專題21.3二次根式的加減【十大題型】

【華東師大版】

＞題型梳理

【題型1同類二次根式】........................................................................1

【題型2分母有理化】..........................................................................3

【胭型3二次根式的加減】......................................................................5

【題型4比較二次根式的大小】.................................................................7

【題型5二次根式的混合運(yùn)算】.................................................................10

【題型6己知字母的取值對二次根式進(jìn)行化簡求值】..............................................13

【題型7已知條件式對二次根式進(jìn)行化簡求值】..................................................15

【題型8二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】.........................................................18

【題型9二次根式中的新定義類問題】..........................................................22

【題型10二次根式中的閱讀理角彳類問題】........................................................25

院舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1:同類二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式.

特別說明：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如

G與我，由于我=2五，④與&顯然是同類二次根式.

【題型1同類二次根式】

【例1】（23-24九年級(jí)?上海浦東新?階段練習(xí)）下列各組二次根式中，為同類二次根式的是（）

A.:乃和3aB.6和加

C.g和RD.國和四

【答案】C

【分析】本題主要考直了同類二次根式.將二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式

叫做同類二次根式.根據(jù)同類二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可解答.

【詳解】解：A、1述與3企的被開方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、聲與低的被開方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、姨=2b與]=與的被開方數(shù)相同，所以它們是同類二次根式；故本選項(xiàng)正確：

D、次與眄=3的被開方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

【變式1-1】（23-24九年級(jí)?江蘇無錫?期末）若最簡二次根式衍寫與g是同類二次根式，則。=—.

【答案】3

【分析】本題考查了同類二次根式和最簡二次根式.先求出g=26，再根據(jù)同類二次根式的定義得出2a-

3=3,再求出答案即可.

【詳解】解:/12=2V3,

?.?最簡二次根式傳』與41是同類二次根式，

A2a-3=3,

.*.G=3.

故答案為：3.

【變式1-2]（23-24九年級(jí)?安徽滁州?期末）下列各式中，不能與合并的是（）

A.V2B.V8C?冊D.V02

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的合并，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡方法，以及同類二次根式才可以合

并.

將各選項(xiàng)化為最簡二次根式即可解答.

【詳解】解：J1吟

A、我與出是同類二次根式，可以合并，不符合題意；

B、我=2e與電是同類二次根式，可以合并，不符合題意；

C、華與電是同類二次根式，可以合并’不符合題意；

D.V02=R=g與，不是同類二次根式，不可以合并，符合題意；

故選:D.

【變式1-3]（23-24九年級(jí)?北京海淀?期末）已知最簡二次根式--冷2%+y-5和-3y+11是同類二次

根式，求/+y2的平方根.

【答案】±5

【分析】根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的定義列出關(guān)于x、y的方程組，解方程組得出入、）的值，再求

出/+y2的值，最后求出平方根即可.

【詳解】解：???最簡二次根式“-芍2工+y-5和Jr-3y+11是同類二次根式,

.（3x-10=2

,,（2x+y-5=x-3y+11*

解得:［；：3>

*.x2+y2=424-32=25?

???/+好的平方根是±5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，平方根的定義，最簡二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練學(xué)

握同類二次根式的定義，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算.

知識(shí)點(diǎn)2：分母有理化

①分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母

組戊平方差公式；

②兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式.一個(gè)

二次根式的有理化因式不止一個(gè).

【題型2分母有理化】

【例2】（23-24九年級(jí)?河北衡水?期末）已知Q=高，b=V5+3,則a與b的關(guān)系是（）

A.互為相反數(shù)B.相等C.互為倒數(shù)D.互為負(fù)倒數(shù)

【答案】A

【分析】本題考查了分母有理化和相反數(shù)，根據(jù)分母有理化的方法求得a的值，即可求解，熟練掌握相反數(shù)

的定義和分母有理化的方法，進(jìn)而求得a的值是解題的關(guān)犍.

【詳解】解：a=-^―=（=-V5-3,

V5-3（v5-3）（x^5+3）

/.G4-b=0,

???a與b互為相反數(shù)，

故選：A.

【變式2-1］（23-24九年級(jí).上海?期末）計(jì)算：一）+磊=_____.

172V2

【答案】-1

【分析】本題考查了分母有理化，根據(jù)題中給的例子找出規(guī)律是解題的關(guān)健;

（1）根據(jù)題中給的例子即可得出答案；

（2）根據(jù)題中給的例子找出規(guī)律即可得出答案；

（3）根據(jù)（2）中規(guī)律計(jì)算化簡即可;

【詳解】⑴6=露普=〃_次=23

V3+V4（V3+V4J（V4-,3）4-3

7^=（6+伺（"-伺=-7^6"=VV。'

故答案為：2—V5>>/7—V6：

⑵而后=而不

y/n+1-y/n_yfn+1-vn

驗(yàn)證:=Vn+1—y/n,

Vn+Vn+l(、n+l+、句(、n+l-布)n+1-n

故答案為：Vn4-1—>/n；

⑶島+短+康+…+兩:兩+兩:兩）（1+^^）

=(企-1+百一或+"-百+…+V2023-V2022+V2024-^2023)(1+V2024)

=(V2024-1)(14-V2024)

=2023.

