試題PAGE1試題2024北京理工大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)（B卷）班級(jí)姓名本試卷共三道大題，滿(mǎn)分50分，考試時(shí)間30分鐘一、選擇題（共9小題，每小題4分，共36分）1.一個(gè)平面圖形用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則原平面圖形的周長(zhǎng)為（）A.8 B. C.16 D.2.下列說(shuō)法不正確的是（）A.平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形 B.直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等C.斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)大于斜棱柱的高 D.直四棱柱是長(zhǎng)方體3.下列命題正確的是（）A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.梯形確定一個(gè)平面C.兩條直線確定一個(gè)平面 D.四邊形確定一個(gè)平面4.已知點(diǎn)A∈直線l，又A∈平面，則（）A. B. C. D.或5.若空間三條直線a，b，c滿(mǎn)足a⊥b，bc，則直線a與c（）A.一定平行 B.一定垂直C.一定是異面直線 D.一定相交6.給定空間中的直線l與平面，則“直線l與平面垂直”是“直線l垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知是平面，m、n是直線，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則8.如圖，三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，且，平面平面，則棱（）A. B. C.3 D.9.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)Q，使得 B.存在點(diǎn)Q，使得平面C.三棱錐的體積是定值 D.存在點(diǎn)Q，使得PQ與AD所成的角為二、填空題（共2小題，每小題4分，共8分）10.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在面對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)命題：①D1P∥平面A1BC1；②D1P⊥BD；③平面PDB1⊥平面A1BC1；④三棱錐A1﹣BPC1的體積不變．則其中所有正確的命題的序號(hào)是_____．11.陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，也作陀羅，閩南語(yǔ)稱(chēng)作“干樂(lè)”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老?！保畟鹘y(tǒng)古陀螺大致是木制或鐵制的倒圓錐形．現(xiàn)有一圓錐形陀螺（如圖所示），其底面半徑為3，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周．①圓錐的母線長(zhǎng)為9；②圓錐的表面積為；③圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的圓心角為；④圓錐的體積為，其中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____________．三、解答題12.如圖，在正三棱柱中，P，Q分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面ABC；（2）證明：平面平面.請(qǐng)?jiān)谙铝凶C明過(guò)程中的橫線上填上推理的依據(jù).【解答】（1）證明：取AB的中點(diǎn)D，連接PD、CD，因?yàn)镻，Q分別為，的中點(diǎn)，所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，，所以且，所以PDCQ為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以平面ABC（①定理）.（2）證明：在正三棱柱中，D為AB的中點(diǎn)，所以，又平面ABC，平面ABC，所以，，，平面，所以平面（②定理）.又，所以平面，又平面，所以平面平面（③定理）.

參考答案一、選擇題（共9小題，每小題4分，共36分）1.【答案】C【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的過(guò)程將直觀圖還原回原圖形，找到直觀圖中正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在原圖形中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，用直線段連結(jié)后得到原四邊形，再計(jì)算平行四邊形的周長(zhǎng)即可．【詳解】還原直觀圖為原圖形如圖所示，因?yàn)?，所以，還原回原圖形后，，，所以，所以原圖形的周長(zhǎng)為．故選：C.2.【答案】D【分析】根據(jù)幾何體的定義和性質(zhì)依次判斷每個(gè)選項(xiàng)判斷得到直四棱柱不一定是長(zhǎng)方體得到答案.【詳解】根據(jù)平行多面體的定義知：平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形，A正確；直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與底面垂直，故與高相等，B正確；斜棱柱的側(cè)棱與高可構(gòu)成以側(cè)棱為斜邊，高為直角邊的直角三角形，斜邊大于直角邊，C正確；當(dāng)直四棱柱的底面不是長(zhǎng)方形時(shí)不是長(zhǎng)方體，D錯(cuò)誤.故選：D.3.【答案】B【分析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)不能確定一個(gè)平面，梯形上底和下底平行，能確定一個(gè)平面，兩條直線異面時(shí)不能確定一個(gè)平面，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，得到答案.