2019屆高三月考試卷（一）數(shù)學(xué)（文科）第I卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的1.已知集合，則A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合A，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【詳解】，∴故選：A【點睛】在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】B【解析】【分析】利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)化簡復(fù)數(shù)z，求出其共軛復(fù)數(shù)，從而得到答案.【詳解】∵復(fù)數(shù)===﹣1﹣3i，∴，它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為（﹣1，3），故對應(yīng)的點位于在第二象限，故選：B．【點睛】本題主要考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法，共軛復(fù)數(shù)，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3.執(zhí)行如圖所示的程序圖，如果輸入，，則輸出的的值為A.7B.8C.12D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，依次判斷是否滿足條件即可得到結(jié)論．【詳解】若輸入a=1，b=2，則第一次不滿足條件a＞6，則a=2，第二次不滿足條件a＞6，則a=2×2=4，第三次不滿足條件a＞6，則a=4×2=8，此時滿足條件a＞6，輸出a=8，故選：B．【點睛】本題主要考查程序框圖的識別和運行，依次判斷是否滿足條件是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．4.若變量x，y滿足約束條件，則的最大值為A.1B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出A點的坐標(biāo)，將z=2x+y轉(zhuǎn)化為y=﹣2x+z，結(jié)合函數(shù)圖象求出z的最大值即可．【詳解】畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由，解得：A（2，1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，顯然直線y=﹣2x+z過（2，1）時，z最大，故z的最大值是：z=4+1=5，故選：D．【點睛】本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.5.已知回歸直線的斜率的估計值是1．23，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線的方程是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)回歸直線方程一定經(jīng)過樣本中心點這一信息，即可得到結(jié)果．【詳解】由條件知，，設(shè)回歸直線方程為，則.∴回歸直線的方程是故選：C【點睛】求解回歸方程問題的三個易誤點：（1）易混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系，兩者的區(qū)別是函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．（2）回歸分析中易誤認為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線上，實質(zhì)上回歸直線必過(，)點，可能所有的樣本數(shù)據(jù)點都不在直線上．（3）利用回歸方程分析問題時，所得的數(shù)據(jù)易誤認為準(zhǔn)確值，而實質(zhì)上是預(yù)測值(期望值)．6.在數(shù)列中，，數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，則等于A.2017B.2018C.2019D.2020【答案】B【解析】【分析】由等比數(shù)列通項公式得到，再結(jié)合對數(shù)運算得到結(jié)果.【詳解】∵，數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，∴∴故選：B【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式，考查指對運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)，且，則等于A.2B.C.8D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式求得asinα+bcosβ=﹣3，再利用誘導(dǎo)公式求得f（2019）的值．【詳解】∵∴即而=8故選：C【點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了整體的思想，屬于基礎(chǔ)題．8.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為()A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體為圓錐的一半，那么該幾何體的表面積為該圓錐表面積的一半與軸截面面積的和．又該半圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，所以側(cè)面積為，底面積為，由三視圖可知，軸截面為邊長為2的正三角形，所以軸截面面積為，則該幾何體的表面積為．選D考點：幾何體的表面積，三視圖9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為，則函數(shù)的圖象A.關(guān)于點（，0）對稱B.關(guān)于直線對稱C.關(guān)于直線對稱D.關(guān)于點（）對稱【答案】C【解析】【分析】利用平移變換得到，然后研究函數(shù)的對稱性.【詳解】將的圖象右移個單位后得到圖象的對應(yīng)函數(shù)為，令得，，取知為其一條對稱軸，故選：C.【點睛】函數(shù)的性質(zhì)(1).