知識(shí)點(diǎn)3：二次根式的加減

將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二

次根式.

特別說明：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并

同類二次根式,如虎+3夜-5夜=（1+3-5）虛=-夜

【題型3二次根式的加減】

【例3】（23-24九年級(jí)?山西呂梁?期末）計(jì)算

(1)VZ27-V8T+(-2)2

(2)照+V6-(2V6+1)

【答案】（1）一8

(2)1-V6

【分析】本題主要考查了乘方和開方，二次根式的加減，對于（1；,根據(jù)/節(jié)=-3,倔［=9,（-2）2=4,

再計(jì)算有理數(shù)的加減法即可；

對于（2）,先開方，再去括號(hào)，然后根據(jù)二次根式的加減法法則計(jì)算.

【詳解】（1）原式=-3-9+4

=-8；

（2）原式=g+C—2C—g

=1—V6.

【變式3-1］（23-24九年級(jí).山東聊城.期末）計(jì)算32聞+同結(jié)果為

【答案】-4V3

【分析】本題考查了二次根式的加減法運(yùn)算，正確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

先將二次根式化簡，然后計(jì)算加減法即可.

【詳解】解：3/1-2V48+V27

V3廠廠

=3x--2X4V3+3V3

=仃-8百+3百

=-4V3,

故答案為：-4百.

【變式3-2］（23-24九年級(jí)?吉林長春?開學(xué)考試）2V12-64+3748=—.

【答案】14V3

【分析】先根據(jù)性質(zhì)化簡二次根式，再合并同類二次根式即可.

【詳解】原式=4百一2舊+126，

=1475,

故答案為：14Ag.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)和加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熱練掌握利用二次根式性質(zhì)的化簡及其應(yīng)用.

【變式3-3】（23-24九年級(jí)?全國?單元測試）計(jì)算：舄-嗤警

【答案】2Vb

【分析】分母不變，分子作減法后，根據(jù)b=,將分子分解為2述（6-C）,通過約分即可得.

【詳解】原式="僚符=*=嗯等=2逐

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡，利用力=乃?傷使此題化簡更為簡便.

【題型4比較二次根式的大小】

【例4】(23-24九年級(jí)?河南省直轄縣級(jí)單位?期末)在二次根式i勺比較大小中，有時(shí)候用"平方法''會(huì)取得很

好的效果，例如，比較Q=26和6=3口的大小，我們可以把a(bǔ)和b分別平方，a?=12,d2=18,則Q2<廬,

???a<b

請利用''平方法''解決下面問題：

(1)比較c=3遍，d=4\/5大小，cd(填寫>,v或者=)

(2)猜想771=2后+VT5,71=2近+后之間的大小關(guān)系，并證明.

【答案】⑴V

(2)771>n,證明見解析

【分析】本題考查二次根式比較大小，二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算，完全平方公式，掌握平方法比較大小，是解

題的關(guān)鍵：

(1)利用平方法比較大小即可；

(2)利用平方法進(jìn)行比較即可.

【詳解】(1)解：???c=3痣，d=4V5,

Ac2=54,d2=80,

Vc2<d2,

,cVd：

故答案為：V;

(2)解：猜想理由如下：

Vm=2V5+V13,n=2V7+V5,

Am2=(2>/5+/13)2=20+4辰+13=33+4鹿，n2=(277+x/5)2=28+5+4聞=33+4回，

■?,夜>夜,

Am2>n2,

>n.

【變式4-1](23-24九年級(jí).山東青島.期末)觀察下列?組等式，然后解答問題:

(V2+1)(72-1)=1,

(V3+V2)(V3-V2)=1,

(V4+V3)(V4-V3)=1,

(\/54-V4)(V5-V4)=1……

(1)觀察以上規(guī)律，請寫出笫n個(gè)等式：(九為正整數(shù))；

⑵利用上面的規(guī)律，計(jì)算：高-募+募+…+\^2023+V237l：

(3)請利用上面的規(guī)律，比較回-V98與聞-畫的大小.

【答案】(1)(x/n4-1+x/n)(\/n+1-Vn)=1

(2)^^023-1

⑶聞-V98<V98-V97

【分析】(1)根據(jù)題干，觀察規(guī)律，即可得到第九個(gè)等式；

(2)先將各項(xiàng)分母有理化，在進(jìn)行有理數(shù)計(jì)算即可得到答案；

(3)根據(jù)平方差公式，可化成分子相同的數(shù)，根據(jù)相同的分子，分母越大的數(shù)越小進(jìn)行比較，即可得到答

案.

