專題31圓的基本性質(zhì)【二十個題型】

?題型梳理

【題型1圓的周長與面積相關(guān)計算】.............................................................1

【題型2圓中的角度、線段長度計算1.........................................................................................3

【題型3求一點到圓上一點的距離最值】........................................................5

【題型4利用垂徑定理結(jié)合全等、相似綜合求解】................................................6

【題型5在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】..................................................7

【題型6垂徑定理在格點中的應(yīng)用】............................................................8

【題型7垂徑定理的實際應(yīng)用】................................................................10

【題型8利用垂徑定理求取值范圍】...........................................................12

【題型9利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度、線段長、周長、面積、弧的度數(shù)】......................13

【題型10利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小】...................................................14

【題型11利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值】.....................................................15

【題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明］.......................................................17

【題型13利用圓周角定理求解】................................................................18

【題型14利用圓內(nèi)接四邊形求角度】...........................................................20

【題型15利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題】.....................................................21

【題型16利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題】.....................................................22

【題型17利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍】.......................................................24

【題型18利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題】...................................................25

【題型19圓有關(guān)的常見輔助線-遇到弦時，常添加弦心距】........................................27

【題型20圓有關(guān)的常見輔助線-遇到有直徑時，常添加（畫）直徑所對的圓周角】...................28

〉舉一反三

【知識點圓的基本性質(zhì)】

1.圓

在一個平面內(nèi)，線段。4繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點/所形成的圖形叫做圓。固定

的端點。叫做圓心，線段ON叫做半徑，以點O為圓心的圓，記作OO,讀作“圓

連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧

都叫做半圓。小于半圓的弧叫做劣弧。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。

能夠重合的兩個圓叫做等圓。

在同圓或等圓中，能重合的弧叫等弧。

2.垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；

弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

3.弧.弦.圓心角之間的關(guān)系

定義：頂點在圓心的角叫做圓心角。

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等。

注：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弦，兩條弧.兩個弦的弦心距中，有一組量相等，那么其

余各組量也分別相等

4.圓周角

定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。

【題型1圓的周長與面積相關(guān)計算】

【例1】（2023?福建泉州?南安市實驗中學校考二模）適時的休閑可以緩解學習壓力，如圖是火影忍者中的

仙法?白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個同心圓，BC=400像素，AABC=90°,那么周

圍圓環(huán)面積約為（）

A.40000兀B.1600兀C.64000兀D.160000TT

【變式1-1]（2023?山東德州?統(tǒng)考二模）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.”度方知圓,

感悟數(shù)學之美.如圖，正方形4BCD的面積為2,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形4BC

D,,若4夕48=2:1,則四邊形的外接圓的周長為.

【變式1-2］（2023?山東濰坊?中考真題）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.”度方知圓,

感悟數(shù)學之美.如圖，正方形4BCD的面積為4,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形4BC

D',若4夕48=2:1,則四邊形的外接圓的周長為.

【變式1-3】（2023?湖北武漢?華中科技大學附屬中學?？寄M預(yù)測）如圖，一個較大的圓內(nèi)有15個半徑為

1的小圓，所有的交點都為切點，圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為（）

.22+1675-T，20+1675“c22+14V3?「20+14V3?

A?-TTB.-ITC.-7TD?-IT

3333

【題型2圓中的角度、線段長度計算】

【例2】（2023?廣東清遠?統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為4正方形力BCD中，點E在以8為圓心的弧4C上，射

線DE交4B于尸，連接CE,若則。E=（）.

D

A.2B.C.D.

