7.3復(fù)數(shù)的三角形式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的三角表示 考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的輻角考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算的三角表示及及其幾何意義 考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)三角表示綜合問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的三角形式的概念1.復(fù)數(shù)的輻角(1)定義：以x軸的非負(fù)半軸為始邊、向量所在的射線(起點(diǎn)是原點(diǎn)O)為終邊的角θ叫作復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角。(2)輻角主值[0，2)內(nèi)的輻角θ的值叫作復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角主值，記作argz，即0≤argz<2。非零復(fù)數(shù)與它的模和輻角主值一一對(duì)應(yīng)。(3)常用的有關(guān)輻角主值的結(jié)論當(dāng)aR+時(shí)arga=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。2.復(fù)數(shù)相等兩個(gè)非零的復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角主值分別相等。3.復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)z=a+bi可以用復(fù)數(shù)的模r和輻角θ來(lái)表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中，，。r(cosθ+isinθ)叫作復(fù)數(shù)z的三角形式，而a+bi叫作復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式。知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的三角形式的乘除法1.復(fù)數(shù)的乘法與乘方把復(fù)數(shù)，分別寫(xiě)成三角形式(cosθ2+isin。則。這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，其積的模等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)的模的積，其積的輻角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的和.上面的結(jié)果可以推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)相乘：=。因此，如果就有[。這就是說(shuō)，復(fù)數(shù)的次冪的模等于這個(gè)復(fù)數(shù)的模的n次冪，它的輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的n倍。2.復(fù)數(shù)的除法設(shè)則z?除以z?的商：)]。這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差?！绢}型歸納】題型一：復(fù)數(shù)的三角表示1．（24-25高一下·上?！て谀?fù)數(shù)的三角形式是（

）A．； B．；C．； D．.【答案】C【分析】根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角，通過(guò)計(jì)算得到答案.【詳解】，故選：C.2．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題）復(fù)數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的三角形式定義以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】.故選：D.3．（2023高一下·上?！?zhuān)題）的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)三角形式的意義求解即得.【詳解】，故B正確；經(jīng)檢驗(yàn)，ACD都錯(cuò)誤.故選：B題型二：復(fù)數(shù)的輻角4．（23-24高一下·福建泉州·階段）復(fù)數(shù)的輻角主值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的輻角主值的定義進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以的輻角主值?故選：C5．（22-23高一·全國(guó)）的輻角主值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若輻角主值為，則，不可能為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若輻角主值為，則，不可能為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若輻角主值為，則，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，由于輻角主值的范圍為，不可能為，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．（21-22高一·全國(guó)）設(shè)，則復(fù)數(shù)的輻角主值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式下的乘除運(yùn)算及輻角的定義即可求解．【詳解】解：，因?yàn)?，所以，所以，所以該?fù)數(shù)的輻角主值為．故選：B.題型三：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算的三角表示及及其幾何意義7．（22-23高一·全國(guó)）計(jì)算的值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算公式運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)樗?，所以，故選：B.8．（24-25高一下·全國(guó)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）利用復(fù)數(shù)運(yùn)算的三角表示化簡(jiǎn)可得結(jié)果；【詳解】（1）原式．（2）原式．9．（24-25高一下·全國(guó)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】復(fù)數(shù)化為三角形式，按三角形式的乘除運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】（1）．（2）原式．題型四：復(fù)數(shù)三角表示綜合問(wèn)題10．（2024高一下·上海）已知，且，若．(1)求復(fù)數(shù)的三角形式，并且復(fù)數(shù)的輻角主值；(2)求．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）直接利用三角變換可得復(fù)數(shù)的三角形式及輻角主值.（2）設(shè)，結(jié)合求得，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【詳解】（1），則；（2）設(shè)，而，則，又，于是，則，解得，，即，因此，所以．11．（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）已知：①任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式.其中是復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角形式.②方程（為正整數(shù)）有個(gè)不同的復(fù)數(shù)根；(1)求證：；(2)設(shè)，求；(3)試求出所有滿(mǎn)足方程的復(fù)數(shù)的值所組成的集合.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算代入計(jì)算，即可證明；（2）根據(jù)題意，將復(fù)數(shù)化為復(fù)數(shù)的三角形式，然后結(jié)合三角形式的運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算代入計(jì)算，結(jié)合終邊相同的角的集合，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：.（2）依題意，，所以.（3）設(shè)，則，因此，解得，由終邊相同的角的意義，取，則對(duì)應(yīng)的依次為，因此對(duì)應(yīng)的依次為，所以所求的集合是.12．（23-24高一下·重慶）任意一個(gè)復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式都可寫(xiě)成復(fù)數(shù)三角形式，即，其中i為虛數(shù)單位，，.棣莫弗定理由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667～1754）創(chuàng)立.設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)用三角函數(shù)形式表示為：，，則：.如果令，則能導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：.請(qǐng)用以上知識(shí)解決以下問(wèn)題.(1)試將寫(xiě)成三角形式；(2)試應(yīng)用復(fù)數(shù)乘方公式推導(dǎo)三倍角公式：；；(3)計(jì)算：的值.【答案】(1)(2)推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)解析(3)【分析】（1）求出復(fù)數(shù)的模，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，即可求得答案；（2）設(shè)模為1的復(fù)數(shù)為，利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等以及同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，即可推得結(jié)論；（3）由（2）的結(jié)論結(jié)合恒等變換推出，繼而得，，再結(jié)合，化簡(jiǎn)，即可求得答案.【詳解】（1）由于，故，則；（2）設(shè)模為1的復(fù)數(shù)為，則，由復(fù)數(shù)乘方公式可得，故；（3）首先證明：；由于，則，則，故，則可得，，所以.【高分達(dá)標(biāo)】一、單選題13．（24-25高一下·全國(guó)）復(fù)數(shù)經(jīng)過(guò)n次乘方后，所得的復(fù)數(shù)等于它的共軛復(fù)數(shù)，則n的值等于（