【詳解】(1)解:通過觀察可知，(x/n+1++1-赤)=1,

故答案為：(，幾+1+Vn)(Vn4-1-Vn)=1；

(6畸聲]_(-T)?(6一、②](G⑸?-

「昕?‘小八一(011)(01)0)(0?)T(QlV5)(Q73)(V2023I72022)(7202372022)

=(V2-1)+(V3-V2)+(V4-V3)+-...+(5^023-V2022),

=-1+V3-V2+V4-V3+-...V2023-V2022

=7^55-1；

(3)解：...聞一加叵翌等厚二三、，聞一扃=(聞-"竺+質(zhì))=一『,

回+798、頌+、頌畫+質(zhì)V98+V97

1)1

V98fV97回+跳’

V99-V98<V98-V97.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式混合運(yùn)算和大小比較，主要運(yùn)用分母有理化和分子有理化，熟練堂握相關(guān)的運(yùn)

算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2](23-24九年級(jí).河北石家莊.期末)5-魚、2+冬2+四的大小關(guān)系是()

A.2+V2>2+/>5-V2B.5—V2>2+g>2+V2

C.2+y>5-V2>2+V2D.5-V2>2+V2>2+^

【答案】D

【分析】根據(jù)作差法，分別比較5-a與2+a,2+近與2+彳的大小，即可得到答案.

(詳解】V(5-V2)-(2+V2)=3-2A/2=3-V8=V9-V8>0,

A5-V2>2+V2,

?.?(2+物-(2+舁&亭華孚寫%),

A2+V2>2+亨，

r.5-V2>24-V2>2+y,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查比較二次根式的大小，掌握作差法比較大小，是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](23-24九年級(jí)?山西呂梁?期中)閱讀下列解題過程，回答問題：

1V2-1廠

-p-----=7-7=-----、//-.........r=v2-1

V2+1(V2+1)(V2-1)

_1_=-------百3------=V3-V2

V3+V2(V3+V2)(^-V2)

1x/4-V3廠r~r-

-----------=------------------------------=,y4-V3=2-V3

V4+V3(V4+V3)(V4-V3)

(D化簡：嬴=------'總麗=------;

(2)利用上面的規(guī)律，比較(g-g)(V14-V13)(填：”或“V”或.

【答案】⑴3-2&，V91-3V10

(2)>

【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式比較大小：

(I)仿照題意求解即可；

(2)根據(jù)分母有理化的方法得到懸德=舊一皿，^言二后一m,根據(jù)

v13+V12vl4+vl3

“12>0，得到VTi+\/T5〈事-V12)>(Vi4-vis).

【詳解】⑴解：高

V9-V8

"(V9+V8)(V9-V8)

區(qū)-瓜

9-8

=3-2V2；

1

V91+V90

_V91-V90

"(V91+V90)(V91-V90)

_聞一聞

91-90

=回一3V10,

故答案為：3-2V2,V91-3V10；

(2)解：

xfl3+x/12?(V「13+>/在12)(\之/13-\^一L2)g-g

_i_=--------------/U-^13,

V14+V13(V14+^)(^-Vi3)=yV1+3，

??，E+V13>V13+V12>0,

.?.一_1v1一,

V14+\/l3V13+V12,

r.(V13_V12)>(V14-V13),

故答案為：>.

【題型5二次根式的混合運(yùn)算】

【例5】(23-24九年級(jí).河南三門峽.期末)下面是小美同學(xué)進(jìn)行二次根式運(yùn)算的過程，請認(rèn)真閱讀，完成相

應(yīng)的任務(wù).

V24+V12-2(V2+V3)

=J^x24+2V3-2V2+2V3.....第一步

=G+2遮+2V5—2V2.....第二步

=56一2四.....第三步

任務(wù)：

(1)原式中的二次根式R、舊、412.V2,遮中，是最簡二次根式的是；

(2)第步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是：

(3)第一步中，去括號(hào)的依據(jù)是:

(4)請寫出正確的計(jì)算過程.

【答案】（1）&、V3

（2）一，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，沒有改變括號(hào)內(nèi)符號(hào):

（3）乘法分配律

（4）見解析

【分析】本題考查了最簡二次根式的定義、去括號(hào)法則，二次根式的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)

鍵.

（I）根據(jù)最簡二次根式的定義逐一判斷即可；

（2）根據(jù)去括號(hào)法則分析即可；

（3）根據(jù)去括號(hào)的依據(jù)解答即可：

（4）先計(jì)算二次根式乘法、去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】⑴解：不是最簡二次根式；

884

V24=2V6,不是最簡二次根式；

712=2V3,不是最簡二次根式；

06是最簡二次根式，

故答案為：應(yīng)、V3

（2）解：第一步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是：去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，沒有改變括號(hào)內(nèi)符號(hào)；

故答案為：一，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)，沒有改變括號(hào)內(nèi)符號(hào)；

（3）解：第一步中，去括號(hào)的依據(jù)是乘法分配律，

故答案為：乘法分配律；

（4）解：J^xV24+V12-2（V2+V3）

=JgX244-2V3-2V2-2A/3

=^+2V3-2V3-2V2

=V5—2V2.

【變式5-1］（23-24九年級(jí).北京房山.期末）計(jì)算（后2一（1一3日）（1+3⑨=.