【變式2-1]（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）如圖，在。。中，C是通上一點，。41。8,過點。作弦CO交。8

于E,若。4=DE,則NC與乙40C滿足的數(shù)量關(guān)系是（）

1123

A.ZC=-^AOCB.ZC=-^AOCC.zC=-^AOCD./-C=^AOC

32.34

【變式2-2]（2023?湖南益陽?統(tǒng)考二模）如圖，在Rt^ABC中，90。，點。在斜邊48上，以BD為直

徑的。。經(jīng)過邊4C上的點￡,連接BE,且BE平分N4BC,若。。的半徑為3,AD=2,則線段BC的長為

（）

4024

A.-y-B.8C.yD.6

【變式2-3]（2023?吉林長春?統(tǒng)考一模）如圖，點尸是。。外一點，分別以。、尸為圓心，大于g0P長為

半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N,直線MN交0P于點C,再以點C為圓心，以。C長為半徑作圓弧，交

。。于點/,連接PA交MN于點2,連接。4、0B.若乙P=26°,則N40B的大小為（）

A.26°B.38°C.52°D.64°

【題型3求一點到圓上一點的距離最值】

【例3】（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題）在同一平面內(nèi)，已知。。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為

3,點尸為圓上的一個動點，則點P到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【變式3-1］（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）如圖，在乙4cB=90。，E為AC邊上的任意一點，把△BCE

沿BE折疊，得到aBFE,連接4F.若BC=6/C=8,皿4尸的最小值為—.

【變式3-2］（2023?湖南永州??？既＃┪覀冎?，兩點之間線段最短，因此，連接兩點間線段的長度叫

做兩點間的距離；同理，連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，因此，直線外一點到

這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.類似地，連接曲線外一點與曲線上各點的所有線段中，

最短線段的長度，叫做點到曲線的距離.依此定義，如圖，在平面直角坐標系中，點4（2,1）到以原點為圓心,

以1為半徑的圓的最短距離為.最長距離為.

【變式3-3］（2023?河南焦作?統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，48=3,BC=4,=90。，正方形CDEF

的邊長為1,將正方形CDEF繞點。旋轉(zhuǎn)一周，點G為EF的中點，連接AG,則線段AG的取值范圍是.

【題型4利用垂徑定理結(jié)合全等、相似綜合求解】

【例4】（2023?廣東湛江?統(tǒng)考一模）如圖，在△4BC中，乙4cB=90。，以直角邊8C為直徑的。。交于

點D,連接CD,NCZB的角平分線交CD于點M交BC于點F,交。。于點尸.

P

AECF

（1）求證:~AF~BF；

⑵若tan/C4B=*求sin/CAP的值;

（3）連接PC、PB,若N2BC=30。，AB=2值，求△PCF的面積.

【變式4-1］（2023?江蘇泰州?二模）如圖，在。。中，弦力。、BC相交于點E,連接OE,已知而=而.

⑴求證：BE=DE；

（2）如果。。的半徑為5,AD1CB.DE=1,求力E的長.

【變式4-2］（2023?陜西西安?高新一中?？家荒＃┤鐖D，2B是的直徑，弦CD14B于點￡,點尸在O。上,

zl=zC.

(2)若BC=3,ZC=3O°,求。。的直徑.

【變式4-3](2023?云南德宏?統(tǒng)考一模)如圖，是。。的直徑，弦CD14B于點E,點F是。。上一點,

且灰=而，連接FB,FD,FD交AB于點N.

(1)若力E=l,CD=6,求。。的半徑；

(2)連接FC并延長，交B4的延長線于點P,過點。作。。的切線，交B4的延長線于點M.求證：

ON-OP=OE-OM.

【題型5在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】

【例5】(2023?浙江寧波?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標系中，OM與久軸相切于點4與y軸分別

交點為B,C,圓心M的坐標是(4,5),則弦BC的長度為.

【變式5-1](2023?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標系中，直線丫=-久+3與x軸交于

點力，與y軸交于點B,G>M經(jīng)過原點。及4、B兩點.

⑴求。M的半徑；

⑵點C為弧。力上的一點，且滿足NCOA=NCB。，求C點坐標.

(3)直線y=x與OM交于點。、N兩點，求線段ON的長.

