/北京一零一中2024-2025學年度第一學期高三數(shù)學統(tǒng)考四一、選擇題共10小題．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.若，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)可知，即可對A判斷；由不等式性質(zhì)得，即可對B判斷，利用特殊值可對C、D判斷；【詳解】對A：由，所以，故A錯誤；對B：由，所以，故B正確；對C：由，令，則，故C錯誤；對D：由，，令，所以，故D錯誤.故選：B.2.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.80【答案】A【解析】【分析】利用二項式定理寫出其通項，求得時，展開式中含有項，代入計算可得結(jié)果.【詳解】由二項式的通項為可得，當，即時，展開式中含有項，此時，因此的系數(shù)為.故選：A3.已知角，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式計算可得.【詳解】因為，所以.故選：B4.在不等邊三角形中，為最大邊，且，則角的范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知邊長條件利用余弦定理得到，再由為最大邊，求角的范圍即可；【詳解】因為，所以，所以，又因為為最大邊且三角形是不等邊三角形，所以，所以，即，所以.故選：C.5.已知是兩個互相垂直的平面，是兩條直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】由題意知，，若，當時，有；當時，與可能相交、平行、垂直.若，由，得.故“”是“”是必要不充分條件.故選：B6.若，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，因為對數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，則，因此，.故選：B7.已知雙曲線的焦點在軸上，且的離心率為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，化簡即可得出答案.【詳解】化簡雙曲線可得，因為雙曲線的焦點在軸上，所以，所以的離心率為，則，所以.故選：C.8.已知等差數(shù)列的公差為，首項，那么“”是“集合恰有兩個元素”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意證明充分性成立，舉反例否定必要性即可.【詳解】對于充分性，已知等差數(shù)列的公差為，首項，當“”時，集合恰有兩個元素，故充分性成立，對于必要性，當時，“集合也恰有兩個元素”，故必要性不成立，故“”是“集合恰有兩個元素”的充分而不必要條件.故選：A9.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則外接圓面積與面積之比的最小值為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，設(shè)外接圓半徑為，則外接圓面積為，面積為，所以，由三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，即可求出答案.【詳解】由可得：，所以，因為，所以，所以，所以或，則或（舍去），設(shè)外接圓半徑為，則外接圓面積為：，面積為所以，而，因為，所以，，當時，即時，.故選：B.10.對于曲線，給出下列三個命題：①關(guān)于坐標原點對稱；②曲線上任意一點到坐標原點的距離不小于2；③曲線與曲線有四個交點．其中正確的命題個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】分析兩個曲線的對稱性，并結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合，即可判斷①③，利用基本不等式，即可判斷②.【詳解】①將曲線中的換成，將換成，方程不變，所以曲線關(guān)于原點對稱，并且關(guān)于軸和軸對稱，故①正確；②設(shè)曲線上任一點為，當，即時，等號成立，所以，曲線上任意一點到坐標原點的距離不小于2，故②正確；③曲線中的換成，將換成，方程不變，所以曲線關(guān)于原點對稱，并且關(guān)于軸和軸對稱，并且將換成，換成，方程不變，所以曲線也關(guān)于對稱，曲線中，且，將曲線中的換成，換成，方程不變，所以曲線也關(guān)于對稱，當時，聯(lián)立，得，當時，，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，因為，所以點在直線的下方，如圖，在第一象限有2個交點，根據(jù)兩個曲線的對稱性可知，其他象限也是2個交點，則共有8個交點，故③錯誤；故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是③的判斷，判斷的關(guān)鍵是對稱性的判斷，以及將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.二、填空題共5小題．11.雙曲線離心率是_________．【答案】【解析】【分析】由雙曲線的標準方程求出，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線可得：，所以雙曲線的離心率是.故答案為：.12.在數(shù)列中，.數(shù)列滿足.