【詳解】當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)不能確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；梯形上底和下底平行，能確定一個(gè)平面，B正確；兩條直線異面時(shí)不能確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤；空間四邊形不能確定一個(gè)平面，D錯(cuò)誤.故選：B.4.【答案】D【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系判斷．【詳解】點(diǎn)A∈直線l，又A∈平面，則與平面至少有一個(gè)公共點(diǎn)，所以或．故選：D．5.【答案】B【分析】根據(jù)空間中直線的位置關(guān)系分析判斷.【詳解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c.故選：B.6.【答案】A【分析】由線面垂直的性質(zhì)結(jié)合兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系可得正確的選項(xiàng).【詳解】若直線l與平面垂直，由垂直的定義知，直線l垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線；但是當(dāng)直線l垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線時(shí)，直線l與平面不一定垂直.所以“直線l與平面垂直”是“直線l垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”的充分不必要條件，故選：A7.【答案】B【分析】根據(jù)線面平行、線面垂直的性質(zhì)依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】若，則或或與相交，A錯(cuò)誤；若，則，B正確；若，則或，C錯(cuò)誤；若，則或相交或異面，D錯(cuò)誤.故選：B.8.【答案】A【分析】取中點(diǎn)分別為，連接,過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，從而在直角梯形求解即可.【詳解】如圖，取中點(diǎn)分別為，連接,過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，因?yàn)?，所以，?所以,因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，?所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)樵谌馀_(tái)中，，所以四邊形為直角梯形，因?yàn)?,所以，所以在直角三角形中，,故選:A.9.【答案】B【分析】A由、即可判斷；B若為中點(diǎn)，根據(jù)正方體、線面的性質(zhì)及判定即可判斷；C只需求證與面是否平行；D利用空間向量求直線夾角的范圍即可判斷.【詳解】A：正方體中，而P為線段的中點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，所以，故不可能平行，錯(cuò)；B：若為中點(diǎn)，則，而，故，又面，面，則，故，，面，則面，所以存在Q使得平面，對(duì)；C：由正方體性質(zhì)知：，而面，故與面不平行，所以Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到面的距離不一定相等，故三棱錐的體積不是定值，錯(cuò)；D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，，且，所以，，若它們夾角為，則，令，則，當(dāng)，則，；當(dāng)則；當(dāng)，則，；所以不在上述范圍內(nèi)，錯(cuò).故選：B二、填空題（共2小題，每小題4分，共8分）10.【答案】①③④【分析】利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理與三棱錐的體積公式對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【詳解】①∵在正方體中，D1A∥BC1，D1C∥BA1，且D1A∩DC1=D1，∴平面D1AC∥平面A1BC1；∵P在面對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，∴D1P∥平面A1BC1；∴①正確．②當(dāng)P位于AC的中點(diǎn)時(shí)，D1P⊥BD不成立，∴②錯(cuò)誤；③∵A1C1⊥平面BDD1B1；∴A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D，∴B1D⊥平面A1BC1，∴平面BDD1B⊥面ACD1，∴平面PDB1⊥平面A1BC1；∴③正確．④三棱錐A1-BPC1的體積等于B-A1PC1的體積，△A1PC1的面積為定值A(chǔ)1C1?AA1，B到平面A1PC1的高為BP為定值，∴三棱錐A1-BPC1的體積不變，∴④正確．故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及體積，突出考查面面平行的判定定理與性質(zhì)定理，考查面面垂直的判定定理，考查幾何體的體積運(yùn)算.11.【答案】①②【分析】利用圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置求解以為圓心，為半徑的圓的面積，再求解圓錐的側(cè)面積，根據(jù)圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周列出方程求解結(jié)果；利用圓錐的表面積公式進(jìn)行計(jì)算；圓錐的底面圓周長(zhǎng)即為圓錐側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解圓心角；求解圓錐的高，利用圓錐體積公式求解．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，以為圓心，為半徑的圓的面積為，圓錐的側(cè)面積為，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，故①正確；圓錐的表面積，故②正確；圓錐的底