【答案】22

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則，平方差公式分別運(yùn)算，最后相

減即可得到結(jié)果，掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=5-[12一（3或）2]=5-（-17）=22,

故答案為：22.

【變式5-2】（23-24九年級(jí)?湖北十堰?期末）計(jì)算:例一;g+2dxf的結(jié)果為（）

434

A.V3+2B.V2+3C.V2+V3D.5

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，先化簡二次根式，計(jì)算乘法，再算二次根式加減即可，靈活

運(yùn)用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=：x4&一：x3應(yīng)+2x宇，

434

=3a-2遮+3,

=、泛+3,

故選：B.

【變式5-3]（23-24九年級(jí).江西宜春.期末）（1）計(jì)算：（2-75）（2+次）一四：

（2）化簡：2病+二口3>0）.

2ya

【答案】（1）一1;（2）4a

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，平方差公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)

鍵.

（1）先根據(jù)平方差公式展開，再計(jì)算加減法即可；

（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再將除法化為計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）（2-V3）（2+A/5）-V4

2

=2-（⑹2_2

=4-3-2

=-1：

（2）2痼-P

2yja

=2病.挈

2a

,—2a

=2yab--=：

\[ab

=4a.

【題型6已知字母的取值對二次根式進(jìn)行化簡求值】

【例6】(23-24九年級(jí)?山東濱州?期中)先化簡，再求值：x(V6-x)+(x+V5)(x-V5),其中x二

【答案】V6x-5：1

【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，二次根式的化簡求值，熟知二次根式的相關(guān)計(jì)算法則是解題

的關(guān)鍵.

先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則和平方差公式去括號(hào)，然后合并同類二次根式化簡，最后代值計(jì)算即

可.

【詳解】解：x（V6-x）+（x+V5）（x-V5）

=屈x-x2+x2-5

=瓜x—5；

%=（4百-6X彳+6百）+4V2

=（4A/3-28+6⑹+4A/2

=84+4&

=石；

原式=V6xV6-5=6—5=1.

【變式6-1］（23-24九年級(jí)?湖北武漢?期末）設(shè)％=祟，y=寥，求/一3無y+y2值.

VZ+1v2-1

【答案】31

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵，整式的乘法的

運(yùn)算公式及運(yùn)算法則對二次根式的運(yùn)算同樣適應(yīng).先把％=磊，、=舒化簡，再把/一3町+y2變形為

(x-'產(chǎn)-孫代入計(jì)算即可.

【詳解】解：?.”=浜=溫右=3-2值,=淺=舒焉=3+2也

.*.x2-3xy+y2

=x2-2xy+y2-xy

=（x-yT-xy

=|（3-2V2）一（3+2V2）］2一（3—2后）（3+2夜）

=(-4V2)2-(9-8)

=32-1

=31.

【變式6-2](23-24九年級(jí)?湖南岳陽?期末)若a=遙+2,b=遙-2,求：

(l)a2-b2；

(2)求。3匕+助3

【答案】(1)8遍

⑵18

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值：

(1)先求出Q+b=2V5,a-b=4,再根據(jù)a?一〃=(Q+b)(a-匕)進(jìn)行求解即可；

(2)先求出Q+b=2遙，ab=1,再把所求式子變形為ab[(Q+b)2-2ab],據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：TQ=遙+2,8二遍一2,

a4-b=V5+24-V5—2=2代，a—b=V5+2—>/5+2=4?

Aa2-b2

=(a+b)(a—b)

=2\/5x4

=8A/5；

(2)解：Va=V5+2,b=V5-2,

/.G+b=V5+2+V5-2=2V5?ab=(V5+2)(V5—2)=5-4=1

/.G3b+ab3

=ab(a2+b2)

=ab\(a+b)2—2ab]

=1x[(2x/5)2-2x1]

=1x(20-2)

=18.

【變式6-3](23-24九年級(jí).河北衡水.階段練習(xí))已知％=2-逐，y=24-V3.

⑴求x+y和孫的值；

(2)求%2+丫2一3孫的值;

(3)若%的小數(shù)部分是a,y的整數(shù)部分是b,求ax-by的值.

【答案】(I)X+y=4,xy=1

⑵11

(3)1-7V3

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算、利用完全平方公式進(jìn)吁計(jì)算、無理數(shù)的估算，熟練掌握以上知識(shí)

點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(I)代入％=2—6，y=2+6即可求出x+y和無y的值；

(2)將原式變形為(x+y)2-5xy,代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)先估算出1V遍<2,從而得出Q=2—V5,6=3,再代入進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

(詳解】(1)解：人=2—遍，y=2十行，

x4-y=2-V3+2+V3=4,ry=(2-⑹(2+\/3)=4-3=1：

(2)解：由(1)得：x+y=4,xy=1,

???x2+y2-3xy=(x+y)2-5xy=42-5x1=11

(3)解：v1<3<4,

VI<V3<V4,即IV百V2,

???-2<-V3<-1,

0<2-V3<1,

x的小數(shù)部分是a,

???a=2—V5,

v3<2+V3<4,y的整數(shù)部分是b,

???b=3,

:.ax-by=(2-V3)(2-⑹-3(2+⑹=4-4b+3-6-3遮=1-773.