【變式5-2](2023?湖北黃岡?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標系中，OP的圓心坐標是(3,a)(a>3),

半徑為3,函數(shù)y=x的圖象被OP截得的弦力B的長為4vL貝i|a的值是.

【變式5-3](2023?黑龍江齊齊哈爾?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標系中，以點C(l,l)為圓心，2為半徑

作圓，交x軸于4B兩點，點P在OC上.

⑴求出48兩點的坐標；

(2)試確定經(jīng)過4、B兩點且以點P為頂點的拋物線解析式；

(3)在該拋物線上是否存在一點D,使線段0P與CD互相平分？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明

理由.

【題型6垂徑定理在格點中的應(yīng)用】

【例6】(2023?天津河西?天津市新華中學?？级?如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點4

點3,點。均在格點上，并且在同一個圓上，取格點連接4M并延長交圓于點C,連接4D.

⑴AM=:

（2）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出線段力P,使4P平分NC4D,且點尸在圓上，并簡要說明

點尸的位置是如何找到的（不要求證明）.

【變式6-1］（2023?天津東麗?統(tǒng)考二模）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的

頂點稱為格點，點4B,M均為格點，以格點。為圓心，4B為直徑作圓，點M在圓上.

（I）線段力B的長等于；

（II）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，在麗上找出一點P,使麗=麗，并簡要說明畫圖方法

（不要求證明）______________________________

【變式6-2］（2023?山東淄博?統(tǒng)考二模）如圖所示，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，一段圓弧

經(jīng)過格點B,C,CE的延長線經(jīng)過格點。，則弧標的長為（）

A.當B.C.?D.李兀

4284

【變式6-3］（2023?天津?校聯(lián)考一模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點/,B,C,D均為

格點，且點N,8在圓上.

（1）線段4C的長等于；

（2）過點。作DFII力C,直線DF與圓交于點M,N（點M在N的左側(cè)），畫出MN的中點P,簡要說明點P的位置

是如何找到的（不要求證明）.

【題型7垂徑定理的實際應(yīng)用】

【例7】（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，

明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）.假定在水流量穩(wěn)定的情況

下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.

問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為r的。。.如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米.當t=0

時，某盛水筒恰好位于水面/處，此時乙4OM=30。，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點8處.（參考數(shù)據(jù)，

V2?1.414,V3?1.732)

圖①圖②

問題解決：

（1）求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時，NBOM的度數(shù)；

（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至8處時，它到水面的距離.（結(jié)果精確到0.1米）

【變式7-1］（2023?北京西城?統(tǒng)考一模）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞.如圖,

某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.5m,地面入口寬為1m,求該門洞的半徑m.

【變式7-2］（2023?寧夏中衛(wèi)?統(tǒng)考二模）在一次數(shù)學建?；顒诱n上，吳老師制作了一張簡易的海域安全監(jiān)

測平面圖，在圖中標明了三個監(jiān)測點的位置坐標。（0,0）,/1（0,10）,B（20,0）,由三個監(jiān)測點確定的圓

形區(qū)域是安全警戒區(qū)域.（單位：海里）

（1）某天海面上出現(xiàn)可疑船只C,在監(jiān)測點/測得C位于南偏東45。，同時在監(jiān)測點。測得C位于南偏東

60°,求監(jiān)測點。到C船的距離.（結(jié)果精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V2?1.4,V3?1.7,V5?2.2）

（2）當可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行時，是否會闖入安全警戒區(qū)域？請通過計算作答.

【變式7-3］（2023?廣東佛山?校考三模）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通,

便于運輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河

北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古

代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形.

（1）某橋/主橋拱是圓弧形（如圖①中痂），已知跨度力C=40m,拱高BD=10m,則這條橋主橋拱的半

徑是m；

（2）某橋3的主橋拱是拋物線形（如圖②）,若水面寬MN=10m,拱頂P（拋物線頂點）距離水面4m,求

橋拱拋物線的解析式；

（3）如圖③，某時橋/和橋2的橋下水位均上升了2m,求此時兩橋的水面寬度.

