第24章

圓24.4直線與圓的位置關(guān)系專題5證明圓的切線的常用方法1溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)234561．[2024·荊州模擬]如圖，已知D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，BE與⊙O相切，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且BE＝DE.(1)證明：CE是⊙O的切線；【證明】如圖，連接OD.∵BE是⊙O的切線，OB是⊙O的半徑，∴OB⊥BE.∴∠OBE＝90°.∵EB＝ED，OB＝OD，∴∠EBD＝∠EDB，∠OBD＝∠ODB.∴∠EDB＋∠ODB＝∠EBD＋∠OBD＝∠OBE＝90°.∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線.②求BD的長(zhǎng)．返回2.如圖，在△ABC中，O是AC上(異于點(diǎn)A，C)的一點(diǎn)，⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，AD⊥CB于點(diǎn)D，且AB平分∠CAD.(1)判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；【解】BC與⊙O相切．理由如下：連接OB，如圖.∵AB是∠CAD的平分線，∴∠BAD＝∠BAO.∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠OBA.∴∠BAD＝∠OBA.∴OB∥AD.∴∠OBC＝∠D＝90°，即OB⊥BC.又∵BC過(guò)半徑OB的外端點(diǎn)B，∴BC與⊙O相切.(2)若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半徑長(zhǎng)．返回3.如圖，AB是⊙O的直徑，AD和BC分別切⊙O于A，B兩點(diǎn)，CD與⊙O有公共點(diǎn)E，且AD＝DE.(1)求證：CD是⊙O的切線；【證明】連接OD，OE.∵AD切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑，∴∠DAB＝90°.∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∴△ADO≌△EDO(SSS).∴∠OED＝∠OAD＝90°，即OE⊥CD.又∵OE是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線.(2)若AB＝12，BC＝4，求AD的長(zhǎng)．【解】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H.∵AB是⊙O的直徑，AD和BC分別切⊙O于A，B兩點(diǎn)，∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°.∴四邊形ABCH是矩形.∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4.∴DH＝AD－AH＝AD－4.返回∵CB，CD是⊙O的切線，∴CE＝BC＝4.又∵AD＝DE，∴CD＝DE＋CE＝AD＋4.∵CH2＋DH2＝CD2，∴122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2.∴AD＝9(負(fù)值已舍去).4．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接CO交⊙O于點(diǎn)E,⊙O與AC相切于點(diǎn)D.(1)求證：BC是⊙O的切線；【證明】如圖，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥BC于點(diǎn)P.∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D.∴OD⊥AC.∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴∠OCD＝∠OCP＝45°.∴OD＝OP，即OP是⊙O的半徑.∴BC是⊙O的切線.返回5．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分線交AE于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.求證：CD與⊙O相切．【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD于點(diǎn)H.∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠AEB＝90°，即OA⊥DA.∵DO平分∠ADC，OH⊥DC，OA⊥DA，∴OH＝OA，即OH是⊙O的半徑.∴DC是⊙O的切線，即CD與⊙O相切.返回6.如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AC與半圓O相切于點(diǎn)D，底邊BC與半圓O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接OA.(1)求證：AB與半圓O相切；【證明】連接OD，作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖.∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.∵AC與⊙O相切