高屆高三（下）三月聯(lián)合診斷性考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共分．每小題只有一項(xiàng)是符合要求的．1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，因此?故選：B.2.對(duì)于數(shù)列，若，且，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】逐項(xiàng)遞推可知，對(duì)任意的，，結(jié)合數(shù)列的周期性可求得的值.詳解】對(duì)于數(shù)列，因，且，則，，，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，因?yàn)?，?故選：C.3.西安大雁塔始建于唐代永輝三年，是中國古代佛教建筑的杰作．若將大雁塔的塔身近似看成正四棱臺(tái)，上下底面的邊長分別為13m和25m，塔身高度為60m．則其體積約為（）．第1頁/共25頁A.15880B.22380C.47640D.67140【答案】B【解析】【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，上下底面邊長分別為13m和25m，塔身高度為60m，則其體積為.故選：B.4.已知拋物線的直線與拋物線C交于，的最小值是（）A.16B.32C.64D.128【答案】C【解析】的方程為【詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，且，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號(hào)成立，則的最小值是64.故選：C.第2頁/共25頁5.已知，且，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)和差角公式以及二倍角公式即可求.【詳解】由,可得，又，所以，故選：D6.有6名志愿者參與社區(qū)活動(dòng)，活動(dòng)安排在周一、周二兩天．若每天從6人中任選三人參加活動(dòng)，則恰有2人連續(xù)參加兩天活動(dòng)的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用排列組合以及分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算個(gè)數(shù)，即可利用古典概型的概率公式求解.6個(gè)人中選3種6個(gè)人中選3種數(shù)為，恰好有2人連續(xù)參加兩天的活動(dòng)，則先從6個(gè)人中選2種，第一天從剩下4人種選1種方法，第二天從剩下的3人中任選1人，方法數(shù)為，所以恰有2人連續(xù)參加兩天活動(dòng)的概率為故選：B7.平面內(nèi)有向量、、滿足，第3頁/共25頁）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，，作出圖形，使得，，，則，，延長至，使得，證明出，所得，再利用當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取最小值，求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，則，故，因?yàn)?，，則，如下圖所示，作，，，則，，延長至，使得，，則，則有，所得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取最小值.故選：C.8.已知，恰有的取值范圍為（）A.B.C.D.第4頁/共25頁【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖象，令，可得關(guān)于的方程要有兩個(gè)根、，且，或，由參變分離得出，令，其中，分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，令，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，令，由可得，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，要使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則關(guān)于的方程要有兩個(gè)根、，且，或，當(dāng)時(shí)，方程無解；第5頁/共25頁當(dāng)時(shí)，由可得，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、滿足，或，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點(diǎn)；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．第6頁/共25頁9.已知復(fù)數(shù)、，下列說法正確的有（）A.若，則B.若，則．C.若，則或D.若，則【答案】AC【解析】【分析】利用特殊值法可判斷BD選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法可判斷A選項(xiàng)；設(shè)，，利用復(fù)數(shù)的乘法和復(fù)數(shù)相等可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，則，同理可得，所以，若，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，不妨取，，則，但且，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，，若，則有，故有，即，兩式相乘變形得，，則有，或，或，①當(dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)，且時(shí)，則，又因?yàn)椴煌瑫r(shí)為，所以，即；③當(dāng)，且時(shí)，則，同理可得，故；綜上所述，命題“若，則，或”成立，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，不妨取，，第7頁/共25頁則，，，但，D錯(cuò).故選：AC.10.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列始終在直線，則下列命題正確的是（）A.B.數(shù)列為等差數(shù)列C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得數(shù)列通項(xiàng)公式，從而得解A；利用等差數(shù)列定義證明B；根據(jù)，利用放縮法和裂項(xiàng)相消發(fā)求和判斷C；利用并項(xiàng)求和法判斷D.【詳解】根據(jù)題意，始終在直線上，所以，則數(shù)列為以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，則，A正確；由于，不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故C正確；第8頁/共25頁，故D正確.故選：ACD已知直棱柱的所有棱長均為，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.B.若直線與直線所成角為定值，則點(diǎn)軌跡為圓的一部分C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的體積為D.記點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，則的最小值為【答案】ACD【解析】A平面CDB法求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以點(diǎn)M在平面內(nèi)，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所?第9頁/共25頁又因直棱柱，所以,又因?yàn)槠矫?平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在體對(duì)角線交點(diǎn)處，故點(diǎn)M在與底面垂直且到底面距離為1，因?yàn)?所以的外接圓半徑為，設(shè)外接球半徑為，球心到平面的距離為h，則,即，兩式聯(lián)立得，故外接球體積為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)M在線段上，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,,則，故,則,第10頁/共25頁又得，,故時(shí)，D正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，，，，由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，設(shè)，由于是直線與平面內(nèi)所有直線中所成角的最小值，所以，，由，化簡可得，且，易知點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)的一條線段；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)的一條線段；當(dāng)時(shí)，化簡可得或，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)的兩條線段，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的外接球問題則考慮球心位置，再利用勾股定理求出半徑；求解最短距離問題的基本思路建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求解.