專題03三角形及基本性質(zhì)

廠考點(diǎn)類型

考點(diǎn)1：三角形相關(guān)線段

—三角形分類、穩(wěn)定性

考點(diǎn)2：三角形相關(guān)線段

——三邊關(guān)系

模塊四圖形的性質(zhì)

講三角形及基本性質(zhì)

考點(diǎn)3：三角形相關(guān)線段03

——高線

考點(diǎn)4：三角形相關(guān)線段

——中線

匚下7知識(shí)一遍過(guò)

（一）三角形的分類

三角形定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相連接所組成的圖形是三角形

\直角三角形

（1）按角的關(guān)系分類：三角形,銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

，不等邊三角形

（2）按邊的關(guān)系分類：三角形一舄寸，［底和腰不相等的等腰三角形

等腰二角形《/華一5,

---<---等1-邊--二---角-形

（二）三角形的三邊關(guān)系

三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小王第三邊

（三）三角形的相關(guān)線段

（1）角平分線：

①角平線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等一到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上（角平分線的判定）

②三角形的三條角平分線的相交于一點(diǎn)叫內(nèi)心，內(nèi)心到三邊的幽相等.

（2）中線：

①三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，叫其重心:每條中線平分三角形的面積

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二生

(3)rWj線:

①三條高線所在的直線交于一點(diǎn)，叫其為垂心

②高線參考應(yīng)用：互余關(guān)系的等量代換，等面積法求高線

(4)中位線：三角形兩邊中點(diǎn)的連線段.平行于第三邊,且等于第三邊的一半

(四)三角形相關(guān)角的性質(zhì)

(1)內(nèi)角和定理：

①三角形的內(nèi)角和等租等；

②推論：直角三角形的兩銳角互余.

(2)外角的性質(zhì)：

①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.

②三角形的任意一個(gè)外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)嵬.

(3)三角形內(nèi)外角角平分線模型總結(jié)：

如圖①，AD平分/BAC,AE±BC,貝U/a=工/BAC-/CAE=1(180°-ZB-ZC)-(90°-ZC)=-(Z

222

C-ZB)；

如圖②，BO,CO分別是NABC、NACB的平分線，則有/0=1/A+90°；

2

如圖③，BO、CO分別為/ABC、ZACD,/OCD的平分線，則/0='/A,NO'=-ZO；

22

如圖④，BO、CO分別為NCBD、/BCE的平分線，則N0=90°--ZA.

2

考點(diǎn)1:三角形相關(guān)線段一一三角形分類、穩(wěn)定性

典例1:(2023上?安徽亳州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)在下列條件中：①乙4+NB=Z_C,②乙4=2NB=34C,

③乙4:NBZC=1:2:3,@AA=90°-AB,⑤乙4=48=3〃：中，能確定△4BC是直角三角形的條件有

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【變式1](2022上,陜西渭南?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))在AABC中，若N4=30。，AB=2乙4,則△43。是()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無(wú)法判斷

【變式2］（2022上?海南省直轄縣級(jí)單位?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)三角形兩個(gè)外角之和為280。，那么這個(gè)

三角形是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【變式31（2022上?北京?八年級(jí)人大附中?？计谥校┤鐖D，對(duì)于AA8C,若存在點(diǎn)。,分別在4B,8C,2C上，

使得N1=N2,Z3=Z4,N5=N6,貝U稱ADEF為A/IBC的"反射三角形下列關(guān)于"反射三角形"的說(shuō)法中，

錯(cuò)誤的是（）.

A.若AABC的“反射三角形”存在，則△48C必為銳角三角形

B.等邊三角形的"反射三角形"必為等邊三角形

C.直角三角形的"反射三角形”必為直角三角形

D.等腰三角形的"反射三角形"必為等腰三角形

【變式4］（2022上?湖北武漢?八年級(jí)校考期中）以下生活現(xiàn)象不是利用三角形穩(wěn)定性的是（）

【變式5］（2022上?四川自貢,八年級(jí)富順第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列生活實(shí)物中，沒(méi)有應(yīng)用到三角形

A.I、田徒他木器

懶

D,活動(dòng)衣T

【變式6］（2022?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上

的細(xì)木條的數(shù)量至少為（）

【變式7］（2022上?廣西南寧?八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮顾倪呅文炯懿蛔冃?，至少要再釘

幾根木條（）

A.4B.2C.1D.3

考點(diǎn)2:三角形相關(guān)線段一一三邊關(guān)系

典例2：（2024上?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)統(tǒng)考期末）以下列長(zhǎng)度的三條線段為邊，能組成三角形的是（）

A.3,5,9B.4,6,12C.2,2,4D.5,6,8

【變式1】（2024上?湖北恩施?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，AB=8,AC=6,點(diǎn)。是BC邊上的中

點(diǎn)，貝必。的長(zhǎng)山滿足的條件是（）

A.2<m<14B.2<m<8C.2<m<6D.1<m<7

【變式21（2024上廣東廣州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，DE、D尸分別是乙4DB、