）A．3 B．12 C． D．【答案】C【分析】用共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的三角表示即可.【詳解】由題意，得，由復(fù)數(shù)相等的定義，得解得，．故選：C14．（23-24高二下·江蘇南京·期中）在復(fù)平面內(nèi)，常把復(fù)數(shù)和向量進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)．現(xiàn)把與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可知，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角表示可得旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.【詳解】根據(jù)題意可知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)可得，即所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：A15．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)的輻角的主值是，則的輻角的主值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的輻角的主值的定義即可得解.【詳解】因?yàn)椋缘妮椊堑闹髦禐?故選：D.16．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【詳解】，由于，所以，.故選：A.17．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）復(fù)數(shù)的輻角的主值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)輻角主值的定義求解.【詳解】.∵，∴，，∴.∵輻角的主值的取值范圍為，∴復(fù)數(shù)z的輻角的主值為.故選：C.18．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式為（

）A．i B．C． D．【答案】D【分析】直接代入三角函數(shù)值即可運(yùn)算求解.【詳解】.故選：D.19．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由棣莫弗公式化簡(jiǎn)結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B.20．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．0【答案】B【分析】變形復(fù)數(shù)，根據(jù)題中定義進(jìn)行計(jì)算，即可判定.【詳解】，所以,所以的虛部為.故選:B.二、多選題21．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，3＋2i，則頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可能是（