【題型8利用垂徑定理求取值范圍】

【例8】（2023?浙江寧波?一模）如圖，A8為O。的直徑，弦CD1A8于點￡OE=AE=2,尸為而上一點,

CF與AB交于點G,若FG>CG,貝的長的范圍為（）

A.4<BF<4V2B.4<BF<4V3

C.4V2<BF<4V3D.4V2<BF<8

【變式8-1］（2023?四川綿陽?二模）已知。。的弦AB=1.6,優(yōu)弧上的點到AB的最大距離為1.6,直線

HAB,若。。上有4個不同的點到/的距離等于0.4,則點。至h的距離d的范圍為.

【變式8-2］（2023?廣東佛山?統(tǒng)考二模）如圖，。。的半徑為5cm,弦4B=8cm,P是弦4B上的一個動點,

則。P的長度范圍是（）

A.8<OP<10B.5<OP<8C.4<OP<5D.3<OP<5

【變式8-3］（2023?廣東廣州?華南師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系xQy中，半徑為4的

O。與x軸的正半軸交于點/，點5是。。上一動點，點C為弦48的中點，直線>=產(chǎn)-6與x軸、〉軸分別

交于點。、E,若△CDE面積為S,則S的范圍是

【題型9利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度、線段長、周長、面積、弧的度數(shù)】

【例9】（2023?四川成都?統(tǒng)考二模）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊△4BC；分別以點

A,B,C為圓心，以N8的長為半徑作前，AC,AB,三條弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形.如果

AB=3,那么這個曲邊三角形的周長是（）.

9

A.7iB.27rC.-JiD.37r

【變式9-1］（2023?江蘇泰州?二模）如圖，已知A3、CD是。。的兩條直徑，且乙4。。=50。，過點A作AE||

CD交O。于點E,則弧4E的度數(shù)為.

----/

【變式9-2］（2023?上海寶山?一模）如圖，已知圓。的弦4B與直徑CD交于點E,且CD平分4B.

（1）已知4B=6,EC=2,求圓。的半徑；

（2）如果DE=3EC,求弦所對的圓心角的度數(shù).

【變式9-3］（2023?安徽合肥?一模）圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的所有點所組成的

圖形.

圖1圖2

(1)已知：如圖1,OA=OB=0C,請利用圓規(guī)畫出過4、B、C三點的圓.若/力。8=70。，貝此4CB=

（2）已知，如圖2,中，N4BC=90。，^BCA=30°,4B=2.點P為AC邊的中點，將AC沿BA方向平

移2個單位長度，點4、P、C的對應(yīng)點分別為點D、E、F,求四邊形8DFC的面積和NBEA的大小.

（3）如圖3,將4C邊沿BC方向平移a個單位至DF,是否存在這樣的a,使得直線。尸上有一點Q,滿足NBQ4=45。

且此時四邊形BADF的面積最大？若存在，求出四邊形BADF面積的最大值及平移距離a,若不存在，說明理

由.

【題型10利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小】

【例10】（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）如圖,點P1?P8是。。的八等分點.若4P1P3P7,四邊形p3P4P6P7

的周長分別為a,b,則下列正確的是（）

a

Ps

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,6大小無法比較

【變式10-1】（2023?甘肅平?jīng)?三模）如圖，在。。中，AB=BC=CD,連接NC,CD,則/C與CD的關(guān)

系是（）.

B

A.AC=2CDB.AC<2CD

C.AC>2CDD.無法比較

【變式10-2］（2023?甘肅平?jīng)?二模）如圖所示，在O。中，AB^2CD,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.無法比較

【變式10-3】（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考一模）如圖，在扇形中，^AOB=90°,C、。是費上兩點，過

點。作DEIIOC交。5于￡點，在。。上取點尸，使。F=DE,連接CF并延長交。5于G點.

