/山西省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期2月開學(xué)聯(lián)考考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，，則（

）A． B． C． D．2．一次演講比賽，位評委給某位選手打出了個原始分，去掉一個最高分和一個最低分后得到個有效分，則這個有效分與個原始分相比，下列一定成立的是（

）A．平均分變小 B．極差變小 C．中位數(shù)不變 D．方差變小3．若，則（

）A． B． C． D．4．已知向量和滿足，，，則（

）A． B．2 C．1 D．5．某高中對高三年級的1000名學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)成績測試，得到各同學(xué)的數(shù)學(xué)成績（滿分150分）近似服從正態(tài)分布，則得分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有（參考數(shù)據(jù)：若，則，）（

）A．324人 B．90人 C．130人 D．45人6．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得為線段的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．47．已知函數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．48．若函數(shù)有個零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，函數(shù)，則（

）A．與的對稱中心相同B．與有相同的周期C．與在上有1個交點(diǎn)D．函數(shù)在（）的值域?yàn)?0．已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A．有2個極值點(diǎn)B．有3個零點(diǎn)C．只可能在或者時取得最小值D．對，恒成立11．已知圓，拋物線的焦點(diǎn)為，直線與從上到下依次交于兩點(diǎn)，與從上到下依次交于兩點(diǎn)，則（

）A．若，則的斜率為B．的最小值為4C．為定值D．可以構(gòu)成等差數(shù)列三、填空題（本大題共3小題）12．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和滿足，則．13．正方體的棱長為2，則以的中點(diǎn)為球心，為半徑的球與側(cè)面相交，則交線（在正方形內(nèi)部）的長度為．14．甲、乙進(jìn)行發(fā)球比賽，他們實(shí)力相當(dāng)，每次發(fā)球命中3分或者命中2分或者未命中，三種情況的概率均為．規(guī)則如下：甲、乙輪流發(fā)球，一方發(fā)完球后交給另一方發(fā)球，此時叫做一輪發(fā)球，現(xiàn)在甲先發(fā)球，乙后發(fā)球，經(jīng)過2輪發(fā)球后，甲得分比乙得分高的概率為．四、解答題（本大題共5小題）15．在銳角中，角所對的邊分別為，，．(1)求；(2)記為的中點(diǎn)，求的取值范圍．16．如圖，三棱柱中，平面平面，，．(1)證明：；(2)若，，直線與平面所成的角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)記函數(shù)，已知只有1個零點(diǎn)，求正整數(shù)的最小值．18．已知雙曲線的離心率為，分別為的左、右焦點(diǎn)，分別為的左、右頂點(diǎn)，為右支上異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，當(dāng)時，，直線與軸分別交于，直線與軸分別交于．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：；(3)若為定值，探究直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．19．正四面體某個頂點(diǎn)處有一粒子，粒子的運(yùn)動規(guī)律如下：粒子每經(jīng)過一個時間單位，有的概率仍停留在原頂點(diǎn)，也有可能沿著棱從原頂點(diǎn)移動到另外的頂點(diǎn)，而且移動到另外三個頂點(diǎn)的任何一個都是等可能的．已知在時刻時，粒子在頂點(diǎn)處，若在時刻時，粒子在頂點(diǎn)處記為事件，記此時事件發(fā)生的概率為．(1)求；(2)求，并判斷數(shù)列的單調(diào)性；(3)記，求證：．