）A．＋i B．＋iC．＋i D．＋i【答案】CD【分析】根據(jù)題意，得到對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，得到對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為或或，結(jié)合＝＋，即可求解.【詳解】由正的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，可得對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，或，所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為或，即或.故選：CD．22．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的輻角的主值是，則的輻角的主值是B．復(fù)數(shù)的輻角的主值是，則的輻角的主值是C．復(fù)數(shù)，的輻角的主值分別是，，則的輻角的主值是D．復(fù)數(shù)，的輻角的主值分別是，，且，則的輻角的主值是【答案】BD【分析】輔角的主值的取值范圍是，若，，即可判斷；由，即可判斷；因?yàn)?，即可判斷；，為輻角的主值，可判?【詳解】設(shè)，，則，若，，則的輻角的主值為，不正確；，的輻角的主值為，正確；設(shè)，，，，，若，則的輻角的主值為，不正確；，所以的輻角的主值是，正確.故選：.23．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算法則求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，所以，故D錯(cuò)誤，故選：AC.24．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的輻角的主值為B．復(fù)數(shù)的輻角的主值為C．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為D．復(fù)數(shù)的三角形式為【答案】AC【分析】根據(jù)輻角主值的定義可判斷AB的正誤，根據(jù)代數(shù)形式和三角形式的轉(zhuǎn)化規(guī)則可判斷CD的正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋实妮椊堑闹髦禐?，故A正確；對(duì)于B，而，故的輻角的主值不是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC.25．（23-24高三下·貴州·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，，且，則（

）A． B．C．若，則 D．【答案】ACD【分析】由，平方后可推出，即可判斷D，由此可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法以及模的計(jì)算公式可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的加法以及模的計(jì)算公式可判斷B；【詳解】由題意知復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，，且，則，故，即，得，故，D正確；，得，A正確；由于，故，B錯(cuò)誤；由以上D的分析可知，若，則，故，C正確；故選：ACD26．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）把復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)和后，重合于向量且模相等，已知，則復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和它的輻角分別是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由題意可知，，求出，再求出所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，可得輻角.【詳解】由題意可知，又，則，可知對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，則它的輻角主值為，故可以作為復(fù)數(shù)的輻角的是，，當(dāng)時(shí)，.故選：BD.三、填空題27．（23-24高一下·甘肅臨夏·期末）計(jì)算：．【答案】【分析】由復(fù)數(shù)的除法與乘方運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：28．（23-24高一下·福建寧德·階段練習(xí)）歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，若表示復(fù)數(shù)z，則.【答案】1【分析】根據(jù)歐拉公式結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后可求出其模.【詳解】由題意得，所以.故答案為：129．（23-24高一下·江蘇淮安·期末）歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)完美聯(lián)系起來(lái)的一個(gè)公式，e是自然對(duì)數(shù)底數(shù)，i是虛數(shù)單位，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．利用歐拉公式解決問(wèn)題，；關(guān)于x的方程，的解為．【答案】；或或或或或或或或．【分析】將代入歐拉公式，可以求出，將2x看成一個(gè)整體，利用三角恒等變換可得，結(jié)合可以求出結(jié)果．【詳解】由題意，；由，得，則，即，即，即，即，解得或，又，，故或或或或或或或或，故x的取值集合為故答案為1，或或或或或或或或．30．（23-24高一下·河南洛陽(yáng)·期末）已知：①任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式．其中是復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角形式．②被稱(chēng)為歐拉公式，是復(fù)數(shù)的指數(shù)形式．③方程（n為正整數(shù)）有個(gè)不同的復(fù)數(shù)根．（1）設(shè)，則；（2）滿(mǎn)足方程的復(fù)數(shù)的值所組成的集合為．【答案】【分析】（1）根據(jù)給定的定義，轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的三角形式求解即得.（2）設(shè)，利用指數(shù)運(yùn)算，結(jié)合定義求得，進(jìn)而求出得解.【詳解】（1）依題意，，所以.（2）設(shè)，則，因此，，解得，由終邊相同的角的意義，取，則對(duì)應(yīng)的依次為，因此對(duì)應(yīng)的依次為，所以所求的集合是.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)已知條件的理解辨析，以及復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算.四、解答題31．（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】直接利用復(fù)數(shù)的三角表示的運(yùn)算法則結(jié)合三角恒等變換計(jì)算得到答案.【詳解】（1）原式．（2）原式．32．（24-25高二上·江西宜春·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.(1)設(shè)復(fù)數(shù)，求；(2)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由為純虛數(shù)，可得，從而得，再根據(jù)模的公式求解即可；（2）化簡(jiǎn)得，再根據(jù)題意列出不等式組求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，所以為純虛數(shù)，所以，解得.所以，因此.（2）解：因?yàn)椋瑒t，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則，解得.因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.33．（