軍從山腳下的點(diǎn)3（-1,1）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為尤+y=l,貝廣將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.J5B.3C.713D.5

5.（23-24高三下?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?開學(xué)考試）已知圓。：x2+/=l,尸為直線/：》+丫-4=0上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作圓。的切線，切點(diǎn)分別為A、B,若直線PA、關(guān)于直線/對(duì)稱，貝iJcosNAP3=（）

RSR2c幣6幣

A.D.L.U.

7434

6.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)尸（3,關(guān)于直線x+y-a=。的對(duì)稱點(diǎn)在圓（尤-2）2+（y-4）2=13內(nèi)，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

7.（23-24高三上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知點(diǎn)PQ+1,，）,，WR,點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。是圓（-3>+（y+1了=4

上的動(dòng)點(diǎn)，貝UIP0-IPOI的最大值為.

題型5定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值問(wèn)題

i玄

（1）轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到圓心的距離PC；（2）最小值=PC—廠（3）最大值=PC+r

1.（23-24高二上?重慶北碣期中）已知點(diǎn)（。,4）在曲線y=J_f+6x-5+l上，則/+伍一2）2的取值范圍是

（）

A.[2,26]B.[2,14+4^]

C.[14-4710,26]D.[14-4癡,14+4如]

2.（2024?浙江?三模）已知4（-2,-2）,8（1,3）,點(diǎn)尸在圓/+產(chǎn)=4上運(yùn)動(dòng)，則「的最大值為（）

A.16-6A/2B.26+2應(yīng)C.26+40D.32

3.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知a,b是兩個(gè)單位向量，S.\a+b\=\a-b\,若向量c滿足卜-q=2,

則同的最大值為（）

A.2-72B.2+72C.72D.272

4.（2024.山東棗莊一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知A（-3,0）,3（1,0）,P為圓C：（了一3『+（y-3y=1上

動(dòng)點(diǎn)，則|尸"+|尸8『的最小值為（）

A.34B.40C.44D.48

5.（2024?天津河西?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A為圓C：（x-，”）2+Cy-"z-l）2=2上一點(diǎn)，點(diǎn)8（3,0）,當(dāng)m變化時(shí)線段

AB長(zhǎng)度的最小值為.

題型6圓上點(diǎn)到直線距離最值問(wèn)題

0。日式

設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為廣

①當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：d+r,最小距離為：d-r；

②當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：2廠，最小距離為：0；

③當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：d+r,最小距離為：0；

1.（2024?貴州黔南?一模）若M為圓（x+l）?+y2=2上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線x+V-3=0的距離的最小值

為（）

A.72B.3-0C.20D.35/2

2.（2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測(cè)）已知4（-2,-3）,項(xiàng)-2,5）,以4,-3）三點(diǎn)，點(diǎn)尸為丫鉆。內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)

尸至I]直線4x+3y-20=。的最小總巨離為（）

1113—1733

A.—B.—C.—D.—

5555

3.（2024,山東濟(jì)南?三模）圓（x-l）2+（y+l）2=4上的點(diǎn)到直線3x+4y-14=0的距離的最大值為（）

A.3B.4C.5D.9

4.（2024,河南周口?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A（l,0）,“為圓,產(chǎn)+丁=4上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線2x-y+7=0上一點(diǎn)，

則2140|+1腦V|的最小值為.

5.（2024?江蘇徐州?一模）已知點(diǎn)A（l,0）,8（5,0）,若PAPB44,則點(diǎn)尸到直線3尤->+1=0距離的最小

值為.

6.（2024?廣東茂名?一模）動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)0（0,0）,4（0,3）滿足|上4|=2|尸O|,則點(diǎn)尸到直線/：

m-y+4-=0的距離的最大值為.

題型7過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的弦最值問(wèn)題

（1）過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)最長(zhǎng)弦是直徑（2）過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)最短弦是與圓心C和定點(diǎn)連線垂直的弦

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）直線丫=履+2被圓/+/-6%-7=0截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）

A.72B.73C.20D.2卡）

2.（2024高三上?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)直線（a+l）Aay-l=0（aeR）與圓/+、2=4交于A,3兩點(diǎn)，則|鉆|

的取值范圍為（）

A.[V2,2]B.[V2,4]C.[2,4]D.[20,4]

3.（2021?天津南開.一模）已知過(guò)點(diǎn)（U）的直線與圓丁+/一4y=0相交于A,B兩點(diǎn),則|鈿|的最小值

為.

4.（2023?遼寧遼陽(yáng)?二模）已知直線/：（優(yōu)+1卜+2丫+加一3=0與圓。:/+;/一2丫-15=0交于A,B兩點(diǎn)，則

\AB\的取值范圍是.

5.（2022?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）直線/：x+“y-m-1=0被圓。；/+尸=3截得的弦長(zhǎng)最短，則實(shí)數(shù)

m=.

題型8直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題

⑴AB=2^r2-d2

（2）代數(shù)法

直線/：Ax+By+C=0,圓Mx?+/+￡)x+Ey+F=0

Ax+By+C=0

聯(lián)立,,消去“y”得到關(guān)于“了”的一元二次函數(shù)依2+bx+c=o

x2+y2+Dx+Ey+F=0

弦長(zhǎng)公式：AB=P—4石尤2

1.（2023?天津南開?一模）已知直線丫=辰-1與圓/+（y-l）2=16相交于4,8兩點(diǎn)，則48的長(zhǎng)度可能為（）

A.6B.7C.12D.14

2.（2024?天津?yàn)I海新?三模）已知圓C的圓心與拋物線尤2=4》的焦點(diǎn)關(guān)于直線〉=%對(duì)稱，直線3%-分+2=0

與C相交于A8兩點(diǎn)，且|AB|=6,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

3.（2024?天津?模擬預(yù)測(cè)）若直線/：y=2x與圓C:/+y2-2x-7=0交于A3兩點(diǎn)，貝.