【題型7已知條件式對二次根式迸行化簡求值】

【例7】(23-24九年級(jí)?浙江杭州?期末)已知：y=V7三+V￥=W+5,化簡并求存一一唱的值.

x^y/xyy->jxy

【答案】

亞，-4

x-y

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到尸4,則產(chǎn)5,再利用約分得到原式=晟+五為，然后通分得到

原式二辿，最后把％、y的值代入計(jì)算即可.

x-y

【詳解】解：??"-生0且4-啟0,

AA=4,

.,?尸5,

應(yīng)______4y_

X+y/xyy-y/xy

Vx+Vy+Vx-Vy

（4+⑸（依-技）'

2yJX

F

_2V4

----,

4-5

=-4.

【點(diǎn)睛】本題考查了考查了二次根式有意義的條件、二次根式的化簡求值，做題的關(guān)鍵是要先化簡再代入求

值.

【變式7-1]（23-24九年級(jí).河南許昌.期末）已知近+套=3,求J式+或一19的值.

【答案】2yf7

【分析】把已知等式兩邊平方求出x+乙的值，原式變形后代入計(jì)算即可求出值.

X

【詳解】解：把a(bǔ)+:=3兩邊平方得：x+-+2=9,即無+2=7,

Vxxx

則原式=J（X+》2_21=V49-21=2近，

故答案為2V7.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，以及二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式7-2】（23-24九年級(jí).上海寶山.階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b涉足6（6一傷）=①（3逅+5女），求代

獨(dú)甫。+2、而+3萬

姒八2a+同+。的值.

【答案】

Zo

【分析】首先化簡已知條件的等式，得出6=5必，代入所求代數(shù)式中即可得解.

【詳解】解：由已知條件，等式可化為

a-Vab=3>/ab+5b

a-4y/ab-5b=0

(Va)2—4Vab—5(Vb)2=0,即為(VH+VS)(傘—5Vb)=0

解得VH=5VS,y/a=—y/b（舍去）

將其代入，即得

原式二25b+10b+3b19

=28,

50b+5b+b

故答案為焉

Zo

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的化簡求值，熟練運(yùn)用即可解題.

求bg+a的值.

【變式7-3]（23-24九年級(jí).山東威海?期中）已知a+b=-8,ab=12,

【答案】-20萬

3

【分析】根據(jù)題意可判斷。和。都是負(fù)數(shù)，然后二次根式的乘、除法公式和合并同類二次根式法則化簡并求

值即可.

【詳解】解：a+6=-8,ab=12,

???〃和〃均為負(fù)數(shù),

M+川=(a+b)2_2ab=40

。2

yfb^y/a^

=b-=-\-a-=

7abyab

by/b^+a>/a^

4ab

b(—b)+a(—a)

\[ab

-b2—a2

-d+/)

\/ab

Tn

-40V12

-40x2V3

-20V3

3

【點(diǎn)睛】此題考查的是二次根式的化詢和完全平方公式的變形；掌握二次根式的乘、除法公式和合并同類二

次根式法則是解決此題的關(guān)鍵.

【題型8二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】

【例8】（23-24九年級(jí)?江蘇南通?期中）某小區(qū)有一塊長方形綠地ABC。，長8C為米，寬月8為同米，

現(xiàn)在要在長方形綠地中修建兩個(gè)形狀大小相同的小長方形花壇（即圖中陰影部分），每個(gè)小長方形花壇的

長為（yn+i）米，寬為（g—i）米.

AD

Bc

（1）求長方形綠地AB。。的周長；

（2）除花壇外.其他地方全修建成通道，通道需鋪上造價(jià)為55元/平方米的地磚，則購買地磚需要多少錢？

【答案】（1）26亞米

（2）3080元

【分析】此題考查了二次根式的四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，讀懂題意，熟練掌握運(yùn)算法則和順序是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)長方形的周長公式計(jì)算即可；

（2）先利用長方形的綠地面積減去花壇的面積，再用化簡結(jié)果乘以地磚的單價(jià)即可.

【詳解】（1）解：2x（g§+同）=2x（8四+5或）=26&（米），

???長方形力的周長為26魚米.

（2）解：V128xV50-2x（反+1）x（V13-1）=80-2x12=56（平方米），

則56x55=3080（元）,

???要鋪完整個(gè)通道，則購買地磚需要花費(fèi)3080元.

