云南省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一'選擇題

1.已知全集0=口,集合A={乂尤2_9<0},§={小>0},則A&8)=()

A.(O,3)B.(-3,0)C,[-3,0)D.(-3,0]

2.若(2+i)z=5+5i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知sintz-cosa則sin2tz的值為()

3

1221

A.-B.--C.-D.」

3333

4.將一個(gè)上底為2,下底為5,高為2的直角梯形繞著直角腰旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體,

則該幾何體的體積為()

A.52兀B.78兀C.26兀D.14兀

5.“。=—3”是“直線ax+y-4=0與直線9x+ay-12=0平行”的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知點(diǎn)4(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1),P(3,2,11則三棱錐P—ABC的體積是()

A.-B.-C.bHD.空

2662

22

7.如圖橢圓與+%=i(a〉“o)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，以線段￡B為邊作等邊

三角形"E鳥,/XHFR的兩邊町，分別交該橢圓于A,B兩點(diǎn).若|叫=鼻印訃則該

8

橢圓的離心率為()

A.lB.lC正D.-

5333

8.已知函數(shù)〃%）的定義域?yàn)镽,/（x）-4為奇函數(shù),/（x+4）為偶函數(shù)，則

/（1）+/（2）+/（3）++/（160）=（）

A.480B.320C.640D.1280

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知向量°,匕滿足慟=3,慟=2,則下列結(jié)論正確的有（）

A.（2a+3Z?）±（2a-3Z7）

B.若小0=6,則a//。

C.°在方向上的投影向量為;（a力”

D.若卜+2。卜抽，則°在人的夾角為g

10.若函數(shù)/（x）=cos,x+T（°〉0）在［6］上單調(diào)遞減，則①的值可能為（）

A.3B.9C.12D.15

22

11.已知雙曲線C卡丁=1的左、右頂點(diǎn)分別為A］，4,點(diǎn)出租,“）（相＞4,〃〉0）

是雙曲線c上的點(diǎn)，直線“A,的傾斜角分別為q,4,則（）

A.雙曲線c的實(shí)軸長(zhǎng)為16

B.當(dāng)tan0,=—時(shí)，&=—

116-4

C.4tanq+tan%的最小值為3

D.當(dāng)4tan6］+tan已取最小值時(shí),的面積為16

三、填空題

12.在四棱柱ABCD-4gCQ中,至，平面

ABC。,AB,AD，AB=AD=2〃=2,AE=XAB］,=〃40，其中幾e［?！?，"且。，斗

若所與底面ABCD所成角的正弦值為立，則物的最大值是.

5，

四、雙空題

13.拋物線x-'y2=0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.

16

14.小洪從某公司購(gòu)進(jìn)6袋白糖，每袋白糖的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是500g,為了了解這些白糖的質(zhì)

量情況，稱出各袋白糖的質(zhì)量(單位：g)為495,500,500,495,510,500,則這6袋白糖的平

均質(zhì)量為_(kāi)___________g,這6袋白糖質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為g.

五、解答題

15.銳角△ABC的內(nèi)角A,昆C的對(duì)邊分別為已知

sinB(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC.

⑴求2的值；

a

(2)若a=2,△ABC的面積為巫，求c的值.

4

16.如圖,在直三棱柱43。-4月。1中，筋=47=0441=2,帥，47為線段8。的中

點(diǎn).

⑴證明：6。，平面44。；

(2)求平面ABXD與平面AB.C,夾角的大小.

17.某場(chǎng)知識(shí)答題活動(dòng)的參賽規(guī)則如下：在規(guī)定時(shí)間內(nèi)每位參賽選手對(duì)兩道不同的題

作答，每題只有一次作答機(jī)會(huì)，每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立，每位選手作答的題均不相同.已

知甲答對(duì)第一道題的概率為°°,答對(duì)第二道題的概率為1-p；乙答對(duì)第一道題

的概率為2,答對(duì)第二道題的概率為L(zhǎng)甲、乙每次作答正確與否相互獨(dú)立.