⑴求證：△OCFmADOE；

⑵若C、。是48的三等分點，。4=2板：

①求NOGC；

②請比較GE和8E的大小.

【題型11利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值】

【例11】（2023?江蘇泰州?二模）如圖，AB是。0的直徑，AB=4,C為近的三等分點（更靠近A點），

點P是OO上一個動點，取弦AP的中點D,則線段CD的最大值為（）

C.2V3D.V3+1

【變式11-1】（2023?江蘇泰州?一模）如圖，CD是。。的直徑，CD=8,AACD=20°,點B為弧力。的中點,

點P是直徑CD上的一個動點，則P4+PB的最小值為.

【變式11-2］（2023?河南焦作?統(tǒng)考一模）如圖，在扇形30C中，乙8。。=60。，點。是讀的中點，點E,F

分別為半徑OC,Q8上的動點.若OB=2,則△。防周長的最小值為.

【變式11-3］（2023?河南?三模）圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形.

（1）已知：如圖1,OA=OB=OC,請利用圓規(guī)畫出過4、B、。三點的圓.若N4OB=70。，貝此2CB=

（2）已知，如圖2,中，N4BC=90。，Z.BCA=30°,4B=2.點P為AC邊的中點，將2C沿BA方向平

移2個單位長度，點4、P、C的對應(yīng)點分別為點D、E、F,求四邊形8DFC的面積和NBEA的大小.

(3)如圖3,將力C邊沿BC方向平移a個單位至DF,是否存在這樣的a,使得直線OF上有一點Q,滿足NBQ4=45。

且此時四邊形B4DF的面積最大？若存在，求出四邊形B4DF面積的最大值及平移距離a,若不存在，說明理

由.

【題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明】

【例12】(2023?黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測)如圖1,圓。中，48為弦，C為弧48中點，連接。C交力B于

D.

⑴求證：OC1AB；

(2)如圖2,弦EFII弦GH,連接EG、FH,求證：EG=FH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BC、FG,若FG平分NEFH,OD=3,GH=WGBC=2近,求EF長.

【變式12-1】(2023?湖北武漢?校考模擬預(yù)測)如圖，。。經(jīng)過△ABC的頂點4C及的中點D,且D是公

的中點.

⑴求證：△ABC是直角三角形；

(2)若。。的半徑為1,求力/BC的值.

【變式12-2】(2023?廣東江門?統(tǒng)考二模)如圖，點/、B、C在。。上，是直徑，NABC的角平分線8。

與O。交于點。，與4C交于點M,且=連接。D,交4c于點N.

(2)試猜想48與。。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【變式12-3](2023?黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測)如圖1,為。。直徑，點E是弦47中點，連接。E并

延長交O。于點D,

(1)求證：AD=CD；

(2)如圖2,連接BD交AC于點尸，求證：DE2=EF-EC；

(3)如圖3,在(2)條件下，延長82至點G,連接GF,若NDFG=45。，XG=V2CF=4,求。。的周長.

【題型13利用圓周角定理求解】

【例13】(2023?湖北武漢??？家荒?如圖，BC是。。的直徑，。為。。上一點，/為演的中點，AE1BC

于，并交O。于點￡，若CD=3DF,AC=4,則。。的半徑長為()

A.1B.-^VTsC.D.

【變式13-1](2023?安徽?模擬預(yù)測)如圖，在。。中，直徑4B=4,弦CD=2,連接4D,BC相交于點E,

則乙4EC的度數(shù)是.

c

D

【變式13-2】(2023?天津濱海新?統(tǒng)考二模)如圖，。。是△/8C的外接圓，/￡切。。于點/,/￡與直徑

圖①圖②

(1)如圖①，若NC=71。，求的大小;

(2)如圖②，當AE=AB,。￡=2時，求乙E的大小和。。的半徑.