【變式8-1］（23-24九年級(jí)?安徽合肥?期末）小明同學(xué)每次回家進(jìn)入電梯間時(shí)，總能看見如圖所示的提示“高

空拋物害人害己”.為進(jìn)?步研究高空拋物的危害，小明請教了物理老師，得知高空拋物下落的時(shí)間，（單

位：s）和高度（單位：m）近似滿足公式t=但（不考慮風(fēng)速的影響，g、lOm/s?,再、2.236）

⑴已知小明家住20層，每層的高度近似為3m,假如從小明家墜落?個(gè)物品，求該物品落地的時(shí)間；（結(jié)

果保留根號(hào)）

⑵小明查閱資料得知，傷害無防護(hù)人體只需要64焦的動(dòng)能，高空拋物動(dòng)能（焦）=10x物體質(zhì)量（千克）

x高度（米），某質(zhì)量為0.1千克的玩具在高空被拋出后，最少經(jīng)過幾秒落地就可能會(huì)傷害到樓下的行人？

【答案】⑴2百秒

（2）3.5776秒

【分析】（1）根據(jù)題意可先求得九=60m,根據(jù)t=代入計(jì)算即可求解：

（2）先根據(jù)高空拋物動(dòng)能（焦）=10x物體質(zhì)量（千克）x高度（米），求出該玩具最低的下落高度，再由

t=后代入求解即可.

【詳解】（1）解：???小明家住20層，每層的高度近似為3m,

/./i=20x3=60m,

??"=后=倍=2每，

:,該物品落地的時(shí)間為28s；

（2）該玩具最低的下落高度為h=2=6401,

10x0.1

../=隹=庵=晅。^^=3.5776s.

qg71055

???最少經(jīng)過3,5776秒落地就可能會(huì)傷害到樓下的行人.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，讀懂題意，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【變式8-2］（23-24九年級(jí)?河南洛陽?期中）現(xiàn)有兩塊同樣大小的長方形木板①，②，甲木工采用如圖①所

示的方式，在長方形木板①上截出兩個(gè)面積分別為12dm2和27dm2的正方形木板A,B.

AB

①②

（1）圖①截出的正方形木板A的邊長為dm,B的邊長為dm；

⑵求圖①中陰影部分的面積；

⑶乙木工想采用如圖②所示的方式，在長方形木板②上截出面積為25dm2的兩個(gè)正方形木板，請你判斷能

否截出，并說明理由.

【答案】（1）2遮，3V3

⑵6dm2

（3）不能截出，見解析

【分析】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，

（I）根據(jù)正方形的面積，即可求出邊長；

（2）先求出木板3的邊長，再得出陰影部分的長和寬，根據(jù)長方形面積公式即可求解：

（3）求出兩個(gè)面枳為25dm2的正方形木板的邊長，即可得出所需木板的長和寬，將其與實(shí)際木板長和寬進(jìn)

行比較，即可解答.

【詳解】（1）解：???正方形木板A的面積為12dm2,正方形木板8的面積為27dm2,

正方形木板A的邊長為4^=2v5（dm）,正方形木板B的邊長為VT7=3V3（dm）,

故答案為：2A/5,3v5；

（2）解：???正方形木板A的邊長為2百dm,正方形木板8的邊長為3V5dm,

???陽影部分寬為bdm,

???明影部分面積為2百xV3=6（dm2）,

（3）解：不能截出;

理由：V25=5,2x5=10,

，兩個(gè)正方形木板放在一起的寬為5dm，長為10dm.

由（2）可得長方形木板的長為5V5dm,寬為3x/5dm.

V3V3>5,但5百<10,

???不能截出.

【變式8-3]（23-24九年級(jí)?北京海淀?期末）團(tuán)扇是中國傳統(tǒng)工藝品，代表著團(tuán)圓友善、吉祥如意.某社團(tuán)

組織學(xué)生制作團(tuán)扇，扇面有圓形和正方形兩種，每種扇面面積均300平方厘米.為了提升團(tuán)扇的耐用性和

美觀度，需對扇面邊緣用緞帶進(jìn)行包邊處理，如圖所示.

（1）圓形團(tuán)扇的半徑為厘米，正方形團(tuán)扇的邊長為厘米;

（2）請你通過計(jì)算說明哪種形狀的扇面所用的包邊長度更短.

【答案】（1）變亙，108

TT

⑵圓形團(tuán)扇所用的包邊長度更短

【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用、實(shí)數(shù)的比較大小，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)圓和正方形的面積公式計(jì)算即可得出答案；

（2）分別求出圓形團(tuán)扇的周長和正方形團(tuán)扇的周長，比較即可得出答案.

【詳解】（1）解：由題意得：

圓形團(tuán)扇的半徑為眄=竺畫厘米，正方形團(tuán)扇的邊長為聞b=100厘米；

Ynn

（2）解：???圓形團(tuán)扇半徑為坦空厘米，正方形團(tuán)扇的邊長為10百厘米，

n

：,圓形團(tuán)扇的周長為20廝厘米，正方形團(tuán)扇的周長為40百厘米

V40V3=20V3x22=20V12,3<ir<4,

/.20V3K<40V3,

???圓形團(tuán)扇所用的包邊長度更短.

【題型9二次根式中的新定義類問題】

【例9】(23-24九年級(jí)?江蘇鹽城期中)對于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)。、〃，定義運(yùn)算隹如下：

aG?bL=Tb(。>0)

ab(a<0)

如：2⑥5=j(-2)(8)5=-2x5=-10.

根據(jù)上述定義，解決下列問題：

(1)^/60V3=,(1-V3)8(1+V3)=；

⑵若(％—1)G(%+1)=2,求x的值.