乙4DC的角平分線，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,且=7,4E=4,CF=2,連接EF,貝忸產(chǎn)的取值范圍為

A

A.5<EF<9B.3<EF<11C.2<EF<6D.1<EF<5

【變式3】（重慶市合川區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知等腰△ABC的底邊長(zhǎng)為其腰長(zhǎng)

恰好是方程久2—2（m+1）久+6m—2=0的根，則m的值是（）

A.2B.4C.1D.3

考點(diǎn)3:三角形相關(guān)線段一一高線

典例3：（2023上?陜西西安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，ATIBC的頂點(diǎn)4

B,C均在格點(diǎn)上.若4。，8c于點(diǎn)。，則線段2D的長(zhǎng)為（）

【變式1】（2023上?全國(guó)?九年級(jí)期末）如圖，在矩形48CD中，4B=3,AD=4,點(diǎn)P在4D上，PE1AC于

E,PF1BD^-F,貝IjPE+PF等于（）

【變式21（2023上?安徽安慶?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在A/IBC中，乙8=55。，ZC=25°,4D是BC邊的高,

4E平分NBAC,貝ikZME的度數(shù)為（）

A.12.5°B.15°C.17.5°D.20°

【變式31（2023上?山東日照?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，和乙4cB的平分線相交于點(diǎn)。，

過(guò)點(diǎn)。作EEII8C交于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)。作。。1AC于點(diǎn)。，已知。。=4,AE+AF=8,貝！U4EF

的面積為（）

A.32B.16C.8D.20

【變式4］（2022上?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，梯形/BCD中，已知燮膽=工，則受型=_______

SxBCD2S^BCD

【變式5］（2023?全國(guó)?八年級(jí)課堂例題）在△ABC中,已知BC邊上的高40=8cm,BD=15cm,CD=6cm,

則△4BC的面積為.

【變式6］（2024上?北京朝陽(yáng)?八年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，ZC=90%力。是

NC4B的平分線，已知AC=4cm,AB=5cm,貝!ISUCD：SAABD=。

【變式71（2024上?安徽合肥?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)。是A/IBC內(nèi)一點(diǎn)，連接力D、BD、CD,其中BD1CD,

BD平分乙48C,若AaBn的面積為4,貝必A8C的面積是.

考點(diǎn)4：三角形相關(guān)線段一一中線

典例4：（2023上,全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AABC的中線4D,BE相交于點(diǎn)尸，F(xiàn)H1BC,垂足為若

SAABC=15,BC=6,貝行口長(zhǎng)為.

【變式1］（2024上?吉林四平?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△48C中，。、5分另1］是8。、4。的中點(diǎn)，BF=2EF,

【變式2］（2023上?廣東肇慶?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)。是△ABC的三條中線力D,BE,CF的交點(diǎn)，若陰

影部分的面積SABOC=2，則△4BC的面積為.

【變式3］（2023上?河北滄州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，E為平行四邊形ZBCD邊BC上一點(diǎn)，凡G分別為DE,

AE的中點(diǎn)，若△DCE與AABE的面積之和為6,則四邊形￡MGF的面積是.

【變式4］（2023上?山東荷澤?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，CE,CB分別是AABC,△4DC的中線，AB=

AC,4ACB=4ABC,CE=1.5,貝UCD的長(zhǎng)度為（）

C

AEBD

A.2B.3C.4.5D.6

【變式5］（2023上?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AD是△力BC的中線，Z.CAD=60°,AD=4,AB-

AC=2,則的長(zhǎng)為（）

A.VHB.5C.2V21D.V26

【變式61（2023上?貴州銅仁?八年級(jí)?？计谥校┮阎妊切我谎系闹芯€將它的周長(zhǎng)分成6cm和12cm兩

部分，則等腰三角形的腰長(zhǎng)為（）

A.4cm或8cmB.4cmC.8cmD.2cm或10cm

【變式7］（2023上?江蘇泰州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖,AD是△ABC的中線,E是力。上一點(diǎn),=l:n,

連接BE并延長(zhǎng)交4C于點(diǎn)凡貝必R4C為（）

A.1:（n-1）B.1:（2n—1）C.1:（n+1）D.1:（2n—2）

考點(diǎn)5：三角形的相關(guān)線段一一重心性質(zhì)

典例5：（2023?上海虹口?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，GE||4C交8c于點(diǎn)E.如果4C=12,那么

GE的長(zhǎng)為（）

【變式1］（2023上?湖南懷化?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，P是ATIBC的重心，連接2尸并延長(zhǎng)交BC于。，連

接BF并延長(zhǎng)交力C于E.若AABF的面積是4,則四邊形CDFE的面積是（）

A

A.2B.5C.3D.4

【變式2］（2023上?浙江寧波?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在RtZkABC中，乙4cB=90。，AC=8,BC=6,點(diǎn)

G是△ABC的重心，貝|CG等于（）

【變式3］（2023上?山西太原?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，中線BE,CD相交于點(diǎn)。，連接DE,

