*7切線長定理基礎(chǔ)·主干落實(shí)重點(diǎn)·典例研析素養(yǎng)·思維賦能基礎(chǔ)·主干落實(shí)1.切線長定義:過圓外一點(diǎn)畫圓的切線,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的____________.

2.切線長定理:文字?jǐn)⑹鲞^圓外一點(diǎn)畫圓的兩條切線,它們的切線長__________

符號(hào)語言如圖,∵AB,AC都是☉O的切線,切點(diǎn)分別是點(diǎn)B,點(diǎn)C.∴AB=________

線段長

相等

AC

【小題快練】1.如圖,P為☉O外一點(diǎn),PA,PB分別切☉O于A,B兩點(diǎn),若PA=5,則PB= ()A.2 B.3 C.4 D.5D2.如圖,PA,PB是☉O的切線,A,B為切點(diǎn),若∠AOB=128°,則∠P的度數(shù)為()A.32° B.52° C.64° D.72°B3.如圖,PA,PB與☉O分別相切于點(diǎn)A,B,且AB=PA,則∠P=________.

60°

4.如圖,PA,PB是☉O的兩條切線,A,B是切點(diǎn),若∠APB=60°,PO=2,則☉O的半徑等于_______.

1

【重點(diǎn)1】切線長定理【典例1】(教材再開發(fā)·P94“議一議”拓展)(2022·恩施州中考)如圖,P為☉O外一點(diǎn),PA,PB為☉O的切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線PO交☉O于點(diǎn)D,E,交AB于點(diǎn)C.(1)求證:∠ADE=∠PAE.(2)若∠ADE=30°,求證:AE=PE.(3)若PE=4,CD=6,求CE的長.重點(diǎn)·典例研析【自主解答】(1)連接OA,如圖,∵PA為☉O的切線,∴AO⊥PA,∴∠OAE+∠PAE=90°.∵DE是☉O的直徑,∴∠DAE=90°,∴∠ADE+∠AED=90°.∵OA=OE,∴∠OAE=∠AED,∴∠ADE=∠PAE;(2)由(1)知:∠ADE=∠PAE=30°,∵∠DAE=90°,∴∠AED=90°-∠ADE=60°.∵∠AED=∠PAE+∠APE,∴∠APE=∠PAE=30°,∴AE=PE;

A

5

115°

【技法點(diǎn)撥】切線長定理中的“一二三”如圖,PA,PB與☉O相切,切點(diǎn)分別是A,B,則此圖中包含信息有:1.一條角平分線:即PO平分∠APB且平分∠AOB.2.兩個(gè)等腰三角形:△PAB,△AOB是等腰三角形.3.三個(gè)垂直:即OA⊥PA,OB⊥PB,PO⊥AB.【重點(diǎn)2】切線長定理的應(yīng)用【典例2】(教材再開發(fā)·P95“想一想”拓展)如圖,AB,BC,CD分別與☉O相切于E,F,G點(diǎn),且AB∥CD,BO=6,CO=8.判斷△OBC的形狀,并證明你的結(jié)論.

【一題多變】1.如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,☉O為內(nèi)切圓,E為切點(diǎn).求證:AO2=AE·AD.

2.如圖,AB,BC,CD分別與☉O相切于E,F,G點(diǎn),且AB∥CD,BO=6,CO=8.求☉O的半徑OF的長.

【技法點(diǎn)撥】切線長定理五類應(yīng)用1.求角度.2.求線段的長度.3.證線段相等.4.證線段對(duì)應(yīng)成比例.5.證線段平行.【思想總結(jié)】——方程思想【解讀】方程思想是指利用題目中的已知量、未知量的數(shù)量關(guān)系,設(shè)出未知數(shù),建立方程或方程組來解決問題.【應(yīng)用】圓中求線段的長度,往往需要根據(jù)勾股定理或圖形面積兩種不同的表達(dá)方式列方程求解.【解決問題】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)O為圓心,半徑為2的圓與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)P(4,2)是☉O外一點(diǎn),連接AP,直線PB與☉O相切于點(diǎn)B,交x軸于點(diǎn)C,求BC的長.素養(yǎng)·思維賦能

【解析】∵圓O的半徑為2,P(4,2),∴AP⊥OA,則AP為圓O的切線,如圖,連接OP,OB,過B作BQ⊥OC,∵PA,PB為圓O的切線,∴∠APO=∠BPO,PA=PB=4,∵AP∥OC,∴∠APO=∠POC,∴∠BPO=∠POC,∴OC=CP,在Rt△OBC中,設(shè)OC=PC=x,