【答案】⑴也-2

(2)x=-V3

【分析】本題考查定義新運(yùn)算，二次根式的運(yùn)算，解分式方程：

(1)根據(jù)新運(yùn)算的法則，列出算式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)分工一1>0和無-1<0,列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：由題意，得：V60V3=^=V2,

Vl-V3<0,

A(l-V3)0(1+V3)=(1-A^3)(1+V3)=1-3=-2；

故答案為：V2,-2；

(2)當(dāng)x—1>0,即：3>1時(shí)，則：—=2,解得：x=—3,

X+1

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-3是原方程的解，

Vx>1,

Ax=-3(舍去)；

當(dāng)?shù)兑?<0,即：XV1時(shí)，則：(x-1)(%+1)=無2-1=2,

?'?x=—V5或％=(舍去)；

'?X=—V3.

【變式9-1](23-24九年級(jí)?全國?專題練習(xí))定義：若兩個(gè)二次根式a,b滿足a?b=c,且c是有理數(shù)，則

稱，與〃是關(guān)于c的因子二次根式.

(1)若。與魚是關(guān)于4的因子二次艱式，貝帽=；

（2）若8-1與m-國是關(guān)于-2的因子二次根式，求m的值.

【答案】⑴2企

（2）-1

【分析】（1）根據(jù)因子二次根式的定義進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)因子二次根式的定義得到（遮-1）（血-遮）=一2,進(jìn)行求解即可.

【詳解】（「）解:由題意，得：V2a=4,

a=2\/2；

故答案為：2V2

（2）由題意，得：（逐一1）（血一百）二一2,

???執(zhí)-8=一高=一（8+1），

/.m=—1.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的計(jì)算，分母有理化.理解并掌握因子二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式9-2］（23-24九年級(jí)?浙江杭州?期末）定義：若兩個(gè)二次根式m,n滿足m?n=p,且p是有理數(shù).則

稱仇與九是關(guān)于N的美好二次根式.

（1）若m與e是關(guān)于6的美好二次根式，求TH的值：

（2）若1-百與4+舊機(jī)是關(guān)于九的美好二次根式，求m和71的值.

【答案】⑴m=3V2；

（2）n=-8,m=4.

【分析】本題考查了二次根式的新定義運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

（1）利用二次根式的新定義運(yùn)算解答即可求解

（2；利用二次根式的新定義運(yùn)算解答即可求解

【詳解】（1）解：由題意可得，m?&=6,

.*.771=3V2；

（2）解：由題意可得，（1-V3）（4+V3?n）=n,

整理得，（百一3）巾二475-4+〃，

y/3m-3m=4A/3-4+n,

m=4,-3?7i=7i-4

.*.m=4,

=-8.

【變式9-3](23-24九年級(jí).江蘇鹽城.期中)定義：我們將(6+匈與(6-匈稱為一對“對偶式”.

因?yàn)?孤+展)(乃-Q)=(仿)2-(孤)2=。-6可以有效的去掉根號(hào)，所以有一些題可以通過構(gòu)造“對

偶式”來解決.

例如：(，15-\+V3—x)(V15-x—V3—x)=(V15—xj—(V3—x}-(15—x)—(3—x'\=12,所以

715^+遮二V與五5二三-^/I二互為“對偶式”.

(1)^/7-或的“對偶式”是,或廠^-1的“對偶式”是.

⑵已知421-X-=2,其中％W5.

①、-四"的“對偶式”的值是.

②利用“對偶式”的相關(guān)知識(shí)，求方程揚(yáng)心-=2中xi勺值.

【答案】(I)夕+&，+

(2)?8；②X=-4

【分析】本題考查新定義，平方差公式，二次根式的混合運(yùn)算.

(I)根據(jù)“對偶式''的定義即可解答.

(2)①根據(jù)平方差公式求得("廠豆一通三)(后=W+收=)=16,根據(jù)=一聲==2即可

求解；

②由，21-x—-x=2,《21-x+，5--=8得到"21-x=5,V5—x=3,求解即可.

【詳解】(1)解：由題意可得，夜-加的“對偶式”是近+VL-的“對偶式"是收不+

V5-x.

故答案為：V7+V2,V21-x+^/T^x

(2)解：①迎1-X-<5一％的“對偶式”是V2/-x+<5—%,

而(V21—x—yJS—x)(V21—x+VS—x)=(V21—x)—(V5—x)=(21—x)—(5—%)=16,

W21-x-V5^x=2,

:.《21-%+V5—x=8；

故答案為：8

@vV21-x-V5^x=2,V21^x+=8,

V21-x=5,v5-x=3,

解得％=-4.

【題型10二次根式中的閱讀理解類問題】

【例10】（23-24九年級(jí)?湖北十堰?期末）閱讀材料，學(xué)解問題：小慮在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，通過計(jì)算（注+1）2=

3+2VL他就想J3+2或化簡的結(jié)果應(yīng)為注+1,即，3+2'=&+1,接著他又通過計(jì)算驗(yàn)證得到

74-273=73-1,受到這個(gè)發(fā)現(xiàn)的啟迪，于是他就想找到化簡形如Ja+2述的式子的一般方法.善于思

考的小聰進(jìn)行了以下探索：

+2\[b=（y[rn+Vn）2（其中a、〃、〃?、〃均為整數(shù)），

則有a+2\fb=m+n+2\/mn.