32

⑴設(shè)°=:

①求甲答對(duì)一道題的概率；

②求甲、乙一共答對(duì)三道題的概率.

(2)求甲、乙一共答對(duì)三道題的概率的最小值.

18.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，將點(diǎn)P(x,y)繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角，利用公式

」'=xcosa-ysina，可得至九點(diǎn)力刑力.現(xiàn)將雙曲線孫=2繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)型

y'=xsina+ycosa4

得到雙曲線C.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)以雙曲線C的右頂點(diǎn)為圓心作半徑為1的圓M直線/:3x+4y-3=0與圓M相交于

兩點(diǎn)，求;

⑶在⑵的條件下,H是圓N:(x+4y+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，求△“鉆面積的取值范圍.

19.已知橢圓C：二+亡=l(a〉6〉0)的焦距為4,點(diǎn)E(2,3)在。上，直線

/b2

I:y=kx+m(kw與。交于M,N兩點(diǎn)、.

⑴求。的方程.

⑵若左■，求1MM的最大值.

(3)若點(diǎn)M與E重合，過(guò)“作斜率與/互為相反數(shù)的直線/，r與C的另一個(gè)交點(diǎn)為試

問(wèn)直線入力的斜率是否為定值？若是,求出該定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

1.答案：D

解析：易得A=何-3<x<3},科3=何％<0}，

則A（”）=（-3,0].

故選：D.

2.答案：A

5+5i_（5+5i）（2-i）10—5i+10i—5i?15+5i

解析:由題意得=3+i,

2+i-（2+i）（2-i）5

則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（3,1）在第一象限.

故選：A.

3.答案：C

解析：因?yàn)閟intz-costz

3

兩邊同時(shí)平方得sin?a-Ismacosa+cosi23a=—,

3

i2

所以1一sin2a=—，所以sin2a=—,

33

故選：C.

4.答案：C

解析：由題意可知該幾何體是一個(gè)上底面半徑為2,下底面半徑為5,高為2的圓臺(tái),

貝！J該幾何體的體積為g義（4兀+25兀+&兀x25兀）x2=26兀.

故選：C.

5.答案：A

解析：若直線以+y—4=0與直線9x+ay+12=0平行，貝>]儲(chǔ)=9,解得。=3或一3，

當(dāng)。=3時(shí)，直線3x+y-4=0與直線9x+3y-12=0重合，不符合題意，舍去；

當(dāng)a=_3時(shí)，直線—3x+y—4=0與直線9x—3y—12=0平行，符合題意，

故％=_3”是“直線ax+y-4=0與直線9x+ay-12=0平行”的充要條件，

故選：A.

6.答案：B

解析：易得筋=(-1,1,0),40=(-1,0,1),30=(0,-1,1),北=(2,2,1),

貝“叫=,4=匹=8,

所以△ABC的面積5=^x(點(diǎn)了=#,

設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),

n?AB=一元+y=0三―/、

則nil1■，可取"=(1,1,1),

n-AC=—x+z=O

IAP-HI<

所以點(diǎn)P到平面ABC的距離d===，

忖73

則三棱錐尸—ABC的體積是工x1x3=W.

3266

故選：B.

7.答案：D

解析：^：^FlB,^\BF2\=-\HF2\=-\F}F2\=-x2c=-c,

8884

得忸用二Jl陷f+|4月『-2愿M2COSN即的

故選：D.

8.答案：C

解析：因?yàn)?(力―4為奇函數(shù)，所以/(-X)-4=-[/(X)-4],M/(O)-4=O,

可得：+力=8,且/(0)=4,

又因?yàn)?(%+4)為偶函數(shù)，所以/(x+4)=/(4-x),則/(x+8)=f(-%),

所以/(%)+/(%+8)=8,/(工+8)+/(%+16)=8,所以/(%+16)=/(6，

則16是“力的一個(gè)周期.

