第27章

圓專題6

與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的輔助線的作法1溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)23456781．如圖，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A在DC的延長(zhǎng)線上，AE交⊙O于點(diǎn)B，E，且AB＝OC，若∠DOE＝72°，求∠A的度數(shù)．【解】如圖，連結(jié)OB.∵點(diǎn)B，E在⊙O上，CD為⊙O的直徑，∴OB＝OE＝OC.∴∠E＝∠EBO.又∵AB＝OC，∴OB＝AB.∴∠A＝∠AOB.又∵∠EBO＝∠A＋∠AOB，∴∠E＝∠EBO＝2∠A.∴∠DOE＝∠A＋∠E＝∠A＋2∠A＝72°.∴∠A＝24°.返回2．如圖，在⊙O中，DE是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，AB的中點(diǎn)C在直徑DE上．已知AB＝8cm，CD＝2cm.(1)求⊙O的面積(結(jié)果保留π)；(2)連結(jié)AE，過圓心O向AE作垂線，垂足為F，求OF的長(zhǎng)．返回(1)求證：∠A＝∠C；(2)若OD＝DC，求∠A的度數(shù)．【解】設(shè)∠A＝∠C＝x°，則易得∠POB＝2∠A＝2x°.∵OD＝DC，∴∠DOC＝∠C＝x°.∵OP＝OC，∴∠OPC＝∠C＝x°.在△POC中，由三角形的內(nèi)角和得x＋x＋2x＋x＝180，∴x＝36.∴∠A＝36°.返回4．如圖，A，B，C是⊙O的三等分點(diǎn)．(1)求∠AOB的度數(shù)；(2)若BO＝4，求AB的長(zhǎng)及△ABC的面積．返回5．[2023新鄉(xiāng)十中期末]如圖，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB為直徑作半圓O，分別交BC，AC于點(diǎn)D，E.(1)求證：BD＝DC.【證明】如圖，連結(jié)AD.∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥CB.又∵AB＝AC，∴BD＝DC.返回(1)四邊形EBFD是矩形；【證明】如圖，連結(jié)BD.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°.∴BD為⊙O的直徑．∴∠BED＝∠BFD＝90°.∵DF∥BE，∴∠EBF＝180°－∠DFB＝90°.∴∠BED＝∠EBF＝∠BFD＝90°.∴四邊形EBFD是矩形．(2)DG＝BE.又∵四邊形BEDF是矩形，∴∠EDF＝90°，BE＝DF.∴∠DGF＝90°－∠DFA＝45°＝∠DFA.

∴DG＝DF.∴DG＝BE.返回【點(diǎn)方法】常見的作輔助線的方法：1．有直徑，通常作直徑所對(duì)的圓周角，從而得出兩直線互相垂直，簡(jiǎn)記為“見直徑，作直角”．2．有90°的圓周角，通常作直徑，簡(jiǎn)記為“有直角，作直徑”．(1)求⊙O的半徑；【解】如圖，連結(jié)OA，OC，作OH⊥AC于點(diǎn)H.∵∠ABC＝120°，四邊形ABCM內(nèi)接于⊙O，∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°.∴∠AOC＝2∠AMC＝120°.(2)求證：AB＋BC＝BM.又∵BE＝BC，∴△EBC是等邊三角形．∴CE＝CB，∠CEB＝60°.∴∠MEC＝180°－∠CEB＝120°＝∠ABC.又∵∠CMB＝∠CAB，∴△MEC≌△ABC(A.A.S.)．∴ME＝AB.∵M(jìn)E＋EB＝BM，∴AB＋BC＝BM.返回(1)求證：AE＝BE.(2)判斷BE與EF是否相等，并說明理由．【解】BE＝EF.理由如下：由(1)知∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝∠ABF＋∠AFB＝90°.又∵∠BAE＝∠ABF，∴∠FAD＝∠AFB.∴EF＝AE.又∵AE＝BE，∴BE＝EF.(3)小李通過操作發(fā)現(xiàn)CF＝2A