第四章三角形第七節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用2025江西數(shù)學(xué)精講本節(jié)前復(fù)習(xí)導(dǎo)圖銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用銳角三角函數(shù)直角三角形的邊角關(guān)系銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用定義特殊角的三角函數(shù)值記憶法三邊關(guān)系兩銳角關(guān)系邊角間關(guān)系方向角仰角、俯角坡度(坡比)、坡角考點精講

銳角三角函數(shù)圖1

特殊角的三角函數(shù)值記憶法銳角三角函數(shù)圖表記憶法規(guī)律記憶法：正弦值和正切值隨角度的增大而增大，余弦值隨角度的增大而減小—α＝30°α＝45°α＝60°

sinα________cosα________tanα____

1直角三角形的邊角關(guān)系(圖1)

圖1c2＝a2＋b2

sinB

銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用1.方向角：如圖2，A點位于O點的北偏東30°方向，B點位于O點的南偏東60°方向，C點位于O點的北偏西45°方向(或西北方向)2.仰角，俯角：如圖3，在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角3.坡度(坡比)，坡角：如圖4，坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面與水平線的夾角α叫坡角，i＝tanα＝___圖2圖3圖4

江西真題及變式命題點1銳角三角函數(shù)基礎(chǔ)小練

A

sinB

D命題點2銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用(10年10考)類型一

靜態(tài)型(10年6考)3.(2024江西19題8分)圖①是世界第一“大碗”——景德鎮(zhèn)昌南里文化藝術(shù)中心主體建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”.如圖②，“大碗”的主視圖由“大碗”主體ABCD和矩形碗底BEFC組成，已知AD∥EF，AM，DN是太陽光線，AM⊥MN，DN⊥MN，點M，E，F(xiàn)，N在同一條直線上.經(jīng)測量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°.(結(jié)果精確到0.1m)(1)求“大碗”的口徑AD的長；(2)求“大碗”的高度AM的長.(1)求“大碗”的口徑AD的長；解：(1)∵AD∥EF，且AM⊥MN，DN⊥MN，∴四邊形AMND為矩形，∴AD＝MN＝ME＋EF＋FN＝20.0＋40.0＋20.0＝80.0(m)；答：“大碗”的口徑AD的長為80.0m；(3分)(2)求“大碗”的高度AM的長.AD∥EF，AM⊥MN，DN⊥MN，ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152

∟G4.(2023江西19題8分)圖①是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑，將其抽象成如圖②所示的示意圖，已知點B，A，D，E均在同一直線上，AB＝AC＝AD，測得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m.(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)(1)連接CD，求證：DC⊥BC；(1)證明：∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC.(1分)∵在△BCD中，∠B＋∠BCD＋∠BDC＝180°，∴2∠ACB＋2∠ACD＝180°，∴∠ACB＋∠ACD＝∠BCD＝90°，∴DC⊥BC；(3分)一題多解法證明：∵AB＝AC＝AD，∴點B，C，D在以點A為圓心，BD為直徑的圓上，∴∠BCD＝90°，即DC⊥BC；(3分)證法二(2)求雕塑的高(即點E到直線BC的距離).(參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)AB＝AC＝AD，∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m，DC⊥BC

∟F

AB＝AC＝AD，∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m，DC⊥BC5.

如下圖，點A是紀(jì)念碑頂部一點，AB的長表示點A到水平地面的距離.航模從紀(jì)念碑前水平地面的點M處豎直上升，飛行至距離地面20米的點C處時，測得點A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向繼續(xù)飛行，飛行方向與水平線的夾角∠NCD＝37°，當(dāng)?shù)竭_點A正上方的點E處時，測得AE＝9米；E，A，B三點在同一直線上.請計算紀(jì)念碑頂部點A到地面的距離AB的長.(結(jié)果精確到1米.）新考法參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33)∟H用三角函數(shù)表示CH通過CH得到等量關(guān)系

∟H解：如圖，延長CD交AB于點H，由題意得，四邊形CMBH為矩形．∴CM＝HB＝20米．在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°，類型二

動態(tài)型(10年4考)6.(2020江西20題8分)如圖①是一種手機平板支架，由托板，支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖.量得托板長AB＝120mm，支撐板長CD＝80mm，底座長DE＝90mm.托板AB固定在支撐板頂端點C處，且CB＝40mm，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞點D轉(zhuǎn)動.(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)(1)若∠DCB＝80°，∠CDE