因?yàn)?(l)+/(9)=8,〃2)+〃10)=8，〃3)+/(n)=8,〃4)+〃12)=8,

/(5)+/(13)=8,/(6)+/14=8,/(7)+/(15)=8,/(8)+/(16)=8,

故/⑴+/⑵++"160)=10[/⑴+八2)++/(16)]=10x8x8=640.

故選：C.

9.答案：ABD

解析：對(duì)于A,由(2a+3b)?2a—3b)=4/-9/=36—36=0

可得僅a+2a-3肛故A正確；

對(duì)于B,由=|<2||/>|-costz,Z?=6,可得cosa,6=1，

因則a1=0,故a//6,則B正確；

對(duì)于C，a在b方向上的投影向量為驍必=*b)b，則C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若卜+2。|=兩邊取平方,a?+4d-b+4b2=9+24cosd,b+16=13,

解得cosa,6=-g,因0<a,b〈7i，故口與匕的夾角為會(huì)，則D正確.

故選：ABD.

10.答案：AB

解析：當(dāng)xe10,二]時(shí)，/x+色J3+'],

(12J4(4124)

/(X)在]0,展]上單調(diào)遞減,二強(qiáng)0+：(兀，又(y>0,「.0<°K9,

即g的值可能為3和9.

故選：AB.

11.答案：BCD

解析：由雙曲線方程知a=42=3，c=J^兩=5，

對(duì)于選項(xiàng)A,易得雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2x4=8，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,由題意知A(-4,0),4(4,0),

又由g_E=1,得〃2=2(療_16),

16916V)

所以tan0,tan%=kk=----------=~/=—，

1HAHA2

2，配m+4m_4m-1616

當(dāng)tana=—at,tan%=1，又因?yàn)?e(0,-)，所以為=巴，故B正確；

11624

對(duì)于選項(xiàng)C,D,由圖形得仇e[o，"!]，則tand>0,

又tan仇,tan02同號(hào)，所以tan4>0,tan>0,

所以4tan^+tang-2,4tan,tan%=3,

當(dāng)且僅當(dāng)4tand=tan",即上=2-,即加=型,〃=4時(shí)，等號(hào)成立，

m+4m-43

此時(shí)△/M14的面積為gx8x4=16,故C,D正確.

故選：BCD.

12.答案：--V2

2

解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB，AD，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，則A（0,0,0）,4（0,0,1）,4（2,0,1）,￡＞（0,2,0）,

所以A4,=（0,0,1）,4A=（-2,0,-1）,4。=（0,2,-1）,

=叫A=（―22,0,-彳）,產(chǎn)=jU^D=（0,2//,-//）,

則EE=E4+朋+AE=(-242〃,-X-4+1).

由已知可得A41=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量.

眄￡￡胡卜耳+=卜"〃+1=正,

閉1AAi,4丸2+4〃2+(_/_〃+1)25

平方得：4(—2—〃+1)2=4川+4〃2,整理得：2"+1=22+2〃.

因?yàn)?G[0,1],4目0,1b所以2；1〃+1=2/1+2〃》4版，

當(dāng)且僅當(dāng)2=〃時(shí)，等號(hào)成立.

令/=而，則不等式2澳+1=2；1+2〃24屬可轉(zhuǎn)化為2『—4/+120，

解得04/1—變或后1+正(舍去)，

22

貝10＜加4|—也，

故加的最大值為T-g.

故答案為：--V2.

2

13.答案：(4,0)；尤=-4

解析：拋物線X-Ly2=o的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x,

16-

所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0%準(zhǔn)線方程為x=T.

故答案為：(4,0)；尤=-4.

14.答案：500;5

解析：根據(jù)題意可得這6袋白糖的平均質(zhì)量為

495+500+500+495+510+500\

-----------------------------=500(g),

O

這6袋白糖質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為

1(495-500)2+(500-500)2+(500-500)2+(495-500)2+(510-500)2+(500-500)2

V6

/25+0+0+25+100+0-\

Y---------6---------=5(g)-

故答案為：500;5.