若是公差為1的等差數(shù)列，則的通項公式為______，的最小值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】求出等差數(shù)列的首項，直接求出的通項公式即可，利用數(shù)列的單調(diào)性得最小項為或，利用累加法即可求解.【詳解】由題意，又等差數(shù)列的公差為1，所以；故，所以當時，，當時，，所以，顯然的最小值是或.又，所以，即的最小值是.故答案為：，13.已知平面上不共線的四點，若，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算得到，即可得解.【詳解】由，得，即，所以，所以，即，故答案為：14.已知拋物線的焦點為，則的坐標為______；拋物線的焦點為，若直線分別與交于兩點；且，則______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)拋物線的方程即可得出焦點坐標，根據(jù)拋物線的定義求出，進而可得出.【詳解】由拋物線，可得，設(shè)，則，故，所以，所以.故答案為：；.15.如圖，在棱長為4的正方體中，點P是線段AC上的動點（包含端點），點E在線段上，且，給出下列四個結(jié)論：①存在點P，使得直線平面；②點P沿直線AC從點A移動到點C的過程中，四面體的體積逐漸減??；③若，則點P軌跡的長度為；④當二面角的平面角的正切值為時，平面截正方體所得截面圖形的面積為．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)面面平行以及線面平行的判斷可判斷A；結(jié)合三棱錐體積的公式可判斷B；判斷出點P所處的位置，即可求其軌跡長度，判斷C；由二面角的平面角的正切值確定P點位置，進而求得截面面積，判斷D.【詳解】對于①，當P點位于A點時，由于，即四邊形為平行四邊形，則，同理可證，由于平面，平面，故平面，同理平面，而平面，故平面平面，此時平面，則平面，即存在點P，使得直線平面，①正確；對于②，由于平面，平面，故，而，而平面，故平面，平面，故，同理可證,平面，故平面，由于，過點P作平面，垂足為Q，則，當P點沿直線AC從點A移動到點C的過程中，長逐漸變小，而的面積為定值，故逐漸變小，即逐漸減小，②正確；對于③，，作，垂足為G，連接，則，此時則P點軌跡為在上的線段，如圖示，為等腰三角形，則其底邊上的高為，故當P向點C運動時，逐漸變小，故在線段上存在一點P，使得,同理在靠近C的那一側(cè)也存在一點P，使得,當時，，則點P軌跡的長度為，③錯誤；對于④，設(shè)交于R，則R為的中點，由于，故，即為二面角的平面角，而，故，即銳角，則，即，當P點由A向C運動時，將變小，即可知當二面角的平面角的正切值為時，P點位于A處，由于，此時平面截正方體所得截面即為矩形，面積為，④正確，故答案為：①②④【點睛】關(guān)鍵點睛：解答此類立體幾何問題，關(guān)鍵是要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的位置關(guān)系，繼而結(jié)合相關(guān)的概念進行解答.三、解答題共6小題．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，在條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇兩個作為已知.（1）求函數(shù)的解析式：（2）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的最大值.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個條件組合分別解答，則按第一個解答計分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖象可知，若選①②可得函數(shù)的周期，進而可得，代入點，即可得，即可得函數(shù)解析式；若選①③可得函數(shù)的周期，進而可得，代入點，即可得，即可得函數(shù)解析式；若選②③可得函數(shù)的周期，進而可得，代入點，即可得，即可得函數(shù)解析式.（2）結(jié)合（1）可得函數(shù)解析式，進而可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】選條件①②：因為，所以，即，則.由題意可知，則.因為，，所以，即.因為，所以，.所以.選條件①③：因為，所以，即，則.由題意可知，則.因為，，所以，即.因為，所以，.所以.選條件②③：因為，，所以，即，則.由題意可知，則.因為，，所以，即.因為，所以，.所以.【小問2詳解】由題意得.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由，得.因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，此時.所以，所以的最大值是.17.如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，.（1）求證：；（2）已知，，，是線段上一點，當時，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）借助線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得；（2）建立適當空間直角坐標系，借助空間向量計算即可得.【小問1詳解】取中點，連接、，由，，故、，又、平面，，則平面，又平面，故；【小問2詳解】由側(cè)面底面，且，平面，平面平面，故平面，又平面，故，即有、、兩兩垂直，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，由，，，，，則，，即、、、、，、、，令，則，由，故，解得，故，令平面的法向量為，則有，令，則有，由軸平面，故平面的法向量可為，則，故二面角的余弦值為.18.