大招13裂項相消法大招總結(jié)將數(shù)列中的通項進(jìn)行拆分,然后重新組合,使之能消去一些項,以達(dá)到求和的目的,一般是一項拆成兩項,消掉中間所有項,剩余首尾對稱項。一般拆成形如:,或者的形式。常見裂項消形式：1.形如型:分母由兩項相乘,兩項之差是,就提出來。2.3.(此類題型可以用待定系數(shù)法處理)4.分母有理化型:5.6.!7.8.形如:型:9.形如:型:典型例題例1.(2021?新鄉(xiāng)三模)數(shù)列的前20項和為()A.B.C.D.解：由,所以數(shù)列的前20項和為.故選B.例2.(2021?成都模擬)已知數(shù)列的前項和滿足,記數(shù)列的前項和為,.則的值為()A.B.C.D.解,當(dāng)時,有,又當(dāng)時,也適合上式,,,故選C.例3.(2021?丙卷模擬)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽,用其名字命名的“高斯函數(shù)”:設(shè)用表示不超過的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù),也稱取整函數(shù).在數(shù)列中,記為不超過的最大整數(shù),則稱數(shù)列為的取整數(shù)列,設(shè)數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,則數(shù)列的前1010項和為()A.B.C.D.解：根據(jù)題意,易知,則,則,所以數(shù)列的前1010項和，故選C.例4.(2021?5月份模擬)設(shè)數(shù)列的前項和為,若,則A.7

