大招2極化恒等式大招總結(jié)結(jié)論:設(shè)是兩個(gè)平面向量,則有恒等式,在三角形中,也可以用三角形的中線(xiàn)來(lái)表示,.極化恒等式的作用主要在于,它可以將兩個(gè)向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)向量之和或之差,因此,當(dāng)兩個(gè)向量之和或之差為定值時(shí),常?？梢钥紤]利用極化恒等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.典型例題例1.(2012浙江15)在中,是的中點(diǎn),,則解方法1:設(shè),則.又,.故答案為.

方法2:由極化恒等式得.例2.如圖,在中,是的中點(diǎn),是上的兩個(gè)三等分點(diǎn),,則的值是解方法是的中點(diǎn),是上的兩個(gè)三等分點(diǎn),,,又,

,故答案為.方法2:由極化恒等式得分別解出和的值,即可求解.例3.已知為圓的直徑,為圓的弦上一動(dòng)點(diǎn),,則的取值范圍是.解方法以所在的直線(xiàn)為軸,以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,且圓的直徑為,設(shè),則,;,又是圓的弦上一動(dòng)點(diǎn),且,所以,即,其中最小值在的中點(diǎn)時(shí)取得,所以的取值范圍是.故答案為.方法2:直接使用極化恒等式得,例4.(2013?浙江)設(shè)是邊上一定點(diǎn),滿(mǎn)足,且對(duì)于邊上任一點(diǎn),恒有,則()A.B.C.D.解方法1:設(shè),則,過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),垂足為,在上任取一點(diǎn),設(shè),則由數(shù)量積的幾何意義可得,,

于是恒成立,整理得恒成立,只需即可,于是,因此我們得到,即是的中點(diǎn),故是等腰三角形,所以.故選D.方法因?yàn)樗詮亩?過(guò)作交于,則考慮,所以,故,選例5.(2021?溫州二模)如圖,矩形中,,點(diǎn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn),且,則的最小值是()A.13B.15C.17D.19解方法以為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),則令,則令,解得.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,..故選B.方法2:如圖為的中點(diǎn),由極化恒等式,.顯然,的軌跡是以點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓周在矩形內(nèi)部的圓弧.所以例6.(2021?淮安二模)如圖,在平面四邊形中,為的中點(diǎn),且,若,則的值是.解方法1:平面四邊形中,為的中點(diǎn),且若,則;方法2:如圖,得,又例7.已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),為的中點(diǎn),為拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若滿(mǎn)足,則下列一定成立的是()A.B.,其中是拋物線(xiàn)過(guò)的切線(xiàn)C.D.解方法1:,即求.其中是拋物線(xiàn)過(guò)的切線(xiàn).故選.方法2:由得,由極化恒等式,,即,即拋物線(xiàn)上所有點(diǎn)到的距離最近的點(diǎn)為,故以為圓心,為半徑的圓與拋物線(xiàn)內(nèi)切,故選.例8.如圖,已知正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)交圓于點(diǎn),則的取值范圍是解方法1:取的中點(diǎn),則.則.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)和點(diǎn)重合,,即的取值為6.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)和點(diǎn)重合,,即的取值為0,即的取值范圍是,故答案為:.方法2:如圖6,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,則是中點(diǎn)連接有,由極化恒等式,因?yàn)辄c(diǎn)在劣弧上,有,所以.例9.(2021?衡陽(yáng)三模)在三棱雉中,兩兩垂直且,點(diǎn)為三棱錐的外接球上任意一點(diǎn),則的最大值為解方法1:如圖所示:圖1圖2因?yàn)閮蓛纱怪鼻?所以三棱錐的外接球就是分別以為棱的正方體的外接球(如圖1),外接球的球心為正方體的體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn),易知球的半徑為.設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為而,當(dāng)取得最大值時(shí),有最大值.而當(dāng)在同一個(gè)大圓上且,點(diǎn)與線(xiàn)段在球心的異側(cè)時(shí),最大(如圖2),此時(shí),.得:的最大值為.故答案為:方法2:由極化恒等式有如圖,當(dāng)在同一個(gè)大圓上且,點(diǎn)與線(xiàn)段在球心的異側(cè)時(shí),最大,此時(shí)線(xiàn)段長(zhǎng)為,所以所以的最大值為例10.(2021?湖州二模)正方體的棱長(zhǎng)為是它的內(nèi)切球的一條弦(把球面上任意兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段稱(chēng)為球的弦),為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)弦最長(zhǎng)時(shí).的最大值為解方法1:設(shè)點(diǎn)是此正方體的內(nèi)切球的球心,半徑.當(dāng)弦最長(zhǎng)時(shí),為球的直徑,此時(shí),而,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)上式取得最大值,.故答案為2.方法2:由正方體的棱長(zhǎng)為2,得內(nèi)切球半徑為1,正方體的體對(duì)角線(xiàn)為.當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí),為球的直徑.設(shè)內(nèi)切球的球心為,則.由于為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn),故.所以.自我檢測(cè)1.(2021?浙江二模)如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形的頂點(diǎn)分別在軸、軸正半軸上(含原點(diǎn))上滑動(dòng),則的最大值是.第1題圖2.(2018?天津)如圖,在平面四邊形中,,,.若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A.B.C.D.3第2題圖3.(2017?新課標(biāo)II)已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,為平面內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是()A.B.C.D.4.(2021春?龍山區(qū)校級(jí)月考)已知圓為的內(nèi)切圓,,過(guò)圓心的直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn),則的取值范圍是A.B.C.D.5.(2021?紹興一模)已知點(diǎn)分別在直線(xiàn)上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且.當(dāng)取到最小值時(shí),的值為()A.0B.2C.3D.66.(2021?日照一模)在銳角中,已知,則的取值范圍是.7.(2021?紹興二模)設(shè)銳角的面積為1,邊的中點(diǎn)分別為為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn),則最小值為.8.(2021秋?蘇州期末)如圖,在中,已知,點(diǎn)分別在邊,上,且,點(diǎn)為中點(diǎn),則的值為.9.(2021?浙江模擬)已知的斜邊的長(zhǎng)為4,設(shè)是以為圓心1為半徑的圓上的任意一點(diǎn),則的取值范圍是()A.B.C.D.10.(2021?江蘇模擬)已知為圓的直徑,為圓的弦上一動(dòng)點(diǎn),,則.的取值范圍是.11.(2021?閔行區(qū)校級(jí)模擬)已知點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正方體的底面上一點(diǎn)(包括邊界),則的取值范圍是.12.(2021?上城區(qū)校級(jí)模擬)已知點(diǎn)為單位圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在直線(xiàn)上,則的最小值為.13.在中,,當(dāng)分別在平面直角坐標(biāo)系的軸、軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),的最大值是.(2021-余杭區(qū)校級(jí)模擬)如圖,是邊長(zhǎng)為4的正方形,動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的圓弧上,則的取值范圍是__________. 答案：方法1:以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線(xiàn)為軸建立如圖坐標(biāo)系，則圓弧方程為因此設(shè),,由此可得化簡(jiǎn)得∵∴當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),.由此可得的取值范圍是故答案為:方法2:取中點(diǎn),由極化恒等式得:.15.已知過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),若點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A.1B.2C.2D.答案：方法1:如圖,設(shè),則,∴,∴..∵.∴當(dāng)時(shí),有最小值為.故選.方法2:根據(jù)極化恒等式,要求最小值,最小,最大,此時(shí),16.(2021-衡中高三測(cè)試題)已知為橢圓的一條動(dòng)弦,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),為直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A.B.C.5D.8答案：如圖,連接,根據(jù)極化恒等式有這