為了調(diào)查居民對垃圾分類的了解程度，某社區(qū)居委會從A小區(qū)與B小區(qū)各隨機抽取300名社區(qū)居民（分為18-40歲、41歲-70歲及其他人群各100名）參與問卷測試，按測試結(jié)果將居民對垃圾分類的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并將問卷得分不低于60分繪制頻數(shù)分布表如下分組A小區(qū)頻數(shù)B小區(qū)頻數(shù)18-40歲人群603041-70歲人群8090其他人群3050假設(shè)用頻率估計概率，所有居民的問卷測試結(jié)果互不影響．（1）從A小區(qū)隨機抽取一名居民參與問卷測試，估計其對垃圾分類比較了解的概率；（2）從A、B小區(qū)41-70歲人群中各隨機抽取一名居民，記其對垃圾分類比較了解的居民人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；（3）設(shè)事件為“從A小區(qū)的三個年齡組隨機抽取兩組，且每個年齡組各隨機抽取一名居民，則這兩名居民均為對垃圾分類比較了解”，設(shè)事件為“從B小區(qū)的三個年齡組隨機抽取兩組，且每個年齡組各隨機抽取一名居民，則這兩名居民均為對垃圾分類比較了解”，試比較事件發(fā)生的概率與事件發(fā)生的概率的大小，并說明理由．【答案】（1）（2）分布列見解析，期望值；（3），理由見解析；【解析】【分析】（1）由頻數(shù)分布表計算出樣本中的頻率，即可估計出其概率；（2）分別估計出A、B小區(qū)41-70歲人群中對垃圾分類比較了解的概率，求出隨機變量對應取值的概率，即可得出分布列和期望值；（3）分別估計出A、B小區(qū)三個不同群體對垃圾分類比較了解的概率，根據(jù)題意由概率乘法公式分別計算可得，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】根據(jù)頻數(shù)分布表可知，抽取的A小區(qū)300人樣本中，有人對垃圾分類比較了解，所以樣本中對垃圾分類比較了解的概率為；由樣本估計總體的思想，用頻率估計概率可知：從A小區(qū)隨機抽取一名居民，估計其對垃圾分類比較了解的概率為；【小問2詳解】根據(jù)頻數(shù)分布表可知，A小區(qū)41-70歲人群中對垃圾分類比較了解的概率可估計為；B小區(qū)41-70歲人群中對垃圾分類比較了解的概率可估計為；易知隨機變量的所有可能取值為；易知，；；所以的分布列如下：012期望值【小問3詳解】，理由如下：從三個年齡組隨機抽取兩組共有種，每一種組合出現(xiàn)的可能為；易知A小區(qū)三個年齡組對垃圾分類比較了解的概率分別為，所以可得，同理，顯然；即.19.已知橢圓：經(jīng)過點，且點到兩個焦點的距離之和為8.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓分別相交于兩點，直線，分別與軸交于點，.試問是否存在直線，使得線段的垂直平分線經(jīng)過點，如果存在，寫出一條滿足條件的直線的方程，并證明；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，得到，代入，可得，計算得到橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓，利用韋達定理，得到和，再分別利用，得到直線和直線，進而得到與，利用線段的垂直平分線經(jīng)過點，必有，整理可得，此時，利用韋達定理進行換元，然后，對進行賦值，即可得到滿足題意的直線方程.【小問1詳解】點到兩個焦點的距離之和為8，故，,橢圓的方程為，代入，可得，解得，故橢圓的方程為：【小問2詳解】由題意，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，，整理得，，化簡得，，故；，，又，可設(shè)直線：，設(shè)直線：，故，，若線段的垂直平分線經(jīng)過點，必有，故有，整理得，，化簡得，，得到，，，，，，，利用韋達定理，得，，，，，，，當時，，此時，直線為：，直線過點P,不合題意；當時，滿足，結(jié)合直線不過點P,可得，此時，滿足題意的直線為：（答案不唯一）20.已知函數(shù)．（1）當時，求的最大值；（2）若恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導得，按照、及結(jié)合導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【小問1詳解】當時，，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以；【小問2詳解】，則，當時，，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.21.將數(shù)列中項數(shù)為平方數(shù)的項依次選出構(gòu)成數(shù)列，此時數(shù)列中剩下的項構(gòu)成數(shù)列；再將數(shù)列中項數(shù)為平方數(shù)的項依次選出構(gòu)成數(shù)列，剩下的項構(gòu)成數(shù)列；…．如此操作下去，將數(shù)列中項數(shù)為平方數(shù)的項依次選出構(gòu)成數(shù)列，剩下的項構(gòu)成數(shù)列．（1）分別寫出數(shù)列的前2項；（2）記數(shù)列的第項為．求證：當時，；（3）若，求的值．【答案】（1）的前2項為3，8；的前2項為5，11；（2）證明見解析；（3）【解析】【