4.（2024?天津?一模）已知過(guò)點(diǎn)（-2,0）的直線與圓尤2+（yf2=12相交于人，5兩點(diǎn)，若|陰=4血，則直

線的方程為.

5.（2023?天津北辰三模）直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,-3）,與圓（？:/+/+2升2尸14=0相交截得的弦長(zhǎng)為2近，

則直線/的方程為.

題型9圓的切線問(wèn)題

1、過(guò)圓上一點(diǎn)作切線：利用圓心與切線的連線與切線垂直求斜率，可作一條切線

2、過(guò)圓外一點(diǎn)作切線：利用圓心到直線的距離等于半徑，可作兩條切線

3、切線長(zhǎng)問(wèn)題：^pc2-r2

1.（23-24高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知圓C:（無(wú)一3）2+（k4）2=4,過(guò)直線/：4無(wú)+3y+l=0上一動(dòng)點(diǎn)

P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則+的最小值為.

2.（2023?天津武清?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)41,0）,8（2,0）,經(jīng)過(guò)點(diǎn)8作圓（x-3）?+（y-2門=5的切線與>軸交于

點(diǎn)P,則|轉(zhuǎn)|=.

3.(23-24高三下?天津?階段練習(xí))已知拋物線y2=2px(p>0),經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)(1,2)的切線截圓C：

(x-a)12+3456y2=4(a>0)的弦長(zhǎng)為20，貝!的值為

4.(24-25高三上?天津?階段練習(xí))已知圓“：好+/一2歿=。(a>0)與直線%+y=0相交所得圓的弦

長(zhǎng)是2雙，若過(guò)點(diǎn)4(3,3)作圓加的切線，則切線長(zhǎng)為—.

5.(24-25高二上?寧夏吳忠?期中)已知圓C:(X-2)2+9=I,直線/過(guò)點(diǎn)P(3,2)且與圓C相切，則直線/的

方程為.

題型10圓與圓的問(wèn)題

■-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

iI00與百i

1、圓與圓的公共弦

圓與圓相交得到的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的線段就是兩圓的公共弦.

2、公共弦所在直線的方程

設(shè)￡：(%-。1)2+(了一22=片

222

C2：(x-a2)+(y-Z?2)=^

聯(lián)立作差得到：Ar+及V+C=O即為兩圓共線方程

1.(24-25高三上?天津?yàn)I海新?期中)圓G：(元+1?+V=4與圓C?:(x-2)2+(y-3)2=9的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.外離

2.(2024?天津河西?二模)已知拋物線/=8x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，圓C與直線版-4、-12=0相切，且與圓

/+〃吠+丁=0相切于點(diǎn)尸，則符合要求的圓C的方程為.(寫出一個(gè)即可)

3.(2024?天津?一模)已知圓G：/+丫2=4與圓c2：丁+/一8了+6、+%=0外切，此時(shí)直線/:x+y+l=0被

圓孰所截的弦長(zhǎng)為.

4.(2023?天津和平?二模)圓/+丁-?+今-12=0與圓/+丁=4的公共弦所在的直線方程為.

5.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知圓C|：(x-4)2+(y-3)2=16與圓G：x2+/-2x+2y-9=0,若兩圓

相交于A,B兩點(diǎn),則|A@=

6.(2022?天津河?xùn)|?模擬預(yù)測(cè))過(guò)P(-2,-3)作圓"-4)2+仃-2)2=9的兩條切線，切點(diǎn)為A、B,則過(guò)A、B

兩點(diǎn)的直線方程為.

限時(shí)提升練

（建議用時(shí)：60分鐘）

一、單選題

1.（2024?黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)圓C:（x-2）2+（y-仔=36和不過(guò)第三象限的直線/：4尤+3y-。=。，

若圓C上恰有三點(diǎn)到直線/的距離均為2,則實(shí)數(shù)。=（）

A.-9B.1C.21D.31

2.（24-25高二上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）將直線小x+y-2=0繞點(diǎn)（2,0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到直線峭則直線4的

方程是（）

A.2x—y+2=0B.%+y+2=0C.x—y—2=0D.2x—y—2=0

3.（2024?山東?一模）已知圓的圓心為。,一2）,且直線3x-4y+14=0與圓相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.（尤一1）2+（,+2）2=25B.（X-1）2+（J+2）2=5

C.（尤+1）2+（—）2=25D.（x+1）2+（y-2）2=5

4.（2024?山東?一模）過(guò)直線x+y+2=0與彳-丫-4=。的交點(diǎn)且與直線x+2y+l=。垂直的直線方程為（）

A.x+2y+5=0B.x+2y-5=0

C.2x-y+5=0D.2x-y-5=0

5.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知圓Af:/+J_6y=0與圓A^:（x-cos^）2+^y-sinO^=1（042兀）交于A、

3兩點(diǎn)，貝h.ABM（M為圓M的圓心）面積的最大值為（）

L9L9

A.y/2B.—C.2V2D.—

6.