動點(diǎn)與平行四邊形存在性問題

一、典例解析

例1.【2020?浙江湖州】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，拋物線y=-f+bx+c(c>0)的頂點(diǎn)為D,與y軸

的交點(diǎn)為C.過點(diǎn)C的直線CA與拋物線交于另一點(diǎn)A(點(diǎn)A在對稱軸左側(cè))，點(diǎn)8在AC的延長線上，連結(jié)04,

OB,DA和。A

(1)如圖1,當(dāng)AC〃x軸時，

①已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,1),求拋物線的解析式；

②若四邊形A08D是平行四邊形，求證：b-=4c.

(2)如圖2,若6=2,空=』,是否存在這樣的點(diǎn)A,使四邊形A0a)是平行四邊形？若存.在，求出點(diǎn)A的

AC5

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

例2.12020?遼陽】如圖，拋物線y=--2Hx+c(aWO)過點(diǎn)。(0,0)和A(6,0).點(diǎn)8是拋物線的

頂點(diǎn)，點(diǎn)。是x軸下方拋物線上的一點(diǎn)，連接。8,OD.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖②，在(2)的條件下，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)C,交線段0。于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是線段。2上的

動點(diǎn)(點(diǎn)尸不與點(diǎn)。和點(diǎn)2重合)，連接ER將43所沿EF折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)8，AEFB'與LOBE

的重疊部分為△EPG,在坐標(biāo)平面內(nèi)是.否存在一點(diǎn)X,使.以點(diǎn)E,F,G,X為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存

在，請直接寫出點(diǎn)”的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

例3.12020?黑龍江牡丹江】如圖，已知直線AB與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,線段Q4的長是方程

/-7%-18=0的一個根，請解答下列問題：

2

(1)求點(diǎn)A,3的坐標(biāo)；

(2)直線EF交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E,交y軸正半軸于點(diǎn)尸，交直線AB于點(diǎn)C.若。是叱的中點(diǎn)，OE=6,

反比例函數(shù)y=X圖象的一支經(jīng)過點(diǎn)C,求左的值；

X

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)。作CD_LOE,垂足為。，點(diǎn)”在直線AB上，點(diǎn)N在直線CD上.坐標(biāo)平

面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使以。，M,N,P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請寫出點(diǎn)P的個數(shù)，并直

接寫出其中兩個點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

例4.12020?重慶A卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線>=/+區(qū)+。與直線AB相交于A,B兩

點(diǎn)，其中A(—3,—4),B(0,—1).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線〉=%/+4苫+4儂/0),平移后的拋物線與原拋物線

相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E,使以點(diǎn)B,C,D,E

為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

二、刻意練習(xí)

o

1.12020?湖南常德】如圖，已知拋物線>=加過點(diǎn)A(-3,

(1)求拋物線的解析式；

a

(2)已知直線/過點(diǎn)A,M(0)且與拋物線交于另一點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,求證：

2

(3)若點(diǎn)P,D分別是拋物線與直線/上的動點(diǎn)，以O(shè)C為一邊且頂點(diǎn)為。，C,P,D的四邊形是平行

四邊形，求所有符合條件的尸點(diǎn)坐標(biāo).

2.【2020?安徽】在數(shù)學(xué)探究活動中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊,

使得點(diǎn)B落在CD上的點(diǎn)Q處，折痕為AP,再將APCQ,△ADQ分別沿PQ、.AQ折疊，此時點(diǎn)C,D落

在AP上的同一點(diǎn)R處，請完成下列探究：

(1)ZPAQ=____________

4R

(2)當(dāng)四邊形APCD是平行四邊形時，0—的值為

QR

3.12020?甘肅天水】如圖所示，拋物線y=o?+6x+cQW0)與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且

點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(-2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,6),對稱軸為直線x=l.點(diǎn)。是拋物線上一個動點(diǎn)，設(shè)

點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為優(yōu)(l<m<4),連接AC,BC,DC,DB.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

3

(2)當(dāng)△BCD的面積等于△AOC的面積的一時，求相的值；

4

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)〃是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)

使得以點(diǎn)2,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

4.【2020?廣西玉林】如圖，已知拋物線：yi=-/-2尤+3與無軸交于A,2兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸

交于點(diǎn)C.

