大招5對數(shù)平均不等式大招總結基本不等式鏈：已知，，（當且僅當取等號），即：調(diào)和平均數(shù)<幾何平均數(shù)<算術平均數(shù)<平方平均數(shù)，簡記為：調(diào)幾算方．對數(shù)平均不等式：對于正數(shù)a，b，且，定義為a，b的對數(shù)平均值，且若，，即：調(diào)和平均數(shù)<幾何平均數(shù)<對數(shù)平均數(shù)<算術平均數(shù)<平方平均數(shù)，簡記為：調(diào)幾對算方．證明：證法1（比值代換）令，則，構造函數(shù)可證．證法2（主元法）不妨設，，記，，則，得在上單調(diào)遞淢，有，左邊得證，右邊同理可證．證法3（構造函數(shù)法）先證：要證，只需證，令，只需證，，設，，則，可得在上單調(diào)遞減，∴．再證：要證，只需證，令，只需證，∴，．設，，則，故在上單調(diào)遞減，∴，∴．★常見等價變形：；用對數(shù)平均數(shù)求證極值點偏移問題的步驟：（1）根據(jù)建立等量關系；（2）等量關系中如果含有參數(shù)，可考慮消參；如果含有指數(shù)式，可考慮兩邊取對數(shù)；（3）通過恒等變形轉化出對數(shù)平均數(shù)，代入對數(shù)平均不等式求解．典型例題【題型1】證明極值點偏移問題例1．已知函數(shù)，如果，且，證明：．解證明：即，，則（正數(shù)，的對數(shù)平均數(shù)為1），于是，得，且．例2．已知函數(shù)的圖像與直線交于不同的兩點，，求證：．解證明：由得，；，由對數(shù)平均不等式得，，，得．例3．設函數(shù)的兩個零點是，，求證：．解證明：由題意得，兩式相減得，，則，所以．例4．設函數(shù)，其圖像與軸交于，兩點，且，解證明：．證明：即，，則①-②得，則（正數(shù)，的對數(shù)平均數(shù)為1），于是，，得①+②得，所以，由此可得．【題型2】的應用例5．設函數(shù)，其中是的導函數(shù)，設，比較與的大小，并加以證明．解因為，所以，而，因此，比較與的大小，即只需比較與的大小即可．根據(jù)時，，即，令，，則，所以，，…，，將以上各不等式左右兩邊相加得：，故．【說明】本題是高考試題的壓軸題，難度較大，我們這里應用對數(shù)平均數(shù)不等式鏈來證明，思路簡捷，別具新意，易于學生理解、掌握，也可以利用之前講的數(shù)列不等式．當時，，即，令，，則，可得．例6．已知函數(shù)的最小值為0，證明：．解證明：易求，待證不等式等價于，根據(jù)時，，即，令，，則，，，，…，，將以上各不等式左右兩邊分別相加得：，，得證．【題型3】的應用例7．設數(shù)列的通項，其前項的和為，證明：．解證明：根據(jù)時，，即，令，，則，易證．【題型4】的應用例8．設數(shù)列的通項，證明：．解證明：根據(jù)時，，即，令，，則，易證．【題型5】的應用例9已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．證明：，解證明：當時，，即，令，則，所以，，…，，將以上各不等式左右兩邊分別相加得：，即，故．【題型6】的應用例10．已知．求證：對一切正整數(shù)均成立．故選B.例13.(2021?秋榆樹市期末)設,則的大小關系是()A.B.C.D.解：,即.,.綜上可得,故選A.題型二利用常見函數(shù)單調(diào)性比較例14.(2020?天津)設,則的大小關系為()A.B.C.D.解：,則,,,故選D.例15.（2021?武漢模擬）設,則（）A.B.C.D.解：,冪函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,即,故選C.例16.（2021?春桞州期末)設,則(）A.B.C.D.解：,,故選D.例17.（2010?安徽)設,則的大小關系是()A.B.C.D.解：在時是增函數(shù) 又在時是減函數(shù),所以故選A.例18.(2021?秋海淀區(qū)校級期末)已知,則按從小到大的順序排序為___________.解:由是增函數(shù),得,由是增函數(shù),得,故,故答案為.題型三構造函數(shù)利用單調(diào)性比較大小例19.(2021?乙卷)設,則()A.B.C.D.解:,,令,令,則,,,在上單調(diào)遞增,,,,同理令,再令,則,,,在上單調(diào)遞減,,,,.故選B.例20.?新課標I)若,則()A.B.C.D.解:為;因為,所以,令,由指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得在內(nèi)單調(diào)遞增;且;故選B.例21.(2021?廣州一模)已知是自然對數(shù)的底數(shù),設,則()A.B.C.D.解:已知是自然對數(shù)的底數(shù),,設,則,當時,,函數(shù)在上是增函數(shù),當時,,函數(shù)在上是減函數(shù),,而,所以,又因為,為常用不等式,可得,令,當時,,函數(shù)在上是減函數(shù),故,則,即,則,故:故選A.例22.(2021?惠州模擬)已知,則的大小關系為()A.B.C.D.解:構造函數(shù),由函數(shù)圖像可知:在時,,即,,又,,故選C.例23.(2021?漳州三模)若,則()A.B.C.D.解:由,所以,且;又,;不妨設,則有;構造函數(shù),所以,令,解得;所以時,是單調(diào)增函數(shù);所以,即,所以;綜上知,.故選D.例24.若則的大小關系為（）A.B.C.D.解：令,時,,在上單調(diào)遞減,又,,.故選D.例25.(2021秋?唐山期末)設,則的大小關系為()A.B.C.D.解：構造函數(shù),則,當時,,則在上為增函數(shù),,即,,即,則；設,則,當時,,在上為增函數(shù),則,即,則.又.故選B.例26.(2021?巴中模擬)已知,則下列選項正確的是()A.B.C.D.解：,,的大小比較可以轉化為的大小比較.設,則,當時,,當時,,當時,在上,單調(diào)遞減,,,故選D.例27.(2021?桞州模擬)已知,則的大小關系是()