第11頁/共25頁三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知多項(xiàng)式，則________．【答案】9【解析】【分析】利用賦值法即可求解.【詳解】令可得，令可得，相減可得，故答案為：913.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為________．【答案】【解析】或等式的解集.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則函數(shù)在上也為減函數(shù)，且，作出函數(shù)的草圖如下圖所示：第12頁/共25頁由可知，當(dāng)時(shí)，則，則或，解得或，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，則或，解得或，此時(shí).綜上所述，不等式的解集為.故答案為：.14.已知橢圓、在滿足，若上存在點(diǎn)使得，則的離心率的取值范圍為________．【答案】【解析】可求出點(diǎn)的軌跡方程，求出，根據(jù)可求得橢圓的離心率的取值范圍.第13頁/共25頁【詳解】設(shè)點(diǎn)，易知點(diǎn)，由題意可得，所以，，即點(diǎn)，由，得，整理可得，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則圓與橢圓有公共點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；故有，可得，解得；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，第14頁/共25頁故有，即，矛盾.綜上所述，橢圓的離心率的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，．（1）求A；（2）若外接圓的面積為，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理即可求解，（2）由面積公式可得外接圓半徑，即可根據(jù)正弦理求解，由余弦定理以及基本不等式即可求解的最大值，由面積公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，【小?詳解】設(shè)的外接圓半徑為，所以所以，由正弦定理得，第15頁/共25頁故又即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積的最大值為.16.如圖，在三棱柱是正三角形，，是矩形．（1）求證：三棱錐是正三棱錐；（2）若三棱柱的體積為，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）根據(jù)線面垂直可得，，結(jié)合正三角形，可得是的中心，即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可利用向量的夾角求解.【小問1詳解】過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，第16頁/共25頁平面，所以又，平面平面平面,同理可證，故是的垂心，又是正三角形，則是的中心，因此三棱錐是正三棱錐【小問2詳解】因?yàn)槿庵捏w積為，結(jié)合，可知底面積為，所以高，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為的正方向，過且與平行的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，則，取，則又，設(shè)直線與平面所成角為，第17頁/共25頁所以.17.已知圓，動(dòng)圓C過，且與圓外切設(shè)圓心C的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設(shè)定點(diǎn)，過作直線l交曲線于A、B兩點(diǎn)，直線，分別交直線于P、Q兩點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）（2）的最小值為2.【解析】1）根據(jù)相切的性質(zhì)，可得，，即可結(jié)合雙曲線的定義求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，根據(jù)弦長公式可得,進(jìn)而可得的坐標(biāo)，即可化簡得，利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性求解.【小問1詳解】因?yàn)閳A過，所以，又圓與圓外切，所以，故，所以是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)其方程為，得，故方程為，第18頁/共25頁【小問2詳解】根據(jù)題意可知直線的斜率不為0，故設(shè)，聯(lián)立與的方程可得，故且，故，故，則直線，令，可得，同理可得,則，令，則，故，函數(shù)在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，直線斜率不存在時(shí)，的最小為2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；第19頁/共25頁（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.18.100試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（2s的近似值為49.75車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s．（?。├迷撜龖B(tài)分布，求；（ⅱ）假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續(xù)航里程的車輛數(shù)，求；參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．（3）為迅速搶占市場舉行促銷活動(dòng)，銷售公司現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，贏大獎(jiǎng)，送汽車模型”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲骰子向上的點(diǎn)數(shù)，遙控汽車模型在方格圖上行進(jìn)，若汽車模型最終停在“幸運(yùn)之神”方格，則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元；若最終停在“贈(zèng)送汽車模型”方格，則可獲得汽車模型一個(gè)．方格圖上標(biāo)有第01225260型向前移動(dòng)一次．若擲出1，2，4，5點(diǎn)，汽車模型向前移動(dòng)一格（從第k格到第3，6點(diǎn)，汽車模型向前移動(dòng)兩格（從第k格到第25格（幸運(yùn)之神）或第26格（贈(zèng)送汽車模型）時(shí)游戲結(jié)束．設(shè)汽車模型移到第n（）格的概率為試證明數(shù)列（）是等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并比較和的大?。?0頁/共25頁【答案】（1）300千米（2），（3）證明見解析，，【解析】1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解，（2（3）根據(jù)可得為等比數(shù)列，即可求解通項(xiàng)，利用作差即可求解和的大小.【小問1詳解】（千米）【小問2詳解】（ⅰ）因?yàn)榉恼龖B(tài)分布所以，（ⅱ）因?yàn)榉亩?xiàng)分布所以，【小問3詳解】由題意可知，汽車模型移動(dòng)到第格的情況有且也只有兩種：①汽車模型先到第格，又挪出3，6點(diǎn)，其概率為，②汽車模型先到第格，又挪出1，2，4，5點(diǎn)，其概率為，所以則又，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，第21頁/共25頁，則，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以，特別地，汽車模型移動(dòng)到第26格的情況僅有一種，從第24格連跳2格至第26格，，所以，19.已知函數(shù)，，．（1）過原點(diǎn)作直線l與，的圖象均相切，求實(shí)數(shù)k的值；（2）令，（ⅰ）討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（ⅱ）若為的極小值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，求證：．【答案】（1）（2時(shí)，時(shí)，時(shí)，有兩個(gè)極【解析】1）設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程即可求解，（2進(jìn)行討論，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及極值的定義求解，（iii時(shí)，零點(diǎn)存在性定理得零點(diǎn)，即可求解.【小問1詳解】設(shè)的切點(diǎn)為，又，第22頁/共25頁則，由于過原點(diǎn)，所以，可得，所以切線的斜率為，設(shè)的切點(diǎn)為故.【小問2詳解】（?。┯深}意有所以令當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，且，故存在使得，所以在遞減，在單調(diào)遞