主要內(nèi)容定義性質(zhì)第七節(jié)多項式函數(shù)第1頁一、定義直到現(xiàn)在為止，我們一直是純形式地討論多項式，也就是把多項式看作形式表示式.在這一節(jié)我們將從另一個觀點，即函數(shù)觀點來考查多項式設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(1)是P[x]中多項式，

是P

中數(shù)，在(1)中用

代x所得數(shù)第2頁

an

n+an-1

n-1+…+a1

+a0稱為f(x)當(dāng)x=

時值，記為f(

).這么一來，多項式f(x)就定義了一個數(shù)域P上函數(shù).可以由一個多項式來定義函數(shù)稱為數(shù)域P上多項式函數(shù).當(dāng)P是實數(shù)域時，這就是數(shù)學(xué)分析中所討論多項式函數(shù).因為x在與數(shù)域P中數(shù)進(jìn)行運算時適合與數(shù)運算相同運算規(guī)律，所以不難看出，假如第3頁h1(x)=f(x)+g(x),h2(x)=f(x)g(x),那么h1(

)=f(

)+g(

),h2(

)=f(

)g(

),下面來討論多項式函數(shù)性質(zhì).第4頁二、性質(zhì)利用帶余除法，我們得到下面慣用定理：定理7(余數(shù)定理)

用一次多項式x-

去除多項式f(x)，所得余式是一個常數(shù)，這個常數(shù)等于函數(shù)值f(

).證實用x-

去除f(x)，設(shè)商為q(x),余式為一常數(shù)c，于是f(x)=(x-

)q(x)+c.以

代x，得f(

)=c.證畢第5頁假如f(x)在x=

時函數(shù)值f(

)=0，那么

就稱為f(x)一個根或零點.由余數(shù)定理我們得到根與一次因式關(guān)系：推論

是f(x)根充分必要條件是(x-

)|f(x).由這個關(guān)系，我們能夠定義重根概念.

稱為f(x)k重根，假如(x-

)是f(x)

k重因式.當(dāng)k=1時，

稱為單根；當(dāng)k>1時，

稱為重根.第6頁由上面余數(shù)定理可知，要計算，只需求出

余式即可！從而有綜合除法設(shè)：求余式解不妨設(shè)，商式為：則有：第7頁從而有：比較兩邊系數(shù)得：解得第8頁將這些等式列在一起就有：第9頁例：解用綜合除法從而商式為余式為若余式為零，則為根.第10頁定理8

P[x]中n次多項式(n

0)在數(shù)域P中根不可能多于n個，重根按重數(shù)計算.證實對零次多項式定理顯然成立.設(shè)f(x)是一個次數(shù)>0多項式.把f(x)

分解成不可約多項式乘積.由上面推論與根重數(shù)定義，顯然f(x)在數(shù)域P中根個數(shù)等于分解式中一次因式個數(shù)，這個數(shù)目當(dāng)然不超出n.第11頁在上面我們看到，每個多項式函數(shù)都能夠由一個多項式來定義.不一樣多項式會不會定義出相同函數(shù)呢？這就是問，是否可能有f(x)

g(x),而對于P中全部數(shù)

都有f(

)=

g(

)？由不難對這個問題給出一個否定回答.第12頁定理9假如多項式f(x),

g(x)次數(shù)都不超過n，而它們對n+1個不一樣數(shù)

1,

2,…,

n+1

有相同值，即f(

i)=

g(

i

)i=1,2,…,n+1,那么

f(x)=

g(x).證實由定理條件，有f(

i)-

g(

i

)=0,i=1,2,…,n+1,這就是說，多項式f(x)-

g(x)

有n+1個不一樣根.第13頁假如f(x)-

g(x)

0，那么它就是一個次數(shù)不超出n多項式，它不可能有n+1個根.所以，f(x)=

g(x)

.證畢因為數(shù)域