.*.n+n=a?,mn=b@f

①+②得mn+m+n=a+b,

:.mn4-?n4-n+l=a+b+l,

因式分解得，（m+l）（n+l）=Q+8+l,

ax〃、/〃、〃均為整數(shù)，

：.m+1和n+1均為Q+b+1的因數(shù),

由此可以得到方程組驗(yàn)證求出〃?，〃的值，從而化簡Ja±2VF.

（I）請你根據(jù)小聰?shù)姆椒ㄌ剿骰啠?-2代:

當(dāng)設(shè)8-2-/15=（Vm-Vn）2（加、〃均為正整數(shù)，m>n）,則①m+n=,mn=,

，②mn+m+n+1=,（m+l）（n+1）=，

,③m=,n=,〔經(jīng)驗(yàn)證，其他情況均不成立，故舍去），

A?V8-2/l5=；

在得到Ja±2a的化簡的一般方法后,興奮的小聰繼續(xù)深入探究化簡形如Ja土妣（〃、b、c?均為正整數(shù),

且b沒有平方數(shù)因數(shù)，c*2）的式子的一般方法，通過思考，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)c=2k（2為大于1的整數(shù)）時(shí)，將

“移進(jìn)根號(hào)內(nèi)，就把問題轉(zhuǎn)化為Ja±2四就可以化簡了.

（2）請你根據(jù)小聰?shù)姆椒ɑ喖?46=.

接著他想，上面的式子之所以能通過變形化簡，是因?yàn)榈谝粚痈?hào)內(nèi)的式子能變形成完全平方式，小聰又

琢磨形如/?！?乃（〃、〃、d均為正整數(shù)，且人沒有平方數(shù)因數(shù)，d為奇數(shù)）的式子能否化簡，若能化簡，

其一般方法又是怎樣的呢？經(jīng)過深入思考，他得到如下方法：將Ja±dVF看出分母為1的式子，然后，分

子和分母都乘以2,再把分子上的2移到第一層根號(hào)內(nèi)，這樣，問題就變成（2）中的問題了，即五土dVF=

紙還二空還=竺還，再利用口）的化簡方法就可以解決問題了.

（3）他這種解決問題的策略用的是數(shù)學(xué)思想.

【答案】（I）①8,15；②24,24：③5,3；④遮一遍

⑵布-/

（3）轉(zhuǎn)換化歸

【分析】本題考查二次根式的化簡.掌握題干給定的化簡方法，溝造完全平方公式，是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題干的步驟，逐一進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)題干給定的方法，進(jìn)行化簡即可；

（3）用到了轉(zhuǎn)換化歸的數(shù)學(xué)思想.

【詳解】（1）解：當(dāng)設(shè)8—2Vl^=（后一VH）2（〃］、〃均為正整數(shù)，m>n）,

:,8—2V15=m—2\/mn+n,

則①m+九=8,mn=15,

@mn+m+n+1=24,即：［m+l）（n+1）=24,

，③m=5,幾=3,（經(jīng)驗(yàn)證，其他情況均不成立，故舍去），

工④、8-2舊=（V5-V3）2；

故答案為：①8,15；②24,24；③5,3；④百一V5

（2）解：VV8-4V3=V8-2V12,

，設(shè)8—=（詆1一TH）2,（小、〃均為正整數(shù)，m>n）,

8—2^12=m—2ylmn4-n,

則m+n=8,mn=12?

/.ran+m+n+l=21,即：（m4-l）（n4-1）=21,

An=6,n=2,（經(jīng)驗(yàn)證，其他情況均不成立，故舍去），

/.V8-2xfl2=J（V6-V2）2=尿一瓜

即：V8-4V3=V6-V2；

故答案為：V6—V2；

(3)他這種解決問題的策略用的是轉(zhuǎn)換化歸的數(shù)學(xué)思想：

故答案為：轉(zhuǎn)換化歸.

【變式10-1](23-24九年級(jí)?陜西咸陽?期末)閱讀下列材料，解答提出的問題：

原題：已知x=2-V3,y=2+.求x2+xy+y?的值.佳佳先將x2+xy+必利用完全平方公式轉(zhuǎn)化為:

x2?{-xy+y2=(x+y)2-xy

*.*x=2-y/3,y=2+V3

.\x+y=2-y/3+2+y/3=4,xy=(2-V3)(2+V3)=1,，原式=4?-1=15.

⑴若x=3-V5,y=2+V5,求：(/-6x+9)(y2-4y+4)的值；

(2)若x=V74-V2,y=V7-a，求：x2+y2+2xy-3x-3y的值.

【答案】⑴25

(2)28-6/7

【分析】本題主要考查二次根式的化簡求值，

(I)