/四川省資陽市高中2024?2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次診斷性考試（二模）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．2．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的離心率為，則（

）A．2 B． C．4或 D．或24．某項(xiàng)智力測(cè)試共有，，，，五道試題，測(cè)試者需依次答完五道試題且至少答對(duì)其中三道試題才算通過測(cè)試．小明答對(duì)，，三道試題的概率均為，答對(duì)，兩道試題的概率均為，且每道試題答對(duì)與否相互獨(dú)立，則小明在答錯(cuò)試題的條件下通過測(cè)試的概率為（

）A． B． C． D．5．已知是定義在上的奇函數(shù)，且可導(dǎo)，若是的極小值點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．是函數(shù)的極大值點(diǎn) B．是函數(shù)的極小值點(diǎn)C．是函數(shù)的極小值點(diǎn) D．是函數(shù)的極小值點(diǎn)6．將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)經(jīng)過平移和伸縮變換得到函數(shù)的圖象，若點(diǎn)被變換成了點(diǎn)，且，則的所有可能值之和為（

）A． B． C． D．7．已知，函數(shù)，則“”是“存在最小值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．若，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某直播帶貨公司統(tǒng)計(jì)了今年1月份至5月份的某種產(chǎn)品的月銷量（單位：千件）如下表所示：月份12345月銷量2.43.1455.5已知變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，通過最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為，則下列說法正確的是（

）參考公式：相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)．A． B．C．每增加1，一定增加0.81 D．10．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)，，分別是棱，，的中點(diǎn)，直線平面，直線與平面所成角為45°，若，，則下列說法正確的是（

）A． B．點(diǎn)到平面的距離為C．五面體的體積為 D．三棱柱的外接球的表面積為11．若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則（

）A． B．C．可以等于 D．可以等于1三、填空題（本大題共3小題）12．在中，是邊上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，若與平行，則實(shí)數(shù)．13．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線：的焦點(diǎn)，，是上位于軸異側(cè)的兩點(diǎn)，且，，則的面積為.14．設(shè)，為常數(shù)，，若對(duì)任意，都有，則；．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面圓心，，是底面圓的兩條直徑，點(diǎn)在上，．(1)求證：；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．16．已知的面積．(1)求證：；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，且，求的值．17．已知，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)若，求的取值范圍.18．已知，分別是雙曲線：的上頂點(diǎn)，下焦點(diǎn)．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的直線與的上，下支分別交于，兩點(diǎn)（異于），直線平分線段與的下支交于點(diǎn)．（?。┣笞C：直線與直線的交點(diǎn)在一條定直線上；（ⅱ）過三點(diǎn)的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．19．如果數(shù)列滿足：存在，，使得任意，都成立，則稱數(shù)列是數(shù)列．(1)設(shè)，判斷數(shù)列是否是數(shù)列，請(qǐng)說明理由；(2)證明：對(duì)任意，公差為2的等差數(shù)列都是數(shù)列；(3)若數(shù)列既是數(shù)列，又是數(shù)列，證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的值．