（1）直接寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

（2）將拋物線聲經(jīng)過向右與向下平移，使得到的拋物線”與x軸交于8,B兩點(diǎn)（8在8的右側(cè)），頂點(diǎn)。

的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D',若/BDb=90。，求點(diǎn)8的坐標(biāo)及拋物線”的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)。在x軸.上，則在拋物線yi或”上是否存在點(diǎn)P,使以夕，C,Q,P為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

5.12020.貴州黔東南州】已知拋物線丫=62+法+°（。/0）與天軸交于4.、3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3的左邊）,

與y軸交于點(diǎn)C（0,-3）,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,-4）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）在y軸上找一點(diǎn)E,使得AE4c為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

（3）點(diǎn)P是x軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)。是拋物線上的動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、。，使得以點(diǎn)P、。、B、。為頂

點(diǎn)，為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)P、。坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.[2020?黑龍江大興安嶺】綜合與探究

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尤+c經(jīng)過點(diǎn)A(-%0),點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)3在y軸上，且

OA=OB,直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C(2,6),如圖①.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)A、。、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫

出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

7.【2020?湖北黃岡】已知拋物線y=ox2+Zzr+c與無軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)2(3,0),與y鈾交于點(diǎn)C(0,

3).頂點(diǎn)為點(diǎn)。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)尸在拋物線上，點(diǎn)。在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)。，C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；

8.【2020?湖南郴州】如圖1,拋物線>=依2+桁+3(a20)與無軸交于A(-1,0),B(3,0),與y軸交

于點(diǎn)C.己知直線>=丘+”過3,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線和直線BC的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸是拋物線上的一個動點(diǎn).如圖2,拋物線的對稱軸/與x軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作E/LBC,垂足為

尸.點(diǎn)。是對稱軸/上的一個動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)E,F,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求

出點(diǎn)P,。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.12020?江蘇蘇州】如圖，二次函數(shù)了=公+云的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)人，平行于x軸的直線/與該

拋物線交于3、。兩點(diǎn)(點(diǎn)3位于點(diǎn)C左側(cè))，與拋物線對稱軸交于點(diǎn)0(2,-3).

(1)求萬的值；

(2)設(shè)P、Q是x軸上的點(diǎn)(點(diǎn)尸位于點(diǎn)Q左側(cè))，四邊形PBCQ為平行四邊形.過點(diǎn)P、Q分別作x軸

的垂線，與拋物線父于點(diǎn)P(x「％)、Q'(X2>y2)-若|乂-y,|=2,求占、出的值.

10.【2020?青?！咳鐖D1（注：與圖2完全相同）所示，拋物線y=-#+bx+c經(jīng)過8、。兩點(diǎn)，與x軸

的另一個交點(diǎn)為A,與y軸相交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,求四邊形的面積.（請在圖1中探索）

（3）設(shè)點(diǎn)Q在〉軸上，點(diǎn)尸在拋物線上.要使以點(diǎn)A、B、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿

足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).（請在圖2中探索）

11.12020?山東苗澤】如圖，拋物線＞=62+服-6與x軸相交于A,3兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,04=2,

08=4,直線/是拋物線的對稱軸，在直線/,右側(cè)的拋物線上有一動點(diǎn)。，連接AD,BD,BC,CD.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

o

（2）若點(diǎn)。在x軸的下方，當(dāng)ABCD的面積是-時，求AABD的面積；

2

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動點(diǎn)，.是否存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)3,

M,N為頂點(diǎn)，以血為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

12.12020?山東聊城】如圖，二次函數(shù)y==ad+6x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-l,0),8(4,0),與y軸交于

點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為。，其對稱軸與線段3C交于點(diǎn)E,垂直于x軸的動直線/分別交拋物線和線段BC于

點(diǎn)尸和點(diǎn)尸，動直線/在拋物線的對稱軸的右側(cè)(不含對稱軸)沿尤軸正方向移動到B點(diǎn).

(1)求出二次函數(shù)y=ax2+6x+4和3c所在直線的表達(dá)式；

(2)在動直線/移動的過程中，試求使四邊形DE77為平行四邊形的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

13【2020?四川甘孜州】如.圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=fcr+3分別交x軸、y軸于A,B兩點(diǎn),

經(jīng)過A,8兩點(diǎn)的拋物線y=-/+6x+c與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C