A.B.C.D.解：,,且,,,且,,,.故選B.例28.(2021?沙坪壩區(qū)校級模擬)已知實數(shù),滿足,則關于下列判斷正確的是()A.B.C.D.解：先比較與2的大小,因為,所以,所以,即,故排除,再比較與2的大小,易得,當時,由,得與矛盾,舍去,故,則有,得,令,令,則,故,故,從而.故選D.例29.(2021?濱州二模)已知(為自然對數(shù)的底數(shù)),,則的大小關系為(）A.B.C.D.解：,構造函數(shù),則,由,得,當時,是減函數(shù),當時,是增函數(shù),當時,取最大值,,.故選C.例30.(2021春?歷城區(qū)校級月考)已知,則的大小關系為(）A.B.C.D.解：設,則;時,;在上單調(diào)遞減;;.故選C.例31.(2021?巴中模擬)已知,則下列選項正確的是()A.B.C.D.解：,,的大小比較可以轉化為的大小比較.設,則,當時,,當時,,當時,在上,單調(diào)遞減,,,故選D.自我檢測1.(2021?邯鄲二模)設,則的大小關系是()

A.B.C.D.解析：,.又,.故選A.2.(2019?天津)已知,則的大小關系為()

A.B.C.D.解析：由題意,可知:,.,最大,都小于1...故選A.3.(2021?平陰縣模擬)設,則的大小關系是()

A.B.C.D.解析：由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象可以得到:,所以，故選A.4.(2021秋?包河區(qū)校級月考)設,則(）A.B.C.D.解析：,則,故選D.5.(2021秋?唁江區(qū)校級月考)已知均為正數(shù),且,則,的大小關系為()A.B.C.D.解析：方法1:均為正數(shù),且,,得,從而,即,由此得,得,從而有,可得,得,從而有,可得故選C.方法2:畫出圖象,通過比較交點即可得出6.(2021秋?南關區(qū)校級期中)以下四個數(shù)中最大的是（）

A.B.C.D.解析：.給出的四個數(shù)中最大的是.故選D7.(2021?河南模擬)若實數(shù)滿足,則的大小關系為()A.B.C.D.解析：實數(shù)滿足,,,,的大小關系為.故選B.8.(2021秋?廣州期末)設,則的大小關系是（）A.B.C.D.解析：,,,,故選A.9.(2021?南寧一模)設,則()A.B.C.D.解析：;又；;;;;;又；;.故選D.10.(2021秋?安期末)設,則()A.B.C.D.解析：,,故選C.11.(2013?新課標II)設,則()A.B.C.D.解析：因為,因為是增函數(shù),所以,所以,所以,故選D.12.(2021?漳州一模)設,則的大小關系是()

A.B.C.D.解析：;.故選C.13.(2021?秋茲淨市期末)三個數(shù)的大小關系為()A.B.C.D.解析：,,故選A.14.(2021?秋平遙縣校級月考)設,則()A.B.C.D.解析：,,;.故選D.15.(2021?宜昌模擬)已知,則的大小關系為()

A.B.C.D.解析：,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象,所以,,故選B.16.(2021?綿陽模擬)已知,給出以下結論:(1);(2);(3).則其中正確的結論個數(shù)是（）A.3個B.2個C.1個D.0個解析：,故為減函數(shù),在上為增函數(shù),故,即(1)正確;為減函數(shù),在上為增函數(shù),,即(2)錯誤;與在上均為減函數(shù),故,.即(3)正確;故選B.17.(2021?春錦州期末)記,則的大小關系為()A.B.C.D.解析：由是定義域的單調(diào)增函數(shù),且,所以,即;又是定義域上的單調(diào)增函數(shù),且,所以,即;所以的大小關系為.故選B.18.(2021?自貢模擬)下列四個命題:(1);(2);(3);(4),其中真命題的個數(shù)是()(e為自然對數(shù)的底數(shù))A.1

B.2

C.3

D.4解析：構造函數(shù),導數(shù),當時,遞增;時,遞減.可得取得最大值.由,可得,即有,即,故(1)不正確;由,可得,即有,即,故(2)正確;設,可得,在時,,即有,故(3)正確;由的最大值,看設,則,即,即,則,故(4)不正確.故選B.19.(2021?呼和浩特模擬)已知實數(shù),滿足,關于下列判斷正確的是()A.B.C.D.解析：不選;令設,則,,故選D.20.(2021?秋唐山期末)設,則的大小關系為()

A.B.C.D.解析：構造函數(shù),則,當時,,則在上為增函數(shù),,即,,即,則;設,則,當