【變式13-3】(2023?廣東河源?三模)【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學的小明在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目：

如圖①，點。為坐標原點，。。的半徑為1,點4(3,0).動點B在。。上，連接AB,作等邊△ABC(4B,C

為順時針順序)，求。。的最大值；

【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接。8,以。B為邊在的左

側(cè)作等邊△BOE,連接力E.

(1)請你找出圖中與。C相等的線段，并說明理由；

(2)線段OC的最大值為.

【靈活運用】

(3)如圖②，在平面直角坐標系中，點4的坐標為(3,0),點B的坐標為(5,0),點P為線段4B外一動點，且

PA=2,PM=PB,乙BPM=90°,求線段長的最大值及此時點P的坐標.

【遷移拓展】

(4)如圖③，BC=4V3,點。是以BC為直徑的半圓上不同于8、C的一個動點，以BD為邊作等邊△4BD,

請直接寫出4C的最值.

【例14】（2023?黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測）如圖，若乙40B=70。，貝比228的度數(shù)為（）

A.110°B.145°C.135°D.160°

【變式14-1］（2023?陜西西安?校考二模）如圖，四邊形4BCD是。。的內(nèi)接四邊形，BE是。。的直徑，連

接AE,OD,若4EII0D,且4E=。。，貝UNBCD的度數(shù)為（）

A.100°B.105°C.110°D.120°

【變式14-2］（2023?江西九江??？级＃┤鐖D，直線48,4。與O。分別相切于點B,D,C為O。上一點,

且N8CD=125°,貝|乙4的度數(shù)是.

【變式14-3】（2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于O。，48為O。的直徑,

BC=CD=AD,則NC的大小為

【題型15利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題】

【例15】（2023?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）如圖，48是。。的直徑，BC是。。的弦，先將沅沿翻折交4B

于點，再將而沿4B翻折交8C于點E.若前=礪，設(shè)N2BC=a,貝ija所在的范圍是（）

A.21.9°<a<22.3°B.22,3°<?<22.7°

C.22.7。<a<23.1。D.23.1。Va<23.5。

【變式15-1]（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）如圖，在。。中，力B為直徑，C為圓上一點，將劣弧4C沿弦4C

翻折，交2B于點。，連接CD,若點。與圓心。不重合，NB4C=25。，則NDCA=

【變式15-2]（2023?江蘇蘇州?蘇州市立達中學校?？级＃┤鐖D，E為正方形48CD的邊CD上一點（不與

C、D重合）,將aBCE沿直線BE翻折到aBFE,延長EF交4E于點G,點。是過B、E、G三點的圓劣弧EG上

一點，則NEOG=°.

【變式15-3】（2023?安徽淮南?校聯(lián)考一模）如圖，已知，AB是。。的直徑，點C為圓上一點.

①

（1）如圖①，將就沿弦力C翻折，交力B于。，若點。與圓心。重合，AC=2V3,則。。的半徑為；

（2）如圖②，將前沿弦BC翻折，交力B于。，把而沿直徑4B翻折，交BC于點￡

（I）若點E恰好是翻折后的麗的中點，貝此B的度數(shù)為；

（II）如圖③，連接DE,若48=10,OD=1,求線段DE的長.

【題型16利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題】

【例16】（2023?廣東清遠?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，4B是半。。的直徑，點C在半。。上，XB=2V13cm,AC=6

cm.D是前上的一個動點，連接力D,過點C作CE14D于E,連接BE.在點。移動的過程中，BE的最小值為

A.V13-2B.V13C.V3D.2

【變式16-1】（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）嘉嘉與淇淇在討論下面的問題：

如圖，Rt/XABC中，48=60,4C=45,zBXC=90°.D,￡分別是AC,48邊上的動點，DE=52,以。E

為直徑的。。交BC于點P,。兩點，求線段PQ的最大值.

嘉嘉：當點。，E分別在AC,4B上移動時，點。到點/的距離為定值；

淇淇：當PQ為圓。的直徑時，線段PQ的長最大.