參考答案1．【答案】C【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，，又因?yàn)?，因此?故選：C.2．【答案】C【詳解】設(shè)個原始分分?jǐn)?shù)為，去掉一個最高分和一個最低分后得到個有效分為，對于選項(xiàng)A，原始分的平均數(shù)為，有效分的平均數(shù)為，則，又具體值不知，所以選項(xiàng)A不一定成立，故選項(xiàng)A錯誤，對于選項(xiàng)B，原始分的極差為，有效分的極差為，則，所以極差不變或變小，故選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C，原始分的中位數(shù)為，有效分的中位數(shù)為，所以中位數(shù)不變，故選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，若，則原始分與有效分的方差相等，均為，所以選項(xiàng)D錯誤，故選：C.3．【答案】A【詳解】，故．故選：A．4．【答案】A【詳解】由，，，得，，．則．故選：A．5．【答案】C【詳解】由題意，，，則，得分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有．故選：C．6．【答案】B【詳解】由題意得，記點(diǎn)，則，即為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則在中，，，則，所以動點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，其焦距為，長軸長為，短半軸長為，可得的最小值為2．故選：B.7．【答案】D【詳解】，，所以，設(shè)，由，可得：，則，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時等號成立．故選：D．8．【答案】B【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋遥詾榕己瘮?shù)，因?yàn)橛袀€零點(diǎn)，所以在上有兩個零點(diǎn)，即與在上有兩個交點(diǎn)，函數(shù)與均過點(diǎn)，顯然為兩函數(shù)的一個交點(diǎn)，由，則，則，所以函數(shù)在處的切線的斜率為，所以或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．9．【答案】CD【詳解】對于A，令，得，令，得，的對稱中心為，的對稱中心為，故與的對稱中心不相同，A錯誤；的最小正周期為，不是的周期，故與的周期不相同，B錯誤；畫出與的圖象可得兩函數(shù)在有1個交點(diǎn)，C正確；，且，令，即，在內(nèi)單調(diào)遞減，故，D正確．故選：CD．10．【答案】ACD【詳解】由，易知為奇函數(shù)，令，當(dāng)時，，，故在上單調(diào)遞增，，顯然函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，易知函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，由在區(qū)間上，，在上，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，同理可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，則易知定義域?yàn)?，所以可?dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)椋院瘮?shù)存在個極值點(diǎn)：，由函數(shù)為奇函數(shù)，則存在個零點(diǎn)：，故A正確，B錯誤，C正確，D正確．故選：ACD．11．【答案】CD【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)，設(shè)，由，得，，，對于A，，，解得，，則，直線的斜率為，A錯誤；對于B，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而直線不垂直于軸，即，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，則，又，于是等式可以成立，即可以構(gòu)成等差數(shù)列，D正確．故選：CD12．【答案】【詳解】，則，，即，故為等比數(shù)列，且公比為2，時，，故．故答案為：．13．【答案】/【詳解】如圖：作，垂足為E，則平面，設(shè)為球心，為半徑的球與相交于，則，即以的中點(diǎn)為球心，為半徑的球與側(cè)面相交，交線為以E為圓心，2為半徑的圓?。ㄈ鐖D示），在中，，同理，則，所以交線的長度．故答案為：．14．【答案】【詳解】兩輪發(fā)球后，甲、乙可能的得分有0，2，3，4，5，6，甲得分比乙得分高的情況有如下可能，乙得分甲得分概率02，3，4，5，623，4，5，634，5，645，656總和所以甲得分比乙得分高的概率為.故答案為：．15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，由，則，，則，整理得，且，，故，又，故．（2）在中，由余弦定理可得，又，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得．所以，所以．故的取值范圍為．16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，．連接，，取中點(diǎn)，因?yàn)椋?，，，平面，所以平面，平面，所以．又，，所以為的中點(diǎn)，所以平面為矩形，所以，又，，平面．所以平面，在平面內(nèi)，所以．（2）由（1）可得與平面所成的角為，故，則，則．以所在直線為軸．所在直線為軸，過作垂直于于點(diǎn)，以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則．故平面與平面夾角的余弦值為．17．【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．（2），，因?yàn)椋?，則或．當(dāng)時，由，可得或，由，可得：所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，，又，因只有1個零點(diǎn)，需使．令，求導(dǎo)得：，又，，易得可知在上單調(diào)遞減；又時，，，即存在，使得，因，，又因，故．18．【答案】(1)(2)證明見解析(3)過定點(diǎn)或．【詳解】（1）因?yàn)?，且與關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以與互相平分，所以為矩形，在中，，，即，所以，，又，則．所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，則，，，同理，，．所以，，．故得證．（3）由（2）可得，設(shè)與聯(lián)立得到，則代入得到：，解得或，所以直線過定點(diǎn)或．19．【答案】(1)(2)，數(shù)列單調(diào)遞減(3)證明見解析【詳解】（1）由題意知，在時刻時，粒子在頂點(diǎn)處。經(jīng)過一個時間單位，粒子有的概率仍留在點(diǎn)，有的概率移動到其他頂點(diǎn).若要在時刻時粒子仍在頂點(diǎn)處，有兩種情況．第一種情況：時粒子在點(diǎn)，則概率為，且在時粒子仍然停留在點(diǎn)，則概率也為，這種情況的概率為.第二種