(2)周期(3)由求對稱軸(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.10.若函數(shù)且）的值域是［4，＋∞），則實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出當(dāng)x≤2時，f（x）≥4，則根據(jù)條件得到當(dāng)x＞2時，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．【詳解】當(dāng)時，，要使得函數(shù)的值域為，只需的值域包含于，故，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A【點睛】本題主要考查函數(shù)值域的應(yīng)用，利用分段函數(shù)的表達式先求出當(dāng)x≤2時的函數(shù)的值域是解決本題的關(guān)鍵．11.已知點是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】如圖，根據(jù)雙曲線的對稱性可知，若是鈍角三角形，顯然為鈍角，因此，由于過左焦點且垂直于軸，所以，，，則，，所以，化簡整理得：，所以，即，兩邊同時除以得，解得或（舍），故選擇D.點睛：求雙曲線離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍，在列方程或不等式的過程中，要考慮到向量這一重要工具在解題中的應(yīng)用.求雙曲線離心率主要以選擇、填空的形式考查，解答題不單獨求解，穿插于其中，難度中等偏高，屬于對能力的考查.12.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為△ABC所在平面內(nèi)一點，則的最小值是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進行計算即可．【詳解】以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，則,設(shè)，所以，所以，，故選：A【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵．第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分．第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.銳角中，，△ABC的面積為，則＝_______。【答案】【解析】【分析】利用三角形的面積公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【詳解】因為銳角△ABC的面積為3，且AB=4，AC=3，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案為：．【點睛】本題考查三角形的面積公式，考查余弦定理的運用，屬于基礎(chǔ)題.14.函數(shù)且）的圖象必過點A，則過點A且與直線2x＋y－3＝0平行的直線方程是____________________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑深}意可得函數(shù)且）的圖象必過點A，結(jié)合點斜式得到所求直線的方程.【詳解】由題意可得：A，又與直線2x＋y－3＝0平行，∴直線斜率為，∴所求直線方程為：故答案為：【點睛】本題考查了直線方程的求法，考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15.已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，的頂點都在球O的球面上，正三棱錐的體積為36，則球O的表面積為__________?！敬鸢浮?08【解析】【分析】先利用正三棱錐的特點，將球的內(nèi)接三棱錐問題轉(zhuǎn)化為球的內(nèi)接正方體問題，從而將問題轉(zhuǎn)化為正方體的外接球問題．【詳解】∵正三棱錐P﹣ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，設(shè)球O的半徑為R，則正方體的邊長為，∵正三棱錐的體積為36，∴V=∴R=∴球O的表面積為S=4πR2=108故答案為：108．【點睛】本題考查球的內(nèi)接三棱錐和內(nèi)接正方體間的關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，三棱錐體積的表示方法，有一定難度，屬中檔題．16.已知函數(shù)的定義域為D，若滿足：①在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在使得在上的值域為那么就稱為“成功函數(shù)”。若函數(shù)是“成功函數(shù)”，則的取值范圍為_____________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)“成功函數(shù)”的概念利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程根的判別式求解．【詳解】依題意，函數(shù)g（x）=loga（a2x+t）（a＞0，a≠1）在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，且t≥0，而t=0時，g（x）=2x不滿足條件②，∴t＞0．設(shè)存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域為[m，n]，∴，即，∴m，n是方程（ax）2﹣ax+t=0的兩個不等的實根，設(shè)y=ax，則y＞0，∴方程等價為y2﹣y+t=0的有兩個不等的正實根，即，∴，解得0，故答案為：.【點睛】本題主要考查對數(shù)的基本運算，準(zhǔn)確把握“成功函數(shù)”的概念，合理運用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程根的判別式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知公差不為0的等差數(shù)列，滿足：成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式及其前n項和。