關(guān)于上述問題及兩人的討論，下列說法正確的是（）

A.兩人的說法都正確，線段PQ的最大值為52

B.嘉嘉的說法正確，淇淇的說法有問題，線段PQ長度的最大值為48

C.淇淇的說法有問題，當DEIIBC時，線段PQ的長度最大

D.這道題目有問題，PQ的長度只有最小值，沒有最大值

【變式16-2】（2023?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的

頂點稱為格點.如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格圖形4BCD中，M,N分別是AB,2c上的格點，BM=4,BN=

2.若點P是這個網(wǎng)格圖形中的格點，連接PM,PN,則所有滿足乙W7W=45。的中，邊的長的最

大值是（）

A.4V2B.6C.2V10D.3亞

【變式16-3】（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）已知：如圖1,在平面直角坐標系中，A（2,一1）,以M（-

1,0）為圓心，以AM為半徑的圓交y軸于點B,連結(jié)BM并延長交OM于點C,動點P在線段BC上運

動，長為弓的線段PQIIx軸（點Q在點P右側(cè)），連結(jié)AQ.

（1）求OM的半徑長和點B的坐標；

（2）如圖2,連結(jié)AC,交線段PQ于點N,

①求AC所在直線的解析式；

②當PN=QN時，求點Q的坐標；

（3）點P在線段BC上運動的過程中，請直接寫出AQ的最小值和最大值.

【題型17利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍】

【例17】（2023?湖北武漢?校考一模）在。。中，弦2。與弦CE相交于點RADFC=105°,BC=4DE,延

長EC至點連接D4,設(shè)乙4=a,則a所在范圍可能是（）

A.12°<ct<16°B.15°<ct<18°C.17°<a<20°D.190<a<22°

【變式17-1】（2023?浙江杭州?三模）如圖，C、。是以48為直徑的圓。上的兩個動點（點C、。不與/、

3重合），〃是弦CD的中點，過點C作CP14B于點尸.若CD=3,AB=5,則的范圍是.

【變式17-2］（2023?江蘇南京?二模）在RtzXABC中，^ACB=90°,點。是4B邊上的動點，AC=6,

BC=8,經(jīng)過C、。的。。交AC邊于點交BC邊于點N,且點M、N不與點C重合.

cc

Mi

(A/)

③

①②

（1）若點D運動到4B的中點.

①如圖①，當點〃與點/重合時，求線段MN的長；

②如圖②，連接MN,若MNIIA8,求線段MN的長；

（2）如圖③，點。在運動過程中，。。半徑，的范圍為

【變式17-3】（2023?浙江寧波?一模）如圖，E點為支軸正半軸上一點，OE交無軸于4B兩點，交y軸于C、

。兩點，P點為劣弧前上一個動點，連接P4PC,且4（-1,0）,F（l,0）.

（1）如圖1,求點C的坐標和NP的度數(shù)；

（2）如圖2,若CQ平分NPCD交P4于Q點，當P點在運動時，線段4Q的長度是否發(fā)生變化；若不變求出其

值，若發(fā)生變化，求出變化的范圍；

（3）如圖3,連接PD,當P點在運動時（不與B、C兩點重合）,求蟹^的值.

【題型18利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題】

【例18】（2023?湖北襄陽?二模）如圖，在半徑為6cm的。。中，點/是劣弧前的中點，點。是優(yōu)弧前上

一點，且ND=30。，下列四個結(jié)論：①。41BC；②BC=6限m；③弦與O。直徑的比為多④四邊

形AB。。是菱形.其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①③B.①②③④C.②③④D.①③④

【變式18-1]（2023?山東濟南?統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為6cm的。0中，點A是劣弧BC的中點，點D

是優(yōu)弧BC上一點，且ND=30。，下列四個結(jié)論：①OA1BC；②BC=6gcm；③sinNAOB=§；④四邊

形ABOC是菱形.其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①③B,①②③④C.②③④