參考答案1．【答案】B【詳解】由可得，即，所以，所以.故選：B2．【答案】C【詳解】由圖可得陰影部分表示的集合為.由可得，即，由可得，即,則，故.故選：C.3．【答案】C【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，當(dāng)時(shí)，可得，所以離心率，解得；當(dāng)時(shí)，可得，所以離心率，解得，所以；所以或4.故選：C4．【答案】D【詳解】小明已經(jīng)答錯(cuò)了試題,故要通過測(cè)試需在，，，四道試題中至少答對(duì)其中三道試題.∵至少答對(duì)其中三道試題包括恰好答對(duì)三道試題和答對(duì)四道試題兩種情況，∴至少答對(duì)其中三道試題的概率為.所以小明在答錯(cuò)試題的條件下通過測(cè)試的概率為.故選：D.5．【答案】D【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，正確；對(duì)于B，因?yàn)閱握{(diào)遞增，又是的極小值點(diǎn)，即存在區(qū)間，，此時(shí)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；對(duì)于D，因?yàn)榈膱D象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，由是的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，可知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，由D可知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以存在區(qū)間，此時(shí)單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，C正確；故選：D6．【答案】A【詳解】由題意得，所有點(diǎn)經(jīng)過平移和伸縮變換得到函數(shù)，點(diǎn)被變換成了點(diǎn)，即先變換為，再變換為，即，所以，即或,又因?yàn)?，所以或，則的所有可能值之和為，故選：A.7．【答案】C【詳解】由題意，，，當(dāng)時(shí)，若，，函數(shù)單調(diào)遞減，且時(shí)，，沒有最小值，∴.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).若，則，可知，，滿足要求，若，則，，可知，，滿足要求，若，則，，可知，若有最小值，則，解得：，綜上，若函數(shù)有最小值，則，∴“”是“存在最小值”的充要條件，故選：C.8．【答案】C【詳解】由題意，，設(shè)，即，∵，∴，即，∵，∴，∵，得，則有，由，，解得：，∴，，∴.故選：C.9．【答案】ABD【詳解】由題意及表得，在中，，，A項(xiàng)，∵，∴，故A正確；B項(xiàng)，，即，∴，故B正確；C項(xiàng)，經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為，并不意味著每增加1，一定增加0.81，會(huì)有一定的浮動(dòng)，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，∴，∴，故D正確；故選：ABD.10．【答案】ACD【詳解】由題意，在直三棱柱中，面，面，面，面，直線與平面所成角為45°，∴，，，，在中，，，∴，，∴是等腰直角三角形，，，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)直三棱柱高為，，，∴在面中，設(shè)其一個(gè)法向量為，，即，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，故A正確；B項(xiàng)，連接，，，由幾何知識(shí)得，，，，，在中，，由勾股定理得，，在中，同理可得，，在中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，也是矩形對(duì)角線交點(diǎn)，連接，在中，，由勾股定理得，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，∴，，，，∵，解得：，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，五面體的體積為：，故C正確；D項(xiàng)，由幾何知識(shí)得，，，∴四邊形為正方形，設(shè)正方形中心，是的中點(diǎn)，也是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫?，所以平面所以點(diǎn)在過正方形中心，平面的垂線上，∴點(diǎn)到正方形的四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等，有，在矩形中，由幾何知識(shí)得，點(diǎn)到矩形的四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等，有，所以點(diǎn)為球心，點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，即，∴三棱柱的外接球的半徑為，∴三棱柱的外接球的表面積為：，故D正確；故選：ACD.11．【答案】AD【詳解】由題意，的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，∴，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴不可能有三個(gè)零點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí).，若,∵，則，∴，此時(shí).令,解得：或（舍）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)若，則，當(dāng)時(shí)，，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，令，解得：或（舍）當(dāng)時(shí)，在上遞增，此時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)，不合題意，舍去.當(dāng)即時(shí)，令，解得：，令，解得：，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,且.∴若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則有，C，D項(xiàng)，，∴，即，解得：，∴∴，∴可以等于1，不可以等于，故C錯(cuò)誤，D正確；A，B項(xiàng)，，解得：，即，故A正確，B錯(cuò)誤；故選：AD.12．【答案】4【詳解】根據(jù)題意可得，所以，由與平行可得，即，又不共線，所以，解得.故答案為：413．【答案】/【詳解】由題意即可知：，不妨設(shè)點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，則，，故，所以直線的方程為：，令得，即三點(diǎn)共線，所以.故答案為：或.14．【答案】【詳解】由題意，，兩邊同乘以，得，，所以有，，，，，將它們累加得，，已知，所以，則，；由，，所以，所以若，為常數(shù)，則.故答案為：；.15．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又，且，平面，平面,所以平面．又平面，所以．（2）由題意，在中，，所以，所以，又為的中點(diǎn)，所以，.設(shè)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則．因此，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．16．【答案】(1)證明見解析；(2)．【詳解】（1）記角，的對(duì)邊分別為，，，由題意可知，由正弦定理得因?yàn)?，所以．?）在中，由余弦定理得，①同理，在中，②①-②得，．在中，由正弦定理得，，所以，即，所以．17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意證明如下，，在中，，當(dāng)時(shí)，，要證，只需證，令，則，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.（2）由題意及（1）得，，，在中，，令，由題意，在時(shí)恒成立，設(shè)，，則，令，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減，所以，符合題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，且時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，不符合題意，綜上所述，的取值范圍為.1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論；4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).18．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）過三點(diǎn)的圓經(jīng)過定點(diǎn)，理由見解析【詳解】（1）由題意，，，所以，所以的方程為．（2）（?。┯深}意，直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，，．由，消去整理得，，由于同號(hào)，所以，即，則，所以，由，解得，所以，所以直線方程為：，即，由得，所以直線與直線的交點(diǎn)在一條定直線上．（ⅱ）過三點(diǎn)的圓經(jīng)過定點(diǎn)，理由如下：由弦長公式．設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，所以，所以，即點(diǎn)在以線段為直徑的圓上．又，即，所以在以線段為直徑的圓上，所以過，，三點(diǎn)的圓經(jīng)過定點(diǎn)．19．【答案】(1)是數(shù)列，理由見解析(2)證明見解析