（2）令，求數(shù)列的前項和?！敬鸢浮竣泞啤窘馕觥俊痉治觥浚?）通過將已知各項用首項和公差表示，利用已知條件計算即得結(jié)果；（2）通過裂項可知bn=，利用裂項相消求和即可．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由于，又成等比數(shù)列，即，所以解得由于，所以（2）因為，所以，因此故，.所以數(shù)列的前項和【點睛】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.18.如圖，在四棱錐中，，且（1）證明：平面平面．（2）若，四棱錐的體積為9，求四棱錐的側(cè)面積【答案】⑴證明略；⑵【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出AB⊥PA，CD⊥PD，從而AB⊥PD，進而AB⊥平面PAD，由此能證明平面;（2）設(shè)PA=PD=AB=DC=a，取AD中點E，連結(jié)PE，則PE⊥底面ABCD，由四棱錐P﹣ABCD的體積為9，求出a=3，由此能求出該四棱錐的側(cè)面積．【詳解】（1）又又（2）設(shè)，則.過作,為垂足，為中點....四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為：,?！军c睛】空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用．19.某校決定為本校上學(xué)所需時間不少于30分鐘的學(xué)生提供校車接送服務(wù)．為了解學(xué)生上學(xué)所需時間，從全校600名學(xué)生中抽取50人統(tǒng)計上學(xué)所需時間（單位：分鐘），將600人隨機編號為001，002，…，600，抽取的50名學(xué)生上學(xué)所需時間均不超過60分鐘，將上學(xué)所需時間按如下方式分成六組，第一組上學(xué)所需時間在［0，10），第二組上學(xué)所需時間在[10，20）…，第六組上學(xué)所需時間在［50，60］，得到各組人數(shù)的頻率分布直方圖，如下圖（1）若抽取的50個樣本是用系統(tǒng)抽樣的方法得到，且第一個抽取的號碼為006，則第五個抽取的號碼是多少？（2）若從50個樣本中屬于第四組和第六組的所有人中隨機抽取2人，設(shè)他們上學(xué)所需時間分別為a、b，求滿足的事件的概率；（3）設(shè)學(xué)校配備的校車每輛可搭載40名學(xué)生，請根據(jù)抽樣的結(jié)果估計全校應(yīng)有多少輛這樣的校車？【答案】⑴054；⑵；⑶3【解析】【分析】（1）根據(jù)抽取的50個樣本，則應(yīng)將600人平均分成50組，每組12人，然后利用系統(tǒng)抽樣的原則，每組中抽出的號碼應(yīng)該等距即可；（2）先由直方圖知第4組頻率和第6組頻率，然后利用頻數(shù)=樣本容量×頻率，求出第4組和第6組的人數(shù)，然后利用列舉法將從這六人中隨機抽取2人的所有情況逐一列舉出來，然后將滿足條件的也列舉出來，最后根據(jù)古典概型的計算公式進行求解即可．（3）利用樣本估計總體的方法，先算出全校上學(xué)時間不少于30分鐘的學(xué)生約有多少人，從而估計全校需要幾輛校車．【詳解】（1）600÷50=12，第一段的號碼為006，第五段抽取的數(shù)是6＋（5－1）×12=54，即第五段抽取的號碼是054（2）第四組人數(shù)=0.008×10×50=4，設(shè)這4人分別為A、B、C、D，第六組人數(shù)=0.004×10×50=2，設(shè)這2人分別為,隨機抽取2人的可能情況是：ABACADBCCDxyAxAyBxByCxCyDxDy一共15種情況，其中他們上學(xué)所需時間滿足的情況有8種，所以滿足的事件的概率，（3）全校上學(xué)所需時間不少于30分鐘的學(xué)生約有：600×（0.008＋0.008＋0.004）×10=120人，所以估計全校需要3輛校車.【點睛】(1)古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個數(shù)時，他們是否是等可能的．(2)用列舉法求古典概型，是一個形象、直觀的好方法，但列舉時必須按照某一順序做到不重復(fù)、不遺漏．(3)注意一次性抽取與逐次抽取的區(qū)別：一次性抽取是無順序的問題，逐次抽取是有順序的問題.20.已知拋物線E：的焦點為F，過點F的直線l與E交于A，C兩點（1）求證：拋物線E在A、C兩點處的切線互相垂直（2）過點F作直線l的垂線與拋物線E交于B，D兩點，求四邊形ABCD的面積的最小值【答案】⑴見證明；⑵32【解析】【分析】（1）設(shè)過點的直線方程為.與拋物線聯(lián)立得到利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示切線斜率，從而得證；（2）表示，，【詳解】（1）設(shè)過點的直線方程為.由得，即.設(shè)，則.設(shè)拋物線E在A、C兩點處的切線的斜率分別為，則.故拋物線E在A、C兩點處的切線互相垂直.（2）由（1）知，同理，，=32∴四邊形ABCD的面積的最小值為32.【點睛】圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．21.設(shè)函數(shù)，其中（1）討論的單調(diào)性；（2）①若a＝1，求的最小值②求證：．提示：（n＋1）！＝1×2×3×…×（n＋1）【答案】⑴見證明；⑵①1；②見證明【解析】【分析】(1)求出，對a討論，得到的單調(diào)性；（2）①利用單調(diào)性即可得到最值，②由①知，令，則，然后累加即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）①，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即的最小值為1.②由①知，令，則，所以，，，…，，疊加得：,，則，所以.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).22.選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)）（1）寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）過點M且平行于直線l的直線與曲線C交于A、B兩點，若，求a的值．【答案】⑴，曲線；⑵3或-3【解析】【分析】（1