B.8

C.9

D.10解：若,所以.故選C.例5.(2021?山東模擬)已知等差數(shù)列的前項和為,公差為,當(dāng)取最小值時,的值為（）

A.7

B.8

C.9

D.10解：,整理得,解得或(舍去),即,則,當(dāng)時,數(shù)列單調(diào)遞減,當(dāng)時,數(shù)列單調(diào)遞增,當(dāng)時,;當(dāng)時,,故當(dāng)時,取最小值.故選B.例6.（2021?鹽城三模）已知數(shù)列的通項公式為，則其前項和為（）A.B.C.D.解：,所以其前項和為.故選A.例7.(2020秋?江蘇期中-多選題)已知數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為,則下列選項正確的是()A.B.C.D.解：由,兩式相減整理得:,又,,故選項A正確,選項B錯誤;又,,故選項D正確;又在上單調(diào)遞增,,故選項正確,故選ACD.例8.(2021?秦州區(qū)校級三模)已知公差不為零的等差數(shù)列滿足,且成等比數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)設(shè)為數(shù)列的前項和,求數(shù)列的前20項和.解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,得,又成等比數(shù)列,得,即,故,由(1)(2)得,所以;(2)由(1)可知,則,令的前項和為,則.例9.(2021?湖北開學(xué))在(1),(2),(3)這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并完成解答.問題:已知等差數(shù)列的前項和為,,若數(shù)列滿足,證明:數(shù)列的前項和.解：證明:選擇(1),設(shè)數(shù)列的公差為,由,得,解得所以,又因為,所以,所以.選擇(2),設(shè)數(shù)列的公差為,因為,所以,,又,解得,所以.又因為,所以,所以.選擇(3),設(shè)數(shù)列的公差為,因為,即,又因為,所以,解得,所以,所以,又因為,所以,所以.例10.(2021春?九龍坡區(qū)校級月考)在(1);(2)；(3),三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并求解.已知數(shù)列中,,(1)求;(2)若數(shù)列的前項和為,證明:.解：選(1):由可得:當(dāng)時,,當(dāng)時,,符合,所以當(dāng)時,;選(2):由可得,即,又,所以是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,所以,所以;選(3):由可得,即，又,所以是首項為4,公差為4的等差數(shù)列,所以,所以;(2)證明：由(1)得,所以,因為,所以,又因為隨著的增大而增大,所以,綜上.例11.(2021-梁園區(qū)校級模擬)已知等差數(shù)列的公差為,前項和為,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.解(1)因為,所以,即,整理得,又因為,所以,即,所以;(2)由(1)知,所以,所以.例2.(2021秋-安徽月考)已知數(shù)列的前項和為,首項為,且.(1)證明:為等差數(shù)列;(2)若的首項和公差均為1,求數(shù)列的前項和.解(1)證明:由題意得兩式相減得從而再兩式相減得又∴,于是為等差數(shù)列.(2)由(1)可得為等差數(shù)列,又.于是是.例13、(2021-朝陽區(qū)校級開學(xué))已知是數(shù)列的前項和,滿足.(1)求的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.解(1)時,.時,,對于上式也成立,(2)待定系數(shù)法,令,∴∴.(例14.(2021-A卷模擬)已知數(shù)列的前項和為,滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)記,求數(shù)列的前項和.解(1)由,得,兩式相減得,即,又當(dāng)時,,解得,所以時以為首項,為公比的的等比數(shù)列,所以;所以;(2)由(1)可得,所以例15.(2021-市中區(qū)校級一模)已知等差數(shù)列的前項和為.(1)求的通項公式;（2）設(shè)數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和,求.解(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為.解得:,(2)設(shè)數(shù)列滿足,時,,滿足上式,因此.∴數(shù)列的前項和.時,例16.(2021-雨花區(qū)校級模擬)已知等差數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)為數(shù)列的前項和,求.(1)數(shù)列為等差數(shù)列.由得的公差.所以.(2)由(1)知,.所以,例17、正項數(shù)列的前項和滿足:.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,數(shù)列的前項和為,證明:對于,都有.由,得,由于是正項數(shù)列,所以.所以.時,時,適合上式.∴.(2)證明由得.即對于任意的,都有.例8.(2016秋-秀山縣校級月考)已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),為其前項和,對于任意的,滿足關(guān)系式.(1)求數(shù)列的通項公式;（2）設(shè)數(shù)列的通項公式是,求證對一切的正整數(shù)都有:.解(1)當(dāng)時,有,(1)又,(2)(2)-(1)得,,即.又當(dāng)時,,∴.比數(shù)列為等比數(shù)列,且公比.數(shù)列的通項公式;(2)證明:∵當(dāng)時,正整數(shù)都有:.(例19.(2020-東城區(qū)校級模擬)已知數(shù)列滿足:.(1)求;(2)求數(shù)列的通項公式;（3）設(shè),若對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.解(2)由兩邊同減去1,得對上式取倒數(shù),得,又則數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列,(3)由(2)知,而又,則有又因?qū)愠闪?則有即對恒成立設(shè)函數(shù),則所以是單調(diào)遞減,則當(dāng)時,取得最大值為即所以實數(shù)的取值范圍為.(例20)(2020春-天津月考)數(shù)列的前項和滿足:,為正項數(shù)列;數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.(I)求數(shù)列的通項公式;(II)令,數(shù)列的前項和,求.為正項數(shù)列;數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.(I)求數(shù)列的通項公式;(II)令,數(shù)列的前項和,求.解:由,得,由于是正項數(shù)列,所以,于是,時,,綜上,數(shù)列的通項公式,數(shù)列是等比數(shù)列,,所以;(II)因為,令的前項和為的前項和為,所以,,(1),(2)(1)-(2)得所以;因為,所以得,所以.例21（2020秋-渭城區(qū)期中)在數(shù)1和100之間插入個實數(shù),使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這個數(shù)的乘積記作,再令.(I)求數(shù)列的通項公式;(II)求證:.(III)設(shè),求數(shù)列的前項和.解((I)解:由題意,數(shù)1和100之間插入個實數(shù),使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這個數(shù)的乘積記作,由等比數(shù)列的性質(zhì),序號的和相等,則項的乘積也相等知,又,∴(II)證明:∴(III)解:∴數(shù)列的前項和自我檢測1.（2021春-武侯區(qū)校級期中）如圖所示將若干個點擺成三角形圖案,每條邊（包括兩個端點）有個點,相應(yīng)的圖案中總的點數(shù)記為,則A.B.C.D.2.(2021春-昌江區(qū)校級期末)對于實數(shù)表示不超過的最大整數(shù).已知數(shù)列的通項公式,前項和為,則A.223B.218C.173D.1683.(2021-萬載縣校級期末)設(shè)數(shù)列的前項和為,已知.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,若,求的值.4.(2021-蘭州模擬)已知數(shù)列中(1)求數(shù)列的通項公式;(2)已知的前項和為,且對任意正整數(shù),都有成立.求證:.5.(2021-浙江模擬)已知正項遞增等比數(shù)列的首項為8,其前項和記為,且.(1)求數(shù)列的通項公式;（2）設(shè)數(shù)列滿足,其前項和為,試求數(shù)列的前項和.6.(2021-香洲區(qū)校級模擬)已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列,公差為為其前項和,且滿足.數(shù)列滿足為數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:.7.(2020-山東模擬)在(1);(2);(3)是與的等比中項,這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,然后解答補充完整的題目.已知為等差數(shù)列的前項和,若(1)求;(2)記,求數(shù)列的前項和.8.(2018-海淀區(qū)校級三模)設(shè)數(shù)列滿足.(I)求及的通項公式;(II)求數(shù)列的前項和.9.(2016春-匯川區(qū)校級期中)已知數(shù)列的前項和;(1)求數(shù)列的通項公式;（2）設(shè),求.10.(2020春-涼山州期末)為等差數(shù)列的前項和,已知.(1)求及;（2）設(shè),數(shù)列的前項和為.證明:.11.(2021-讓胡路區(qū)校級四模)已知數(shù)列的首項為,且.(I)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(II)若,求數(shù)列的前項和.12.(2021秋-湖北月考)已知數(shù)列為等差數(shù)列,其公差不為是與的等比中項.(1)求通項公式;(2)記,求數(shù)列的前項之和.13.(2021-菏澤二模)已知正項數(shù)列的首項,前項和為,且滿足).(1)求數(shù)列的通項公式;（2）設(shè)數(shù)列前和為,求使得成立的的最大值.14.(2021-山東模擬)已知正項數(shù)列的前項和為,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)在(1);(2);(3)這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中并求解.若,求的前項和.15.(2021春-蓮花縣校級月考)正項數(shù)列的前項和滿足:.(1)求;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)令,求數(shù)列的前項和.16.(2020秋?道里區(qū)校級期中)數(shù)列中,.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項和為.求證:.17.(2018秋-天心區(qū)校級月考)設(shè)正項數(shù)列的前項和,且是與的等比中項,其中.(I)求數(shù)列的通項公式;(II)設(shè),記數(shù)列的項和為,求證.18.(2021-肇慶一模)已知數(shù)列的前項和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)為數(shù)列的前項和,求;(3)設(shè),證明:.19.(2020秋-雨湖區(qū)校級期中)已知