15.答案：（1）2=工

a2

（2）C=2

解析：（1）因?yàn)閟inB（l+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,

所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin（A+C）,

又sin（A+C）=sin（7i-B）=sinB,

所以2sinBcosC=sinAcosC,

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以cosC>。，則2sinB=sinA，

故由正弦定理得%=a，從而2=工.

a2

（2）由（1）可知,人=工。=1,

2

則AABC的面積S=—ateinC=sinC=，

24

又cosC>0，則cosC=Jl-sin2c=—,

4

在ZVlBC中,由余弦定理得c?=a2+b2-labcosC=4+l-2x2xlx—=4,

4

貝1Jc=2.

16.答案：（1）證明見(jiàn)解析；

（2止

3

解析：（1）由直三棱柱性質(zhì)以及工AC可知，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC，A4所在直線分

別為x軸方軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示：

Z八

AiC\

51

8

/

f

又AB二AC二也明二2可得招二④

則4（0,0,0）,4（2,0,0）,G（0,2,0）,￡）（1,1,o）

所以G°=（l,—1,—拒），的=（2,O,0）,AT>=（1,LO）

「汨\CXDABX=1x2+0-72x72=00n

可得，即，GD，AD；

CQAD=1-1+0=0

所以CQ,AB］，G。J_AD,又AgAD=4,48”4￡>匚平面4耳。,

可得Ci。，平面AB】。

（2）易知ABI=倒,0,后）,AC】=（0,2,應(yīng)），

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為”=（x,y,z）,

fAB,-n=2x+yflz=0A_._ZF,

則1L，令z=_0，解得x=l，y=i，

AC1?〃=2y+y/2z=0

即“=（1』,一行）；

由⑴可知CQ=（1,-1,-忘）為平面A耳。的一個(gè)法向量，

”―/?'\ri'CD1—1+21/\

所以3（〃,。必=行}=后石=5，又（“6。月。,小

所以平面A3］。與平面ABC1夾角的大小為三.

17.答案：⑴①2②竺

896

⑵,7

24

解析：⑴①設(shè)“甲答對(duì)一道題”為事件A,則p(A)==9,

'"44448

則甲答對(duì)一道題的概率為3；

8

②設(shè)“甲答對(duì)兩道題”為事件4，“乙答對(duì)一道題”為事件Bv

“乙答對(duì)兩道題”為事件為,“甲、乙一共答對(duì)三道題”為事件C,

則p（a）=3x」=a,

D4416

P（B2）=gxg=；,

5i3129

p（c）=p（A）m）+P（4）P（B1）=|x|+Axl=||,

故甲、乙一共答對(duì)三道題的概率為空；

96

（2）由題知P（A）=p1+（1-=2/_2p+］，P（4）=Ml_Q）=p_p2,

設(shè)“甲、乙一共答對(duì)三道題”為事件D,

則P（D）=尸（A）尸（與）+尸（4）尸（4）

當(dāng)°=工時(shí)，甲、乙一共答對(duì)三道題的概率最小，且最小值為—.

r224

22

18.答案：（1）土—匕=1

44

⑵號(hào)

5

一4一

⑶？4

解析：（1）設(shè)曲線孫=2上任意一點(diǎn)（x,y）繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)手后的坐標(biāo)為（只力,

,3兀.3兀

x=xcos----ysin—,

44

則

,.3兀3兀

y=xsin---Fycos—,

44

得（*）2-（y）2=2沖=4,則（￡）（y）=i，

44

22

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)—2L=1.

44

安=1'則叫=2

⑵由⑴，可得圓心M（2,0）到直線/的距離&=

|(-4)+4X0-3|

⑶圓心N（-4,0）到直線/的距離&=3X3

V9+16-

點(diǎn)”到直線/距離的最大值為3+2=5,最小值為3-2=1,

所以面積的最大值為，x5x§=4,最小值為，xlx§=±

一—25255

故面積的取值范圍為1,4

22

19.答案：⑴土+匕=1

1612

(2)2^15

⑶存在,

2

49

二+第j1

abr=4

解析：(1)依題意可得2c=4,解得‘l

2