下列結(jié)論：①案②產(chǎn)=3③與=焉④產(chǎn)=￡其中正確的個(gè)數(shù)為（）

Ats

DLZ、ACOBZUH、ABDC3

考點(diǎn)6：三角形的相關(guān)線段一一角平分線

典例6：（2023上?浙江金華?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，△4BC的面積為18cm2,BP平分N4BC,AP1BP于

P,連接PC,則APBC的面積為（）

【變式1］（2023上?遼寧丹東?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在ATIBC中，以點(diǎn)B為圓心，以2為半徑畫弧，交邊

48于點(diǎn)D,交邊8c于點(diǎn)E,分別以點(diǎn)D,E為圓心，大于：DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在N28C內(nèi)部交于點(diǎn)P,

畫射線BP與邊4C交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,貝必。?CE的值為（）

A.2A/6B.4A/3C.4D.3日

【變式2］（2022上?湖北隨州?八年級(jí)校考期中）如圖，在AABC中，DE||BC,乙48c和乙4cB的平分線分另lj

交ED于點(diǎn)G、F,若FG=3,DE=6,貝UEB+DC的值為（）

【變式3］（2023上?江蘇無(wú)錫?八年級(jí)無(wú)錫市江南中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△28C中，AB=24C,2。是NB"的

角平分線，延長(zhǎng)4C至E,使得CE=4C,連接DE、BE.下列判斷：①BD=ED；@BD=2CD；③ED平

分乙CEB；@S^ABD=ShEBD,不一定成立的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

考點(diǎn)7：三角形相關(guān)的角一一內(nèi)角和

典例8：（2023下?河北石家莊?九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）在探究證明"三角形的內(nèi)角和是180。"時(shí)，綜合實(shí)踐小組

的同學(xué)作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明S4BC的內(nèi)角和是180。"的有（）

①過(guò)點(diǎn)C作EFI38

②延長(zhǎng)4C到點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CEIIA8

③作CD1A8于點(diǎn)D

④過(guò)48上一點(diǎn)D作DEIIBC,DFWAC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式1］（2023下,遼寧葫蘆島?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一個(gè)含30。角的直角三角板的直角頂點(diǎn)C放在直

尺的兩邊MN,PQ之間，則下列結(jié)論中：①Z_1=N3；②：N2=N3；③N1+N3=90。；④若乙3=60。,

則ABLPQ.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式2］（2024上?安徽合肥?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△48C中，AD是BC邊上的高，4E是NB&C的角平

分線，MF垂直平分4E,垂足為點(diǎn)X,分別交AB、AD.AC于點(diǎn)N、G、F,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接EF,

下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

1

A.ZM=NZMEB.Z.DAE=j（NABC-ZC）

C.EF||ABD.乙EFC=2乙M+乙C

【變式3］（2024上?北京昌平,八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把△ABC沿DE折疊后，點(diǎn)力的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,且點(diǎn)A落

在四邊形BCDE內(nèi)部，貝此4,zl,N2之間滿足的數(shù)量關(guān)系是（）

B

A./_A!=zl+z2B.2NA=Z_1+N2C.3N4=2N1+N2D.3NA=2（N1+N2）

【變式4］（2018下?山東棗莊?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算Na=（）

A.56°B.28°C.68°D.34°

【變式5】（2023上?陜西商洛?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在A4BC中，NB4C=60。，BE、CD為AABC的角平

分線.BE與CD相交于點(diǎn)F,FG平分NBFC,有下列四個(gè)結(jié)論：①4BFC=120°；②BD=CE；③BC=BD+

CE；④若BE_LAC,ABDF=ACEF.所有正確的結(jié)論是（）

A.①③B.②③④C.①③④D.①②③④

【變式6］（2023上?浙江臺(tái)州?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將一張三角形紙片4BC的一角折疊，使點(diǎn)4落在△力8c

外的A處，折痕為OE,如果N4=a,乙DEA=0,^CEA'=y,Z.BDA'=9,那么下列式子中不一定成立

的是（）

A

,'a\

BC

A.8=2a+yB.0=180°—CL-yC.乃=90°+，D.3=2a+20—180°

【變式7］（2023上?安徽阜陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，把三角形紙片4BC沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)4落在三角

形A8C內(nèi)部時(shí)，乙4與Nl,乙2之間的數(shù)量關(guān)系是（）

A.Zl+Z2=2Z.AB.41+42=180。+〃

C.zX=zl-z2D.zl+Z2=180°-LA

考點(diǎn)8：三角形相關(guān)的角一一外角定理

典例9：（2023上?廣西河池?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZB=15°,4B的垂直平分

線交8c于點(diǎn)D若BD=6,貝U4C的長(zhǎng)為（）

【變式1】（2023上?江西南昌?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△力8c中，乙4=36。，AB=AC,BD是AZBC的角

平分線，若在邊力B上截取BE=BC,連接DE,則圖中等腰三角形共有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【變式2］（2024上,湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△4BD中，AB=AC=DC,^BAC=40°,則NB/W

的度數(shù)為（）

BCD

A.75°B.72°C.70°D.68°

【變式3］（2022上?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)校考期中）如圖，已知中，48